【文档说明】浙江省宁波市2022-2023学年高三下学期4月二模试题 数学 含答案.docx，共(13)页，677.201 KB，由管理员店铺上传

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宁波市2022学年第二学期高考模拟考试高三数学试卷说明：本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。1．若集合{13},28xAxxBx=−=∣，则AB=（）A．(2,4)−B．(2,3)−C．(0,4)D．(0,3)2．设i为虚数单位，若复数z满足3ii1iz−=−，则z的虚部为（）A．2−B．1−C．1D．23．设随机变量

服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若(0)Pp=，则(01)P与()D分别为（）A．11,22p−B．1,2pC．11,24p−D．1,4p4．己知非零向量,ab满足||||||ab

ab+=−，则（）A．||||abb+B．||||aba−C．||||abab+−D．()()0abab+−5．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为36寸，盆底直径为12寸，盆深18寸．若某次下雨盆中积水的深度

恰好是盆深的一半，则平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积）（）A．53寸B．2寸C．73寸D．3寸6．已知函数π()sin(0)4fxx=+的图象关于直线π8x=对称，且()fx在π0,6上没有最

小值，则的值为（）A．2B．4C．6D．107．设椭圆2222:1(0)xyabab+=的右焦点为(,0)Fc，点(3,0)Ac在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为

12−，则椭圆的离心率为（）A．12B．22C．32D．138．己知函数311()3,()()1(2)nnfxxxfxfxn−=−=−，则2023()fx的零点个数为（）A．2023B．2025C．2027D．2029二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．根据某地3月5日到3月15日的每天最高气温与最低气温数据（单位：°C）绘制如下折线图，那么下列叙述正确的是（）A．5号到11号的最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关B．9号的最高气温与最低气温的差值最大C．最高气温的

众数为27CD．5号到15号的最低气温的极差比最高气温的极差大10．己知函数()fx与()gx及其导函数()fx与()gx的定义域均为R，()fx是偶函数，()gx的图象关于点(1,0)对称，则（）A．[(1)][(1)]gfgf−=B．[

(3)][(1)]fgfg=−C．(3)(1)fgfg=−D．(1)(1)gfgf−=11．已知SO⊥平面于点O，A，B是平面上的两个动点，且ππ,64OSAOSB==，则（）A．SA与SB所成的角可能为π3B．SA与OB所成的角可能为π6C．

SO与平面SAB所成的角可能为π6D．平面SOB与平面SAB的夹角可能为π212．三支不同的曲线()|1|0,1,2,3iiyaxai=−=交抛物线24yx=于点,(1,2,3)iiABi=，F为抛物线的焦点，记iiAFB△的面积为iS，下列说法正确的是（）A．11

(1,2,3)iiiFAFB+=为定值B．112233ABABAB∥∥C．若1232SSS+=，则1232aaa+=D．若2123SSS=，则2123aaa=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数(1)xyaa=在区间[1,2

]上的最大值与最小值的差为2，则a=__________．14．写出一个半径为1，且与圆221xy+=和圆22(2)(2)1xy−+−=均外切的圆的方程__________．15．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是

偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈“1→4→2→1”．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数6m=，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个

步骤变成1（简称为8步“雹程”）．猜想的递推关系如下：已知数列na满足1am=（m为正整数），1,,231,nnnnnaaaaa+=+当当为奇数.为偶数若62a=，则m所有可能取值的集合为_

__________．16．正四面体ABCD的棱长为3，P在棱AB上，且满足3BABP=，记四面体ABCD的内切球为球1O，四面体PBCD的外接球为球2O，则12OO=_________．四、解答题：本题共6小

题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1abbc−=−=．（I）若4a=，求sinA；（Ⅱ）若ABC△的最大角为最小角的2倍，求a的值

．18．（12分）盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机属性．某品牌推出2款盲盒套餐，A款盲盒套餐包含4款不同单品，且必包含隐藏款X；B款盲盒套餐包含2款不同单品，有50%的可能性出现隐藏款X．为避免盲目购买与黄牛囤积，每人每天只能购买

1件盲盒套餐．开售第二日，销售门店对80名购买了套餐的消费者进行了问卷调查，得到如下列联表：A款盲盒套餐B款盲盒套餐合计年龄低于30岁183048年龄不低于30岁221032合计404080（I）根据22列联表，判断是否有99%的把握认为A

，B款盲盒套餐的选择与年龄有关；（Ⅱ）甲、乙、丙三人每人购买1件B款盲盒套餐，记随机变量为其中隐藏款X的个数，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）某消费者在开售首日与次日分别购买了A款盲盒套餐与B款盲盒套餐各1件，并将6件单品全部打乱放在一

起，从中随机抽取1件打开后发现为隐藏款X，求该隐藏款来自于B款盲盒套餐的概率．附：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++，P（20Kk）0.1000.0500.0250.0100.0010k2.

7063.8415.0246.6350.82819．（12分）如图，在四棱锥PABCD−中，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD．（I）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）设22PAADAB===，ABAD⊥，ADBC∥，平面

PBC与平面PCD的夹角的余弦值为255，求BC的长．20．（12分）己知等比数列na的前n项和nS满足()*11NnnaSn+=+．（I）求首项1a的值及na的通项公式；（Ⅱ）设()123*222222logNnnnabnaaaa+

=，求满足2023nnab−的最大正整数n的值．21．（12分）已知双曲线2222:1xyEaa−=，点(0,2)D与双曲线上的点的距离的最小值为3．（I）求双曲线E的方程；（Ⅱ）直线:lykxm=+与圆22:(

2)1Cxy++=相切，且交双曲线E的左、右支于A，B两点，交渐近线于点M，N．记DAB△，OMN△的面积分别为12,SS，当12847SS−=时，求直线l的方．22．（12分）已知函数2()lnfxxax=−．（I）讨论函数()fx的单调性：（Ⅱ）若12,xx是方程()0

fx=的两不等实根，求证：（i）22122exx+；（ii）12e2xxa．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B2．D3．C4．D5．C6．A7．B8．C二、选择题：本题共4小

题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．AC10．ABC11．AC12．AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．214．22(2)1xy−+=或22(2)1x

y+−=（填一个即可）15．{1,8,10,64}16．62四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（I）当4a=时，32bc==，，在ABC△中，由余弦定理，得22294161cos22324bcaAbc+−+

−===−，2分所以215sin1cos4AA=−=．4分（Ⅱ）由已知，最大角为角A，最小角为角C，即2AC=，由正弦定理得sinsinaAcC=，即2cosaCc=，6分又222cos2abcCab+−=，所以22222aa

bccab+−=，8分将1,2baca=−=−，代入上式得2(1)(3)(1)(2)aaaaa−=+−−，9分解得6a=．10分18．（I）零假设为：0H：A，B款盲盒套餐的选择与年龄之间无关联．根据列联表中的数据，经计算得2280(18103022)7.56.6354

8324040K−==，根据小概率值00.01k=的独立性检验，推断0H不成立，即有99%的把握认为A，B款盲盒套餐的选择与年龄有关．4分（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2，3，3333012

3333311131311(0),(1),(2),(3)28282828PCPCPCPC============，所以的分布列为：0123P18383

81813313()012388882E=+++=（或13()322E==）．8分（Ⅲ）设事件A：随机抽取1件打开后发现为隐藏款X，设事件1B：随机抽取的1件单品来自于A款盲盒套餐，设事件2B：随机抽取的1件单品来自于B款盲盒套餐，

()()()()1122412111()646224PAPBPABPBPAB=+=+=∣∣，故由条件概率公式可得()()()()2222111211()344PBPABPABPBAPA====∣∣．10分19．（I）如图，在平面ABCD中取一点E，并过点E作直线aA

D⊥，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，a平面ABCD，所以a⊥平面PAD，因为PA平面PAD，所以PAa⊥；同理，过点E作直线bAB⊥，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB=，b平面ABCD，所以

b⊥平面PAB，因为PA平面PAB，所以PAb⊥；因为abE=，ab，平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD．5分（Ⅱ）由（I）及ABAD⊥，如图，以A为原点，AD，AB，AP方向分别为x轴，y轴，z轴

正向，建立空间直角坐标系，设BCt=，则(0,1,0),(2,0,0),(0,0,2),(,1,0)BDPCt，所以(0,1,2),(2,0,2),(,0,0),(2,1,0)PBPDBCtDCt=−=−==−，7分设平面PBC的法向量为()111,,mxyz

=，由00mPBmBC==得(0,2,1)m=，设平面PCD的法向量为()222,,nxyz=，由00nPDnDC==得(1,2,1)nt=−，10分由题知||25||||5mnmn=，即

2|52|25552(2)tt−=+−，解得14t=，所以BC的长为14．12分20．（I）解法1：当2n时，11nnaS−=+，则11nnnnaaSS+−−=−，即12(2)nnaan+=，因为数列na是等比数列，所以公比为2，2分当1n=时，211aa=+，

即1121aa=+，所以11a=，且212aa=满足题意，4分所以na的通项公式为12nna−=．5分解法2：由题知，2131211aaaaa=+=++，即11211111aqaaqaaq=+=++①②，由①111qa=+代入②，得()211111121

aaaa+=++，解得112aq==或110aq=−=．（舍去），所以na的通项公式为12nna−=．5分（Ⅱ）由（I）得2122nna−=，所以22log21nna=−，所以()()1211222222222loglogloglog212121

21nnnnnbaaaa++=−+++=−−−+−++−()121221112nnnn+−=+−−=+−，8分由2023nnab−得12(1)2023nn−−+，即122024nn−−，令1()2nfnn−=−，则()11(1)()2(1

)221nnnfnfnnn−−+−=−+−−=−，所以()fn在2n时单调递增，且(2)(1)0ff==，10分而1011(11)21110132024,(12)21220362024ff=−==−=，所以满足条件的最

大正整数11n=．12分21．（I）设(,)Pxy是双曲线上的任意一点，则2222222||(2)2442(1)2DPxyyyaya=+−=−++=−++，2分所以当1y=时，2||DP的最小值为22a+，所以223a+=

，得21a=，所以双曲线E的方程为221xy−=．4分（Ⅱ）由直线:lykxm=+与圆22:(2)1Cxy++=相切得2|2|11mk+=+，由直线交双曲线的左、右支于A，B两点，设()()1122,,,AxyBxy，得()()()2222222211221112

10,410,01xymkxmkxmmkxxkykxm−=+−−−+==+−=−=+，可得(22,3][1,22)m−−−−−+6分（注：解得(22,22m−−−+扣1分）()2222

12241||111mkABkxxkk+−=+−=+−，点(0,2)D到AB的距离12|2|1mdk−=+，故1121(2)42||242mmSABdmm−−−==−−−，8分设()()3344,,,MxyNxy，联立方程组()22222012

0xykxmkxmykxm−=−−−==+，22222343412222224,,,||11111mkmmmxxxxMNkxxkkkk−−=+===+−=+−−−，点O到MN的距离221mdk−=+，故22221||242mSMNdmm==−−−，10分

当12847SS−=时，222(2)428442427mmmmmmm−−−−=−−−−−−，整理得()24(2)425847mmmm−−−=−−，即4(2)42(52)(2)7mmmm−−−=+−2124327242(52

)200258810,7450mmmmmmm−−−=+++==−=−（舍去），所以34k=，所以直线方程为3344yx=−．12分22．（I）2112()2axfxaxxx−=−=，当0a时，()0,()fxfx在(0,)+上

单调递增；2分当0a时，由()0fx得202axa，由()0fx得22axa，所以()fx在20,2aa上单调递增，在2,2aa+上单调递减．4分（Ⅱ）因为12,xx是方程2ln0xax−=的两不等实根，即12,xx是

方程22ln20xax−=的两不等实根，令2(0)txt=，则221122,txtx==，即12,tt是方程ln2tat=的两不等实根，令ln()tgtt=，则21ln()tgtt−=，所以()gt在(0,e)上递增，在(e,)

+上递减，1(e)eg=，当0t→时，()gt→−，当t→+时，()0gt且()0gt→，所以102ea，即102ea，令121ett．（i）要证22122exx+，只需证122ett+，解法

1：记()()(2e),(1,e)htgtgtt=−−，则lnln(2e)(2e)lnln(2e)()()(2e)2e(2e)tttttthtgtgttttt−−−−=−−=−=−−，令()(2e)lnln(2e)ttttt=−−−，则()22e2e2e()1lnln(2e)ln2e2

02e2e2etttttttttttttttt−−=−−−−+=+−−++−−−−，所以()t在(1,e)上递增，()(e)0t=，所以()()(2e)0htgtgt=−−，所以()(2e)gtgt−，所以()()()2112egtgtgt=−，所以212ett−，即

122ett+，所以22122exx+得证．8分解法2：先证121212lnln2xxxxxx−+−，令120xx，只需证212121lnln2xxxxxx−−+，只需证：2112ln011xxxxxx−−

=+，令1()2ln(1)1xxxxx−=−+，22241(1)()0(1)(1)xxxxxx−−=−=++，所以()x在(1,)+上单调递减，所以()(1)0x=，得证．因为1212lnlntttt=

，所以1212121212lnlnlnln2tttttttttt+−+=+−，所以12lnln2tt+，即212ett，所以121222etttt+，得证．8分解法3：由()1212121elnlntttttt=，设112111lnlnln

(0),tttttt+==，所以11lnlnlntt+=，即1212lnln(1)lnln,ln,lnln111tttt+==+=−−−，构造函数2222(1)14(1)()ln(1),()01(1)(1)xxg

xxxgxxxxxx−−=−=−=+++，所以()gx在(1,)+上单调递增，所以()(1)0gxg=，得证．8分（ii）要证：12e2xxa，只需证：12e2tta，只需证：12lnln1ln2tta+−

，只需证：12221ln2atata+−，只需证：121ln22atta−+，212121lnln2tttttt−+−令112ta=得22211222ln22ttaaata−++即222ln212(

ln21)02aatataa+−++①令212ta=得1111122ln222ttaaaat−+−−即211ln212(ln21)02aatataa−−−−+②①+②得()()2221212(ln21

)0attatt−+−−，即121ln22atta−+，所以命题得证．12分获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com