【文档说明】【高考数学精准解析】多维层次练：第八章第5节第1课时椭圆及简单几何性质【高考】.docx，共(14)页，135.252 KB，由小赞的店铺上传

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多维层次练48[A级基础巩固]1．设F1，F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为()A．4B．3C．2D．5解析：由题意知，在△PF1F2中，|OM|＝12|PF2|＝3，所以|PF2|＝6，所

以|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.答案：A2．(2020·南昌三中期末)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为43，

则C的方程为()A.x23＋y22＝1B.x23＋y2＝1C.x212＋y28＝1D.x212＋y24＝1解析：因为△AF1B的周长为43，且△AF1B的周长＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a，所以4a＝43，所以a

＝3，因为离心率为33，所以ca＝33，解得c＝1，所以b＝a2－c2＝2，所以椭圆C的方程为x23＋y22＝1.答案：A3．(2020·青岛十六中周考)若曲线x21－k＋y21＋k＝1表示椭圆，则k的取值范围是()A．k>1B

．k<－1C．－1<k<1D．－1<k<0或0<k<1解析：因为曲线x21－k＋y21＋k＝1表示椭圆，所以1－k>0，1＋k>0，1－k≠1＋k，解得－1<k<1，且k≠0，则－1<k<0或0<k<1.答案：D4．(2020·东营市联考)设F1，F2是椭圆x24＋y2b2＝

1(0<b<2)的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|AF2|＋|BF2|最大值为5，则椭圆的离心率为()A.12B.22C.5－12D.32解析：因x24＋y2b2＝1，则a＝2，由0<b<2可知，焦点在x轴上，因为

过F1的直线l交椭圆于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|＋|BF1|＋|AF1|＝2a＋2a＝4a＝8，所以|BF2|＋|AF2|＝8－|AB|，当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|＋|AF2|值最大，此时|AB|＝2b2a＝b2，则5

＝8－b2，解得b＝3，则椭圆的离心率e＝ca＝1－b2a2＝12.答案：A5．(2020·聊城市调研)过点(3，2)且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的椭圆方程为()A.x25＋y210＝1B.

x210＋y215＝1C.x215＋y210＝1D.x225＋y210＝1解析：椭圆3x2＋8y2＝24化为x28＋y23＝1，它的焦点为(±5，0)，可得c＝5，设椭圆的方程为：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，可得：9a2＋4b2＝1，a2－b2＝5，解得a＝15，b＝1

0，故所求的椭圆方程为x215＋y210＝1.答案：C6．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为55，且过点P(－5，4)，则椭圆的标准方程为________．解析：由题意设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．由离心率e

＝55可得a2＝5c2，所以b2＝4c2，故椭圆的方程为x25c2＋y24c2＝1，将P(－5，4)代入可得c2＝9，故椭圆的方程为x245＋y236＝1.答案：x245＋y236＝17．如图所示，椭圆x

2a2＋y22＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为________．解析：由题意知|F1F2|＝2a2－2，因为|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－4，在△F1PF2中，由余弦定理得

cos120°＝42＋（2a－4）2－（2a2－2）22×4×（2a－4）＝－12，化简得8a＝24，即a＝3.答案：38．(2020·雅礼中学质检)已知点P是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上的一点，F1，F2

分别为椭圆的左、右焦点，已知∠F1PF2＝120°，且|PF1|＝3|PF2|，则椭圆的离心率为________．解析：点P是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，因为∠F1

PF2＝120°，且|PF1|＝3|PF2|，如图所示，设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，则4m＝2a，4c2＝m2＋9m2－2·m·3mcos120°，可得4c2＝13×a24，解得e＝ca＝134.答案：1349．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3，0)

和(－3，0)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积．解：(1)设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，依题意得2a＝10，c＝3，a2＝b2＋c2，因此a＝5，b＝4，所以椭圆的标准方程为x225＋

y216＝1.(2)易知|yP|＝4，又c＝3，所以S△F1PF2＝12|yP|×2c＝12×4×6＝12.10．(2020·青岛二中月考)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2，左顶点为A，若|F1F2|＝2，椭圆的离心率

为e＝12.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P是椭圆上的任意一点，求PF1→·PA→的取值范围．解：(1)由题意，因为|F1F2|＝2，椭圆的离心率为e＝12，所以c＝1，a＝2，所以b＝3，所以椭圆的标准方程为x24＋y23＝1.(2)设P(x0

，y0)，A(－2，0)，F1(－1，0)，所以PF1→·PA→＝(－1－x0)(－2－x0)＋y20＝x20＋3x0＋2＋y20，因为P点在椭圆上，所以x204＋y203＝1，y20＝3－34x20，所以PF1→·PA→＝14x20＋3x0＋5，由椭圆方程得－

2≤x0≤2，二次函数14x20＋3x0＋5的开口向上，对称轴x0＝－6<－2，当x0＝－2时，取最小值0，当x0＝2时，取最大值12.所以PF1→·PA→的取值范围是[0，12]．[B级能力提升]11．(2020·菏泽市期末)设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2

＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|BF1|，若cos∠AF2B＝35，则椭圆E的离心率为()A.12B.23C.32D.22解析：设|BF1|＝k(k>0)，则|AF1|＝3k，|AB|＝

4k，所以|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k，因为cos∠AF2B＝35，在△ABF2中，由余弦定理得：|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，所以(4k)2＝(2a－3k)2＋

(2a－k)2－65(2a－3k)(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k，所以|AF2|＝|AF1|＝3k，|BF2|＝5k，|AB|＝4k，所以|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，所以AF1⊥AF2，且AF1＝AF2＝3k，所以△AF1F2是等腰直

角三角形，(2c)2＝2a2，所以c＝22a，所以椭圆的离心率e＝ca＝22.答案：D12．(2020·青岛实验高中测试)方程x22m－y2m－1＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是______________

________________．解析：因为方程x22m－y2m－1＝1表示焦点在y轴上的椭圆，所以该椭圆的标准方程为y21－m＋x22m＝1，满足1－m>2m>0，解之得0<m<13.答案：0<m<1313.如图所示，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F

为椭圆的右焦点，且AF→·FB→＝1，|OF→|＝1.(1)求椭圆的标准方程．(2)记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使得点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：

(1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则c＝1.因为AF→·FB→＝1，即(a＋c)(a－c)＝1＝a2－c2，所以a2＝2，故椭圆方程为x22＋y2＝1.(2)假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，则设P(x1，y1)，Q(x2，y2

)，因为M(0，1)，F(1，0)，故kPQ＝1，于是可设直线l的方程为y＝x＋m.联立y＝x＋m，x2＋2y2＝2，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，则x1＋x2＝－4m3，x1x2＝2m2－23.因为MP→·FQ→＝0＝x1(x2－1)＋y2(y1－1)，又yi＝xi

＋m(i＝1，2)，得x1(x2－1)＋(x2＋m)(x1＋m－1)＝0，即2x1x2＋(x1＋x2)(m－1)＋m2－m＝0，所以2·2m2－23－4m3(m－1)＋m2－m＝0，解得m＝－43或m＝1(舍去)．经检验m＝－43符合

条件，所以直线l的方程为y＝x－43.故存在直线l，使得点F恰为△PQM的垂心，此时l的方程为y＝x－43.[C级素养升华]14．(多选题)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆

与直线x－y＋6＝0相切，则椭圆C的方程为()A.x28＋y26＝1B.x212＋y29＝1C.x24＋y23＝1D．3x2＋4y2＝12解析：由题意知e＝ca＝12，所以e2＝c2a2＝a2－b2a2＝14，即a2＝43b2，以原点为圆心，椭圆的短半

轴长为半径的圆的方程为x2＋y2＝b2.由题意可知b＝62＝3，所以a2＝4，b2＝3.故椭圆C的方程为x24＋y23＝1，即3x2＋4y2＝12.答案：CD素养培育数学运算——离心率求解面面观(自主阅读)离

心率是圆锥曲线中的一个重要元素，它的变化会直接导致曲线形状甚至是类型的变化．近年来，涉及离心率的问题频频出现在高考试题和各省市高考模拟试题中，且题型不断翻新，显示出旺盛的生命力！解决有关离心率的问题，除了要求深刻领会离心率的概念、几何意义之外，还要常常综合运用其他有

关知识，因而，涉及离心率的问题不仅具有很强的综合性，而且其解法极富灵活性．1．巧求离心率的值[典例1]我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第

一象限的交点，当∠F1PF2＝60°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为()A.33B.32C.22D.12解析：设|F1P|＝m，|F2P|＝n，|F1F2|＝2c，由余弦定理得(2c)2＝m2＋n2－2mncos60°，即4c2＝m2＋n2－mn，设a1是椭圆的长

半轴，a2是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m＋n＝2a1，m－n＝2a2，所以m＝a1＋a2，n＝a1－a2，代入上式得4c2＝3a22＋a21，又它们的离心率互为倒数，ca1·ca2＝1，即c2＝a1a2，代入4c2＝3a22＋a21得

3a22－4a1a2＋a21＝0，a1＝3a2，e1·e2＝ca1·ca2＝ca1·3ca1＝1，即3e21＝1，所以e1＝33.答案：A2．求离心率的取值范围[典例2]设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满

足FA→·FB→＝0，|FB|≤|FA|≤2|FB|，则椭圆C的离心率的取值范围是()A.22，53B.53，1C.22，3－1D．[3－1，1)解析：设椭圆左焦点为F′，连接AF′、BF′.由椭圆的对

称性可知，四边形AFBF′为平行四边形，又FA→·FB→＝0，即FA⊥FB，故平行四边形AFBF′为矩形，所以|AB|＝|FF′|＝2c.设|AF′|＝n，|AF|＝m，则在直角三角形AF′F中m＋n＝2a，m2＋n2＝4c2，①得mn＝2b2，②①÷②得mn＋nm＝2c2

b2，令mn＝t，得t＋1t＝2c2b2.又由|FB|≤|FA|≤2|FB|得1≤|FA||FB|≤2，则mn＝t∈[1，2]，所以t＋1t＝2c2b2∈2，52，又2c2b2＝2c2a2－c2＝2e21－e2，则可得22≤

e≤53，即离心率的取值范围是22，53.答案：A3．探寻离心率的最值[典例3]已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值

为()A.433B.233C．3D．2解析：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，r1>r2，|F1F2|＝2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，由(2c)2＝r21＋r22－2r1r2cosπ3，得4c2

＝r21＋r22－r1r2.由r1＋r2＝2a1，r1－r2＝2a2，得r1＝a1＋a2，r2＝a1－a2，所以1e1＋1e2＝a1＋a2c＝r1c.令m＝r21c2＝4r21r21＋r22－r1r2＝41＋

r2r12－r2r1＝4r2r1－122＋34，当r2r1＝12时，mmax＝163，所以r1cmax＝433，即1e1＋1e2的最大值为433.答案：A获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com