【文档说明】北京师范大学附属实验中学2020-2021学年高二12月月考数学试题 【精准解析】.doc，共(20)页，1.530 MB，由小赞的店铺上传

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北师大附属实验中学2020-2021学年第一学期12月月考高二数学试卷2020.12.17第一部分(选择题共40分)一、选择题10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若()11+=−zii，则z=（）A

.1–iB.1+iC.–iD.i【答案】D【解析】【分析】先利用除法运算求得z，再利用共轭复数的概念得到z即可.【详解】因为21(1)21(1)(1)2iiiziiii−−−====−++−，所以zi=.故选：D【点晴】

本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.2.在5(2)x−的展开式中，2x的系数为（）．A.5−B.5C.10−D.10【答案】C【解析】【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定2x的系数即可.【详解】()52x

−展开式的通项公式为：()()()55215522rrrrrrrTCxCx−−+=−=−，令522r−=可得：1r=，则2x的系数为：()()11522510C−=−=−.故选：C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两

步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的

指数，再求所求解的项．3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A.120种B.90种C.60种D.30种【答案】C【解析】【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详解

】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060CC==种.故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.4.已知正方体1

111ABCDABCD−中，11114AEAC=，若1()AExAAyABAD=++，则（）A.1x=，12y=B.12x=，y=1C.1x=，13y=D.1x=，14y=【答案】D【解析】【分析】由空间

向量的运算法则化简得到11()4AEAAABAD=++，即可求解.【详解】由空间向量的运算法则，可得11111111()44AEAAAEAAACAAABAD=+=+=++，因为1()AExAAyABAD=++，所以11,4xy==.故选：D.5.设

aR，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析

：运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线

平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．6.已知m，n是两条不同直线，，β是两个不同平面，则（）A.m∥，m⊥n，则n⊥B.m⊥，m

⊥n，则n∥C.m，n，m∥β，n∥β，则∥βD.m∩n=A，m∥，n∥，m∥β，n∥β，则∥β【答案】D【解析】【分析】根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系进行判断可得答案.【详解】对于A，若m∥，m⊥n，则可能有//n，故A不正确；对于B，若m⊥，m⊥n，

则n∥或n，故B不正确；对于C，若m，n，m∥β，n∥β，则只有在,mn相交的条件下才有∥β，故C不正确；对于D，因为m∩n=A，所以直线,mn确定一个平面，记为.因为m∥，n∥，且,mn相交，所以//，同理//，又因为，β是两个不同平面，所以//

，故D正确.故选：D7.在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若=1ACBC，则点C的轨迹为（）A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线【答案】A【解析】【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨

迹方程即可.【详解】设()20ABaa=，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：()(),0,,0AaBa−，设(),Cxy，可得：()(),,,ACxayBCxay→→=+=−，从而：()()2ACBCxaxay→→=+−+，结合题意可得：()()21xaxay+−+

=，整理可得：2221xya+=+，即点C的轨迹是以AB中点为圆心，21a+为半径的圆.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.长方体1111ABCDABCD−中12,1ABAAAD===，E为1CC的中点，则异

面直线1BC与AE所成角的余弦值为（）A.1010B.3010C.21510D.31010【答案】B【解析】【分析】建立Dxyz−空间直角坐标系，分别写出1BC、AE向量，利用cos〈1BCAE，〉＝11||AEBCAE

BC即可求出答案.【详解】建立坐标系如图所示．则A(1，0，0)，E(0，2，1)，B(1，2，0)，C1(0，2，2)，1BC＝(－1，0，2)，AE＝(－1，2，1)．cos〈1BCAE，〉＝11||AEBCAE

BC＝3010.故选：B.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为3010.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值.属于基础题.求异面直线所成角的两种思路：一、将异面直线平移到同一个平面，在同一个平面内求出线线角即为异面直线所成角.二、建立空间直角坐标系，写出直线的方向向量，利用co

s,,ababab=即可解出异面直线所成角.9.设12,FF是双曲线22:13yCx−=的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且||2OP=，则12PFF△的面积为（）A.72B.3C.52D.2【答案】B【解析】【分析】由12FFP是以P为直角直角三角形

得到2212||||16PFPF+=，再利用双曲线的定义得到12||||2PFPF−=，联立即可得到12||||PFPF，代入12FFPS=△121||||2PFPF中计算即可.【详解】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)FF−，则1,2ac==，因为12122OPFF==

，所以点P在以12FF为直径的圆上，即12FFP是以P为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||PFPFFF+=，即2212||||16PFPF+=，又12||||22PFPFa−==，所以2124||||PFPF=−=2212||||2PFPF+−12||||162PFPF=−12

||||PFPF，解得12||||6PFPF=，所以12FFPS=△121||||32PFPF=故选：B【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.10.已知点,EF分别是正方体1111ABCDABCD−的棱1

,ABAA的中点，点,MN分别是线段1DE与1CF上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有（）条A.0B.1C.2D.无数个【答案】B【解析】【分析】设正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，以C为原点建立空间直

角坐标系，利用向量法求出与平面ABCD垂直的直线MN只有1条．【详解】解：设正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，以C为原点建立空间直角坐标系，则1(2D，0，2)，(1E，2，0)，1(1DE=−，2，2)−，1(0C，0，2)，(2F，2，1)，1(2CF=，2，1)−，设1

1DMDE=，则(2M−，2，22)−，设11CNtCF=，则(2Nt，2t，2)t−，(22MNt=−+，22t−，2)t−，直线MN与平面ABCD垂直，22022020ttt−+=−=−，解得23t==，方程组只有唯一的一组解，与平面ABCD

垂直的直线MN有1条．故选：B．【点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系，主要是直线与平面平行的判断和面面平行的判定与性质，考查空间想象能力和简单推理能力．第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.i是虚数单位，则51ii−+的值为_________

_.【答案】13【解析】【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．【详解】5(5)(1)23131(1)(1)iiiiiii−−−==−=++−．【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题.12.设双曲线C：22221xyab−=(a>0，b>0)的一条渐近

线为y=2x，则C的离心率为_________．【答案】3【解析】【分析】根据已知可得2ba=，结合双曲线中,,abc的关系，即可求解.【详解】由双曲线方程22221xyab−=可得其焦点在x轴上，因为其一条渐近线为2yx=，所以2ba=，2213cbeaa==+=.故答案为：3【点睛】本题考

查的是有关双曲线性质，利用渐近线方程与离心率关系是解题的关键，要注意判断焦点所在位置，属于基础题.13.斜率为3的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则AB=________．【答案】163【解析】【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线

焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【详解】∵抛物线的方程为24yx=，∴抛物线的焦点F坐标为(1,0)F，又∵直线AB过焦点F且斜率为3，∴直线AB

的方程为：3(1)yx=−代入抛物线方程消去y并化简得231030xx−+=，解法一：解得121,33xx==所以212116||1||13|3|33ABkxx=+−=+−=解法二：10036640=−=设1122(,),(,)AxyBxy，则1210

3xx+=,过,AB分别作准线1x=−的垂线，设垂足分别为,CD如图所示.12||||||||||11ABAFBFACBDxx=+=+=+++1216+2=3xx=+故答案为：163【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.14.把5件不同产品摆成一排，若

产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，则不同的摆法有____________种.【答案】36【解析】【详解】试题分析：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有种摆法，故满足条件的摆法有种.考

点：排列组合，容易题.15.曲线C是平面内与两个定点F1(-1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面

积不大于212a.其中，所有正确结论的序号是___________.【答案】②③【解析】【分析】由题意曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2（a＞1），利用直接法，设动点坐标为（x，y），及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．【

详解】对于①，由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及两点间的距离公式的得：()()2222211xyxya++−+=⇔[（x+1）2+y2]•[（x﹣1）2+y2]＝a4将原点代入验证，此方程不过原点，所以①错；对于②，把方程中的x被﹣x代换，y被

﹣y代换，方程不变，故此曲线关于原点对称．②正确；对于③，由题意知点P在曲线C上，则△F1PF2的面积1212121122FPFSPFPFsinFPF==a2sin∠F1PF212a2，所以③正确．故答案为：②③．【点睛】关键点点睛：利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判

断曲线的对称性，利用解析式选择换元法求出值域．三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，点E是PD的中点.（1）求证：AC⊥PB；

（2）求证：PB∥平面AEC.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）证明AC⊥平面PAB，即得证；（2）连接BD交AC于O，连接EO.证明OE∥PB，即得证.【详解】（1）证明：∵P

A⊥平面ABCD，AC平面ABCD∴PA⊥AC又AC⊥AB，且PA、AB为平面PAB内的相交直线，∴AC⊥平面PAB，又PB平面PAB，∴AC⊥PB（2）证明：连接BD交AC于O，连接EO.∵平行四边形AB

CD∴AC与BD相互平分，即O为BD中点又E为PD中点∴OE∥PB∵EO为平面AEC内直线，PB不在平面AEC内，∴PB∥平面AEC【点睛】方法点睛：空间直线、平面平行垂直位置关系的判定和证明一般有两种方法.方法一（几何法）：线线平行垂直

线面平行垂直面面平行垂直，它体现的主要是一个转化的思想.方法二（向量法）：它体现的是数学的转化的思想和向量的工具性.17.已知点(2,0)P及圆C：226440xyxy+−++=.（1）求圆心C的坐标及半径r的大小；（2）设过点Р的直线1l与圆C交于M，N两点，当4MN=

时，求以线段MN为直径的圆Q的方程；（3）设直线10axy−+=与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点(2,0)P的直线2l垂直平分弦AB?若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）圆心坐标为(3,2)−，半径3r=；（2）22(2)4xy−+=；（

3）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）将圆的一般方程转化为标准方程，即可得解；（2）利用两点间的距离公式求出5=CP，再根据弦长公式求得弦心距5d=，从而知P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为12MN，根据

圆心和半径写出圆的方程即可；（3）利用反证法证明即可．【详解】（1）因为226440xyxy+−++=，所以22(3)(2)9xy−++=所以圆C的圆心坐标为(3,2)−，半径3r=.（2）由（1）知(3,2)C−，(2,0)P，由两点之

间距离得5=CP，设圆心C到直线1l的距离为d，由圆的弦长公式得2294d−=，解得5d=.即5dCP==，P为MN的中点，所以以MN为直径的圆Q，即圆心坐标为()2,0，半径为122MN=，故以MN为直径的圆Q的方程为：()2224xy−+=

．（3）假设过点(2,0)P的直线2l垂直平分弦AB，则直线2l必过圆心(3,2)−，220232lk−−==−−，直线10axy−+=的斜率为12，即220xy-+=.圆心()3,2C−到直线220xy-+=的距离134235d++=，此时直线10ax

y−+=与圆C相离，与题设矛盾，故假设不成立，所以，不存在实数a使得过点(2,0)P的直线，垂直平分弦AB.【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆综合问题，常见类型及解题策略（1）直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．（2）圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的

距离等于半径，从而建立关系解决问题．18.已知椭圆C1：22221xyab+=(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=43|AB|．（1）求C

1的离心率；（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．【答案】（1）12；（2）1C：2211612xy+=，2C：28yx=.【解析】【分析】（1）根据题意求出2C的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设,A

C在第一象限，运用代入法求出,,,ABCD点的纵坐标，根据4||||3CDAB=，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；

【详解】解：（1）因为椭圆1C的右焦点坐标为：(c,0)F,所以抛物线2C的方程为24ycx=，其中22cab=−.不妨设,AC在第一象限，因为椭圆1C的方程为：22221xyab+=，所以当xc=时，有2222

21cybyaba+==，因此,AB的纵坐标分别为2ba，2ba−；又因为抛物线2C的方程为24ycx=，所以当xc=时，有242yccyc==，所以,CD的纵坐标分别为2c，2c−，故22||bABa=，||4CDc=.由4||||3CDAB=得2843bca=，即2322()

ccaa=−，解得2ca=−（舍去），12ca=.所以1C的离心率为12.（2）由（1）知2ac=，3bc=，故22122:143xyCcc+=，所以1C的四个顶点坐标分别为(2,0)c，(2,0)c−，(0,3)c，(0,3)c−，2C的准线为xc=−.由已知得3

12cccc+++=，即2c=.所以1C的标准方程为2211612xy+=，2C的标准方程为28yx=.【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数

学运算能力.19.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1，中，B1B上平面A1B1C1，AC=CB=CC1=2，∠ACB=90°，D，E分别是A1B1，CC1的中点.（1）求证：平面A1BE上平面AA1B1B；（2）求直线BC1与平面A1BE所成角的正弦值.【答案】（1）

证明见解析；（2）36.【解析】【分析】（1）取AB的中点F，连结DF，交A1B于点M，证得C1D⊥A1B1和BB1⊥C1D，得到C1D⊥平面AA1B1B，进而得到EM上平面AA1B1B，即可得到平面A1BE⊥平面AA1B1B.（2）以1

,,CACBCC所在的直线分别为,,xyz轴，建立的空间直角坐标系，求得向量1BC和平面1ABE的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）取AB的中点F，连结DF，交A1B于点M，可知

M为DF中点，连结EM，易知四边形C1DME为平行四边形，所以C1D∥EM.，因为A1C1=C1B1，且D是A1B1的中点，所以C1D⊥A1B1，因为BB1⊥平面A1B1C1，所以BB1⊥C1D，所以C1D⊥平面AA1B1B，又C1

D∥EM，所以EM上平面AA1B1B.又EM∈平面A1BE，所以平面A1BE⊥平面AA1B1B.（2）以1,,CACBCC所在的直线分别为,,xyz轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，则B(0，2，

0)，C，(0，0，2)，E(0，0，1)，4，(2，0，2)，11(0,2,2),(2,0,1),(0,2,1)BCEAEB=−==−，设平面1ABE的法向量为(,,)nxyz=，则100EAnEBn==，可得2020xzyz+=−=，令1x=，可得则(1,1,2)n=−

−，设向量n与1BC的夹角为θ，则113cos6BCnBCn==−所以直线BC1与平面A1BE所成角的正弦值为36.【点睛】利用空间向量计算二面角的常用方法：1、法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际

图形判断所求角的大小；2、方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.20.如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3

．E为PD的中点，点F在PC上，且13PFPC=．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；（Ⅲ）设点G在PB上，且23PGPB=．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)33；

(Ⅲ)见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；(Ⅲ)首先求得点G的坐标，然后结合平面AEF的法向量和直线A

G的方向向量可判断直线是否在平面内.【详解】(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，则PA⊥CD，由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.(Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直

角坐标系Axyz−，易知：()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,2,0APCD，由13PFPC=可得点F的坐标为224,,333F，由12PEPD=可得()0,1,1E，设平面AEF的法向量为：(),,mxyz=，则()()()224224,,,,033

3333,,0,1,10mAFxyzxyzmAExyzyz==++===+=，据此可得平面AEF的一个法向量为：()1,1,1m=−，很明显平面AEP的一个法向量为()1,0,0n=r，13co

s,331mnmnmn===，二面角F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为33.(Ⅲ)易知()()0,0,2,2,1,0PB−，由23PGPB=可得422,,333G−，则422,,333AG=−，注意到平面AEF的一个法向量为：()

1,1,1m=−，其0mAG=且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内.21.已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的离心率为22，且过点()2,1A．（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AMAN⊥，ADMN⊥，

D为垂足．证明：存在定点Q，使得DQ为定值．【答案】（1）22163xy+=；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）由题意得到关于,,abc的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；（2）设出点M，N的坐标，在斜率存在时设方程为ykxm=+,联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已

得到,mk的关系，进而得直线MN恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q的位置.【详解】（1）由题意可得：2222222411caababc=+==+，解得：226,3ab==，故

椭圆方程为：22163xy+=.(2)设点()()1122,,,MxyNxy，若直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为：ykxm=+，代入椭圆方程消去y并整理得：()22212k4260xkmxm+++−=，可得12

2414kmxxk+=−+，21222614mxxk−=+，因为AMAN⊥，所以·0AMAN=，即()()()()121222110xxyy−−+−−=，根据1122,kxmykxmy=+=+,代入整理可得：()

()()()22121212140xxkmkxxkm++−−++−+=，所以()()()22222264121401414mkmkkmkmkk−++−−−+−+=++，整理化简得()()231210kmkm+++−=，因

为2,1A（）不在直线MN上，所以210km+−，故2310km++=，1k于是MN的方程为2133ykx=−−，1k所以直线过定点直线过定点21,33P−，当直线MN的斜率不存在时，可得()11,Nxy−，由·0AMAN=得：()

()()()111122110xxyy−−+−−−=，得()1221210xy−+−=，结合2211163xy+=可得：2113840xx−+=，解得：123x=，或22x=，当22x=时与A横坐标重合舍去，此时直线MN过点21,33P−，令Q为A

P的中点，即41,33Q，若D与P不重合，则由题设知AP是RtADP的斜边，故12223DQAP==，若D与P重合，则12DQAP=，故存在点41,33Q，使得DQ为定值.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用AMAN⊥得·0AMAN=，

转化为坐标运算，需要设直线MN的方程，点()()1122,,,MxyNxy，因此需要讨论斜率存在与不存在两种情况，当直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为：ykxm=+，与椭圆方程联立消去y可12xx+，12xx代入·0AMAN=即可，当直线MN的斜率不存在时，可得()

11,Nxy−，利用坐标运算以及三角形的性质即可证明，本题易忽略斜率不存在的情况，属于难题.