【文档说明】湖南部分校联考2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）.docx，共(26)页，1.531 MB，由小赞的店铺上传

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高二数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答

案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册占20％，必修第二册占30％，选择性必修第一册占50％.一、单项选择题：本题共8小题，每小题

5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合12Mxx=−，|2Nxx=，则MN=（）A.()0,2B.()1,1−C.()1,2-D.()1,2【答案】C【解析】【分析】解不等式求出集合M，结合集合的交集运算定义，可得答案

．【详解】集合{|12}(1,3)Mxx=−=−，{|2}(,2)Nxx==−，(1,2)MN=−，故选：C．2.设直线1:sincos1lxy−=，2:310lxy+−=若12ll⊥，则=（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】A【解析】【分析

】根据直线垂直的充要条件列方程得3sincos3=，从而可得3tan3=，解三角方程即可得答案.【详解】因为直线1:sincos1lxy−=，2:310lxy+−=，且12ll⊥，则sin3cos10−=，所以3sincos3=，即sin3tancos3

==所以ππ,Z6kk=+，故=π6可以取到.故选：A.3.如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱1111ABCDABCD−，底面ABCD是正方形，12CC=，3CD=，且1160CCBCCD==，则向量1AC的模长为

（）A.29B.34C.52D.34【答案】D【解析】【分析】由11ACAAABAD=++，结合向量数量积的运算律求向量1AC的模长.【详解】由11ACAAABAD=++，又底面ABCD是正方形，12CC=，3C

D=且1160CCBCCD==，所以2222211111()222ACAAABADAAABADAAABAAADABAD=++=+++++49966034=+++++=，故1||34AC=.故选：D4.已知函数()

()220,1xgxttt−=+的图象过定点(),ab，则函数2()27fxaxbx=−++在区间1,2−上的值域为（）A.1,9B.231,2−C.21,112D

.1,11−【答案】B【解析】【分析】根据指数函数过定点可得2,3ab==，从而得2323()222fxx=−−+，可判断二次函数在区间1,2−上的单调性，从而可得最值，即得函数的值域.【详解】函数()()220,1xgxttt−=+的图象过定点()2,3，所以2,3ab=

=，则函数22323()267222fxxxx=−++=−−+在区间31,2−上递增，在区间3,22上递减所以()max32322fxf==，又(1)1,(2)11ff−=−=，

故min()1fx=−，所以函数()fx在区间1,2−上的值域为231,2−.故选：B.5.已知圆()221:11Cxy+−=和圆()()222:116Cxay−+−=，其中0a，则使得两圆相

交的一个充分不必要条件可以是（）A.25aB.34aC.35aD.36a【答案】B【解析】【分析】根据题意，由条件可得两圆相交的充要条件，求得a的取值范围，再由选项即可得到结果.【详解】因为圆()

221:11Cxy+−=的圆心()0,1，半径为1，圆()()222:116Cxay−+−=的圆心(),1a，半径为4，且0a，使得两圆相交的充要条件为()()224101141a−−+−+，且0a，解得35a，由选项

可得()()3,43,5，所以其一个充分不必要条件可以是34a.故选：B6.已知抛物线2:2(0)Cxpyp=的焦点为()0,1F，动点P在抛物线C上，点()2,3A，则PAPF+的最小值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【

分析】先确定抛物线方程的准线方程，由抛物线的定义可得，||PF等于点P到抛物线准线的距离，||||PAPF+的最小值为点A到抛物线准线的距离，即可得结论.【详解】抛物线2:2(0)Cxpyp=的焦点为()0,1F，则12p=，所以2p=则抛物线方程为24xy=，故准

线方程为：1y=−，抛物线的定义可得，||PF等于点P到抛物线准线的距离，所以||||PAPF+的最小值为点A到抛物线准线的距离4.故选：C.7.17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到

三角形每个顶点的距离之和最小.现已证明：在ABC中，若三个内角均小于120，则当点P满足120APBAPCBPC????时，点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点.根据以上知识，已知(3,0)A−，(3,0)B，(

0,4)C，P为ABC内一点，记()||||||fPPAPBPC=++，则()fP的最小值为（）A.4+33B.4+23C.3+23D.3+3【答案】A【解析】【分析】由费马点所对的三角形三边的张角相等均为120，求出费马点F．再根据费马点是与三角形三个顶点距离之和最小

的点求出()fP．【详解】设(0,0)O为坐标原点，由(3,0)A−，(3,0)B，(0,4)C，知||||5ACBC==，且ABC为锐角三角形，因此，费马点F在线段OC上，设(0,)Fh，如图：则FAB为顶角是120的等腰三角形，故tan303hOB=

=，所以(0,3)F，故min()()||||||433fPfFFAFBFC==++=+故选：A．8.在三棱锥ABCD−中，AD⊥平面BCD，π,12ABDCBDBDBC+===，则已知三棱锥ABCD−外接球表面积的最小值为（）A.251π4+B.51π2+C.251π4−D.51π2−

【答案】B【解析】【分析】设ABD=，CBD=，求得BCD△的外接圆的半径为12cos2r=，结合图形求得三棱锥外接球半径2222132cos()244(1cos)ADRr−=+=−+−，然后换元利用基本不等式及不等式的性

质得2R的最小值，从而可得面积的最小值．【详解】如图，设ABD=，CBD=，K为BCD△的外心，O为三棱锥ABCD−外接球的球心，则OK⊥平面BCD，又AD⊥平面BCD，所以//OKAD，KD平

面BCD，则OKDK⊥，四边形OKDA是直角梯形，设OKh=，DKr=，ODR=，由AD⊥平面BCD，BD平面BCD，得ADBD⊥，则tanAD=1tan=，2sin2CD=，2sin22sinr=，即12cos2r=，又222222()hrRAD

hrR+=−+=，则12hAD=，22222222111cos132cos()24tan2(1cos)4(1cos)44(1cos)4cos2ADRr−=+=+=+=−++−−，令

32cost=−，则3cos2t−=，(1,3)t，221111111515465444852(35)626tRtttttt+=−−=−−−−=−+=−+−+−−，当且仅当5tt=，即5t=时等号成立，所以三棱锥AB

CD−外接球表面积251514482SR++==，故选：B．【点睛】结论与方法点睛：（1）三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上，由此易找到球心；（2）特殊的三棱锥，如有从同一点出发的三条棱两两垂直，或三棱锥的三对棱相等则可把三棱锥补形为一个长方体，长方

体的对角线即为外接球的直径．（3）如果三棱锥的一条棱与一个面垂直，可把此三棱锥补形为一个直三棱柱，直三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部

分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列各对事件中，为相互独立事件的是（）A.甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲､乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”B.袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两次球，

每次摸一个球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C.袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两次球，每次摸一个球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”D.掷一枚骰子一

次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”【答案】ABD【解析】【分析】由独立事件的概念逐项判断即可.【详解】对于A，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立的，故A正确；对于B，由于第1次摸到球有放回，因此不会对第

2次摸到球的概率产生影响，因此是相互独立事件，故B正确；对于C，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，故C错误；对于D，样本空间1,2,3,4,5,6=，事件2,4,6M=，事件3,6N=，事件6MN=，所以()3162

PM==，()2163PN==，()16PMN=，即()()()PMNPMPN=.故事件M与N相互独立，故D正确.故选：ABD.10.设正实数x，y满足2xy+=，则下列说法正确的是（）A.xy的最小值为1B.11xy+的最小值为2C.xy+的最大值为2D.22xy+的最大值为2【答案】B

C【解析】【分析】根据基本不等式，可判定A错误；由111(2)2yxxyxy+=++，结合基本不等式，可判定B正确；由2()2xyxyxy+=++，可判定C正确；由222()2xyxyxy+=+−，

可判定D正确．【详解】对于A中，因为正实数x，y满足2xy+=，由2xyxy+，所以22xy，解得1xy，当且仅当1xy==时，等号成立，所以xy的最大值为1，所以A错误；对于B中，由1111111()2222222yxyxxyxyxyx

yxy+=++=+++=，当且仅当yxxy=时，即1xy==时，等号成立，所以11xy+的最小值为2，所以B正确；对于C中，由2()2224xyxyx

y+=+++=，当且仅当1xy==时，等号成立，所以xy+的最大值为2，所以C正确；对于D中，由222()2422xyxyxy+=+−−=，当且仅当1xy==时，等号成立，所以22xy+的最小值为2，所以D错误，故选：BC

.11.已知()2π2sin16fxx=+−()0.则下列判断正确的是（）A.若()11fx=，()21fx=−，且12minπ2xx−=，则1=；B.若()fx在0,2π上恰有9个零点，则

的取值范围为1329,612；C.存在()0,2，使得()fx的图象向右平移π6个单位长度后得到的图象关于y轴对称；D.若()fx在ππ,63−上单调递增，则的取值范围为10,3.【答案】AC

【解析】【分析】先利用二倍角公式将函数化为()cosAx+的形式，A选项：根据函数取最值的值确定函数的周期，求上的值；B选项：根据函数的周期性以及函数零点个数，确定区间端点的范围进而求的取值范围；C选项：求函数图像平移后的解析式，确定函数关于y轴对称时的

取值；D选项：利用函数的单调区间确定的取值范围.【详解】()2π2sin16fxx=+−πcos23x=−+()0，对于选项A：若()11fx=，()21fx=−，且12minπ2xx−=，则πT=，2ππ2T

==所以1=；故A选项正确；对于B选项：0,2πx，则πππ2,4π333x++，因为()fx在0,2π上恰有9个零点，所以19ππ21π4π232+所以55,242461，故B选项错误；对于C选项：(

)πcos23fxx=−+，()fx的图象向右平移π6个单位长度后得到()ππππcos2cos26333fxxxx=−−+=−−+，图像关于y轴对称，则πππ33k−+=所以()31Zkk

=−+，0k=时1=，所以存在()0,2满足题意，故C选项正确；对于D选项：若()fx在ππ,63−上单调递增，因为πππ2ππ2,33333x−+++，因为πππ2ππ,33333−++,所以ππ0332ππ

π33>0−++,解得(0,1，故D选项错误.故选：AC12.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为4，EF是棱BC上的一条线段，且12EF=，点Q是棱1AA的中点

，点P是体对角线1BD上的动点（包括端点），则下列结论正确的是（）A.存在某一位置，PQ与EF垂直B.三棱锥EPQF−体积的最大值是32C.二面角PEFQ−−的正切值是13D.当PEPF最大时，三棱锥EPQF−的外接球表面积是343π2【答案】ACD【解析】【分

析】通过证明线面垂直得到线垂直平面所有直线证明异面直线垂直，然后通过固定底面积求体积最大值即可，二面角问题关键在于找到二面角的平面角，确定动点位置后再求外接球的圆心即可.【详解】对于A：当P点与B点重合时，EF⊥平面

11ABBA，而PQ平面11ABBA，所以PQ与EF垂直，即A正确；对于B：如下图所示，，因为BC⊥平面11ABBA，BQ平面11ABBA，所以BCBQ⊥，所以BQEF⊥，而2225BQABAQ=+=，的所以11

||||251522QEFSBQEF===△，要使得三棱锥EPQF−的体积最大，只需满足点P到平面QEF的距离最大即可，取1DD的中点为G，则平面QEF与平面BCGQ是同一平面，不妨令点P到平面QEF的距离h，直线1BD与平面QEF所成角

为，则sinsinhhBPBP==，所以BP越大则h越大，所以当点P与1D重合时，点P到平面QEF的距离h最大，作PHCG⊥于H，易知QG⊥平面11CDDC，所以PH即为点P到平面QEF的距离，由三角形相似可得2PHDC

GHDG==，且2224PHGHDG+==，得455PH=.所以三棱锥EPQF−的体积的最大值为1111452||25332253QEFVSPH===△，B错误；对于C：连接1DC，GC，二面角PEFQ−−即为平面1DBC与平面GBC所成的角，如下图所示，，因为B

C⊥平面11CDDC，1DC平面11CDDC，GC平面11CDDC，所以1DCBC⊥，GCBC⊥，所以1DCG即为二面角PEFQ−−的平面角，由于142DC=，12DG=，25CG=，所以2221111||322043cos2||16101

0DCCGDGDCGDCCG+−+−===，所以10s11inDCG=，即113tanDCG=，所以二面角PEFQ−−的正切值是13，C正确；对于D，由余弦定理得222221||||||||||4||||cos22PEPFPEPFE

FPEPFPEPFEPF+−+−===，要使得PEPF最大时，则22PEPF+要最大，则E与B重合，P与1D重合，如下图所示，，以A为坐标原点建立如所示的空间直角坐标系，则(4,0,0)E，14,,02F，(0,0,2)Q，(0,4,4)P，

设外接球球心坐标为(,,)Oxyz，则()2222222222221(2)4(4)(4)(4)2xyzxyzxyzxyz++−=−+−+=−++=+−+−，解得194x=，14y=，132z=，所以1

9113,,442O，所以外接球半径为2221911368624424R=++−=，所以三棱锥EPQF−的外接球表面积2343π4π2SR==，所以D正确；故选：ACD点睛】方法点睛：若能应用极化

恒等式，则能快速确定PEPF最大时需满足E与B重合，P与1D重合.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.13.设1iz=+，则2iz−=______.【答案】i【解析】【分析】根据复数的基本运算法则化简即可.【详解】解：1iz=+，则()222i1ii1

2iiiiz−=+−=++−=．故答案为：i.【14.已知向量a，b满足1a=，3b=，且()22aab−=−，则ab+=__________.【答案】7【解析】【分析】根据数量积的运算性质求解32ab=，再由

数量积求解模长即可.【详解】因为()22aab−=−，所以222aab−=−，则22223222aaab++===所以()2223212372ababaabb+=+=++=++=.故答案为：7.15

.()()()()21411axaxfxaxx−+=，()fx对于12,Rxx，12xx，都有()()21210fxfxxx−−成立，则a的取值范围是__________.【答案】11,52【解析】【分析

】由题意可知函数()fx是R上的减函数，则函数()fx的两段函数均为减函数，且有(21)141aaa−+，由此可得到关于实数a的不等式组，解之即可得解．【详解】因为定义在R上的函数()fx满足对1x，2Rx，12xx，都有

()()21210fxfxxx−−，所以函数()()()()21411axaxfxaxx−+=是R上的减函数，则函数(21)4(1)yaxax=−+和(1)ayxx=均为减函数，且有(

21)141aaa−+，即2100(21)14aaaaa−−+，解得1152a，因此，实数a的取值范围是11,52.故答案为：11,52.16.已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的右焦点为F，过点F且斜率为()0k

k的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D.若3ABDF，则双曲线的离心率取值范围是__________.【答案】231,3【解析】【分析】根据题意利用韦达定理求||AB以及线段AB的中

垂线的方程，进而可求得点D和DF，结合3ABDF，运算求解即可.【详解】设双曲线的右焦点为(c,0)F，()11,Axy，()22,Bxy，则直线:()lykxc=−，联立方程22221()xyabykxc−==−

，消去y得：()()222222222220bakxakcxakcb−+−+=，直线l交双曲线于A、B两点，则可得2220bak−，0，22122222akcxxbak+=−−，()222212222akcbxxba

k+=−−，则()()2222222222222222222212||14akcbabkakcABkbakbakbak++=+−−−=−−−，设线段AB的中点()00,Mxy，则221202222xxakcxbak+==−−，()2220022222

2akcbkcykxckcbakbak=−=−−=−−−，即222222222,akcbkcMbakbak−−−−，且0k，线段AB的中垂线的斜率为1k−，则线段AB的中垂线

所在直线方程为2222222221bkcakcyxbakkbak+=−+−−，令0y=，则2222222221bkcakcxbakkbak=−+−−，解得23222kcxbak=−−，即23222,0kcDbak−−，则()222

32222221||bckkcDFcbakbak+=−−=−−，由题意可得：||3||ABDF，即()()22222222221321abkbakbckbak+−+−，整理得23ac，则22333cea==，注意到双曲线的

离心率1e，所以双曲线的离心率取值范围是231,3.故答案为:231,3.四、解答题：本题共6小题，满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.已知圆22:(1)(2)6Cxy−+−=，直线:(21)(2)360lmxmym++

+−−=.（1）求证直线l恒过定点；（2）直线l被圆C截得的弦长最短时m的值以及最短弦长.【答案】（1）证明见解析（2）1m=−；最短弦长为4【解析】【分析】（1）将直线方程整理为(23)(26)0xymxy+−++−=，列方程组，求得定点坐标，即可得证；（2）当直线lCP

⊥时，直线l被圆截得的弦长最短，求出直线CP的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为1−求出直线l斜率，由两点间的距离公式求出圆心(1,2)C到直线l的距离，再利用垂径定理，勾股定理求出最短弦长即可．【小问1详解】证明：直

线:(21)(2)360lmxmym+++−−=，可化为(23)(26)0xymxy+−++−=，联立230260xyxy+−=+−=，解得03xy==．故直线l恒过定点(0,3)．【小问2详解】圆22:(1)(2)6Cxy−+−=，圆心(1,2)C，半径6r=设(0,3)P，则

点P在圆内，故当直线lCP⊥时，直线l被圆截得的弦长最短．因为直线CP的斜率为23110CPk−==−−．故直线l的斜率为2112mkm+=−=+，解得1m=−．此时圆心C到直线l的距离为22(10)(23)2d

PC==−+−=，所以最短弦长为2222624rd−=−=．18.“山水画卷，郴州相见”，2023年9月16日，第二届湖南省旅游发展大会开幕式暨文化旅游推介会在郴州举行.开幕式期间，湖南卫视全程直播.学校统计了100名学生观看开幕式直播的时长情况（单位：

分钟），将其按照)30,50，)50,70，)70,90，)90,110，)110,130，130,150分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：请完成以下问题：（1）求a的值，并估计样本数据的平均

数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）为进一步了解学生观看开幕式的情况，采用分层抽样的方法在观看时长为)50,70和)70,90的两组中共抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人观看时长在)50,70内

的概率.【答案】（1）0.01a=，平均值为93分（2）710【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图计算频率之和可得a的值，从而可估计样本数据的平均数；（2）结合古典概型运算公式，列举基本事件总数和符合条件的事件总

数即可得所求概率问题.【小问1详解】由0.005200.005200.0075200.0220200.0025201a+++++=，得0.01a=.观看时长在：[30,50)频率0.0050200.1

=，)50,70频率0.0050200.1=，)70,90频率0.0075200.15=，)90,110频率0.0200200.4=，)110,130频率0.0100200.2=，130,150

频率0.00252000.5=，样本平均值为：400.1600.1800.151000.41200.21400.0593+++++=，可以估计样本数据中平均值为93分.【小问2详解】由题意可知，观看时长在)50,70的人数为1000

.110=（人），在)70,90的人数为1000.1515=（人）.用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在)50,70内抽2人，分别记为1A，2A，需在)70,90内抽3人，分别记为1B，2B，3B.设“从样本中任取2人，

至少有1人在)50,70内”为事件A，则样本空间12111213212223121323,,,,,,,,,AAABABABABABABBBBBBB=共包含10个样本点，而A的对立事件121323,,ABBBBBB=

包含3个样本点，所以3()10PA=，7()1()10PAPA=−=.即抽取的这2名学生至少有1人在)50,70内的概率为710.19.在直三棱柱111ABCABC-中，D，E分别是1AA，11BC的中点.（1）求证：1//AE平面1CBD；（2）1ACBC==，2AB=，12AA

=，求二面角1BDCC−−的正切值.【答案】（1）证明见解析（2）22【解析】【分析】（1）连接1BC交于1CB于F，连接EF，证明四边形1ADFE是平行四边形，可得1//AEDF即可证得.（2）法一：建立空间坐标系，求出平面1BDC与平面

1DCC的法向量，求得二面角1BDCC−−的余弦值，结合三角函数关系式，即可其正切值.法二:利用勾股定理和直线和平面垂直的性质可证得1CDDC⊥与1DCBD⊥，从而得到二面角1BDCC−−的平面角是CDB，在RtBCD中，

即可求出tanCDB，从而得出答案.【小问1详解】连接1BC交于1CB于F，连接EF，因为E，F是中点，所以1//EFCC，且112EFCC=，又因为D是1AA的中点，所以有11//ADCC，且1112ADCC=，所以1//AD

EF，且1ADEF=，因此四边形1ADFE是平行四边形，所以1//AEDF，又因为1AE平面1CBD，DF平面1CBD，所以1//AE平面1CBD；.【小问2详解】法一：（建系）因为三棱柱为直三棱柱，所以1CCAC⊥，1CCBC⊥，因为222ACCBA

B+=，所以ACBC⊥以C为原点，分别以CA、CB、1CC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，所以(0,1,0)B，(1,0,1)D，1(0,0,2)C，则1(0,1,2)BC=−，10,1)(1,DC=−，设平面1BDC的一个法向量为(,,)nx

yz=，所以11200nBCyznDCxz=−+==−+=，得2yzxz==，令1z=，则1,2xy==，所以(1,2,1)n=，而平面1DCC的一个法向量为(0,1,0)m=，则26cos,361===

mnmnmn，设1BDCC−−二面角的大小为，则为锐角，所以6cos3=，因此2263sin1cos133=−=−=，所以sin2tancos2==.故二面角1BDCC−−的正切值

为22.法二：因为1ADAC==，ADAC⊥，1CCAC⊥，所以1π4DCADCC==，22112CD=+=，同理可得1π4DCC=，因此1π2CDC=，即1CDDC⊥，又12DC=，3DB=，15BC=，则22211+=DCDBBC，所以1DCBD⊥，所以CDB是二

面角1BDCC−−的平面角，因为CDBDD=I，CD，BD平面CDB，所以1DC⊥平面CDB，而CB平面CDB，因此1DCCB⊥，因为1CC⊥平面ABC，而BC平面ABC，所以1CCBC⊥，因为111DCCC

C=，1DC，1CC平面11ACCA，所以BC⊥平面11ACCA，而CD平面11ACCA，所以BCCD⊥，所以BCD△为直角三角形，因1BC=，2CD=，所以12tan22BCCDBCD===.故二面角1BDCC−−的正切值为22.20.如图，在四边形ABCD中，//ABCD

，ABBC=.（1）求证：sinsin.ADAABC=（2）若2AD=，23BD=，ADBD⊥，求BCD△的面积.【答案】（1）证明见解析为（2）33392BCDS+=△【解析】【分析】（1）利用线线平行根据正弦定理可证得结论；（2）根据勾股定理求得4A

B=，1sin2=，则可得3coscos2BDC==，由余弦定理可得313DC=+，再根据面积公式求解BCD△的面积即可.【小问1详解】证明：设ABD=，因为//ABCD，所以BDC=，在ABD△中，由正弦定理得s

insinADBDA=，所以sinsinADABD=，在BDC中，同理可得sinsinBCCBD=，所以sinsinADABCC=，又ABBC=，所以sinsinADAABC=.【小问2详解】若2AD=，23BD=，ADBD⊥，则224ABADBD=+=，且21sin42AD

AB===由（1）可得，为锐角，所以23cos1sincos2BDC=−==在BDC中，又余弦定理得222212163cos2243DCDBBCDCBDCDCDBDC+−+−===，整理得2640DCDC−−=，解得313DC=+或313DC=−（舍）所以()1113339sin

313232222BCDSDCDB+==+=.21.如图，四面体ABCD中，ADCD⊥，ADCD=，ABBC=，E为AC的中点.（1）证明：平面BED⊥平面ACD；（2）2ABBD==，60ACB=，点F在

BD上，当AFC△的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）437.【解析】【分析】（1）由等腰三角形性质有ACDE⊥、ACBE⊥，根据线面垂直的判定证AC⊥平面BED，再由面面垂直的判定证结论；（2）由（1）有AC⊥平面

BED，根据已知证BEDE⊥，构建空间直角坐标系，应用向量法求线面角正弦值.【小问1详解】由ADCD=，E为AC的中点，所以ACDE⊥；由ABCB=，E为AC的中点，所以ACBE⊥；又DE，BE平面BED，DEBEE

=，所以AC⊥平面BED，因为AC平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.【小问2详解】连接EF，由（1）知AC⊥平面BED，EF平面BED，所以ACEF⊥，所以12AFCSACEF=△，当EFBD

⊥时EF最小，即AFC△的面积最小.因为ABDCBD，所以2CBAB==，又60ACB=，所以ABC是等边三角形，因为E为AC的中点，所以1AEEC==，3BE=，因为ADCD⊥，所以112DE

AC==，在DEB中222DEBEBD+=，所以BEDE⊥.以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Exyz−，则(1,0,0)A，(0,3,0)B，(0,0,1)D，所以(1,0,1)AD=−，(1,3,0)

AB=−，设平面ABD的一个法向量为(,,)nxyz=，则030nADxznABxy=−+==−+=，取3y=，则(3,3,3)n=，又(1,0,0)C−，330,,44F，所以331,,44CF

=，所以643cos,77214nCFnCFnCF===，设CF与平面ABD所成角为π20，所以43sincos,7nCF==，所以CF与平面ABD所成的角的正弦值为437.22.椭圆2222:1(0)xyEabab+=的焦距为22，点

()2,1M是椭圆E上一点，过点()0,1P的动直线l与椭圆相交于,AB两点.（1）求椭圆E的方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使QAPAQBPB=恒成立？存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（

1）22142xy+=（2）存在，(0,2)Q【解析】【分析】（1）根据焦距和点()2,1M在椭圆上，得到方程组，求出224,2ab==，得到椭圆方程；（2）先考虑l平行于x轴时，得到Q点在y轴上，可设Q的坐标为()00,y，再考虑当l垂直于x轴时，

求出点Q的坐标为(0,2)，再验证当l不平行于x轴且不垂直于x轴时，也满足要求，得到答案.【小问1详解】根据题意，222c=，故2c=，又()2,1M在椭圆上，故22211ab+=，因为222ab−=，解得224,2ab==，故椭圆方程为22142xy+=；【小问2详解】当l平行于x轴时，设直

线与椭圆相交于C，D两点，如果存在点Q满足条件，则有||||1||||QCPCQDPD==，即||||QCQD=，所以Q点在y轴上，可设Q的坐标为()00,y；当l垂直于x轴时，设直线与椭圆相交于M，N两点，如果存在点Q满足条件，则有||||||||QMPMQNPN=，即002212

12yy−−=++，解得01y=或02y=，所以若存在不同于点P的定点Q满足条件，则点Q的坐标为(0,2)；当l不平行于x轴且不垂直于x轴时，设直线l方程为1ykx=+，设()11,Axy，()22,Bxy联立221142ykxxy=++=

，消去y，得()2212420kxkx++−=，因为直线l恒过椭圆内定点(0,1)P，故0恒成立，122412kxxk+=−+，122212xxk=−+，又因为点B关于y轴的对称点B的坐标为()22,xy−，又11111211QAykxkkxxx−−===−，2222221

1QBykxkkxxx−−===−+−−，则121220QAQBxxkkkxx+−=−=，所以QAQBkk=，则,,QAB三点共线，所以12||||||||||xQAQAPAQBQBxPB===；综上：存在与点P不同的定点Q，使||||||

||=QAPAQBPB恒成立，且(0,2)Q.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中探究性问题解题策略：（1）先假设存在或结论成立，然后引进未知数，参数并建立有关未知数，参数的等量关系，若能求出相应的量，则表示存在或结论成立，否则表示不存在或结论

不成立；（2）在假设存在或结论成立的前提下，利用特殊情况作出猜想，然后加以验证也可.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com