【文档说明】江苏省苏州市2021届高三年级4月份三校联考数学试题答案与解析.pdf，共(17)页，874.833 KB，由小赞的店铺上传

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2021届高三年级三校联考数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考

试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知()RABC，则下面选项中一定成立的是A．ABA

B．ABBC．ABBD．ABR【答案】B2．已知i是虚数单位，在复平面内，复数2i和13i对应的点间的距离是A．5B．10C．5D．25【答案】C3．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长

安至齐，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，九日二马相逢，则长安至齐A．1120里B．2250里C．3375里D．1125里【答案】D4．甲、乙、丙、丁四位同学决定去巴城老街、千灯古镇、周庄游玩，每人只能去一个地方，周庄一定要有人

去，则不同游览方案的种数为A．60B．65C．70D．75【答案】B5．已知,AB是圆22:1Oxy上的两个动点，3AB，32OCOAOB，M为线段AB的中点，则OCOM的值为A．14B．12C．34D

．32【答案】A6．雷达是利用电磁波探测目标的电子设备.电磁波在大气中大致沿直线传播.受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离222212()()LRhRRhR22112222RhhRhh

，其中1h为雷达天线架设高度，2h为探测目标高度，R为地球半径.考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R等效取8490km，故R远大于1h，2h.假设某探测目标高度为25m，为保护航母的安全，须在直视距离390km外

探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为（参考数据：28.494.12）A．6400mB．7200mC．8100mD．10000m【答案】C7．下列图象中可以作为函数2()1cos1xfxxe部分图象的是【答案】B【解析】1e()cos1exxfxx

为奇函数，排除A，C当0,2x时，()0fx，故选B.8．已知函数ln()21,(0)kxxfxekkx；函数()lngxxx；若()2()kfxgx，对(0,)x恒成立，则实数k的取值范围为A．[1,)B．[

,)eC．1,eD．2,e【答案】D【解析】22lne2lne2ln2lnkxkxxkkxxkxxkxxxx（*）2222ln(e1)ln(1)ln(e1

)kxxkxxxx令()(e1)xFxx，2()(ln)FkxFx由（*）式知显然0k，当2ln0x时，不等式显然成立当2ln0x时，由2,ln0kxx，()Fx在(0,)上2maxln2ln2

ln2exkxxxkx，故选D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．新高考方案规定，普通高中学业水平考试分

为合格性考试(合格考)和选择性考试(选择考)，其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即将学生考试时的原始卷面分数由高到低进行排序，评定为,,,,ABCDE五个等级，再转换为分数计入高考总成绩．某试点高中2020年参加“选择考”总

人数是2018年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2018年和2020年“选择考”成绩等级结果，得到如图所示的统计图.针对该校“选择考”情况，2020年与2018年比较，下列说法正确的是A．获得A等级的人数增加了

B．获得B等级的人数增加了1.5倍C．获得D等级的人数减少了一半D．获得E等级的人数相同【答案】AB10．ABC中，D为边AC上的一点，且满足12ADDC，若P为边BD上的一点，且满足(0,0

)APmABnACmn，则下列结论正确的是A．21mnB．mn的最大值为112C．41mn的最小值为642D．229mn的最小值为12【答案】BD11．已知函数

()cossinfxxx，下列说法正确的是A．()fx是偶函数B．()fx是周期为的函数C．()fx在区间3,2上单调递减D．()fx的最大值为2【答案】ABC【解析】对于A，由()cossin()fxxxfx知()fx为偶函数，A正确；对于B，()co

s()sincossin()fxxxxxfx，B正确；对于C，当3,2x时，()cossin2sin4fxxxx，35,444x，()fx在3

,2上单调递减，C正确；对于D，显然()fx的最大值为1，D错误故选ABC.12．已知正方体1111ABCDABCD的棱长为4，M为1DD的中点，N为ABCD所在平面上一动点，1N为1111ABCD所在平面上一动点，且1NN平面ABCD，则下列命

题正确的是A．若MN与平面ABCD所成的角为4，则点N的轨迹为圆B．若三棱柱111NADNAD的表面积为定值，则点N的轨迹为椭圆C．若点N到直线1BB与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线D．若1DN与AB所成的角为3，则点N的轨迹为双曲线【答案】AC

D【解析】对于A，MN在底面ABCD的射影为MND，则4MND，2DNDMN在以D为圆心，2为半径的圆上运动，A正确；对于B，如图建系，设(,)Nxy，由题意知，(0,0)A，(0,4)D222244(4)164xyxyx为定值，即NANDNE为定值，B错误；

对于C，由题意知(4,0)B，22(4)NBxy，22(4)4xyyN的轨迹方程为288xxy为抛物线，C正确；对于D，在,BC基础上加上以1AA方向为z轴，此时1(0,4,4)D，(,,0)Nxy(4,0,0)AB

，1(,4,4)DNxy由题意知22224cos3(4)1634(4)16xxyxy22(4)116163xy，N轨迹为双曲线，D正确故选ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在产品质量检测中，已知某产品的一项质量指标2~

(100,10)XN，且110120X的产品数量为5436件．请估计该批次检测的产品数量是__________件.参考数据：()0.6826PX，(22)0.9545PX，(33)0.997PX

【答案】4000014．已知函数()fx满足：()(2)(2)fxfxfx，则符合题意的一个()fx的解析式可以为__________.【答案】答案不唯一，()0fx，()sin2fxx

等15．在四面体ABCD中，2AB，1DADBCACB，则四面体ABCD的外接球的体积为__________.【答案】23【解析】取AB中点E，则22EAEBECED，四面

体外接球的半径为22，体积为41223223.16．已知双曲线222:1(0)4xyCbb，若在直线:20lxy上存在点P满足：过点P能向双曲线C引两条互相垂直的切线，则双曲线C的离心率取值范围是__________.【答案】61,2【解析】设过P

点且与双曲线相切的直线方程为00()ykxxy，002yx0022222220000002222()4(2)2()444ykxxybxkxxxxykyxxbbxyb22222222000000(4)(88)44840bkxkxkyx

kxykxyb22222222000000064()4(4)(4484)0kxkybkkxykxyb222222220000004()(4)(2)0kxkybkkxykxyb4232222222244222000000

00004(2)244kxkxykybxkbykbxybkxky32200840xykkb222222240000(4)20bxbkbxykbyb22220000(4)20xkxykyb，两根设为12,kk2222201200201(

2)44ybkkxbxx222000444xxbx，2200240xxb看成关于0x的方程22168002bb双曲线C离心率224611,442bbe.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字

说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在①()()()ababacc，②22cosacbC，③3(cos)sinabCcB三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.在ABC中，内角,,ABC的对边分别是,,a

bc，且满足23b.（1）若4ac，求ABC的面积；（2）求ac的取值范围.【解析】若选①，由题意()()()ababacc，化简得222122acbac即1cos2B，0B，得3B（1）由余弦定理2()22cosbacacacB

，得21124222acac，解得43ac，113sinsin2233SacB.（2）由正弦定理234sinsinsin32acbACB，又因为23AC，所以4(sin

sin)acAC24sinsin3AA1343cossin43sin226AAA，因为203A，5666A，1sin,162A，(23,43

]ac若选②，由22cosacbC，得2sinsin2sincosACBC，2sin()sin2sincosBCCBC，化简得2cossinsinBCC，得1cos,02BB，得3B.

以下与选①同.若选③，由3(cos)sinabCcB，得3(sinsincos)sinsinABCCB，即3[sin()sincos]sinsinBCBCCB，化简得tan3B，0B，得3B.以下与选①同.18．（12分）设na是等比数列，公比大于0

，nb是等差数列，已知11a，322aa，435abb，5462abb（1）求na和nb的通项公式；（2）设数列nc满足121cc，11,33,3kknkkncan，其中*kN，求数列33(1)nnbc的前

n项和.【解析】（1）11a，232220aaqq解得2q或1q（舍）所以12nna，351146182681216313161bbbdbbbbdd所以nbn.（2）33nnb，132kkkca，13

2nnc1133(1)3(21)363nnnnnnbc设0112231(363)(363)(363)(363)nnnS012112(36363636)(333)nn

11(16)3(13)3639316135210nnnn.19．（12分）如图，三棱锥SABC的底面ABC和侧面SBC都是等边三角形，且平面SBC平面ABC.（1）若P点是线段SA的中点，求证：SA平面PBC；（2）点Q在线段SA上且满足

13AQAS，求BQ与平面SAC所成角的正弦值.【解析】（1）因为ABC和SBC都为等边三角形，且有公共边BC，所以ABSBBCACSC.因为P为SA的中点，所以SABP，SACP，又因为BPCPP，所以SAPBC平面.（2）取B

C的中点O，连接,OAOS，由条件可得,,OABCOS两两垂直.以O为坐标原点，,,OAOBOS的方向分别为,,xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，如图.设2AB，则3AOOS，则

点(3,0,0)A，(0,1,0)B，(0,1,0)C，(0,0,3)S，233,0,33Q，所以(3,1,0)CA，(3,0,3)SA，233,1,33BQ.设平面SAC的一个法向量为(,,)nxyz，则30,330,n

CAxynSAxz，令1x，可得(1,3,1)n.设BQ与平面SAC所成角为，233331033sincos,1041113133BQnBQnBQn.20．（12分）在

新的高考改革形式下，江苏、辽宁、广东、河北、湖南、湖北、福建、重庆八个省市在2021年首次实施“312”模式新高考.为了适应新高考模式，在2021年1月23日至1月25日进行了“八省联考”，考完后，网上流传很多种对各地考生考试成绩的评价，对12种组合的选择也产生不

同的质疑.为此，某校随机抽一名考生小明（语文、数学、英语、物理、政治、生物的组合）在高一选科前某两次六科对应成绩进行分析，借此成绩进行相应的推断.下表1是小明同学高一选科前两次测试成绩(满分100分)：语文数学英语物理政治生物第一次879

291928593第二次829495889487（1）从小明同学第一次测试的科目中随机抽取1科，求该科成绩大于90分的概率；；（2）从小明同学第一次测试和第二次测试的科目中各随机抽取1科，记X为抽取的2科中成绩大于90分的科目数量，求X的

分布列和数学期望()EX；（3）现有另一名同学两次测试成绩(满分100分)及相关统计信息如下表2所示：语文数学英语物理政治生物6科成绩均值6科成绩方差第一次1a2a3a4a5a6a1x1D第二次1b2b3b4b5b6b2x2

D将每科两次测试成绩的均值作为该科的总评成绩，这6科总评成绩的方差为3D.有一种观点认为：若1212,xxDD，能推出132DDD.则有理由认为“八省联考”考生成绩与选科有关，否则没有理由否定12种选科模式的不合理

性，即新高考模式12种选科模式是可取的.假设这种观点是正确的，通过表2内容，你认为新高考模式12种组合选科模式是否可取？【解析】（1）共有6科成绩，其中成绩大于90分的有数学、英语、物理和生物共4科，所以从张明同学第一次测试的科目中随机抽取1科，该科成绩大于90分的概

率为4263.（2）X的所有可能取值为：0，1，2，112311661(0)6CCPXCC，1111234311661(1)2CCCCPXCC，114311661(2)3CCPXCC

，所以X的分布列为：X012P161213数学期望1117()0126236EX.（3）设12xxx，则1261266aaabbbx，则22211266()()()Daxaxax22221261262()6aaaaaax

x22222126126aaaxx22221266aaax，同理可得2222212666Dbbbx，2222112266366222abababD

x，因为12DD，所以222222126126aaabbb，所以2222221122663112666()222abababDDaaa11112222666

6()(3)()(3)()(3)444babababababa的符号不确定，所以3D与1D无法比较大小，2222221122663212666()222abababDDbbb2222222221

12266126()222abababbbb222222126126()02aaabbb，所以32DD，综上所述由12xx，12DD，推不出132DDD故新高考模式12种组合选科模式是可取的.21．（12分）如图，在平面直角坐

标系xOy中，已知椭圆22221(0)xyabab的右焦点为F，P为右准线上一点.点Q在椭圆上，且FQFP.（1）若椭圆的离心率为12，短轴长为23.①求椭圆的方程；②若直线,OQPQ的斜率分别为12,kk，求12kk的值；（2）若在x轴上方存在,PQ两点，使,,,O

FPQ四点共圆，求椭圆离心率的取值范围.【解析】解析一：（1）①设椭圆的焦距为2c，由题意，得2221,2223,,cababc所以2,3.ab所以椭圆的方程为22143xy.②由①得，焦点(1,0)F，准线为4x

，解析1：设(4,)Pt，00(,)Qxy，则2200143xy，所以2200334yx.所以00(1,)FQxy，(3,)FPt，因为FPFQ，所以003(1)0FQFPxty，所以003(1

)tyx.所以220000001222000000333(1)344444xxyytytykkxxxxxx.解析2：设00(,)Qxy，则2200143xy，所以2200334yx，当

1x时，直线FQ存在斜率，则001FQykx，又FPFQ，所以直线FP的方程为001(1)xyxy，所以点P的坐标为003(1)4,xy.所以020200000012220000003(1)333(1)3(1)344444xyx

xyyyxkkxxxxxx；当1x时，点Q的坐标为31,2，点P的坐标为(4,0)，也满足1234kk，所以12kk的值为34.（2）解析一：设2,aPtc，00(,

)Qxy，因为FPFQ，则FPQ的外接圆即为以PQ为直径的圆200()()()0axxxytyyc.由题意，焦点F，原点O均在该圆上，所以200200()0,0accxtycaxtyc，消

去0ty得2200()0aaccxxcc，所以20axcc，因为点,PQ均在x轴上方，所以2aaccc，即220caca，所以210ee，又因为01e，所以5112e.解析二：因为,,,OFPQ四点共圆且FPFQ，所以PQ为圆

的直径，所以圆心必为PQ中点M，又圆心在弦OF的中垂线2cx上，所以圆心M的横坐标为2Mcx，所以点Q的横坐标为222QMaaxxccc.（以下同方法1）.解析三：（1）①12ca，3b，222abc，椭圆标准方程为

22143xy.②椭圆右准线方程为4x，(1,0)F设(4,)Pm，00(,)Qxy，001131PFQFmykkx，2200143xy则22000000122200000033444yymymyyxkkxxxxxx2020002200003313

33434444xxxxxxxx.（2）,,,OFPQ四点共圆且FPFQPQ为圆的直径圆心必过PQ中点00(,)Mxy，又圆心也在线段OF的中垂线2cx上，02cx，2Qaxcc,PQ均在x轴上方，2aaccc

，2225101012cacaeee即离心率范围为51,12.22．（12分）已知函数()2ln(1)2xfxeax.（1）当2a时，讨论()fx的单调性；（2）当0,x时，()sin

fxx恒成立，求a的取值范围.【解析】解析一：（1）当2a时，()22ln(1)2xfxex，1x.2()21xfxex，()fx在(1,)单调递增，且(0)0f.当(1,0)x时，()0fx；当(0,)x

时，()0fx.所以函数()fx在(1,0)单调递减，在(0,)单调递增.（2）令()()sin2ln(1)2sin,0,xgxfxxeaxxx当0,x时，()sinfxx

恒成立等价于()(0)0gxg恒成立.由于()()cos2cos,0,1xagxfxxexxx，所以（i）当0a时，()210xgxe，函数()ygx在0,单调递增，所以()(0)0gxg，在区间0,恒成立，符合题意.（ii）当0a时，(

)2cos1xagxexx在0,单调递增，(0)211gaa.①当10a即10a时，()(0)10gxga，函数()ygx在0,单调递增，所以()(0)0gxg在0,恒成立，符合题意.②当10a

即1a时，(0)10ga，()211age，若()0g，即(1)(21)ae时，()gx在(0,)恒小于0则()gx在(0,)单调递减，()(0)0gxg，不符合题意.若()0g，即(1)(21)1ea时，

存在0(0,)x使得0()0gx.所以当0(0,)xx时，()0gx，则()gx在0(0,)x单调递减，()(0)0gxg，不符合题意.综上所述，a的取值范围是[1,).解析二：（1）当2a时，()2e2ln(1)2xfxx，2()2e1

xfxx，显然()fx在(0,)上注意到(0)0f，当(1,0)x时，()0fx，()fx；当(0,)x时，()0,()fxfx（2）2eln(1)2sin0xaxx

恒成立令()2eln(1)2sinxFxaxx，()(0)FxF()2ecos(0)0101xaFxxFax，1a（必要性）当1a时，()2eln(1)2sin2(1)20xFxxxx

xx，综上：1a.