【文档说明】安徽省皖东县中联盟2020届高三上学期期末考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(21)页，2.245 MB，由小赞的店铺上传

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皖东县中联盟2019~2020学年第一学期高三期末联考理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求.1.已知i是虚数单位，则21ii（）A.1iB

.1iC.1iD.22i【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】22122211111iiiiiiiii.故选：A【点睛】本题考查了复数的除法运算，属于基础

题.2.已知集合|ln1Axyx，|210xBx，则AB（）A.|11xx„B.|10xx„C.|01xx„D.|12xx„【答案】B【解析】【分析】先分别求出集合,AB，由此能求出AB.【详解】解：∵集合

|ln1|1Axyxxx，|210|0xBxxx，∴|10BxxA，故选：B.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基知识，考查运算求解能力，是基础题

.3.若1tan3x，则sin2x（）A.35B.35-C.310D.310【答案】B【解析】【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求出sin,cosxx，再利用二倍角的正弦即可求解.【详解】因为1tan03x，所以x为第二或第四象限

的角；若x为第二象限的角，则10sin10x，310cos10x；若x为第四象限的角，则10sin10x，310cos10x.故3sin22sincos5xxx.故选：B【点睛】本题考查了同

角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.4.在ABC内部任取一点M，使得MBC的面积与ABC的面积的比值大于13的概率为（）A.14B.13C.23D.49【答案】D【解析】【分析

】首先确定M点的位置，根据位置区域，利用几何概型中的面积型概率求解即可.【详解】如图取线段AB靠近点B的三等分点D，取线段AC靠近点C的三等分点E，连结DE，当点M在线段DE上运动时，MBC的面积与ABC的面积的比值等于13

，当点M在图中阴影部分运动时，MBC的面积与ABC的面积的比值大于13，因为ADEABC，且相似比为2:3，故使得MBC的面积与ABC的面积的比值大于13的概率22439P，故选：D.【点睛】本题考查面积型几何概型，是基础题.5.在等比数列na中，36a，前三

项和318S，则公比q（）A.－1或12B.－1或12C.1或12D.1或12【答案】C【解析】【分析】分类当1q符合题意，当1q时，可得1a和q的方程组，解方程组即可.【详解】当1q时，各项均为6，可得318S，符合题意；当1q时，23123111618aaqSaaqaq

，解得11224qa，综上可得公比q的值为：1或12故选：C【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了分类讨论的思想，属于基础题.6.执行如图所示的程序框图，输出的结果s为（）A.－2B.－1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】由

题意，模拟执行程序，依次写出每次循环得到的,sn，当5n时满足条件4n，退出循环，输出s为3.【详解】由题意模拟执行程序时，1,1sn，第一次循环，11110,2sn，此时不满足4n；第二次循环，

20122,3sn，此时不满足4n；第三次循环，32131,4sn，此时不满足4n；第四次循环，41143,5sn，此时满足4n；故选：D【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，读懂流程图是关键，属于基础题.7

.水车是一种利用水流动力进行灌溉的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个水车的示意图，已知水车逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒，半径为3米，水车中心（即圆心）距水面1

.5米.若以水面为x轴，圆心到水面的垂线为y轴建立直角坐标系，水车的一个水斗从出水面点A处开始计时，经过t秒后转到P点的位置，则点P到水面的距离h与时间t的函数关系式为（）A.3sin1.5406htB.1.5cos3406ht

C.3cos1.5403htD.1.5sin3403ht【答案】A【解析】【分析】由题意求出280，再由三角函数的定义即可求解.【详解】由2T，80T，解得240，设圆的

圆心为C，由1.5OC，3CA，则6CAOACM，由正弦函数的定义可得经过t秒后转到P点的位置，则点P到水面的距离h与时间t的函数关系式为3sin1.5406ht,故选：A【点睛】本题考查了三角函数的应用，需掌握三角函数的定义，属于基础题.8.设0.2a，l

og0.2b，0.2c，则（）A.acbB.abcC.bacD.bca【答案】C【解析】【分析】根据对数函数的单调性可得0b，再利用指数函数和幂函数的单调性知0.20.20.20.2，

从而比较出大小.【详解】log0.20b；根据指数函数和幂函数的单调性知0.20.20.20.2，故bac.故选：C【点睛】本题考查了指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小，属于基础题.9.五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，

记载了我国古代早期思想文化发展史上政治军事、外交、文化等各个方面的史实资料，在中国的传统文化的诸多文学作品中，占据相当重要的位置.学校古典研读社的三名社团学生，到学校图书馆借了一套五经书籍共5本进行研读，若每人至少分一本，则

5本书的分配方案种数是（）A.360B.240C.150D.90【答案】C【解析】【分析】分两步，第一步分类讨论，求出2人2本，1人1本和2人1本，1人3本的种数，第二步分配给3名学生，再由分步计数乘法原理得答案.【详解】先分堆再分配第一步分堆分两类2,2,1和

3,1,1，则分堆方法有22353522CCAC种；第二步分配给三名学生有33A种分法；由分步计数乘法原理得：2233535322150NCACCA种.故选：C.【点睛】本题考查分配问题，注意

分两步，先分堆再分配的原则，是基础题.10.如图所示是一位学生设计的奖杯模型，奖杯底托为空心的正四面体，且挖去的空心部分是恰好与四面体四个面都相切的球1O；顶部为球2O，其直径与正四面体的棱长a相等，若这样设计奖杯，则球1O与球2O的半径之比12:rr（）A.1:6B.1:6C.1:3D.

1:3【答案】B【解析】【分析】设内切球1O的半径1r，正四面体的高为h，利用等体积得，可得14rh，由h即可求出1612ra，进而求出比值.【详解】设内切球1O的半径1r，正四面体的高为h，利用等体积

得，111433SrSh，所以14rh，又223633haaa，则1612ra，球2O的半径212ra，所以12:1:6rr.故选：B【点睛】本题考查了棱锥的体积公式，需熟记公式，属于基础题.11.已知圆C：22

8140xyy，直线l：310mxym与x轴，y轴分别交于A，B两点.设圆C上任意一点P到直线的距离l为d，若d取最大值时，PAB的面积（）A.32B.8C.6D.42【答案】B【解析】【分析】直线l：310mxym过定点3

,1M，当MCl时，圆心C到直线l的距离最大，求出最大距离d以及AB，进而可得PAB的面积.【详解】直线l：310mxym过定点3,1M，圆C：228140xyy的圆心0,4C，半径2r，当MCl

时，圆心C到直线l的距离最大，∵1MCk，∴1lk=，即直线l方程为20xy，则2,0A，0,2B，22AB，C到直线l的距离为42322，则P到直线l的最大距离3242dr，此时PAB的面积1224282S，故选：B.【点睛】本题考

查直线和圆的位置关系问题，找到当MCl时，圆心C到直线l的距离最大是关键，是中档题.12.已知函数lnxxfxa（0a），若不等式2fx仅有两个整数解，则实数a的取值范围是（）A.3ln2,ln32B.3ln3,4ln22C.3

ln2,ln32D.3ln3,4ln22【答案】C【解析】【分析】根据题意求出1lnxfxa，令0fx可得1xe，讨论a的取值范围，求出函数的单调区间，由题意2fx有两个整数解为1，2，由

10f，可得22f且32f，解不等式组即可.【详解】已知lnxxfxa，则1ln0xfxa，即1xe，当0a时，10,ex，0fx，fx单调递减，1,ex时，0fx，fx单调递增，且10f，则

2fx有两个整数解为1，2，所以2ln22a且3ln32a…，解得3ln2,ln32a，故选：C.【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性的应用，考查了分类讨论的思想，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量a，b满足1a，1,3b，若2aab，则a与b的夹角为______.【答案】120【解析】【分析】根据向量的夹角公式计算即可.【详解】由2aab知，22aab，又1a，即21a则1ab，所以11cos,122ababab

，故夹角为120，故答案为：120.【点睛】本题考查向量的模和夹角公式，是基础题.14.一百馒头，一百和尚，大和尚每人每餐a个馒头，小和尚每餐每人吃1a个馒头.若大和尚的人数用fa表示，则fa______.【答案】1001a

【解析】【分析】设大和尚有x人，则1100100axxa，解方程即可.【详解】设大和尚有x人，则1100100axxa，即211001xaa，当1a时，与生活实际不符，所以1a，解得1001xa，

即1001faa.故答案为：1001a【点睛】本题考查了列方程求函数解析式，属于基础题.15.已知双曲线C：22221xyab（0a，0b）的左，右焦点分别为1F，2F，过右支上一点P作双曲线C的一条渐近线

的垂线，垂足为H.若1PHPF的最小值为4a，则双曲线C的离心率为______.【答案】5【解析】【分析】利用双曲线的定义122PFPFa，从而可得12||||2PHPFPHPFa，利用点到直线的距离公式可得2||PHPFb，由题意可得24baa，进而求出离心率.【详解】

由双曲线定义知，122PFPFa，则122PFPFa，∴12||||2PHPFPHPFa，所以，过2F作双曲线一条渐近线的垂线垂足为H，交右支于点P，此时2||2PHPFa最小，且最小值为4a，易求焦点到渐近线

的距离为b，即2||PHPFb，所以24baa，即2ba，225ca，可求离心率5e.故答案为：5【点睛】本题考查了双曲线的定义以及双曲线的几何性质，属于基础题.16.已知数列na的前n项和nS满足：22663nnnSa（*nN），则数列na中

最大项等于______.【答案】89【解析】【分析】利用1nnnaSS得到1133122nnnnaa，令32nnnba，可得数列nb的通项公式，进而可得

数列na的通项公式，利用1nnaa的正负来确定数列na中最大项.【详解】因为22663nnnSa，得2n…时，11122663nnnSa，两式相减得:1123223nnnaa，即：1133122nnnnaa

，令32nnnba，又∵123a，∴数列nb是首项132123b，公差为1的等差数列，则nbn，所以，23nnan，11222213333nnnnnnaann

，所以1234naaaaa，故数列na中2389aa且最大，故答案为:89.【点睛】本题考查构造等差数列，利用递推式求通项公式，考查学生的观察能力和分析能力，对于数列最大或者最小项，可以通过

1nnaa的正负来寻找，是中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列na的前n项和nS，满足2nnSan，*nN.（1）求证：数列1na为等比数

列；（2）若2log1nnba，求数列11nnbb的前n项和nT.【答案】（1）证明见解析（2）1nn【解析】【分析】（1）利用1nnnaSS可得121nnaa，再证明111nnaa是

定值即可；（2）将1na代入2log1nnba，然后利用裂项相消法求和.【详解】解：（1）由题可知2nnSan，①当1n时，11121aSa，得11a；当2n时，1121nnSan，②①－

②并整理，得121nnaa，所以1121nnaa，所以数列1na是首项为2，公比为2的等比数列；（2）由（1）知22log1log2nnnban，则1111111nnbbnnnn，所以12233411111nnnTbbb

bbbbb，111111111223341nn111n1nn.【点睛】本题考查等比数列的证明以及裂项相消法求和，是中档题.18.在ABC中，角A，B，C的对边

分别为a，b，c，满足2coscos2bcCcBab.（1）求cb的值；（2）若6a，则ABC的面积的最大值.【答案】（1）2（2）2【解析】【分析】（1）利用正弦定理，将边化为角，通过三角公式变形可得；（2

）由（1）及余弦定理可得2654cosbA，代入三角形面积公式可得54cos6sinABCABCSSAA，利用辅助角公式以及三角函数的有界性可求得最值.【详解】解：（1）由2coscos2bcCcBab，得coscos2cbCcBab，由正弦定理知

：sincossincos2sincBCCBbA，即sin2sincBCbA，sin2sincAbA，∵sin0A，∴2cb，2cb；（2）由余弦定理知，222222cos54cos6acbcbAbbA，则2654cosbA；∴216sinsinsin2

54cosABCASbcAbAA，即54cos6sinABCABCSSAA，∴23616sin5ABCABCSAS，∴236165ABCABCSS，解得2ABCS，即ABC的面积的最大值是2.【点睛】本题考查正弦定理余弦定理的应用，

考查三角形的面积最值的求解，考查计算能力，是中档题19.如图，多面体ABCE中，平面AEC平面ABC，ACBC，AECD四边形BCDE为平行四边形.（1）证明：AEEC；（2）若2AEECCB，求二面角DACE的余弦值.【答案】（

1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）先通过平面AEC平面ABC得到BCAE⊥，再结合AECD，可得AE⊥平面BCDE，进而可得结论；（2）取AC的中点O，AB的中点F，连接OE，OF，以点O为坐

标原点，分别以OA，OF，OE为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面DAC的一个法向量以及平面ECA的一个法向量，求这两个法向量的夹角即可得结果.【详解】解：（1）因为平面AEC平面ABC，交

线为AC，又ACBC，所以BC⊥平面AEC，BCAE，又AECD，CDBCC，则AE⊥平面BCDE，EC平面BCDE，所以，AEEC；（2）取AC的中点O，AB的中点F，连接OE，OF，则OE

平面ABC，OF平面AEC；以点O为坐标原点，分别以OA，OF，OE为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，已知2AEECCB，则2AC，1OE，0,0,0O，1,0,0A，1,0,0C

，0,2,1D，则2,0,0AC，1,2,1AD，设平面DAC的一个法向量,,mxyz，由0,0mACmAD得20,20xxyz令2y，则0x，2z，即

0,2,2m；平面ECA的一个法向量为0,1,0n；23cos,324mnmnmn.所以二面角DACE的余弦值为33.【点睛】本题考查线线垂直的证明以及空间向量发求面面角，考查学生计算能力以及空间想象能力

，是中档题.20.已知椭圆1C：22221xyab（0ab）的一个焦点F与抛物线2C：24yx的焦点重合，且离心率为22.（1）求椭圆1C的标准方程；（2）过焦点F的直线l与抛物线2C交于A，B两点，与椭圆1C交于C，D两点，满足32ABCD，求

直线l的方程.【答案】（1）2212xy（2）10xy【解析】【分析】（1）根据题意求出,,abc，即可写出椭圆的标准方程.（2）当直线l不存在斜率时，可求出,,,ABCD四点，可验证32ABCD；

当直线l存在斜率时，设直线方程为1ykx，将直线分别与椭圆1C方程、抛物线方程联立，利用弦长公式和焦点弦公式求出AB、CD，根据32ABCD解方程即可.【详解】解：（1）由已知椭圆的离心率2ca，1c，得2a，则1b

，故椭圆1C的标准方程为2212xy（2）当直线l不存在斜率时，可求出1,2A，1,2B，21,2C，21,2D，所以||4AB，||2CD=，不满足条件；当直线l存在斜率时，设直线方程为1

ykx，代入椭圆1C方程得：2222124220kxkxk，恒成立，设11,Cxy，22,Dxy，则212221224,2121,21kxxkkxxk∴2222221222

2212214114212121kkkCDkxxkkkk将直线l：1ykx，代入抛物线2C得2222240kxkxk，设33,Axy，44,B

xy，则234224kxxk，又因为2234224124||2kkABxxkk，由||32||ABCD得：2222412213221kkkk，∴221321kk，解得1k

，所以直线l的方程为10xy.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系、弦长公式，考查了学生的计算能力，属于中档题.21.为了鼓励职员工作热情，某公司对每位职员一年来的工作业绩按月进行考评打分；年终按照职员

的月平均值评选公司最佳职员并给予相应奖励.已知职员A一年来的工作业绩分数的茎叶图如图所示：（1）根据职员A的业绩茎叶图求出他这一年的工作业绩的中位数和平均数；（2）若记职员A的工作业绩的月平均数为Ax.①已知该公司还有6位职员的业绩在100以上，分别是1116x，2

108x，3102x，4120x，5112x，6110x，在这6人的业绩里随机抽取2个数据，求恰有1个数据满足8Aixx（其中1,2,3,4,5,6i）的概率；②由于职员A的业绩高，被公司评为年度最佳职员，在公司年会上通过抽奖

形式领取奖金.公司准备了9张卡片，其中有1张卡片上标注奖金为6千元，4张卡片的奖金为4千元，另外4张的奖金为2千元.规则是：获奖职员需要从9张卡片中随机抽出3张，这3张卡片上的金额数之和就是该职员所得奖金.记职员A获得的奖金为X（千元），求X的分布列和期望.【答案】（1）中位数是122.5；平均数

是123.5（2）①815②详见解析【解析】【分析】（1）直接利用中位数和平均数的概念公式来计算即可；（2）①找出符合条件的数据，利用古典概型公式求出概率即可.②由题意知X所有取值为：6，8，10，12，14，利用古典概型公式求出概率，进而可得分布

列和期望.【详解】解：（1）由茎叶图可知，所求的中位数是122123122.52；平均数是1812117123612182426120123.512；（2）①由（1）知123.5Ax，①满足8Aixx

的有1116x，4120x，所以，所求的概率112642CC8C15P；②由题意知X所有取值为：6，8，10，12，14则34391621CPXC；123944287CCPXC；1142214

43951014CCCCPXC；311141113951221CCCCPXC；12143911414CCPXC.所以X的分布列为X68101214P12127514521114所以，期望125536810121410217142142EX

（千元）.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查计算能力，是基础题.22.已知函数xfxeaxb.其中,abR.（1）讨论函数fx的单调性；（2）函数fx在0x处存在极值－1，且1

,x时，21fxkx恒成立，求实数k的最大整数.【答案】（1）当0a时，fx在,上单调递增;当0a时，fx在,lna上单调递减，在ln,a上单调递增（2）k的最大整数为0.【解析】【分析】（1）求导exfxa

，分0a，0a讨论fx的正负值，即函数fx的单调性；（2）先通过函数fx在0x处存在极值－1，可求出e2xfxx，将21fxkx恒成立，转化为e1xxkx

，令e1xxhxx，利用导数求hx的最小值.【详解】解：（1）xfxea，当0a时，0fx，fx在,上单调递增；当0a时，0xfxea，lnxa，则,lnxa时，0fx，fx在

,lna上单调递减；ln,xa时，0fx，fx在ln,a上单调递增；综上，当0a时，fx在,上单调递增；当0a时，fx在,lna上单调递减，在ln,a

上单调递增.（2）函数fx在0x处存在极值－1，由（1）知0a，且000fea，011fb，所以1a，2b，则2xfxex；因为10xfxe，0x，所以,0x时，fx单调递减；0,x

时，fx单调递增，则fx在0x处存在极值01f满足题意；由题意21fxkx恒成立，即1xxxek，对1,x恒成立，即：1xxexk，设

1xxxexh，只需minkhx，因为211111xxxxexxehxxxe，又令1xtxxe，1xxxtexexxe，所以tx在1,上单调递增，因为11110224eet，11

0te.知存在01,12x使得00010xetxx，即001xex，且在01,x上，0tx，0hx，hx单调递减，在0,x上，0tx，0hx，hx单调递增，所以，00000min00011111xxxx

hxhxxxxe，即01,12x，∴min0110hxx，又01h，知min0,1hx，所以k的最大整数为0.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及恒成立问题，其中将恒成立问题通过参变分离转化为最值问

题，是常见的解决恒成立问题的手段，考查了学生计算能力，是一道难度较大的题目.