【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第50讲 双曲线（讲） Word版含解析.docx，共(10)页，185.047 KB，由小赞的店铺上传

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第50讲双曲线思维导图知识梳理1．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线

的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．3．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)范

围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴线段A1A2，

B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca＝1＋b2a2∈(1，＋∞)e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大.渐近线y＝±baxy＝±abxa，b，c的关系a2＝c2－b2题型归纳题型1双曲线的标准方程【例1-1】已知双曲线C：x2

a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±34x，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C的标准方程为()A.x29－y216＝1B.x216－y29＝1C.x23－y24＝1D.x24－y23＝1【解析】选B由题意得ba＝34，c2＝a2＋b2＝25

，所以a＝4，b＝3，所以所求双曲线的标准方程为x216－y29＝1.【例1-2】与椭圆x24＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线标准方程是()A.x24－y2＝1B.x22－y2＝1C.x23－y23＝1D．x2－y22＝1【解析

】选B法一：椭圆x24＋y2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，因为双曲线过点P(2,1)，所以4a2－1b2＝1，又a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线标准方程是x22－y2＝1.法二：设所

求双曲线标准方程为x24－λ＋y21－λ＝1(1<λ<4)，将点P(2,1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线标准方程为x22－y2＝1.【例1-3】经过点P(3,27)，Q(

－62，7)的双曲线的标准方程为____________．【解析】设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因为所求双曲线经过点P(3,27)，Q(－62，7)，所以9m＋28n＝1，72

m＋49n＝1，解得m＝－175，n＝125.故所求双曲线标准方程为y225－x275＝1.【答案】y225－x275＝1【跟踪训练1-1】焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线y24－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．【解析】设所求

双曲线的标准方程为y24－x2＝－λ(λ>0)，即x2λ－y24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x25－y220＝1.【答案】x25－y220＝1【跟踪训练1-2】过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐

近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为________________．【解析】因为渐近线y＝bax与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且(4－a)2＋b2＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方

程为x24－y212＝1.【答案】x24－y212＝1【名师指导】求双曲线标准方程的2种方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝

1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．题型2双曲线的定义及其应用【例2-1】(1)(2019·河南安阳三模)设双曲线C：x2

8－y2m＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C交于M，N两点，其中M在左支上，N在右支上．若∠F2MN＝∠F2NM，则|MN|＝()A．8B．4C．82D．42(2)(2019·河北廊坊省级示范校三联)设F1，F2分别为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>

0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线交双曲线C的左支于A，B两点，且|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AB|＝4，则△BF1F2的面积为________．(3)已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________

．【解析】(1)由∠F2MN＝∠F2NM可知，|F2M|＝|F2N|，由双曲线定义可知，|MF2|－|MF1|＝42，|NF1|－|NF2|＝42，两式相加得，|NF1|－|MF1|＝|MN|＝82.(2)∵|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|B

F1|＝2a，∴|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a＝3＋5－4＝4，∴a＝1，∴|BF1|＝3，又|AF2|2＋|AB|2＝|BF2|2，∴∠F2AB＝90°，∴sinB＝35，∴S△BF1F2＝12×5×3

×sinB＝12×5×3×35＝92.(3)因为F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，所以F(－4,0)，设其右焦点为H(4,0)，则由双曲线的定义可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝4＋5＝9.

【答案】(1)C(2)92(3)9【跟踪训练2-1】已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC内切圆的圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程是()A.x24－y221＝1(x＞2)B.y24－x221＝1(y＞2)C.x221－y24＝1D.y24－x22＝1【解析】选A

如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.|AG|＝|AE|＝7，|BF|＝|BG|＝3，|CE|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝7－3＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，

方程为x24－y221＝1(x>2)．【跟踪训练2-2】已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.【解析】由双曲线的定义有|PF1|－|P

F2|＝2a＝22，|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝42，|PF2|＝22，则cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.【答案】34【名师指导】双曲线定义的应用策略(

1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<

|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．题型3双曲线的简单几何性质【例3-1】(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若F

1A―→＝AB―→，F1B―→·F2B―→＝0，则C的离心率为________．【解析】法一：双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±bax，∵F1B―→·F2B―→＝0，∴F1B⊥F2B，∴点B在⊙O：x2

＋y2＝c2上，如图所示，不妨设点B在第一象限，由y＝bax，x2＋y2＝c2，得点B(a，b)，a2＋b2＝c2，x>0∵F1A―→＝AB―→，∴点A为线段F1B的中点，∴Aa－c

2，b2，将其代入y＝－bax得b2＝－ba×a－c2.解得c＝2a，故e＝ca＝2.法二：如图，由F1A―→＝AB―→知A为线段F1B的中点，∵O为线段F1F2的中点，∴OA∥F2B，∵F1B―→·F2B―→＝0，

∴F1B⊥F2B，∴OA⊥F1A且∠F1OA＝∠OF2B，∵∠BOF2＝∠AOF1，∴∠BOF2＝∠OF2B，又易知|OB|＝|OF2|＝c，∴△OBF2为正三角形，可知ba＝tan60°＝3，∴e＝ca＝1＋b2a2＝2.法三：如图，设∠AOy＝α，则∠BOy＝α，∵F1A―→＝

AB―→，∴A为线段F1B的中点，又∵O为线段F1F2的中点，∴OA∥BF2，∴∠OBF2＝2α.过B作BH⊥OF2，垂足为H，则BH∥y轴，则有∠OBH＝α，∴∠HBF2＝α，易得△OBH≌△F2BH，∴|OB|＝|BF2|，∵F2B―→·F1B―→＝0，∴BF1⊥BF2，又O

为F1F2的中点，∴|OB|＝|OF2|＝c，∴△OBF2为正三角形．∴∠BOF2＝60°，则ba＝tan60°＝3，∴e＝ca＝1＋b2a2＝2.【答案】2【例3-2】(2019·武汉调研)已知双曲线C：x2m2－y2n2＝1(m＞0，n＞0)的离心率与椭

圆x225＋y216＝1的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为()A．4x±3y＝0B．3x±4y＝0C．4x±3y＝0或3x±4y＝0D．4x±5y＝0或5x±4y＝0【解析】由题意知，椭圆中a＝5，b＝4，∴椭圆的离心率e＝1－b2a2＝35，∴双曲线的离心率为1＋n2m2＝53，∴nm＝

43，∴双曲线的渐近线方程为y＝±nmx＝±43x，即4x±3y＝0.故选A.【答案】A【例3-3】(2020·广东湛江一模)设F为双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点，过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A，B两点，O为坐标原

点，四边形OAFB为菱形，圆x2＋y2＝c2(c2＝a2＋b2)与E在第一象限的交点是P，且|PF|＝7－1，则双曲线E的方程是()A.x26－y22＝1B.x22－y26＝1C.x23－y2＝1D．x2－y23＝1【解析】双曲线E：x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±bax，∵

四边形OAFB为菱形，∴对角线互相垂直平分，∴c＝2a，∠AOF＝60°，∴ba＝3.则有x2a2－y23a2＝1，x2＋y2＝c2＝4a2，解得P72a，32a.∵|PF|＝7－1，∴72a－2a2＋32a2＝(7－1)2

，解得a＝1，则b＝3，故双曲线E的方程为x2－y23＝1.故选D.【答案】D【跟踪训练3-1】(2020·福建厦门一模)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的

两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为()A．y＝±3xB．y＝±33xC．y＝±2xD．y＝±12x【解析】选B设双曲线的另一个焦点为F′，由双曲线的对称性，可得四边形AFBF′是矩形，∴S△ABF＝S△ABF′，即bc＝8，

由x2＋y2＝c2，x2a2－y2b2＝1可得y＝±b2c，则|MN|＝2b2c＝2，即b2＝c，∴b＝2，c＝4，∴a＝c2－b2＝23，∴C的渐近线方程为y＝±33x，故选B.【跟踪训练3-

2】(2019·天津高考)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A.2B.3C

．2D.5【解析】选D由已知易得，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线l：x＝－1，所以|OF|＝1.又双曲线的两条渐近线的方程为y＝±bax，不妨设点A－1，ba，B－1，－ba，所以|AB|＝2ba＝4|OF|＝4，所以ba＝2，即b＝2a，所以

b2＝4a2.又双曲线方程中c2＝a2＋b2，所以c2＝5a2，所以e＝ca＝5.故选D.【跟踪训练3-3】已知M(x0，y0)是双曲线C：x22－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若MF1―→·MF2―→<0，则y0的取值范围是________．【解析

】由题意知a＝2，b＝1，c＝3，设F1(－3，0)，F2(3，0)，则MF1―→＝(－3－x0，－y0)，MF2―→＝(3－x0，－y0)．∵MF1―→·MF2―→<0，∴(－3－x0)(3－x0)＋y20<0，即x20－3＋y20<0.∵点M(x0，y0)在双

曲线C上，∴x202－y20＝1，即x20＝2＋2y20，∴2＋2y20－3＋y20<0，∴－33<y0<33.【答案】－33，33【名师指导】1.求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b

2和e＝ca转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)；2.求渐近线时，利用c2＝a2＋b2转化为关于a，b的方程．双曲线渐近线的斜率与离心率的关系：k＝±ba＝±c2－a2a＝±c2a

2－1＝±e2－1；3.求双曲线的方程时，将已知条件中的双曲线的几何性质和几何关系转化为关于a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2，列出未知参数的方程，解方程后即可求出双曲线方程.4.求解双曲线的几何性质问题，其通用的方法是利用方程思想解题，

其思维流程是：