【文档说明】江苏省苏州市2021届高三年级4月份三校联考数学试题答案与解析.pdf,共(17)页,874.833 KB,由管理员店铺上传
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2021届高三年级三校联考数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考
试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题.本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知()RABC,则下面选项中一定成立的是A.ABAB.ABBC.AB
BD.ABR【答案】B2.已知i是虚数单位,在复平面内,复数2i和13i对应的点间的距离是A.5B.10C.5D.25【答案】C3.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,良马初日行一百零三
里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,九日二马相逢,则长安至齐A.1120里B.2250里C.3375里D.1125里【答案】D4.甲、乙、丙、丁四位同学决定去巴城老街、千灯古镇、周庄游玩,每人只能去一个地方,周庄一定要有人去,则不同游览方案
的种数为A.60B.65C.70D.75【答案】B5.已知,AB是圆22:1Oxy上的两个动点,3AB,32OCOAOB,M为线段AB的中点,则OCOM的值为A.14B.12C.34D.32【答案】A6.雷达是利用电磁波探测目标的电子设备.电
磁波在大气中大致沿直线传播.受地球表面曲率的影响,雷达所能发现目标的最大直视距离222212()()LRhRRhR22112222RhhRhh,其中1h为雷达天线架设高度,2h为探测目标高度,R为地球半径.考虑到电磁波的弯曲、折射等因素,R等
效取8490km,故R远大于1h,2h.假设某探测目标高度为25m,为保护航母的安全,须在直视距离390km外探测到目标,并发出预警,则舰载预警机的巡航高度至少约为(参考数据:28.494.12)A.6400mB.7200mC.8100mD.10000m
【答案】C7.下列图象中可以作为函数2()1cos1xfxxe部分图象的是【答案】B【解析】1e()cos1exxfxx为奇函数,排除A,C当0,2x时,()0fx,故选B.8.已知函数ln()21,(0)kxxfxekkx;函
数()lngxxx;若()2()kfxgx,对(0,)x恒成立,则实数k的取值范围为A.[1,)B.[,)eC.1,eD.2,e【答案】D【解析】22lne
2lne2ln2lnkxkxxkkxxkxxkxxxx(*)2222ln(e1)ln(1)ln(e1)kxxkxxxx令()(e1)xFxx,2()(ln)FkxFx由(*)式知显然0k,当2ln0x时,不等式显然成立当2ln0x时,由2,ln0kx
x,()Fx在(0,)上2maxln2ln2ln2exkxxxkx,故选D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得
5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.新高考方案规定,普通高中学业水平考试分为合格性考试(合格考)和选择性考试(选择考),其中“选择考”成绩将计入高考总成绩,即将学生考试时的原始卷面分数由高到低进行排序,评定为,,,,ABCDE五个等级,再转换为分数
计入高考总成绩.某试点高中2020年参加“选择考”总人数是2018年参加“选择考”总人数的2倍,为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况,统计了该校2018年和2020年“选择考”成绩等级结果,得到如图所示的统计图.针对该校“选择
考”情况,2020年与2018年比较,下列说法正确的是A.获得A等级的人数增加了B.获得B等级的人数增加了1.5倍C.获得D等级的人数减少了一半D.获得E等级的人数相同【答案】AB10.ABC中,D为边AC上的一点,且满足12ADDC
,若P为边BD上的一点,且满足(0,0)APmABnACmn,则下列结论正确的是A.21mnB.mn的最大值为112C.41mn的最小值为642D.229mn的最小值为
12【答案】BD11.已知函数()cossinfxxx,下列说法正确的是A.()fx是偶函数B.()fx是周期为的函数C.()fx在区间3,2上单调递减D.()fx的最大值为2【答案】ABC【解析】对于A,由()co
ssin()fxxxfx知()fx为偶函数,A正确;对于B,()cos()sincossin()fxxxxxfx,B正确;对于C,当3,2x时,()cossin2sin4fxxxx,35,444x,
()fx在3,2上单调递减,C正确;对于D,显然()fx的最大值为1,D错误故选ABC.12.已知正方体1111ABCDABCD的棱长为4,M为1DD的中点,N为ABCD所在平面上一动点,1N为1111ABCD所在平面上一动
点,且1NN平面ABCD,则下列命题正确的是A.若MN与平面ABCD所成的角为4,则点N的轨迹为圆B.若三棱柱111NADNAD的表面积为定值,则点N的轨迹为椭圆C.若点N到直线1BB与直线DC的距离相等,则点N的轨迹为抛物线D.若1DN与AB所成的角为3,则点N的轨迹为双曲线【答案】AC
D【解析】对于A,MN在底面ABCD的射影为MND,则4MND,2DNDMN在以D为圆心,2为半径的圆上运动,A正确;对于B,如图建系,设(,)Nxy,由题意知,(0,0)A,(0,4)D222244(4
)164xyxyx为定值,即NANDNE为定值,B错误;对于C,由题意知(4,0)B,22(4)NBxy,22(4)4xyyN的轨迹方程为288xxy为抛物线,C正确;对于D,在,BC基础上加上以1AA方向为z轴,此时1(0,4,
4)D,(,,0)Nxy(4,0,0)AB,1(,4,4)DNxy由题意知22224cos3(4)1634(4)16xxyxy22(4)116163xy,N轨迹为双曲线,D正
确故选ACD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在产品质量检测中,已知某产品的一项质量指标2~(100,10)XN,且110120X的产品数量为5436件.请估计该批次检测的产品数量是__________件.参考数据:()0.6826PX,(22)0.
9545PX,(33)0.997PX【答案】4000014.已知函数()fx满足:()(2)(2)fxfxfx,则符合题意的一个()fx的解析式可以为__________.【答案】答案不唯一,()0
fx,()sin2fxx等15.在四面体ABCD中,2AB,1DADBCACB,则四面体ABCD的外接球的体积为__________.【答案】23【解析】取AB中点E,则22EAEBECED,四面体外接球的半径为22
,体积为41223223.16.已知双曲线222:1(0)4xyCbb,若在直线:20lxy上存在点P满足:过点P能向双曲线C引两条互相垂直的切线,则双曲线C的离心率取值范围是__________.【答案】61,2【解析】设过P点且与双曲线相切的直
线方程为00()ykxxy,002yx0022222220000002222()4(2)2()444ykxxybxkxxxxykyxxbbxyb2222222200
0000(4)(88)44840bkxkxkyxkxykxyb22222222000000064()4(4)(4484)0kxkybkkxykxyb222222220000004()(4)(2)0
kxkybkkxykxyb423222222224422200000000004(2)244kxkxykybxkbykbxybkxky32200840xykkb2222
22240000(4)20bxbkbxykbyb22220000(4)20xkxykyb,两根设为12,kk2222201200201(2)44ybkkxbxx222000444xxbx,2200240xxb看成关于0x的
方程22168002bb双曲线C离心率224611,442bbe.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)在①()()()ababacc,②22cosacbC,③3
(cos)sinabCcB三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.在ABC中,内角,,ABC的对边分别是,,abc,且满足23b.(1)若4ac,求ABC的面积;(2)求ac的取值范围.【
解析】若选①,由题意()()()ababacc,化简得222122acbac即1cos2B,0B,得3B(1)由余弦定理2()22cosbacacacB,得21124222acac,解得43a
c,113sinsin2233SacB.(2)由正弦定理234sinsinsin32acbACB,又因为23AC,所以4(sinsin)acAC24sinsin3AA1343cossin43sin226AAA
,因为203A,5666A,1sin,162A,(23,43]ac若选②,由22cosacbC,得2sinsin2sincosACBC,
2sin()sin2sincosBCCBC,化简得2cossinsinBCC,得1cos,02BB,得3B.以下与选①同.若选③,由3(cos)sinabCcB,得3(sinsinc
os)sinsinABCCB,即3[sin()sincos]sinsinBCBCCB,化简得tan3B,0B,得3B.以下与选①同.18.(12分)设na是等比数列,公比大于0,nb是等差数列,已知11a,322aa,435ab
b,5462abb(1)求na和nb的通项公式;(2)设数列nc满足121cc,11,33,3kknkkncan,其中*kN,求数列33(1)nnbc的前n项和.【解析】(1)11a
,232220aaqq解得2q或1q(舍)所以12nna,351146182681216313161bbbdbbbbdd所以nbn.(2)33nnb,132kkkca,132nnc1133(1)3(21)3
63nnnnnnbc设0112231(363)(363)(363)(363)nnnS012112(36363636)(333)nn11(16)3(13)3639316135210nnnn
.19.(12分)如图,三棱锥SABC的底面ABC和侧面SBC都是等边三角形,且平面SBC平面ABC.(1)若P点是线段SA的中点,求证:SA平面PBC;(2)点Q在线段SA上且满足13AQAS,求BQ与平面
SAC所成角的正弦值.【解析】(1)因为ABC和SBC都为等边三角形,且有公共边BC,所以ABSBBCACSC.因为P为SA的中点,所以SABP,SACP,又因为BPCPP,所以SAPBC平面.(
2)取BC的中点O,连接,OAOS,由条件可得,,OABCOS两两垂直.以O为坐标原点,,,OAOBOS的方向分别为,,xyz轴的正方向建立空间直角坐标系,如图.设2AB,则3AOOS,则点
(3,0,0)A,(0,1,0)B,(0,1,0)C,(0,0,3)S,233,0,33Q,所以(3,1,0)CA,(3,0,3)SA,233,1,33BQ.设平面SAC的一个法向量为(,,)nxyz,则30,330,nCAxynS
Axz,令1x,可得(1,3,1)n.设BQ与平面SAC所成角为,233331033sincos,1041113133BQnBQnBQn.20.(12分)
在新的高考改革形式下,江苏、辽宁、广东、河北、湖南、湖北、福建、重庆八个省市在2021年首次实施“312”模式新高考.为了适应新高考模式,在2021年1月23日至1月25日进行了“八省联考”,考完后,网上流传很多种对各地考生考试成绩的评价,对12种组合的选
择也产生不同的质疑.为此,某校随机抽一名考生小明(语文、数学、英语、物理、政治、生物的组合)在高一选科前某两次六科对应成绩进行分析,借此成绩进行相应的推断.下表1是小明同学高一选科前两次测试成绩(满分100分):语文数学英语物理政治生物第一次879291928593第二次829495889487
(1)从小明同学第一次测试的科目中随机抽取1科,求该科成绩大于90分的概率;;(2)从小明同学第一次测试和第二次测试的科目中各随机抽取1科,记X为抽取的2科中成绩大于90分的科目数量,求X的分布列和数学期望()EX;(3)现有另一名同学两次测试成绩(满分100分)及相关统计信息如下表2所示
:语文数学英语物理政治生物6科成绩均值6科成绩方差第一次1a2a3a4a5a6a1x1D第二次1b2b3b4b5b6b2x2D将每科两次测试成绩的均值作为该科的总评成绩,这6科总评成绩的方差为3D.有一种观点认为:若1212,xxDD,能推出132DDD.则有理由
认为“八省联考”考生成绩与选科有关,否则没有理由否定12种选科模式的不合理性,即新高考模式12种选科模式是可取的.假设这种观点是正确的,通过表2内容,你认为新高考模式12种组合选科模式是否可取?【解析】(1)共有6科成绩,其中成绩大于90分的有数学、英
语、物理和生物共4科,所以从张明同学第一次测试的科目中随机抽取1科,该科成绩大于90分的概率为4263.(2)X的所有可能取值为:0,1,2,112311661(0)6CCPXCC,1111234311661(1)2CCCCPXCC,114311661(
2)3CCPXCC,所以X的分布列为:X012P161213数学期望1117()0126236EX.(3)设12xxx,则1261266aaabbbx,则22211266()()()Daxaxax22221261262()6aaaa
aaxx22222126126aaaxx22221266aaax,同理可得2222212666Dbbbx,2222112266366222abababDx
,因为12DD,所以222222126126aaabbb,所以2222221122663112666()222abababDDaaa
111122226666()(3)()(3)()(3)444babababababa的符号不确定,所以3D与1D无法比较大小,2222221122663212666
()222abababDDbbb222222222112266126()222abababbbb222222126126()02a
aabbb,所以32DD,综上所述由12xx,12DD,推不出132DDD故新高考模式12种组合选科模式是可取的.21.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆22221(0)xyabab的右焦点为F,P为右准线上一点
.点Q在椭圆上,且FQFP.(1)若椭圆的离心率为12,短轴长为23.①求椭圆的方程;②若直线,OQPQ的斜率分别为12,kk,求12kk的值;(2)若在x轴上方存在,PQ两点,使,,,OFPQ四点共圆,求椭圆离心率的取值范围.【解析】解析一:(1)①设椭
圆的焦距为2c,由题意,得2221,2223,,cababc所以2,3.ab所以椭圆的方程为22143xy.②由①得,焦点(1,0)F,准线为4x,解析1:设(4,)Pt,00(,)Qxy,则2
200143xy,所以2200334yx.所以00(1,)FQxy,(3,)FPt,因为FPFQ,所以003(1)0FQFPxty,所以003(1)tyx.所以220000001222000000333(1)344444
xxyytytykkxxxxxx.解析2:设00(,)Qxy,则2200143xy,所以2200334yx,当1x时,直线FQ存在斜率,则001FQykx,又FPFQ,所以直线FP的方
程为001(1)xyxy,所以点P的坐标为003(1)4,xy.所以020200000012220000003(1)333(1)3(1)344444xyxxyyyxkkxxxxxx
;当1x时,点Q的坐标为31,2,点P的坐标为(4,0),也满足1234kk,所以12kk的值为34.(2)解析一:设2,aPtc,00(,)Qxy,因为FPFQ,则
FPQ的外接圆即为以PQ为直径的圆200()()()0axxxytyyc.由题意,焦点F,原点O均在该圆上,所以200200()0,0accxtycaxtyc,消去0ty得2200
()0aaccxxcc,所以20axcc,因为点,PQ均在x轴上方,所以2aaccc,即220caca,所以210ee,又因为01e,所以5112e.解析二:因为,,,OFPQ四点共圆且FPFQ,所以PQ为圆的直径,所以圆心必为
PQ中点M,又圆心在弦OF的中垂线2cx上,所以圆心M的横坐标为2Mcx,所以点Q的横坐标为222QMaaxxccc.(以下同方法1).解析三:(1)①12ca,3b,222abc,椭圆标准方程为22143
xy.②椭圆右准线方程为4x,(1,0)F设(4,)Pm,00(,)Qxy,001131PFQFmykkx,2200143xy则22000000122200000033444yymymyyxkkxx
xxxx202000220000331333434444xxxxxxxx.(2),,,OFPQ四点共圆且FPFQPQ为圆的直径圆心必过PQ中点00(,)
Mxy,又圆心也在线段OF的中垂线2cx上,02cx,2Qaxcc,PQ均在x轴上方,2aaccc,2225101012cacaeee即离心率范围为51,12.22
.(12分)已知函数()2ln(1)2xfxeax.(1)当2a时,讨论()fx的单调性;(2)当0,x时,()sinfxx恒成立,求a的取值范围.【解析】解析一:(1)当2a时,()22ln(1)2xfxex,1x.2()21xfxex,(
)fx在(1,)单调递增,且(0)0f.当(1,0)x时,()0fx;当(0,)x时,()0fx.所以函数()fx在(1,0)单调递减,在(0,)单调递增.(2)令()()sin2ln(1)2sin,0,xgxfxxeaxx
x当0,x时,()sinfxx恒成立等价于()(0)0gxg恒成立.由于()()cos2cos,0,1xagxfxxexxx,所以(i)当0a时,()210xgxe,函数()ygx在0,单
调递增,所以()(0)0gxg,在区间0,恒成立,符合题意.(ii)当0a时,()2cos1xagxexx在0,单调递增,(0)211gaa.①当10a即10a时,()(0)10gxga,函数()ygx在0,
单调递增,所以()(0)0gxg在0,恒成立,符合题意.②当10a即1a时,(0)10ga,()211age,若()0g,即(1)(21)ae时,()gx在(0,)恒小于0则()gx在(0,)单调递减,(
)(0)0gxg,不符合题意.若()0g,即(1)(21)1ea时,存在0(0,)x使得0()0gx.所以当0(0,)xx时,()0gx,则()gx在0(0,)x单调递减
,()(0)0gxg,不符合题意.综上所述,a的取值范围是[1,).解析二:(1)当2a时,()2e2ln(1)2xfxx,2()2e1xfxx,显然()fx在(0,)上注意到(0)0f,当(1,0)x时,()0fx,()fx;当(0
,)x时,()0,()fxfx(2)2eln(1)2sin0xaxx恒成立令()2eln(1)2sinxFxaxx,()(0)FxF()2ecos(0)0101xaFxxFax,1a
(必要性)当1a时,()2eln(1)2sin2(1)20xFxxxxxx,综上:1a.