【文档说明】第7章 平面图形的认识（二）（解析版）-2021-2022学年七年级数学下册章节复习重点难点精编讲义（苏科版）.docx，共(65)页，2.128 MB，由管理员店铺上传

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2021-2022学年苏科版数学七年级下册章节复习重点难点精编讲义考点1：平行线的判定与性质1．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．知识要点：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有

：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线

外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.知识要点：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一

条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．考点2：图形的平移1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．知识要点：决定平移的两个要素：（1）平移的方向；（2）平移

的距离．2.平移的性质：(1)图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置．（2）图形平移后，对应点的连线平行或在同一直线上且相等．(3)图形经过平移，对应线段互相平行或在同一条直线上且相等，对应角相等．考点3：认识三角形1.三角形的分类（1）按角分：三角形

2.三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;三角形任意两边之差小于第三边.知识要点：（1）判断给定三条线段能否构成一个三角形：看较小两边的和是否大于最长边.（2）已知三角形的两边长,确定第三边的范围：两边之差的绝对

值＜第三边＜两边之和.3.三角形的三条主要线段（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。三角形的三条中线交于三角形内部一点，叫做三角形的重心.（2）在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角

平分线，三角形的三条角平分线交于三角形内一点，叫做三角形的内心.（3）在三角形中，从一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高，三角形的三条高交于一点，叫做三角形的垂心.4.三角形的角（1）三角形的内角和为180°.(2)三角形的一边与他的邻边

的延长线组成的角叫做三角形的外角.知识要点：（1）直角三角形的两个锐角互余.（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角和.（3）三角形的一个外角大于任意一个不相邻的内角.考点4：多边形的内角和与外角和1.多边形的内角和：n边形的内角和为(n

－2)·180°(n≥3)．知识要点：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180nn−°.2.多边形的外角和：任意多边形的外角和都为360°.知识要点：多边形的外角和

为360°．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.（2021春•娄星区期末）给出下列说法：（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；（2）不相等的两个角不是同位角；（3）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交

；（4）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做该点到直线的距离；其中正确的说法有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【思路引导】（1）当且仅当两条平行的直线被第三条直线所截，同位角才相等，故（1）不正确．（2）若两条直线被第三条直线所截，在截线的同一侧且在被截线的

同一方向的两个角是同位角，同位角不一定相等，故（2）不正确．（3）若直线l与直线AB相交，AB∥CD中，假设直线l与CD不相交，则l∥CD，故推断出l∥AB，即l与AB不相交与题干矛盾．那么，l与CD也相交，故（3）正确．（4）根据点到直线的距离定义，可知（4）正确．【完整解答】解：（1）两条平行

的直线被第三条直线所截，同位角才相等，故（1）不正确．（2）若两条直线被第三条直线所截，在截线的同一侧且在被截线的同一方向的两个角是同位角．两直线平行，同位角相等．不平行的两条直线被第三条直线所截，则同位角不相等．那么，（2）不正确．（3）当平面内的一条直线l和两条平行

线AB与CD中的一条AB相交，若l与CD不相交，则l∥CD，故推断出l∥AB，即l与AB不相交与题干矛盾．那么，l与CD也相较，故（3）正确．（4）根据点到直线的距离定义，可知（4）正确．∴正确的说法有2个．故选：C．【考察注意点】本题主要考查

平行线的定义、同位角的定义以及点到直线的距离的定义，熟练掌握平行线的定义、点到直线的距离的定义以及同位角的定义是解决本题的关键．（2018春•城关区校级月考）如图所示，同位角共有（）A．6对B．8对C．10对D．12对【思路引导】在基本图形“三线八角”中有四对同位角，再看增加射线GM、HN

后，增加了多少对同位角，求总和．【完整解答】解：如图，由AB、CD、EF组成的“三线八角”中同位角有四对，射线GM和直线CD被直线EF所截，形成2对同位角；射线GM和直线HN被直线EF所截，形成2对同位角；射线HN和直线AB被直线EF所截，形成2对同位角．则总共10对．故选：C．【考察注意点

】本题主要考查同位角的概念．即两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．．（2020春•麻城市校级月考）如图，∠1和∠3是直线AB和AC被直线DE所截而成的内错角；图中与∠2是同旁内角的角有3个．【思路引导】根据内错

角和同旁内角的定义得出即可．【完整解答】解：∠1和∠3是直线AB和AC被直线DE所截而成的内错角；图中与∠2是同旁内角的角有∠6、∠5、∠7，共3个，故答案为：AB、AC、DE、内错，3．【考察注意点】本题考查了同位角、内错角、同旁内角等知识

点，能根据图形找出各对角是解此题的关键．（2021春•婺城区校级期中）如图所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．（1）请指出与∠1是同旁内角的有哪些角？请指

出与∠2是内错角的有哪些角？（2）若∠1＝115°，测得∠BOM＝145°，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由．【思路引导】（1）根据同旁内角、内错角的定义（两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样

一对角叫做同旁内角；处于两条直线之间，处于第三条直线两侧的两个角叫内错角）逐个判断即可．（2）根据平行线的性质解答即可．【完整解答】解：（1）与∠1是同旁内角的有∠AOE，∠MOE，∠ADE；与∠2是内错角的有∠MOE，∠AOE；（2）∵AB∥CD，∴∠BOE＝∠1＝115

°，∵∠BOM＝145°，∴∠MOE＝∠BOM﹣∠BOE＝145°﹣115°＝30°，∴往上弯了30°．【考察注意点】本题考查了对同旁内角定义，内错角定义的应用，主要考查学生的理解能力，题目是一道比较好的题目，难度

适中．（2021秋•淮阴区期末）如图，如果∠1＝∠3，∠2＝50°，那么∠4的度数为（）A．50°B．100°C．120°D．130°【思路引导】根据平行线的判定与性质即可求∠4的度数．【完整解答】解：如图，∵∠1＝∠3，

∴a∥b，∴∠5＝∠2＝50°，∴∠4＝180°﹣50°＝130°．故选：D．【考察注意点】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．（2021秋•渠县期末）如图，已知∠A＝α（0°＜α＜60°，且α≠45°），在∠A的两边上

各任取一点，分别记为P，Q，过该两点分别引一条直线，并使得该直线与∠A所在的边夹角也为α，设两条直线交于点O，则∠POQ的数量应是3α或α或180°﹣α或180°﹣3α．【思路引导】分四种情形分别画出图形，利用三角形内角和定理以及三

角形外角的性质求解即可．【完整解答】解：有四种情形：当点O在∠A内部时，①如图：此时∠POQ＝3α；②如图：此时∠POQ＝180°﹣α；当点O在AQ下方时，③如图：此时∠POQ＝α；当点O在AP上方时，④如图：此时∠POQ＝180°﹣3α；综上所述：∠POQ的数量应是3α或α或180°﹣α

或180°﹣3α，故答案为：3α或α或180°﹣α或180°﹣3α，【考察注意点】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解．（2021秋•嵩县期末）如图，AE∥CF，∠ACF的平分线交AE于点B，

G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABG；②AC∥BG；③与∠DBE互余的角有2个；④若∠A＝α，则∠BDF＝180°﹣．其中正确的是①②．（请把正确结论的序号都填上）【思路引导】根据平行线的性质得出∠A和∠ACB的关系，再根据角平分线的性质找出

图中相等的角，由等角的余角相等即可得出结论．【完整解答】解：∵CBD＝90°，∴∠ABC+∠EBD＝90°，又∵∠DBG＝∠EBD，∴∠ABC＝∠CBG，∴BC平分∠ABG，∴①正确，∵∠GBC＝∠ABC＝∠ACB，∴AC

∥BG，∴②正确，∵∠DBE＝∠DBG，∴与∠DBE互余的角有∠ABC，∠GBC，∠ACB，∠GCB，有4个，∴③错误，∵∠BDF＝180°﹣∠BDG，∠BDG＝90°﹣∠CBG＝90°﹣∠ACB，又∵∠ACB＝×（180°﹣α）＝90°﹣，∴∠BDF＝180°﹣[90°﹣（90°

﹣）]＝180°﹣，∴④错误，故答案为：①②．【考察注意点】本题主要考查平行线的性质和判定，关键是要牢记平行线的三个性质，即两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补．（2021秋•泉州期末）

当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．你可用这一结论解答下列问题．（1）在图（1）中潜望镜的两面镜子AB、CD是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则进入

潜望镜的光线EF和离开潜望镜的光线GH是平行的，请说明理由；（2）如图（2），改变两平面镜AB、CD之间的位置，若镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α，经过两次反射后，∠1＝∠2，∠3＝∠4，仍可以使入射光线

EF与反射光线GH平行但方向相反．求α的度数．（3）拓展应用：如图（3），若镜子AB与BC的夹角α＝110°，镜子CD与BC的夹角∠BCD＝β（90°＜β＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝30°，已知入射光线EF从镜面AB

开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，求β的度数．【思路引导】（1）根据题意可得AB∥CD，所以∠2＝∠3，由已知∠1＝∠2，∠3＝∠4．可得∠EFG＝∠HGF，进而可以说明EF∥GH．（2）

由平行线的性质得出∠FEG+∠HGE＝180°，根据平角的定义得出∠1+∠2+∠FEG+∠3+∠4+∠EGH＝180°+180°＝360°，进而得到∠2+∠3＝90°，再根据三角形的内角和即可得解．（3）分两种情

况画图讨论：①当n＝3时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及△GCH内角和，可得β＝180°﹣∠CGH﹣∠GHC．②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°，与题意不符；则只能在CD边反射后与EF平行，根据三角形外角定义，可得β＝∠G+∠GBC，由

EF∥HK，且由（2）的结论可得，β＝90°+70°＝160°．【完整解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4，即：∠EFG＝∠F

GH，∴EF∥GH．（2）如题图（2），∵EF∥GH，∴∠FEG+∠EGH＝180°，∴∠1+∠2+∠FEG+∠3+∠4+∠EGH＝180°+180°＝360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴2

（∠2+∠3）＝180°，∴∠2+∠3＝90°，∵∠ABC+∠2+∠3＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠2﹣∠3＝180°﹣90°＝90°，即α的度数为90°．（3）①当n＝3时，如图所示：∵∠BEG＝∠1＝30°，α＝110°，∴∠BGE＝∠CGH

＝180°﹣110°﹣30°＝40°，∴∠FEG＝180°﹣2∠1＝120°，∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝100°，由EF∥HK，过点G作GM∥EF，∴GM∥HG，∴∠FEG+∠EGM＝∠MGH+∠KHG＝180°，∴∠FEG+∠EGH+∠GHK

＝360°，∴∠GHK＝360°﹣120°﹣100°＝140°，则∠GHC＝20°，∴β+∠CGH+∠GHC＝180°，∴β＝180°﹣40°﹣20°＝120°．②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°

，与题意不符；则只能在CD边反射后与EF平行，如图所示：β+∠GCB＝∠G+∠GBC+∠GCB＝180°，∴β＝∠G+∠GBC，由EF∥HK，且由（2）的结论可得：∠G＝90°，又∵∠GBC＝180°﹣α＝180°﹣110°＝70°，∴β＝90°+70°＝160°．综上所述：β的

度数为：120°或160°．【考察注意点】本题考查了平行线的性质、列代数式，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论思想的利用．（2021秋•任城区校级期末）如图，∠C＝90°，将直角三角形ABC沿着射

线BC方向平移5cm，得三角形A'B'C'，已知BC＝3cm，AC＝4cm，则阴影部分的周长为（）A．16cmB．18cmC．20cmD．22cm【思路引导】利用勾股定理求出AB，再利用平移变换的性质，可得结

论．【完整解答】解：在Rt△ACB中，AB＝＝＝5（cm），∵AA′＝BB′＝5cm，∴CB′＝BB′﹣BC＝5﹣3＝2（cm），∴阴影部分的周长＝AC+CB′+A′B′+AA′＝4+2+5+5＝16（cm）．故选：A．【考察注意点】本题考查平

移的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．（2021春•长兴县月考）如图，将三角形ABC沿直线AC平移得到三角形DEF，其中，点A和点D是对应点，点B和点E是对应点，点C和点F是对应点．如果AC＝6，DC＝2，那么线段BE

的长是（）A．2B．4C．6D．8【思路引导】由平移的性质可知，AD＝BE，求出AD即可解决问题．【完整解答】解：由平移的性质可知，AD＝BE，∵AC＝6，CD＝2，∴AD＝AC﹣CD＝6﹣2＝4，∴BE＝4，故选：B．【考察注意点】本题考查平移的性质，线段

的和差定义等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．（2021春•港南区期末）下列说法错误的是（）A．对顶角相等B．两直线平行，同旁内角相等C．平移不一定改变图形的形状和大小D．同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行【思路引导】根据对顶角的性质，平行线的性质和判定，

平移的性质一一判断即可【完整解答】解：A、对顶角相等，正确，本选项不符合题意．B、两直线平行，同旁内角相等，错误，本选项符合题意．C、平移不一定改变图形的形状和大小，正确，本选项不符合题意．D、同一平面内，垂直于同一直线的

两条直线平行，正确，本选项不符合题意，故选：B．【考察注意点】本题考查对顶角的性质，平行线的判定和性质，平移的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．（2018秋•丰南区期末

）如图，已知△ABC的面积为12，将△ABC沿BC平移到△A'B'C'，使B'和C重合，连接AC'交A'C于D，则△C'DC的面积为6【思路引导】根据平移变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，可得∠B＝∠A′CC′，BC＝B′C′，再根据同位角相等，两直线平行可得CD

∥AB，然后求出CD＝AB，点C′到A′C的距离等于点C到AB的距离，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比即可求解．【完整解答】解：根据题意得，∠B＝∠A′CC′，BC＝B′C′，∴CD∥AB，CD＝AB（三角形的中位线），∵点C′到A′C的距离等于点C到AB的距离，∴△C′DC的面积＝

△ABC的面积＝×12＝6．故答案为：6．【考察注意点】本题考查了平移变换的性质，平行线的判定与性质，三角形的中位线等于第三边的一半的性质，以及等高三角形的面积的比等于底边的比，是小综合题，但难度不大．（2021秋

•江油市期末）有两条高在三角形外部的三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【思路引导】根据三角形的高的概念，通过具体作高．发现：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有两条高即三角形的

两条直角边，一条在内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条在内部．【完整解答】解：有两条高在三角形外部的是钝角三角形．故选：C．【考察注意点】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高，注意不同形状的三角形的高的位置．（2020秋•原州区期末）下列四个图形中，线段BE是△

ABC的高的是（）A．B．C．D．【思路引导】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．【完整解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项C．故选：C．【考察注意点】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从

三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．（2020春•奉贤区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AD，垂足为点D，有下列说法：①点A与点B的距离是线段AB的长；②点A到直线CD的距离是线段AD的长；

③线段CD是△ABC边AB上的高；④线段CD是△BCD边BD上的高．上述说法中，正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【思路引导】根据三角形的高的定义即可判断②③④，根据两点间的距离定义即可判断①．【完整解答】解：①、根据两点

间的距离的定义得出：点A与点B的距离是线段AB的长，∴①正确；②、点A到直线CD的距离是线段AD的长，∴②正确；③、根据三角形的高的定义，△ABC边AB上的高是线段CD，∴③正确；④、根据三角形的高的定义，△DBC边BD上的高是线段CD，∴④正确．综上

所述，正确的是①②③④共4个．故选：D．【考察注意点】本题主要考查对三角形的角平分线、中线、高，两点间的距离等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．（2021春•汝阳县期末）如图，在△ABC中，CF、BE分别是AB、AC

边上的中线，若AE＝2，AF＝3，且△ABC的周长为15，求BC的长．【思路引导】根据三角形中线的定义求出AB、AC，再利用三角形的周长的定义列式计算即可得解．【完整解答】解：∵CF、BE分别是AB、AC边上的中线，AE＝2，AF＝3，∴AB＝2AF＝

2×3＝6，AC＝2AE＝2×2＝4，∵△ABC的周长为15，∴BC＝15﹣6﹣4＝5．【考察注意点】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟记概念并准确识图是解题的关键．（2021秋•兴城市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝70°，点D、E分别在AB、AC上，将△ADE沿D

E折叠，使点A落在点F处．则∠BDF﹣∠CEF＝（）A．20°B．30°C．40°D．50°【思路引导】先利用平角用∠1表示出∠BDF，再利用三角形的内角和定理及推论用∠1表示出∠CEF，两式相减可得结论．【完整解答】解：∵△DEF是由

△DEA折叠成的，∴∠1＝∠2，∠3＝∠DEF．∵∠BDF+∠1+∠2＝180°，∴∠BDF＝180°﹣2∠1．∵∠CEF+∠CED＝∠DEF，∠CED＝∠1+∠A，∠3+∠1+∠A＝180°，∴∠CEF＝∠3﹣∠CED＝180°﹣∠1﹣∠A﹣

∠1﹣∠A＝180°﹣2∠1﹣40°＝140°﹣2∠1．∴∠BDF﹣∠CEF＝180°﹣2∠1﹣（140°﹣2∠1）＝180°﹣2∠1﹣140°+2∠1＝40°．故选：C．【考察注意点】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和等于180°”

、折叠的性质是解决本题的关键．（2021秋•开州区期末）如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DF⊥AB于F，交AC于E．已知∠A＝35°，∠ECD＝85°，则∠D＝（）A．30°B．40°C．45°D．50°【思路引导】由三角形内角和定理，可将求∠D

转化为求∠CED，即∠AEF，再在△AEF中求解∠D即可．【完整解答】解：∵DF⊥AB（已知），∴∠EFA＝90°（垂直定义），在△AEF中，∠EFA＝90°，∠A＝35°（已知），∴∠AEF＝180°﹣∠EFA﹣∠A＝180°﹣90°﹣35°＝55°，又∵∠CED＝∠A

EF（对顶角相等），∴∠CED＝55°，在△CDE中，∠CED＝55°，∠ECD＝85°（已知），∴∠D＝180°﹣∠CED﹣∠ECD＝180°﹣55°﹣85°＝40°．故选：B．【考察注意点】本题主要考查三角形的内角和定理，熟练掌握三角形内角和内角和定理是解题的关键．（2021秋•新郑市期

末）如图所示，△ABC中，∠A＝50°，BP，CP，BM，CM分别是∠ABC，∠ACD，∠PBC，∠PCB的平分线，则∠M的度数为102.5°．【思路引导】根据角平分线的定义得出∠ABP＝∠CBP＝∠ABC，∠ACP＝∠DCP＝∠ACD，∠MBC＝∠PBC，∠MCB＝

∠PCB，根据三角形内角和定理求出∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB，根据三角形内角和定理即可求出．【完整解答】解：∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP＝∠ABC，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠DCP＝∠ACD，∴∠

ACD＝180°﹣∠ACB，∴∠ACP＝90°﹣∠ACB，∵∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB，（三角形内角和为180°），∵∠PBC＝∠ABC，∵∠PCB＝90°﹣∠ACB，∴∠P＝180°﹣∠ABC﹣90°+∠ACB

＝90°﹣（180°﹣50°）＝25°，∵MB平分∠PBC，MC平分∠PCB，∴∠MBC＝∠PBC，∠MCB＝∠PCB，∴∠M＝180°﹣∠MBC﹣∠MCB＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣×（180°﹣∠

P）＝102.5°．故答案为：102.5°．【考察注意点】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．（2021秋•巢湖市期末）把一副三角尺按如图所示拼在一起，如图，其中B，C，D三点在同一条直线上，∠ACB＝45

°，∠DCE＝60．（1）若CM和CN分别平分∠ACB和∠DCE，如图1，则∠MCN的度数为127.5°；（2）若CM平分∠BCE，CN平分∠DCA，如图2，则∠MCN的度数为52.5°．【思路引导】（1）利用角平分线的定义求出∠ACM，∠ECN，可得结论；（2）利

用角平分线的定义求出∠BCM，∠ACN，可得结论．【完整解答】解：（1）如图1中，∵∠ACB＝45°，∠DCE＝60．∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠ECD＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∵CM和CN分别平分∠ACB和∠DCE，∴∠ACM＝∠ACB＝22.5°，∠ECN＝

×60°＝30°，∴∠MCN＝∠ACM+∠ACE+∠ECN＝22.5°+75°+30°＝127.5°，故答案为：127.5°；（2）∵CM平分∠BCE，CN平分∠DCA，∴∠BCM＝∠BCE＝×120°＝60°，∠ACN＝∠ACD＝67.5°，∴∠MCN＝∠ACB+∠ACN﹣∠BCM＝45

°+67.5°﹣60°＝52.5°．故答案为：52.5°．【考察注意点】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．（2021秋•宣城期末）将一副直角三角板如图放置，两直角边重合，则∠α的度数为（）A．75°B．105°C．1

35°D．165°【思路引导】根据三角形外角性质求出∠ADF＝∠C+∠E＝120°，再根据三角形外角性质得出∠α＝∠A+∠ADF，再代入求出答案即可．【完整解答】解：如图，∵∠C＝90°，∠E＝30°，∴∠ADF＝∠C+∠E＝90°+30°＝120°，∵∠A

＝45°，∴∠α＝∠A+∠ADF＝45°+120°＝165°，故选：D．【考察注意点】本题考查了三角形的外角性质，能熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解此题的关键．（2021春•莲湖区期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，若∠ABP＝20°，∠

ACP＝60°，则∠A﹣∠P＝（）A．70°B．60°C．50°D．40°【思路引导】根据角平分线的定义得出∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝120°，∠MCP＝∠ACP＝60°，∠CBP＝∠ACP＝20°，根据三角形的外角性

质得出∠A＝∠ACM﹣∠ABC，∠P＝∠PCM﹣∠CBP，再代入求出∠A和∠P即可．【完整解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝60°，∴∠ABC＝2∠

ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝120°，∠MCP＝∠ACP＝60°，∠CBP＝∠ACP＝20°，∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝120°﹣40°＝80°，∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝60°﹣20°＝40°，∴∠A﹣∠P＝80°﹣4

0°＝40°，故选：D．【考察注意点】本题考查了角平分线的定义和三角形的外角性质，能根据角平分线的定义求出∠CBP＝∠ABP＝20°和∠ACM＝2∠ACP＝120°是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2021秋•江汉区期末）如图，将

一副三角尺的两个锐角（30°角和45°角）的顶点P叠放在一起，没有重叠的部分分别记作∠1和∠2，若∠1与∠2的和为61°，则∠APC的度数是68°．【思路引导】先求30°和45°重合部分的角的度数，再加上∠1与∠2的和即可得到答案．【完整解答】解：三角板重合部分的角的

度数＝（30+45﹣61）÷2＝7°，∴∠APC＝7°+∠1+∠2＝7°+61°＝68°．故答案为：68°．【考察注意点】本题主要考查了角的和差关系，解题的关键是求出重合部分的角度．（2021秋•恩施市期末）问题引入：（1）如图1，在△AB

C中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝90（用α表示）；如图2，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝120（用α表示）；拓展研究：（2）如图3，∠CBO＝∠D

BC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，猜想∠BOC度数（用α表示），并说明理由；（3）BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝（直接写出答案）．【思路引导】（1）由角平分线的定义得∠OBC

＝，则，再利用三角形内角和定理可得答案；（2）根据三角形内角和定理得，而∠DBC+∠BCE＝180°+∠A，代入化简即可；（3）由（2）同理可得答案．【完整解答】解：（1）∵点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，∴∠OBC＝，∴，在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠O

CB）＝180°﹣＝180＝90＝90，故答案为：90；在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180＝180＝120＝120，故答案为：120；（2）∠BOC＝，理由如下：∵，，∠A＝

∠α，∴＝＝＝180°﹣（180°+α）＝120°﹣α；（3）在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180＝180＝180＝，故答案为：．【考察注意点】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，采取类比的方法是解题的关键，同时渗透了整体思想．

（2021秋•重庆期末）下列说法正确的是（）A．若AC＝BC，则点C是线段AB的中点B．30.15°＝30°15'C．若经过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成七个三角形，则这个多边形是八边形D．钟表上的时间是11点1

0分，此时时针与分针所成的夹角是85°【思路引导】线段中点的定义，度、分、秒的换算，多边形，钟表问题等知识一一判断即可．【完整解答】解：A、错误，点C不一定在线段AB上，本选项不符合题意．B、错误．应该是30.15°＝30°9′，本选项不符合题意

．C、错误，应该是这个多边形是九边形，本选项不符合题意．D、正确．故选：D．【考察注意点】本题考查线段中点的定义，度、分、秒的换算，多边形，钟表问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．（2021秋•济阳区期末）从n边形的一个顶

点出发，分别连接这个点与同它不相邻的各个顶点，得到7个三角形，那么这个多边形为九边形．【思路引导】根据从一个n边形的某个顶点出发，把n边形分为（n﹣2）个三角形作答．【完整解答】解：设多边形有n条边，则n﹣2＝7，解得n＝9．故多

边形是九边形．故答案为：九．【考察注意点】本题主要考查了多边形的性质，解题的关键是熟悉从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为（n﹣2）的规律．（2020秋•邛崃市期末）从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这

个n边形分割成17个三角形，则n＝19．【思路引导】根据从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个n边形分割成（n﹣2）个三角形的规律作答．【完整解答】解：从n边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个n边形分割成（n﹣2）个三角形．所以n﹣2＝17，

所以n＝19．故答案为：19．【考察注意点】本题主要考查多边形的性质，解题关键是熟记多边形顶点数与分割成的三角形个数的关系．（2018春•永春县校级期中）定义：如果一个四边形被一条对角线分成面积相等的两个三角形，则称该四边形为“对角线分积四边形”，且这条对角线称为“分积对角线”．

例如：四边形ABCD中，若△ABD与△CBD面积相等，则四边形ABCD是“对角线分积四边形”，且BD是“分积对角线”．证明：“对角线分积四边形”的“分积对角线”平分另一条对角线．（利用给定图形写出已知、求证，并加以证明）【思路引

导】理解题意，写出已知求证，分别过A、C作AM⊥BD，CN⊥BD，根据两个三角形的面积相等，得到AM、CN相等，通过证明△AMO≌△CNO得出结论．【完整解答】解：已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且S△ABD＝S△BCD．求证：OA＝OC．证明

：如图，分别过A、C作AM⊥BD，CN⊥BD，∴∠AMO＝∠CNO＝90°．又∵S△ABD＝BD•AM＝S△CBD＝BD•CN，∴AM＝CN．又∠AOM＝∠CON，∴△AMO≌△CNO（AAS）．∴OA＝OC．【考察注意点】本题考查了多边

形及其对角线，掌握“等底同高的两个三角形的面积相等”及推论、三角形全等的判定和性质是解决本题的关键．（2021秋•龙岩期末）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点C落在四边形ABDE的外部时，此时测得∠1＝106°，∠C

＝35°，则∠2的度数为（）A．35°B．36°C．37°D．38°【思路引导】根据折叠性质得出∠C′＝∠C＝35°，根据三角形外角性质得出∠DOC＝∠1﹣∠C＝71°，∠2＝∠DOC﹣∠C′＝71°﹣35°＝36

°．【完整解答】解：如图，设C′D与AC交于点O，∵∠C＝35°，∴∠C′＝∠C＝35°，∵∠1＝∠DOC+∠C，∠1＝106°，∴∠DOC＝∠1﹣∠C＝108°﹣35°＝71°，∵∠DOC＝∠2+∠C′，∴∠2＝∠DOC﹣∠C′＝71°﹣35°＝36°．故选：B．【考察注意点】

本题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和定理及三角形的外角定理是解题的关键．．（2021秋•聊城期末）如图，图①是四边形纸条ABCD，其中AB∥CD，E，F分别为AB、CD上的两个点，将纸条ABCD沿EF折叠得到图②，再将图②沿DF折叠得到图③，若在图

③中，∠FEM＝24°，则∠EFC为（）A．48°B．72°C．108°D．132°【思路引导】先由折叠得：∠BEF＝∠FEM＝24°，由平行线的性质得∠EFM＝24°，如图③中，根据折叠和平行线的性质得，∠MFC＝132°，根据角的差可得结论．【完整解答】解：如

图②，由折叠得：∠B'EF＝∠FEM＝24°，∵AE∥DF，∴∠EFM＝24°，∠BMF＝∠DME＝48°，∵BM∥CF，∴∠CFM+∠BMF＝180°，∴∠CFM＝180°﹣48°＝132°，由折叠得：如图③，∠MFC＝132°，∴

∠EFC＝∠MFC﹣∠EFM＝132°﹣24°＝108°，故选：C．【考察注意点】本题考查了平行线的性质、翻折变换的性质等知识；熟练掌握平行线和翻折变换的性质得出相等的角是解决问题的关键．（2021秋•大洼区期末）如图，小亮从A点出发，沿直线前进10m向左转3

0°再沿直线前进10m，又向左转30°，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了120m．【思路引导】根据题意，小亮走过的路程是正多边形，先用360°除以30°求出边数，然后再乘以10m即可．【完整解答】解：∵小亮每次都是沿直线前进10m后向左转30度，∴他走过的图

形是正多边形，∴边数n＝360°÷30°＝12，∴他第一次回到出发点A时，一共走了12×10＝120m．故答案为：120．【考察注意点】本题考查了正多边形的边数的求法，多边形的外角和为360°；根据题意判断出小亮走过的图形是正多边形是解题的关键．（2021秋•聊城期末）（1）已知：如图，n边形

A1A2A3A4A5…An．求证：n边形A1A2A3A4A5…An的内角和等于（n﹣2）•180°；（2）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻的外角的3倍还大20°，求这个多边形的内角和；（3）粗心的小明在计算一个多边形

的内角和时，误把一个外角也加进去了，得其和为1180°．请直接写出这个多加的外角度数及多边形的边数．【思路引导】（1）根据从n边形的一个顶点可以作（n﹣3）条对角线，这（n﹣3）条对角线要和多边形的两边组成三角形，得出把三角形分割成的三角形个数．欲证明多边形的内角和定理，可以把多边形的内角转移

到三角形中，利用三角形内角和等于180°解答；（2）设多边形的一个外角为α°，则与其相邻的内角为（3α+20）°，根据题意列出方程可得答案；（3）根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知，多边形的内角和是180°的倍数，然后求出多边形的边数以及多加的外角的度数即可得解．【完

整解答】解：（1）∵从n边形的一个顶点可以作（n﹣3）条对角线，∴得出把三角形分割成的三角形个数为：n﹣3+1＝n﹣2，∵这（n﹣2）个三角形的内角和都等于180°，∴n边形的内角和是（n﹣2）×180°；（2）设多边形的

一个外角为α°，则与其相邻的内角为（3α+20）°，由题意，得（3α+20）+α＝180，解得α＝40，即多边形的每个外角为40°，∵多边形的外角和为360°，∴多边形的边数为360°÷40°＝9，内角和为（9﹣2）×180°＝1260°，答：这个多边形的内角和为1260°；（3）设多边形的边数为

n，多加的外角度数为α，则（n﹣2）•180°＝1180°﹣α，∵1180°＝6×180°+100°，内角和应是180°的倍数，∴小明多加的一个外角为100°，∴这是6+2＝8边形的内角和．答：这个外角的度数是1

00°，该多边形的边数是8．【考察注意点】本题考查了多边形的内角和定理的证明和运用，解题关键是将多边形的内角和问题转化为三角形中解决，根据多边形的内角和公式判断出多边形的内角和公式是180°的倍数．一．选择题1．（2021秋•沙坪坝区期末）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF

＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【思路引导】①由题意可得∠G＝∠MPN＝90°，利用内错角相等，两

直线平行即可判定GE∥MP；②由题意可得∠EFG＝30°，利用邻补角即可求∠EFN＝150°；③过点F作FH∥AB，可得FH∥CD，从而得∠HFN＝∠MNP＝45°，可求得∠EFH＝105°，再利用平行

线的性质即可求得∠BEF＝75°；④利用角的计算可求得∠AEG＝45°，从而可判断．【完整解答】解：①由题意得：∠G＝∠MPN＝90°，∴GE∥MP，故①正确；②由题意得∠EFG＝30°，∴EFN＝180°﹣∠EFG＝

150°，故②正确；③过点F作FH∥AB，如图，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFH＝180°，FH∥CD，∴∠HFN＝∠MNP＝45°，∴∠EFH＝∠EFN﹣∠HFN＝105°，∴∠BEF＝180°﹣∠EFH＝75°，故③正确；④∵∠GEF＝60°，∠BEF＝75°，∴∠AEG＝18

0°﹣∠GEF﹣∠BEF＝45°，∵∠MNP＝45°，∴∠AEG＝∠PNM，故④正确．综上所述，正确的有4个．故选：D．2．（2021秋•漳州期末）如图，下列条件能判断AB∥DC的是（）A．∠3＝∠4B．∠1＝∠4C．∠1＝

∠2D．∠2＝∠3【思路引导】根据内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行进行判断即可．【完整解答】解：A、由∠3＝∠4，不能判断AB∥CD，故A选项不合题意；B、由∠1＝∠4，不能判断AB∥CD，故B选项不合题意；

C、由∠1＝∠2，不能判断AB∥CD，故C选项不合题意；D、由∠2＝∠3，能判定AB∥DC，故D选项符合题意．故选：D．3．（2021秋•松桃县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE是△ABC的外角∠BAD的平分线，BF平分∠ABC与AE的反向延长线相交于点F，则∠BFE

为（）A．35°B．40°C．45°D．50°【思路引导】根据角平分线的定义的定义可知：∠ABF＝∠ABC，∠EAB＝∠DAB，根据三角形外角的性质可知：∠EAB﹣∠ABF＝45°，得到∠F的度数．【完整解答】解：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠ABC，∵AE平分∠DAB，∴∠EAB

＝∠DAB，∵∠DAB﹣∠ABC＝∠C＝90°，∴∠EAB﹣∠ABF＝45°，∴∠F＝∠EAB﹣∠ABF＝45°，故选：C．4．（2021秋•洛江区期末）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，若∠1＝54°，则∠2的度数是（）A．27°B．36°C．54°D．72°【思路引导】直接利用

平行线的性质得出∠3的度数，再利用角平分线的定义结合平角的定义得出答案．【完整解答】解：∵直线AB∥CD，∴∠1＝∠ABC，∵∠1＝54°，∴∠ABC＝54°∵BC平分∠ABD，∴∠ABD＝2∠ABC＝108°，∵A

B∥CD，∴∠BDC＝180°﹣∠ABD＝72°，∴∠2＝∠BDC＝72°．故选：D．5．（2021秋•海丰县期末）如图，AB∥CD，∠A＝45°，∠C＝30°，则∠E的度数是（）A．10°B．15°C．20°D．25°【思路引导】由平行线的性质可求得∠D

OE＝∠A＝45°，再利用三角形的外角性质即可求∠E的度数．【完整解答】解：∵AB∥CD，∠A＝45°，∴∠DOE＝∠A＝45°，∵∠DOE是△COE的外角，∴∠E＝∠DOE﹣∠C＝45°﹣30°＝15°．故

选：B．二．填空题6．（2021秋•泰州期末）如图，下列不正确的是③⑤（填序号）．①如果∠ADE＝∠B，那么DE∥BC；②如果∠AED＝∠C，那么DE∥BC；③如果∠ADE＝∠C，那么DE∥BC；④如果

∠DFB＝∠C，那么DF∥EC；⑤如果∠DFB＝∠AED，那么DF∥AC．【思路引导】利用平行线的判定条件与性质对各说法进行分析即可．【完整解答】解：①如果∠ADE＝∠B，那么DE∥BC（同位角相等，两直线平行），故①正确；②如果∠AED＝∠C，那么DE∥B

C（同位角相等，两直线平行），故②正确；③如果∠ADE＝∠C，不能判定DE∥BC，故③错误；④如果∠DFB＝∠C，那么DF∥EC（同位角相等，两直线平行），故④正确；⑤如果∠DFB＝∠AED，不能判定DF∥AC，故⑤错误．故不

正确的有③⑤，故答案为：③⑤．7．（2021秋•洛江区期末）如图，与∠1是同位角的为∠4．【思路引导】根据同位角的特征，“F”型判断即可．【完整解答】解：如图，与∠1是同位角的为：∠4，故答案为：∠4．8．（2021秋•巴南区期末）如图，将一张三角形纸片ABC的一角（∠A

）折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部点A′的位置，且点A′与点C在直线AB的异侧，折痕为DE．已知∠C＝90°，∠B＝60°，若△A′DE的一边与BC平行，且∠ADE＝m°，则m＝45或30．【思路引

导】分DA'∥BC或EA'∥BC两种情况，分别画出图形，即可解决问题．【完整解答】解：当DA'∥BC时，如图，∠A'DA＝∠ACB＝90°，∵△ADE沿DE折叠到A'DE，∴∠ADE＝∠A'DE＝∠ADA′＝45°，当EA'∥BC时，如图，连接AA'，∠2＝∠ABC＝60°，∴∠A'AB＝∠A

A'E＝30°，∴∠DAA'＝∠DA'A＝60°，∴△AA'D是等边三角形，∴∠1＝120°，∵△ADE沿DE折叠到A'DE，∴∠ADE＝∠A'DE＝∠ADA′＝（180°﹣∠1）＝30°，综上所述，∠ADE的度数为：45°或30°．故

答案为：45或30．9．（2021秋•饶平县期末）如图，已知△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）边AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长边A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2…按此规律，倍长2021次后得到的△A2021B2021C2021的面

积为72021．【思路引导】根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后△A1B1C1的面积是△ABC的面积的7倍，依此规律可得结论．【完整解答】解：连接AB1、BC1、CA1，根据等底等高的三角形面积相等，△A1B

C、△A1B1C、△AB1C、△AB1C1、△ABC1、△A1BC1、△ABC的面积都相等，所以，S＝7S△ABC，同理S＝7S＝72S△ABC，依此类推，△A2021B2021C2021的面积为＝7

2021S△ABC，∵△ABC的面积为1，∴△A2021B2021C2021的面积＝72021．故答案为：72021．10．（2021秋•汉寿县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，

AE平分∠DAC，∠B＝50°，则∠AEC＝115°．【思路引导】先利用三角形的内角和定理先求出∠BAD、∠DAC，再利用角平分线的定义求出∠DAE，最后利用外角和内角的关系求出∠AEC．【完整解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°．∵∠B＝50°，∴∠BAD＝40°．∵∠BAC

＝90°，∴∠DAC＝50°．∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠DAC＝25°．∴∠AEC＝∠ADC+∠DAE＝115°．故答案为：115°．三．解答题11．（2021秋•临海市期末）如图1，将长方形纸片ABCD沿着MN翻折，

使得点B，C分别落在点E，F位置．如图2，在第一次翻折的基础上再次将纸片沿着MP翻折，使得点N恰好落在ME延长线上的点Q处．（1）若∠BMN＝70°，求∠AME的度数．（2）若∠PMQ＝α，试用含α的式子表示∠AMQ，并说明理由．【思路引导】（1）根

据翻折变换的性质可得：∠EMN＝∠BMN＝70°，再运用平角的定义即可求得答案；（2）由翻折可得：∠PMN＝∠PMQ＝α，∠BMN＝∠NMQ＝2α，再运用平角的定义即可求得答案．【完整解答】解：（1）如图1，∵将长方形纸片ABCD沿着MN翻折，使得点B，C分别落在点E，F

位置，∴∠EMN＝∠BMN＝70°，∴∠AME＝180°﹣（∠EMN+∠BMN）＝180°﹣（70°+70°）＝40°；（2）∠AMQ＝180°﹣4α．理由如下：如图2，∵将△PMN沿着PM翻折，使得点N恰好落在ME延长线上的点Q处，∴∠PMN＝∠PMQ＝α，∴

∠BMN＝∠NMQ＝2α，∴∠AMQ＝180°﹣（∠BMN+∠NMQ）＝180°﹣（2α+2α）＝180°﹣4α．12．（2021秋•泰兴市期末）如图，AD∥EF，∠1+∠2＝180°．请从以下三个条件：①DG平分∠

ADC，②∠C＝∠CAD，③∠B＝∠BAD中选择一个作为条件，使DG∥AB，并说明理由．你选的条件是选①或③（填写序号）．理由：【思路引导】根据平行线的性质和平行线的判定解答即可．【完整解答】解：选①或③，理由：选①：∵AD∥EF，∴∠1+∠EAD＝180°，∵

∠1+∠2＝180°，∴∠EAD＝∠2，∵DG平分∠ADC，∴∠2＝∠ADG，∴∠EAD＝∠ADG，∴DG∥AB；选③：∵AD∥EF，∴∠1+∠BAD＝180°，∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD＝∠2，

∵∠BAD＝∠B，∴∠B＝∠2，∴DG∥AB．故答案为：选①或③．13．（2021秋•永春县期末）如图，已知AB∥CD，点E是直线AB、CD之间的任意一点．锐角∠DCE和钝角∠ABE的平分线所在直线相交于点F．CD与FB交于点N．（1）当∠ECD＝60°和∠ABE＝100°时，求

∠F的度数；（2）若BF∥CE，∠F＝α，求∠ABE的度数（用含α的代数式表示）．【思路引导】（1）过点F作FH//CD，由角平分线的定义可得∠DCM＝∠ECM＝30°，∠ABN＝∠EBN＝50°°，∠NCF＝30°，由平行的传递可得，FH∥AB，所以∠HFB＝∠ABN＝50°，∠HFC＝∠FC

N＝30°，则∠BFC＝20°．（2）由BF∥CE，可得∠ECM＝∠BFM＝α，所以∠DCE＝∠DNB＝2α，因为AB∥CD所以∠ABN＝∠BNC＝2α，结合角平分线的性质可知，∠ABE＝4α．【完整解答】解：如图，过点

F作FH//CD，∵锐角∠DCE和钝角∠ABE的平分线所在直线相交于点F，∠ECD＝60°，∠ABE＝100°，∴∠DCM＝∠ECM＝30°，∠ABN＝∠EBN＝50°°，∴∠NCF＝30°，∵AB∥CD，FH//CD，∴FH∥AB，∴∠HFB＝

∠ABN＝50°，∠HFC＝∠FCN＝30°，∴∠BFC＝20°．（2）如图，∵BF∥CE，∴∠ECM＝∠BFM＝α，∴∠DCE＝∠DNB＝2α，∵AB∥CD∴∠ABN＝∠BNC＝2α，∴∠ABE＝4α．14．（2021秋•沈河区期末）如图，∠ENC+∠CMG＝180°，AB∥CD．（1）求

证：∠2＝∠3．（2）若∠A＝∠1+70°，∠ACB＝42°，则∠B的大小为34°．【思路引导】（1）由对顶角相等得∠FMB＝∠CMG，从而得∠ENC+∠ENC＝180°，则有DE∥FG，可判断∠3＝∠BFG，再由平行线的性质可得∠BFG＝∠2，从而得证∠2＝∠3；（2）由平行线的性质

得∠A+∠ACD＝180°，∠1＝∠B，结合条件即可求解．【完整解答】（1）证明：∵∠ENC+∠CMG＝180°，∠FMB＝∠CMG，∴∠ENC+∠ENC＝180°，∴DE∥FG，∴∠3＝∠BFG，∵AB∥CD，∴∠BFG＝∠2，∴∠2＝∠3；（2）解：∵AB∥CD，∴∠A+∠ACD＝180

°，∠1＝∠B，∵∠A＝∠1+70°，∠ACB＝42°，∴∠1+70°+∠ACB+∠1＝180°，即∠1+70°+42°+∠1＝180°，解得：∠1＝34°，∴∠B＝∠1＝34°．故答案为：34°．15．（2021秋•西峡县期末）如图1，木杆AB与CD平行，木杆的两端

A、C用一条橡皮筋连结，点E是橡皮筋上的一点．（1）观察发现：在图（1）中，直接写出∠A、∠C与∠AEC之间的关系．（2）拓展探究：若将橡皮筋拉成如图2的形状，则∠A、∠C与∠AEC之间的有什么关系？下面是某同学解答该题的

过程，请你填空完善该题的解答过程．解：∠A、∠C与∠AEC之间的关系是：∠AEC＝∠A+∠C．理由如下：过点E作MN∥CD，∵AB∥CD（已知），∴AB∥MN（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠A＝∠AEM（两直线平行，内错角相等）．∵MN∥CD（已

知），∴∠C＝∠CEM（两直线平行，内错角相等）．∵∠AEC＝∠AEM+∠CEM，∴∠AEC＝∠A+∠C（等量代换）．（3）类比探究：若将橡皮筋拉成如图3的形状，类比（2）中的方法探究∠AEC、∠EAB与∠ECD之间有何关系

？并说明理由．【思路引导】（1）根据平行线的性质即可得出答案；（2）利用平行线的性质和判定进行解答即可；（3）延长BA交CE于G，由AB∥CD，得∠EGB＝∠C，再∠EAB是△AEG的外角，则∠EAB＝∠AEC+∠AGE，等量代换即可．【完整解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠A+∠C＝180

°，∵∠AEC＝180°，∴∠A+∠C＝∠AEC；（2）∠A、∠C与∠AEC之间的关系是：∠AEC＝∠A+∠C．理由如下：过点E作MN∥CD，∵AB∥CD（已知），∴AB∥MN（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠A＝∠AEM（两直线平行，内错角相等）．

∵MN∥CD（已知），∴∠C＝∠CEM（两直线平行，内错角相等）．∵∠AEC＝∠AEM+∠CEM，∴∠AEC＝∠A+∠C（等量代换），故答案为：平行于同一条直线的两直线平行，∠A＝∠AEM，MN∥CD，等量代换；（3）∠EAB＝∠AEC+∠ECD

，理由如下：延长BA交CE于G，∵AB∥CD，∴∠EGB＝∠C，∵∠EAB是△AEG的外角，∴∠EAB＝∠AEC+∠AGE，∴∠EAB＝∠AEC+∠ECD．一．选择题1．（2021秋•龙岩期末）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点C落在四边形ABDE的外部时，此时测得∠1

＝106°，∠C＝35°，则∠2的度数为（）A．35°B．36°C．37°D．38°【思路引导】根据折叠性质得出∠C′＝∠C＝35°，根据三角形外角性质得出∠DOC＝∠1﹣∠C＝71°，∠2＝∠DOC﹣∠C′＝71°﹣35°＝36°．

【完整解答】解：如图，设C′D与AC交于点O，∵∠C＝35°，∴∠C′＝∠C＝35°，∵∠1＝∠DOC+∠C，∠1＝106°，∴∠DOC＝∠1﹣∠C＝108°﹣35°＝71°，∵∠DOC＝∠2+∠C′，∴∠2＝∠DOC﹣∠C′＝71°﹣35°＝3

6°．故选：B．2．（2021秋•忠县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AC上一点，将△ABD沿线段BD翻折，使得点A落在A'处，若∠A'BC＝30°，则∠CBD＝（）A．5°B．10°C．15

°D．20°【思路引导】由折叠性质可得∠ABD＝∠A'BD，从而有∠ABC﹣∠CBD＝∠A'BC+∠CBD，则可求解．【完整解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝60°，由折叠性质得：∠ABD＝∠A'BD，∴∠A

BC﹣∠CBD＝∠A'BC+∠CBD，∴60°﹣∠CBD＝30°+∠CBD，解得：∠CBD＝15°．故选：C．3．（2021秋•巴南区期末）如图，点E在长方形ABCD的内部，点F在BC上且不与B、C重合，点G在CD上且不与C、D重合．如果三角形GCF沿直线GF折叠后能与三角形

GEF重合，且FH平分∠BFE，那么（）A．∠GFH是钝角B．∠GFH是锐角C．∠GFH是直角D．∠GFH的大小不能确定【思路引导】根据折叠的性质可以得到△GCF≌△GEF，即∠CFG＝∠EFG，再根据FH平分∠BFE即可求解．【完整解答】解：∵∠CFG＝∠EFG且F

H平分∠BFE．∠GFH＝∠EFG+∠EFH∴∠GFH＝∠EFG+∠EFH＝∠EFC+∠EFB＝（∠EFC+∠EFB）＝×180°＝90°，即∠GFH为直角．故选：C．4．（2021秋•虎林市校级期末）如

图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边AC，BD，CE的中点，且阴影部分图形面积等于4平方厘米，则△ABC的面积为（）A．8平方厘米B．12平方厘米C．16平方厘米D．18平方厘米【思路引导】本题利用中线平分面积这一结论，由F为CE的中点，可以得到△AEC的面积为8

，因为D是AC的中点，可以得到△ADE的面积，同理，得到△ABE和△BEC的面积，问题即可解决．【完整解答】解：∵F为CE的中点，∴EF＝CF，∵阴影部分图形面积等于4平方厘米，∴S△AEC＝2S△AEF＝8平方厘米，∵D是AC的中点，∴AD＝CD，∴

S△AED＝S△CED＝4平方厘米，∵E为BD的中点，∴S△AEB＝S△AED＝4平方厘米，同理，S△BEC＝S△CED＝4平方厘米，∴△ABC的面积为：S△ABE+S△BEC+S△AEC＝4+4+8＝16（平方厘米），故选：C．二．填空题5．（2021秋•泉港区期末）如图，∠C＝90

°，∠CAB＝30°，AD∥BE，∠DAE＝120°．给出以下结论：①∠2＝∠EAB；②CA平分∠DAB；③∠1+∠2＝90°；④BC∥AE．其中正确的结论有①③（写出所有正确结论的序号）．【思路引导】先由∠BAC＝30°、∠C＝90°得到∠

ABC＝60°，从而得到∠ABE+∠2＝120°，然后由AD∥BE、∠DAE＝120°得到∠AEB＝60°，进而得到∠ABE+∠EAB＝120°，从而得到∠2＝∠EAB；再结合∠BAC＝30°、∠DAE＝120°得到∠EAB+∠1＝90°，进而得到∠1+∠2＝90°；由∠1+∠EAB＝90°得到∠

1＝90°﹣∠EAB，然后由∠EAB的度数不固定得到∠1不一定等于30°，即∠1＝∠BAC不一定成立，进而得到CA不一定平分∠DAB；同理可知∠2＝60°不一定成立．【完整解答】解：∵∠BAC＝30°，∠C＝90°，∴∠ABC＝60°，∴∠ABE+∠2＝18

0°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°，∵AD∥BE，∴∠AEB+∠EAD＝180°，∵∠DAE＝120°，∴∠AEB＝60°，∴∠ABE+∠EAB＝180°﹣∠AEB＝180°﹣60°＝120°，∴∠2＝∠EAB，故①正确，符合题意；∵∠BAC＝30°，∠DAE＝120°，∴∠EAB

+∠1＝90°，∵∠EAB＝∠2，∴∠1+∠2＝90°，故③正确，符合题意；∵∠1+∠EAB＝90°，∴∠1＝90°﹣∠EAB，∴∠1的大小随∠EAB的大小变化而变化，∵∠EAB的度数不固定，∴∠1＝30°不一定成立，即∠1＝∠BAC不一定成立，∴AC不一定平分∠DAB，故②错误，不符合题意；同

理可知，∠2＝60°不一定成立，∴BC∥AE不一定成立，故④错误，不符合题意．故答案为：①③．6．（2021秋•渝中区校级期末）如图，长方形纸片ABCD，点E，F分别在AB，BC边上，将纸片沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，然后再次折叠纸片使点F与点B'重合，点C落在点

C'，折痕为GH，若∠C'B'D﹣∠AB'E＝18°，则∠EFC＝144度．【思路引导】根据将纸片沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，得出∠EB′F＝∠B＝90°，∠BFE＝∠B′FE，可得∠AB′E+∠DB′F＝90°，根据四边形ABCD为矩形，得出AD∥BC，可得∠DB′

F＝∠B′FB＝2∠EFB，可求∠AB′E＝90°﹣∠DB′F＝90°﹣2∠EFB，根据GH为对称轴，可得∠C′B′F＝∠CFB′＝180°﹣∠B′FB＝180°﹣2∠EFB，可得∠C′B′D＝∠C′B′F﹣∠FB′D＝180°﹣2∠EFB﹣2∠EFB，根据∠

C′B′D﹣∠AB′E＝18°，列方程180°﹣2∠EFB﹣2∠EFB﹣（90°﹣2∠EFB）＝18°，解方程即可．【完整解答】解：∵纸片沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，∴∠EB′F＝∠B＝90°，∠BFE＝∠B′FE，∴∠AB′E+∠DB′F＝90°．∵四边

形ABCD为矩形，∴AD∥BC．∴∠DB′F＝∠B′FB＝2∠EFB．∴∠AB′E＝90°﹣∠DB′F＝90°﹣2∠EFB．连接B′F，∵再次折叠纸片使点F与点B'重合，点C落在点C'，折痕为GH，∴四边形GHC′B′与四边形GHCF关于EG对称．∴∠C′B′F＝∠CFB′＝180°﹣∠B′

FB＝180°﹣2∠EFB．∵∠C′B′D＝∠C′B′F﹣∠FB′D，∴∠C′B′D＝180°﹣2∠EFB﹣2∠EFB．∵∠C′B′D﹣∠AB′E＝18°，∴180°﹣2∠EFB﹣2∠EFB﹣（90°﹣2∠EFB）＝18°，∴∠EFB＝36°．∴∠EFC＝180°﹣∠E

FB＝144°．故答案为：144．7．（2021秋•青岛期末）如图，ABCD为一长条形纸带，AD∥CB，将ABCD沿EF折叠，C、D两点分别与C′、D'对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为108°．【思路引

导】由题意∠1＝2∠2，设∠2＝x，易证∠DEF＝∠1＝∠FED′＝2x，构建方程即可解决问题．【完整解答】解：由翻折的性质可知：∠DEF＝∠FED′，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠1，∵∠1＝2∠2，∴设∠2＝x，则∠DEF＝∠1＝∠FED′＝2x，∵∠2+∠DEF+∠D'EF

＝180°，∴5x＝180°，∴x＝36°，∴∠AEF＝∠2+∠D'EF＝x+2x＝3x＝108°，故答案为：108°．8．（2021秋•通州区期末）如图，线段AF⊥AE，垂足为点A，线段GD分别交AF、AE于点C，B，连结GF，ED．则∠D+∠G+∠AFG+∠AED的度数为270°．【思

路引导】根据三角形的内角和定理及对顶角的性质可求得∠GCF+∠DBE＝90°，再利用三角形的内角和定理可得∠G+∠F+∠GCF+∠D+∠B+∠DBE＝360°，进而可求解∠D+∠G+∠AFG+∠AED的度数．【完整解答】

解：∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝90°，∴∠ACB+∠ABC＝90°，∵∠GCF＝∠ACB，∠DBE＝∠ABC，∴∠GCF+∠DBE＝90°，∵∠G+∠F+∠GCF＝∠D+∠B+∠DBE＝180°，∴∠G+∠F+∠GCF+

∠D+∠B+∠DBE＝360°，∴∠D+∠G+∠AFG+∠AED＝270°，故答案为：270°．9．（2021秋•渠县期末）如图，已知∠A＝α（0°＜α＜60°，且α≠45°），在∠A的两边上各任取一点，分别记为P，Q，过该两点分别引一条直线，并使得该直线与∠A所在的边夹角也为α，设两条直线交于点

O，则∠POQ的数量应是3α或α或180°﹣α或180°﹣3α．【思路引导】分四种情形分别画出图形，利用三角形内角和定理以及三角形外角的性质求解即可．【完整解答】解：有四种情形：当点O在∠A内部时，①如图：此

时∠POQ＝3α；②如图：此时∠POQ＝180°﹣α；当点O在AQ下方时，③如图：此时∠POQ＝α；当点O在AP上方时，④如图：此时∠POQ＝180°﹣3α；综上所述：∠POQ的数量应是3α或α或180°﹣α或180°﹣3α，故答案为：3α或α或180°﹣α或180°﹣3α，

10．（2021秋•河东区校级期末）如图，AD，CE是△ABC的两条高，它们相交于点P，已知∠BAC的度数为α，∠BCA的度数为β，则∠APC的度数是α+β．【思路引导】利用三角形的内角和定理和三角形的外角性质解决问题即可．【完整解答】解：∠B

＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣（α+β），∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣[180°﹣（α+β）]＝α+β﹣90°，∴∠APC＝∠AEC+∠BAD＝α+β故填α+β．三．解答题11．（2

021秋•江州区期末）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）平移△ABC，使点B平移到对应点B'（﹣3，0），画出△A'B'C'；（2）若点P（a，b）是△ABC内部一点，则平移后△A'B'C'内对应点P'的坐标为（a﹣6，b+4）；（3）求△ABC的面积．【思路引导】（1）

根据平移的性质即可平移△ABC，使点B平移到对应点B'（﹣3，0），进而可以画出△A'B'C'；（2）结合（1）根据平移的性质即可得点P（a，b）平移后△A'B'C'内对应点P'的坐标为；（3）根据网格利用割补法即可求△ABC的面积．【完整解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所

求；（2）∵B（3，﹣4），将点B左移6个单位，上移4个单位顶点点B′（﹣3，0），∴P'（a﹣6，b+4）；故答案为：（a﹣6，b+4）；（3）S△ABC＝4×4﹣2×4﹣2×3﹣1×4＝7．12．（2021秋•泉州期末）当

光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．你可用这一结论解答下列问题．（1）在图（1）中潜望镜的两面镜子AB、CD是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则进入潜望镜的光线EF和离开潜望镜的光线GH是平行

的，请说明理由；（2）如图（2），改变两平面镜AB、CD之间的位置，若镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α，经过两次反射后，∠1＝∠2，∠3＝∠4，仍可以使入射光线EF与反射光线GH平行但方向相反．求α的

度数．（3）拓展应用：如图（3），若镜子AB与BC的夹角α＝110°，镜子CD与BC的夹角∠BCD＝β（90°＜β＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝30°，已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，求

β的度数．【思路引导】（1）根据题意可得AB∥CD，所以∠2＝∠3，由已知∠1＝∠2，∠3＝∠4．可得∠EFG＝∠HGF，进而可以说明EF∥GH．（2）由平行线的性质得出∠FEG+∠HGE＝180°，根据

平角的定义得出∠1+∠2+∠FEG+∠3+∠4+∠EGH＝180°+180°＝360°，进而得到∠2+∠3＝90°，再根据三角形的内角和即可得解．（3）分两种情况画图讨论：①当n＝3时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及△GCH内角和，可得β＝180°﹣∠CGH﹣∠GHC．②当n＝2

时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°，与题意不符；则只能在CD边反射后与EF平行，根据三角形外角定义，可得β＝∠G+∠GBC，由EF∥HK，且由（2）的结论可得，β＝90°+70°＝160°．【完整

解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4，即：∠EFG＝∠FGH，∴EF∥GH．（2）如题图（2），∵EF∥GH，∴

∠FEG+∠EGH＝180°，∴∠1+∠2+∠FEG+∠3+∠4+∠EGH＝180°+180°＝360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴2（∠2+∠3）＝180°，∴∠2+∠3＝90°，∵∠AB

C+∠2+∠3＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠2﹣∠3＝180°﹣90°＝90°，即α的度数为90°．（3）①当n＝3时，如图所示：∵∠BEG＝∠1＝30°，α＝110°，∴∠BGE＝∠CGH＝180°﹣110°﹣30°

＝40°，∴∠FEG＝180°﹣2∠1＝120°，∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝100°，由EF∥HK，过点G作GM∥EF，∴GM∥HG，∴∠FEG+∠EGM＝∠MGH+∠KHG＝180°，∴∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°，∴∠GHK

＝360°﹣120°﹣100°＝140°，则∠GHC＝20°，∴β+∠CGH+∠GHC＝180°，∴β＝180°﹣40°﹣20°＝120°．②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°，与题意不符；则只能在CD边反射后与EF平行，如图所示：β+∠

GCB＝∠G+∠GBC+∠GCB＝180°，∴β＝∠G+∠GBC，由EF∥HK，且由（2）的结论可得：∠G＝90°，又∵∠GBC＝180°﹣α＝180°﹣110°＝70°，∴β＝90°+70°＝160°．综上所述：β的度

数为：120°或160°．13．（2021秋•孝义市期末）综合与探究数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，将含30°的三角尺COD的直角顶点O放在直线AB上，三角尺COD中，∠COD＝90°，∠C＝60°，∠D＝30°．过点O作射线OE．（1）∠AOC的补

角是∠BOC，∠COE的余角是∠EOD；（直接写出答案）（2）如图2，“启航”小组根据学习几何积累的活动经验：特殊的位置可以得到特殊的结论，在图1的基础上继续展开探究，他们提出的问题是：调整三角尺的位置，当OD平分∠BOE时，OC平分∠AOE．请你证明启航小组提出的问题；（3）如图3，受到“启航”

小组的启发，“睿智”小组提出的问题是：在图2的基础上，继续调整三角尺的位置，当OE平分∠BOC时，∠AOC与∠DOE有怎样的数量关系？请说明理由．【思路引导】（1）根据互为余角、互为补角的意义，可以得出结论；（2）根据角平分线性质得出结论；（3）根

据角平分线性质得出结论．【完整解答】解：（1）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠AOC的补角是∠BOC；∵∠COD＝90°，∴∠COE+∠EOD＝90°，∴∠COE的余角是∠EOD；故答案为：∠BOC，∠EOD；（2）∵∠COD＝90°，∴∠COE+∠EOD＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝

180°﹣∠COD＝90°，∵OD平分∠BOE，∴∠EOD＝∠BOD，∴∠COE＝∠AOC，∴OC平分∠AOE；（3）∵OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠COE，又∵∠AOC＝180°﹣∠BOC，∴∠AOC＝180°﹣2∠COE，∵∠COD＝90°，∴∠DOE+∠COE＝90

°，∴∠DOE＝90°﹣∠COE，∴2∠DOE＝180°﹣2∠COE，∴∠AOC＝2∠DOE．14．（2021秋•东坡区期末）如图，已知AB∥CD，直线MN分别交AB、CD交于点E、F，且∠NEB＝58°．（1）求∠CFE的度数．（2）若EG⊥AB，E

H平分∠NEG与CD相交于点H，求∠BEH的度数．【思路引导】（1）先由∠NEB＝58°求得∠AEN＝122°，然后由AB∥CD得到∠CFE＝∠AEN＝122°；（2）先由EG⊥AB得到∠BEG＝90°，再由∠NEB＝58°得到∠NEG＝148°，然后由EH平分∠NEG得到∠NEH的度数，最

后求得∠BEH的度数．【完整解答】解：（1）∵∠NEB和∠AEN是邻补角，∠NEB＝58°，∴∠AEN＝180°﹣∠NEB＝122°，∵AB∥CD，∴∠AEN＝∠CFE＝122°．（2）∵EG⊥AB，∴∠BEG＝90°，∴∠NEG＝∠NEB+∠BEG＝58°+90

°＝148°，∵EH平分∠NEG，∴∠NEH＝∠NEG＝×148°＝74°，∵∠NEB＝58°，∴∠BEH＝∠NEH﹣∠NEB＝74°﹣58°＝16°．15．（2021秋•沙坪坝区期末）如图，AB∥CD，点E是AB上一点，连结CE．（

1）如图1，若CE平分∠ACD，过点E作EM⊥CE交CD于点M，试说明∠A＝2∠CME；（2）如图2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度数；（3）如图3，过点E作EM⊥CE交∠DCE的平分线于点M，MN⊥CM交AB于点N，CH⊥AB，垂足为H．若∠

ACH＝∠ECH，请直接写出∠MNB与∠A之间的数量关系．【思路引导】（1）利用平行线的性质和角平分线的定义分别计算∠A与∠CME，即可得出结论；（2）过点F作FM∥AB，利用平行线的性质和角平分线的定义和（1）的结论解答即可；（3）延长CM交AN的延长线于点F，设∠ACH＝x

，则∠ECH＝2x，ECM＝∠DCM＝y，利用垂直的定义得到x+y＝45°；利用三角形的内角和定理分别用x，y的代数式表示出∠MNB与∠A，计算∠MNB+∠A即可得出结论．【完整解答】（1）证明：∵EM⊥CE，∴∠CEM＝90°．∵∠AEC+∠CEM+∠BEM＝180°，∴∠AEC+∠BE

M＝90°．∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠ECD，∠CME＝∠BEM．∴∠ECD+∠CME＝90°．∴2∠ECD+2∠CME＝180°．∵CE平分∠ACD，∴ACD＝2∠ECD．∴∠ACD+2∠CME＝180°．∵AB∥CD，∴∠ACD+∠A＝

180°．∴∠A＝2∠CME．（2）解：过点F作FM∥AB，如图，∵AB∥CD，∴FM∥AB∥CD．∴∠AFM＝∠BAF，∠CFM＝∠DCF．∴∠AFM+∠CFM＝∠BAF+∠DCF．即∠AFC＝∠BAF+∠DC

F．∵AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，∴∠CAB＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF．∴∠CAB+∠DCE＝2（∠BAF+∠DCF）＝2∠AFC．∵∠AFC＝70°，∴∠CAB+∠DCE＝140°．∵AB∥CD，

∴∠CAB+∠ACE+∠DCE＝180°．∴∠ACE＝180°﹣（∠CAB+∠DCE）＝180°﹣140°＝40°．（3）∠MNB与∠A之间的数量关系是：∠MNB＝135°﹣∠A．延长CM交AN的延长线于点F，如图，∵MN⊥CM，∴∠NMF＝90°．∴∠MNB＝90°﹣∠F．同理：∠HCF

＝90°﹣∠F．∴∠MNB＝∠HCF．∵∠ACH＝∠ECH，∴设∠ACH＝x，则∠ECH＝2x．∵CM平分∠DCE，∴设∠ECM＝∠DCM＝y．∴∠MNB＝∠HCF＝2x+y．∵AB∥CD，CH⊥AB，∴CH⊥CD．∴∠HCD＝90°．∴∠ECH+∠EC

D＝90°．∴2x+2y＝90°．∴x+y＝45°．∵CH⊥AB，∴∠A＝90°﹣∠ACH＝90°﹣x．∴∠A+∠MNB＝90°﹣x+2x+y＝90°+x+y＝135°．∴∠MNB＝135°﹣∠A．获得

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