【文档说明】第12讲：圆锥曲线的切线 -备战2022高考数学之解析几何讲义含答案【高考】.docx，共(7)页，712.188 KB，由小赞的店铺上传

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1第12讲：圆锥曲线的切线不管是哪一种圆锥曲线的切线，其本质都是圆锥曲线与直线只有一个交点，即联立圆锥曲线方程与直线方程所得到的一元二次方程有且仅有一个根，即0=，相信这对于大家来说都不是问题，在这里我们对圆锥曲线的切线做一些总结，以方便大家在

最短的时间内解决题目。（一）椭圆的切线：①12222=+byax在点P(00,yx)处的切线方程为12020=+byyaxx②过椭圆外一点Q（11,yx）可以做椭圆的两条切线，两切点所在的直线方程为12121=+byyaxx③直线mkxy+=与椭圆1222

2=+byax相切时，满足2222mbka=+例：已知P为椭圆13422=+yx上一动点，求点P到直线062=−−yx的最小值与最大值。（二）双曲线的切线：①1-2222=byax在点P(00,yx)处的切线方程为1-2020=byyaxx②过椭圆外一点Q（

11,yx）可以做椭圆的两条切线，两切点所在的直线方程为1-2121=byyaxx③直线mkxy+=与椭圆12222=+byax相切时，满足2222-mbka=（三）抛物线的切线：①pyx22=上某点P（00,yx）的切线斜率为pxk0=,点P(pxx2,200)

，则切线方程为pxxxpxy2)(2000+−=，即pxpxxy2200−=，通过观察我们知道:与x轴的交点为)0,2(0x，切线与x轴的截距为切点处横坐标的一半，与y轴的交点为)2-,0(20px，在y轴上的截距为切点纵坐标的相反数。②A（11

,yx），B（22,yx）均在抛物线pyx22=上，请推证A、B处两切线及其两切线的交点坐标。2A点处切线pxpxxy2211−=B点处切线pxpxxy2222−=两条切线的焦点坐标（1212,22xxxxp+）我

们发现：i、两切线的交点横坐标为两个切点的中点M的横坐标ii、根据前面弦长知识点可知，直线与抛物线的两个交点满足：122xxpb=−(b为直线与对称轴的截距)，那么我们得到：两切线的交点纵坐标(12222xxpbbpp−==−)与直线与对称轴的截距互为相反数

延伸一：过抛物线对称轴上一点(0,b)做直线与抛物线相交于A、B两点，过A、B分别做抛物线的切线，两切线相交于点Q，通过几何画板作图我们发现：不论直线绕P(0,b)如何旋转，两切线的交点的纵坐标恒为-b证明：令过P的直线为ykxb=+

，221212(,),(,)22xxAxBxpp联立22xpyykxb==+得122xxpb=−设A点处切线pxpxxy2211−=,B点处切线pxpxxy2222−=则两条切线的焦点坐标Q（1212,22

xxxxp+）∴12222Qxxpbybpp−===−证毕延伸二、过点Q(,)ab（22bpa）做抛物线的两条切线分别切抛物线于点A、3B，直线AB与y轴的截距为-b斜率22121212222ABxxxxappkxxpp−+===−∴切点弦方程为：ay

xbp=−③对于焦点在x轴上的抛物线，求切线一般联立方程，利用0=求解。④需要需注意的是：过抛物线外一点做与抛物线仅有一个交点的直线有三条：除了两条切线之外还有一条与x轴平行（即斜率为0的直线与抛物线也只有一个交点。练习1．历史上第一个研究圆锥曲线的是梅

纳库莫斯（公元前375年-325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线l表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C的中

心在坐标原点，焦点为12(,0),(,0)(0)FcFcc−，由1F发出的光经椭圆两次反射后回到1F经过的路程为833c．利用椭圆的光学性质解决以下问题．．．．．．．．．．．．．．．：（1）求椭圆C的离心率；（2）点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为2,lF

在l上的射影H在圆224xy+=上，求椭圆C的方程．【答案】（1）32；（2）2214xy+=．【分析】4（1）由题设，若椭圆C的长轴长为2(0)aa，则8343ac=，即可求离心率.（2）法一：延长21,FHFP交于点0F，易得20PFPF=且H为20FF中点，由中位

线的性质及点在圆上求椭圆参数a，即可得椭圆方程；法二：设1F，O在l上的射影分别为10,HH，连接12,,PFPFOH，由反射性质设11FPH=则2FPH=，即可得12cosHHa=、0sinOHa=，根据22200OHOHHH=+求椭圆参数a，写出椭圆方程.【

详解】（1）设椭圆C的长轴长为2(0)aa，由题意知：1F发出的光经椭圆两次反射后回到1F经过的路程为8343ac=，∴32cea==．（2）法一：如图：延长21,FHFP，交于点0F，在20PFF中，0220,PHFFFPHFPH⊥=，则20PFPF=且

H为20FF中点，在120FFF中，()()101012111222OHFFPFPFPFPF==+=+，则1242PFPFa+==，224,1ab==，即椭圆方程为2214xy+=．法二：设1F，O在l上的射影分别为10,HH，

连接12,,PFPFOH，如图：5设11FPH=，则2FPH=，在11RtFHP中，可得11111sin,cosFHPFPHPF==，同理：222sin,cosFHPFPHPF==，∴()1112cos2cosHHHPHPPFPFa=+=+

=，()121120sinsin22PFPFFHFHOHa++===，∵222222002(sin)cos42aOHOHHHaa=+=+==，∴椭圆方程为2214xy+=．【点睛】关键点点睛：第二问，利用椭圆上点的反射性

质确定相关角或边的等量关系及对称关系，再根据2OH=列方程求椭圆参数.练习2．已知抛物线21:Cxy=，圆222:(4)1Cxy+−=的圆心为点M．（1）求点M到抛物线1C的准线的距离；（2）已知点P是抛物线1C上一点（异于原点），过点P作圆2C的两条切

线，交抛物线1C于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程．【答案】（1）174;6（2）31154115yx=+.【分析】（1）求出抛物线的准线方程以及圆心坐标，利用点到直线的距离公式即可求出结果；（1）设点0(Px，20)x，1(Ax，21)x，2(B

x，22)x，进而表示出,PAPB的斜率，由于M到直线,PAPB的距离相等，因此可得出关系式，根据韦达定理得到表达式，然后再结合l与AB垂直即可求出点P的坐标，进而得出结果.（1）由于抛物线21:Cxy=准线方程为：14y=−，圆2

22:(4)1Cxy+−=的圆心(0,4)M，利用点到直线的距离公式可以得到距离1174()44d=−−=．（2）设点0(Px，20)x，1(Ax，21)x，2(Bx，22)x；由题意得：01x，12xx

，设过点P的圆2C的切线方程为：200()yxkxx−=−即200ykxkxx=−+①则2002|4|11kxxk+−=+，即222220000(1)2(4)(4)10xkxxkx−+−+−−=设PA，PB的斜率为1

k，212()kkk，则1k，2k应该为上述方程的两个根，20012202(4)1xxkkx−+=−，2201220(4)11xkkx−−=−；代入①得：22000xkxkxx−+−=则1x，2x应为此方程的两个根，故110xkx

=−，220xkx=−220001212002002(4)422,1ABMPxxxkxxkkxxkxx−−=+=+−=−=−由于MPAB⊥，202315ABMPkKx=−=故2323(,)55P

3115:4115lyx=+直线的方程为．【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用

公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．练习3．离心率为2的双曲线22122:1yxCab−=上的动点P到两焦点的距离之和的最小值为722，抛物线22:2(0)Cxpyp=的焦点与双曲线1C的上顶点重合．（1）求抛物线2C的方程；（2）过直

线:(lyaa=为负常数）上任意一点M向抛物线2C引两条切线，切点分别为AB，坐标原点O恒在以AB为直径的圆内，求实数a的取值范围．【答案】（1）24xy=；（2）40a-<<.【分析】（1）根据双曲线离心率、焦距求顶点坐标，结合题设即可得抛物线方程.（2）设(,

)Mma，2111(,)4Axx，2221(,)4Bxx，根据题设条件可得1x，2x是方程242axmx=−的两个不同的根，应用韦达定理及坐标表示0OAOB求参数范围.（1）由已知：双曲线焦距为22，离心率为2，则长轴长为2，故双曲线的上顶点为(0,1)，

即为抛物线焦点.∴抛物线2C的方程为24xy=；（2）设(,)Mma，2111(,)4Axx，2221(,)4Bxx，故直线MA的方程为211111()42yxxxx−=−，即21142yxxx=−，所以21142axmx=−，同理可得：22242axm

x=−，∴1x，2x是方程242axmx=−的两个不同的根，则124xxa=，2212121()416OAOBxxxxaa=+=+，由O恒在以AB为直径的圆内，240aa+，即40a-<<．