【文档说明】山东省菏泽一中2020届高三下学期在线数学试题含解析【精准解析】.doc，共(27)页，2.386 MB，由小赞的店铺上传

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高三数学试题第I卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数12,zz在复平面内对应的点分别为(1,1),(0,1)，则12zz=（）A.1i

+B.1i−+C.1i−−D.1i−【答案】D【解析】【分析】由已知条件可得12,zz，然后代入12zz，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】∵复数12,zz在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1），∴1z＝1+i，2z＝i．∴12zz()2111iiiii

i−++===−−．故选D．【点睛】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.已知集合(1,3]A=−，201xBxx+=−，则AB=（）A.[2,1)−B.(]1,1−C.(1,1)−D.[2,3]−【答案】C

【解析】【分析】对集合B进行化简，然后根据集合的交集运算，得到答案.【详解】201xBxx+=−，解201xx+−，得21x-?，所以)2,1B=−因为(1,3A=−，所以()1,1AB=−，故选：C.【点睛】本题考查解分式不

等式，集合的交集运算，属于简单题.3.在二项式521xx−的展开式中，含4x的项的系数是（）．A.10−B.5−C.10D.5【答案】C【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的

指数为4求得．【详解】解：对于251031551()()(1)rrrrrrrTCxCxx−−+=−=−，对于10﹣3r＝4，∴r＝2，则x4的项的系数是C52（﹣1）2＝10故选C．点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的

命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1CrnrrrnTab−+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.4.“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游

），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们

中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（）A.59B.49C.716D.916【答案】B【解析】【分析】有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n＝34＝81，他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m2343CA==36，则可得他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率．

【详解】从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n＝34＝81，他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m2343CA==36，则他们中有且仅有2人领取的礼

品种类相同的概率是p364819mn===．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合中的分组分配等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.已知点()2,4M在抛物线C:22ypx=(0p)上,点M到抛物线C的焦点的距离是()

A.4B.3C.2D.1【答案】A【解析】【分析】将点()2,4M的坐标代入抛物线方程，求出4p=，即得焦点(2,0)F，利用抛物线的定义，即可求出．【详解】由点()2,4M在抛物线22ypx=上，可得164p=，解得4p=，即抛物线2:8Cyx=，焦点坐标(2,0)F，准线方程为2x=−．所以，

点M到抛物线C焦点的距离为：()224−−=．故选：A．【点睛】本题主要考查抛物线的定义和简单性质的应用，属于基础题．6.在ABC中,2ABACAD+=,20AEDE+=,若EBxAByAC=+,则()A.2yx=B.2yx=−C.2xy=D.2xy=−【答案】D【解

析】【分析】依题可得，点D为边BC的中点，2AEDE=−，从而可得出1()6DEABAC=−+，1()2DBABAC=−，2133EBABAC=−，从而可得出21,33xy==−，即可得到2xy=−．【详解】如图所示：∵2ABACAD+=，∴点D为边BC的中点

，∵20AEDE+=，∴2AEDE=−，∴11()36DEADABAC=−=−+，又11()22DBCBABAC==−，∴1121()()2633EBDBDEABACABACABAC=−=−++=−．又EBxAByAC=+，∴21,33xy==−，即2xy=−．故选

：D．【点睛】本题主要考查向量加法的平行四边形法则，向量减法的三角形法则，向量的线性运算，平面向量基本定理等知识的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．7.已知双曲线C:22221xyab−=,(0a,0b)的左､右焦点分别为1F,2F,O为坐标原点,P是双

曲线在第一象限上的点,1222PFPFm==,(0m),212PFPFm=,则双曲线C的渐近线方程为()A.12yx=B.22yx=C.yx=D.2yx=【答案】D【解析】【分析】利用双曲线的定义求出2ma=，由向量的数量积，可求出12FP

F，利用余弦定理可得,ac的关系式，结合222cab=+，即可求出．【详解】因为122PFPFa−=，1222PFPFm==可得2ma=，由212PFPFm=可得21242cos4aaFPFa=，所以1260

FPF=，即有222214416242122caaaaa=+−=，即22223caba=+=，所以2ba=，所以双曲线的渐近线方程为：2yx=．故选：D．【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的

定义,向量数量积的定义以及余弦定理的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．8.已知奇函数()fx是R上增函数,()()gxxfx=则()A.233231log224ggg−−

B.233231log224ggg−−C.23323122log4ggg−−D.23323122log4ggg−−【答案】B【解析】【分析】根据

定义，可判断出()gx为偶函数，根据其导数可得出，0x时，函数()gx单调递增，0x时，函数()gx单调递减，再利用奇偶性将三个函数值转化到同一个单调区间上的函数值，即可比较出大小．【详解】由奇函数()fx是R上的增函数，可得()0f

x，以及当0x时，()0fx，当0x时，()0fx，由()()gxxfx=，则()()()()gxxfxxfxgx−=−−==，即()gx为偶函数．因为()()()gxfxxfx=+，所以当0x时，()0gx，当0x时，()0gx．故0x时，函数()

gx单调递增，0x时，函数()gx单调递减．因为()331loglog44gg=，2303232221log4−−=所以233231log224ggg−−．故选：B．【点

睛】本题主要考查利用函数的奇偶性和单调性，比较大小，涉及指数函数，对数函数的性质以及利用导数研究函数单调性，意在考查学生的转化能力和逻辑推理能力，属于中档题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四

个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的0分.9.如图,正方体1111ABCDABCD−的棱长为1,则下列四个命题正确的是()A.直线BC与平面11ABCD所成的角等于4B.点C到面11ABCD的距离为22C.两条异面直线1DC和1BC所成的角为4D.三

棱柱1111AADBBC−外接球半径为32【答案】ABD【解析】【分析】根据线面角的定义及求法，点面距的定义，异面直线所成角的定义及求法，三棱柱的外接球的半径求法，即可判断各选项的真假．【详解】正方体1111ABCDABCD

−的棱长为1，对于A，直线BC与平面11ABCD所成的角为14CBC=，故选项A正确；对于B，因为1BC⊥面11ABCD，点C到面11ABCD的距离为1BC长度的一半，即22h=，故选项B正确；对于C，因为11//BCAD，所以异面直线1DC和1BC所成的角为1ADC，而1ADC为等

边三角形，故两条异面直线1DC和1BC所成的角为3，故选项C错误；对于D，因为11111,,AAABAD两两垂直，所以三棱柱1111AADBBC−外接球也是正方体1111ABCDABCD−的外接球，故222111322r++==，故选项D正确．故选：ABD．【

点睛】本题主要考查线面角的定义以及求法，点面距的定义以及求法，异面直线所成角的定义以及求法，三棱柱的外接球的半径求法的应用，属于基础题．10.要得到cos2yx=的图象1C,只要将sin23yx=+图象2C怎样变化得到()A.将

sin23yx=+的图象2C沿x轴方向向左平移12个单位B.将sin23yx=+的图象2C沿x轴方向向右平移1112个单位C.先作2C关于x轴对称图象3C,再将图象3C沿x轴方向向右

平移512个单位D.先作2C关于x轴对称图象3C,再将图象3C沿x轴方向向左平移12个单位【答案】ABC【解析】【分析】根据三角函数的变换法则，即可判断各选项是否可以变换得到．【详解】对于A，将sin23yx

=+图象2C沿x轴方向向左平移12个单位，可得sin2sin2cos21232yxxx=++=+=的图象1C，故选项A正确；对于B，将sin23yx=+的图象2C沿x轴方向向

右平移1112个单位也可得到，113sin2sin2cos21232yxxx=−+=−=的图象1C，故选项B正确；对于C，先作2C关于x轴对称，得到sin23yx=−+的图象3C，再将图象3C沿x轴方向向右平移512个单位，得到5sin

2sin2cos21232yxxx=−−+=−−=的图象1C，故选项C正确；对于D，先作2C关于x轴对称，得到sin23yx=−+的图象3C，再将图象3C沿x轴方向向左平移12个单位，得到的sin2sin2cos21232yx

xx=−++=−+=−图象，故选项D不正确．故选：ABC．【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换和伸缩变换法则的应用，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，以及逻辑推理能力，属于基础题．11.已

知集合()()=,Mxyyfx=,若对于()11,xyM,()22,xyM,使得12120xxyy+=成立,则称集合M是“互垂点集”.给出下列四个集合:()21,1Mxyyx==+;()2,1Mxyyx==+

;()3,xMxyye==;()4,sin1Mxyyx==+.其中是“互垂点集”集合的为()A.1MB.2MC.3MD.4M【答案】BD【解析】【分析】根据题意知，对于集合M表示的函数图象上的任意点()11,Pxy，

在图象上存在另一个点P，使得OPOP⊥，结合函数图象即可判断．【详解】由题意知，对于集合M表示的函数图象上的任意点()11,Pxy，在图象上存在另一个点P，使得OPOP⊥．在21yx=+的图象上，当P点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P，所以1M不是

“互垂点集”集合；对1yx=+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以在2M中的任意点()11,Pxy，在2M中存在另一个P，使得OPOP⊥，所以2M是“互垂点集”集合；在xye=的图象

上，当P点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P，所以3M不是“互垂点集”集合；对sin1yx=+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以所以4M是“互垂点集”集合，故选：BD．

【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．12.德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”

()1,0,RxQyfxxCQ==其中R为实数集,Q为有理数集.则关于函数()fx有如下四个命题,正确的为()A.函数()fx是偶函数B.1x,2RxCQ,()()()1212fxxfxfx+=+恒成立C.任取一个不为零的有理数T,()()fxTfx+

=对任意的xR恒成立D.不存在三个点()()11,Axfx,()()22,Bxfx,()()33Cxfx，,使得ABC为等腰直角三角形【答案】ACD【解析】【分析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可．【详解】对于A，若xQ，则xQ−

，满足()()fxfx=−；若RxCQ，则RxCQ−，满足()()fxfx=−；故函数()fx为偶函数，选项A正确；对于B，取12,RRxCQxCQ==−，则()()1201fxxf+==，()()120fxfx+=，故选项B错误；对于C，若xQ，则xTQ+，满足()()

fxfxT=+；若RxCQ，则RxTCQ+，满足()()fxfxT=+，故选项C正确；对于D，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：①直角顶点A在1y=上，斜边在x轴上，此时点B，点C的横坐标为无理数，则BC中点的横坐标仍然为无理数，那么点A的横

坐标也为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立；②直角顶点A在1y=上，斜边不在x轴上，此时点B的横坐标为无理数，则点A的横坐标也应为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立；③直角顶点A在x轴上，斜边在1

y=上，此时点B，点C的横坐标为有理数，则BC中点的横坐标仍然为有理数，那么点A的横坐标也应为有理数，这与点A的纵坐标为0矛盾，故不成立；④直角顶点A在x轴上，斜边不在1y=上，此时点A的横坐标为无理数，则点B的横坐标也应为无理数，这与点B的纵坐标为1矛

盾，故不成立．综上，不存在三个点()()11,Axfx，()()22,Bxfx，()()33Cxfx，，使得ABC为等腰直角三角形，故选项D正确．故选：ACD．【点睛】本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想

的能力以及逻辑推理能力，属于难题．第II卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线0xya−+=与圆22:2oxy+=相交于A，B两点（O为坐标原点），且AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为__________；【答案】2【

解析】【分析】根据直角三角形的性质与垂径定理求得圆心O到直线0xya−+=的距离,再用公式求解即可.【详解】由题,因为AOB为等腰直角三角形,故22ABOA==,故圆心O到直线0xya−+=的距离22212

d=−=.即()221211aa==+−.故答案为：2【点睛】本题主要考查了根据直线与圆相交求参数的问题,重点在于垂径定理的运用.属于基础题.14.已知直线2yx=+与曲线ln()yxa=+相切

，则a=【答案】3【解析】【分析】设切点为（x0，y0），求出函数y＝ln（x+a）的导数为y'＝1xa+，得k切＝01xa+＝1，并且y0＝x0+2，y0＝ln（x0+a），进而求出a．【详解】设切点为（x0，y0），由题意可得：曲线的方程为y＝l

n（x+a），所以y'＝1xa+．所以k切＝01xa+＝1，并且y0＝x0+2，y0＝ln（x0+a），解得：y0＝0，x0＝﹣2，a＝3．故答案为3．【点睛】本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属

于基础题.15.2019年7月,中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录,标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,实证了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间Ｔ(单位:

年)的衰变规律满足573002TNN−=(0N表示碳14原有的质量),则经过5730年后,碳14的质量变为原来的______;经过测定,良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的37至12,据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到______年之间.

(参考数据:lg20.3,lg70.84,lg30.48)【答案】(1).12(2).6876【解析】【分析】把5730T=代入573002TNN−=，即可求出；再令3573072T−，两边同时取以2为底的对数，即可求出T的范围．【详解】∵573002TN

N−=，∴当5730T=时，100122NNN−==，∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12，由题意可知：3573072T−，两边同时取以2为底的对数得：5730223log2log7T−，∴3lglg3lg771.25730lg2lg2T

−−=−，6876T，∴推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间．故答案为：12；6876．【点睛】本题主要考查了对数的运算，以及利用对数函数的单调性解不等式，属于基础题．16.已知ABC的顶点A平面,点B,C在平面异侧,且2AB=,3AC=,

若AB,AC与所成的角分别为3,6,则线段BC长度的取值范围为______.【答案】7,13【解析】【分析】由题意画出图形，分别过,BC作底面的垂线，垂足分别为1B，1C，根据()222111111274BCBBBCCCBC=++=+可

知，线段BC长度的最大值或最小值取决于11BC的长度，而111111ABACBCABAC−+，即可分别求出BC的最小值与最大值．【详解】如图所示：分别过,BC作底面的垂线，垂足分别为1B，1C．由已知可得，13BB=

，132CC=，11AB=，132AC=．∵1111BCBBBCCC=++，()22222221111111111111132723344BCBBBCCCBBBCCCBBCCBCBC=++=+++=+++=+而111111ABACBCABAC−+，∴当AB，AC所

在平面与垂直，且,BC在底面上的射影1B，1C，在A点同侧时，BC长度最小，此时111131122BCABAC=−=−=，BC最小为2127724+=；当AB，AC所在平面与垂直，且,BC在底面上的射影1B，1C，在A点异侧时，BC

长度最大，此时111135122BCABAC=+=+=，BC最大为25271324+=．∴线段BC长度的取值范围为7,13．故答案为：7,13．【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角的定义以及应用，向量数量积的应用，意在考查学生的直观想象

能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在①3(cos)sinbCacB−=；②22cosacbC+=；③sin3sin2ACbAa+=这三个条件中任选一个，补充

在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________________，23,b=4ac+=，求ABC的面积.【答案】横线处任填一个都可以，面积为3．【解析】【分析】无论选哪一个，都先由正弦定理化边为角后，由诱导公式sinsin()A

BC=+，展开后，可求得B角，再由余弦定理2222cosbacacB=+−求得ac，从而易求得三角形面积．【详解】在横线上填写“3(cos)sinbCacB−=”.解：由正弦定理，得3(sincossin)sinsinBCACB−=.

由sinsin()sincoscossinABCBCBC=+=+，得3cossinsinsinBCCB−=.由0C，得sin0C.所以3cossinBB−=.又cos0B（若cos0B=，则sin0,B=22sincos0BB+=这与22sincos1BB+=矛盾）

，所以tan3B=−.又0B，得23B=.由余弦定理及23b=，得2222(23)2cos3acac=+−，即212()acac=+−.将4ac+=代入，解得4ac=.所以1sin2ABCSacB=△13422=3=.在横线上填写“22co

sacbC+=”.解：由22cosacbC+=及正弦定理，得2sinsin2sincosACBC++=.又sinsin()sincoscossinABCBCBC=+=+，所以有2cossinsin0BCC+=.因为(0,)C，所以sin0C.从而有1cos2B=−又(0,)B，所

以23B=由余弦定理及23b=，得2222(23)2cos3acac=+−即212()acac=+−.将4ac+=代入，解得4ac=.所以113sin43222ABCSacB===.在横线上填写“sin3sin2ACbAa+=”解：由正弦定理，得

sinsin3sinsin2BBAA−=.由0A，得sinA，所以sin3cos2BB=由二倍角公式，得2sincos3cos222BBB=.由022B，得cos02B，所以3sin22B=.所以23B=，即23B=.由余弦定理

及23b=，得2222(23)2cos3acac=+−.即212()acac=+−.将4ac+=代入，解得4ac=.所以1sin2ABCSacB=△13422=3=.【点睛】本题考查三角形面积公式，考查正弦定理、余弦定理，两角和的正弦公式等，正弦

定理进行边角转换，求三角形面积时，①若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．18.设数列

na的前n项和为nS,已知11a=,121nnSS+−=,nN.(1)证明:1nS+为等比数列,求出na的通项公式;(2)若nnnba=,求nb的前n项和nT,并判断是否存在正整数n使得1250nnTn−=+成立?若存在求出所有

n值;若不存在说明理由.【答案】(1)证明见解析,12nna-=;(2)不存在,理由见解析.【解析】【分析】(1)根据等比数列的定义即可证明1nS+为等比数列，再根据nS和na的关系11,1,2nnnSnaSSn−==−，即可求出na的通项

公式；(2)根据12nnnnnba−==，可采取错位相减法求出nb的前n项和nT，然后代入1250nnTn−=+得，2260nn−−=，构造函数()226xfxx=−−(1x)，利用其单调性和零点存在性定理即可判断是否存在．【详解】(1)∵121

nnSS+−=∴()1121nnSS++=+，*nN因为111aS==，所以可推出10nS+．故1121nnSS++=+，即1nS+为等比数列．∵112S+=，公比为2∴12nnS+=，即21n

nS=−，∵1121nnS−−=−，当2n时，112nnnnaSS−−=−=，11a=也满足此式，∴12nna-=；(2)因为12nnnnnba−==，01112222nnnT−=+++∴121122222nnnT=+

++，两式相减得:011111122222222nnnnnnT−+=+++−=−即1242nnnT−+=−，代入1250nnTn−=+，得2260nn−−=．令()226xfxx=−−(1x)，()2ln210xfx=−在)1,x+成立，∴()226xf

xx=−−，()1,x+为增函数，而()()540ff，所以不存在正整数n使得1250nnTn−=+成立．【点睛】本题主要考查等比数列的定义的应用以及其通项公式的求法，错位相减法，构造函数法，零点存在性定理等的应用，意在考查学生的

数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题．19.《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qiandu);阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie

nao)指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵111ABCABC−中,ABAC⊥.(1)求证:四棱锥11BAACC−为阳马;(2)若12CCBC==,当鳖膈1CABC−体积最大时,求锐二面角11CABC−−的余弦值.【答案】

(1)证明见解析;(2)155.【解析】【分析】(1)按照题目定义，只要证明AB⊥面11ACCA即可，而由1AAAB⊥，ABAC⊥即可证出AB⊥面11ACCA；(2)先根据基本不等式求出当2ABAC==时，鳖膈1CABC−体积最大，然后建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量法即可求出锐二面角

11CABC−−的余弦值．【详解】(1)∵1AA⊥底面ABC，ABÌ面ABC∴1AAAB⊥又ABAC⊥，1AAACA=I∴AB⊥面11ACCA，又四边形11ACCA为矩形∴四棱锥11BAACC−为阳马．(2)∵ABAC⊥，2BC=，∴224AB

AC+=又∵1AA⊥底面ABC，∴111132CABCVCCABAC−=221123323ABACABAC+==当且仅当2ABAC==时，113CABCVABAC−=取最大值∵ABAC⊥，

1AA⊥底面ABC∴以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系()2,0,0B，()0,2,0C，()10,0,2A()12,0,2AB=−uuur，()2,2,0BC=−，()110,2,0AC=uuuur设面1ABC的一个法向量()1111,,nxyz=由111

00nABnBC==得()122,1n=ur同理得()22,0,1n=uur∴12121215cos,5||||nnnnnn==uruururuururuur二面角11CABC−−的余弦值为155．

【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理的应用，基本不等式的应用，以及向量法求二面角的余弦值，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于中档题．20.李克强总理在2018年政府工作报告指出，要加快建设创新型国家，把握世界新一轮科技革命和产业变革

大势，深入实施创新驱动发展战略，不断增强经济创新力和竞争力.某手机生产企业积极响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌.为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数

据(),(1,2,,6)iixyi=，如表所示：单价x（千元）345678销量y（百件）7065625956t已知611606iiyy===.（1）若变量,xy具有线性相关关系，求产品销量y（百件）关于试

销单价x（千元）的线性回归方程ˆˆˆybxa=+；（2）用（1）中所求的线性回归方程得到与ix对应的产品销量的估计值iy.当销售数据(),iixy对应的残差的绝对值ˆ1iiyy−时，则将销售数据(),iixy称

为一个“好数据”.现从6个销售数据中任取3个子，求“好数据”个数的分布列和数学期望()E.（参考公式：线性回归方程中ˆˆ,ba的估计值分别为1221ˆˆˆ,)niiiniixynxybaybxxnx=−=−==−−.【答案】(1

)ˆ482yx=−+(2)见解析【解析】【分析】(1)根据所给数据，先计算出t，计算1niiixy=，nxy，21niix=，2nx代入公式求ˆb，再由ˆˆaybx=−求ˆa即可(2)利用回归方程计算销量的预测值，找到4个“好数据”：(3,70)、(4,65)、(5,62)、(6,59)，于

是可写出的所有可能取值为1,2,3，计算即可.【详解】（1）由611606iiyy===，可求得48t=，故11910niiixy==，=1980nxy，21199niix==，2=181.5nx，代入可得122119101980704199

181.517.5niiiniixynxybxnx==−−−====−−−，ˆˆ6045.582aybx=−=+=，所以所求的线性回归方程为ˆ482yx=−+．（2）利用（1）中所求的线性回归方程ˆ482yx=−

+可得，当13x=时，170y=；当24x=时，266y=；当35x=时，362y=；当46x=时，458y=；当57x=时，554y=；当68x=时，650y=．与销售数据对比可知满足||1(1,2,,6)iiyyi−=

的共有4个“好数据”：(3,70)、(4,65)、(5,62)、(6,59)于是的所有可能取值为1,2,31242361(1)5CCPC===，2142363(2)5CCPC===，3042361(3)5CCPC===，∴的分布列为：123P153515

所以1311232555E=++=．【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求法，运用，离散型随机变量的分布列、期望，属于中档题.21.给定椭圆C:22221xyab+=(0ab),称圆心在原点O,半径为22ab+的圆是椭圆C的“卫星圆”

.若椭圆C的离心率22,点()2,2在C上.(1)求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程;(2)点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点,过点P作直线1l,2l使得1l⊥2l,与椭圆C都只有一个交点,且1l,2l分别交其“卫星圆”于点M,N,

证明:弦长MN为定值.【答案】(1)22184xy+=,2212xy+=;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据题意列出2222421caab=+=再结合222abc=+即可解出22a=，2b=，从而得到椭圆C的方程和其“卫星圆”方程；(2)根据1l⊥2l分类讨论，当有一条直线

斜率不存在时(不妨假设1l无斜率)，可知其方程为22x=或22x=−，这样可求出43MN=；当两条直线的斜率都存在时，设经过点()00,Pxy与椭圆只有一个公共点的直线为()00ytxxy=−+，与椭圆方程联立，由0=可得()22001222003281

23281648648xyttxx−−−===−−−，所以线段MN应为“卫星圆”的直径，即43MN=，故得证．【详解】(1)由条件可得:2222421caab=+=解得22a=，2b=所以椭圆的方程为22184xy+=，卫星圆的方程为2212xy+=(2)

①当1l，2l中有一条无斜率时，不妨设1l无斜率，因为1l与椭圆只有一个公共点，则其方程为22x=或22x=−，当1l方程为22x=时，此时1l与“卫星圆”交于点()22,2和()22,2−，此时经过点()22,2()22,2−且与椭圆只

有一个公共点的直线是2y=或2y=−，即2l为2y=或2y=−，∴12ll⊥∴线段MN应为“卫星圆”的直径，∴43MN=②当1l，2l都有斜率时，设点()00,Pxy，其中220012xy+=，设经过点()00

,Pxy与椭圆只有一个公共点的直线为()00ytxxy=−+，则，()0022184ytxytxxy=+−+=消去y得到()()()2220000124280txtytxxytx++−+−−=，∴()2220000648163280xtxyty=−++−=∴()22

00122200328123281648648xyttxx−−−===−−−所以121tt=−，满足条件的两直线1l，2l垂直．∴线段MN应为“卫星圆”的直径，∴43MN=综合①②知：因为1l，2l

经过点()00,Pxy，又分别交“卫星圆”于点MN，且1l，2l垂直，所以线段MN是“卫星圆”220012xy+=的直径，∴=43MN为定值．【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，两直线垂直的斜率关系的应用，韦达定理的应用，意在考查学生运用分类讨论

思想的意识以及数学运算能力，属于中档题．22.已知函数()ln2sinfxxxx=−+,()fx为()fx的导函数.(1)求证:()fx在()0，上存在唯一零点;(2)求证:()fx有且仅有两个不同的零点.【答案】(1)证明见解析;(2

)证明见解析.【解析】【分析】(1)设()()112cosgxfxxx==−+，然后判断函数()gx在(0,)上的符号，得出()gx的单调性，再利用零点存在定理判断()gx在(0,)上是否存在唯一零点即可；(2)分(0,)x，),2x，和)2,

x+三种情况分别考虑()fx的零点存在情况，从而得证．【详解】(1)设()()112cosgxfxxx==−+，当()0,x时，()212sin0gxxx=−−，所以()gx在()0,上单调递减，又因为31103g=−+，2102g=−所以

()gx在,32上有唯一的零点，所以命题得证．(2)①由(1)知：当()0,x时，()0fx，()fx在()0,上单调递增;当(),x时，()0fx，()fx在(

),上单调递减;所以()fx在()0,上存在唯一的极大值点32所以()ln2202222ff=−+−又因为2222111122sin220feeee=−−+−−+所以()fx在()

0,上恰有一个零点．又因为()ln20f=−−所以()fx在(),上也恰有一个零点．②当),2x时，sin0x，()lnfxxx−设()lnhxxx=−，()110hxx=−所以()hx在),2上单调递减，所以()()0hxh所以当),2x

时，()()()0fxhxh恒成立所以()fx在),2上没有零点．③当)2,x+时，()ln2fxxx−+设()ln2xxx=−+，()110xx=−所以()x在)2,+上单调递减

，所以()()20x所以当)2,x+时，()()()20fxx恒成立所以()fx在)2,+上没有零点．综上，()fx有且仅有两个零点．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，零点存在性定理的应用，

以及放缩法的应用，意在考查学生运用分类讨论思想的能力，转化能力，数学运算能力，逻辑推理能力，属于较难题．