【文档说明】福建省三明市2021-2022学年高一下学期期末质量检测数学试卷 含答案.docx，共(12)页，2.232 MB，由小赞的店铺上传

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三明市2021—2022学年第二学期普通高中期末质量检测高一数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数z对应的点为()2,1−，设i是虚数单位，则1iz=+（）A.31i22−B.31i22−−C

.13i22−−D.13i22−+2.掷两枚质地均匀的骰子，设A=“第一枚出现的点数大于2”，B=“第二枚出现的点数小于6”，则A与B的关系为（）A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等3.在边长为2的正方形ABCD中，E为BC中点，则A

BAE=（）A.2B.4C.25D.54.北京冬奥会已于2022年2月4日至2月20日顺利举行，这是中国继北京奥运会，南京青奥会后，第三次举办的奥运赛事．之前，为助力冬奥，提高群众奥运法律知识水平和文明素质，某市有关部门开展冬奥法律知识普及类线上答题，共计30个题目，每个题目2分满分60分，现从

参与线上答题的市民中随机抽取1000名，将他们的作答成绩分成6组，并绘制了如图所示的频率分布直方图．若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，可估计这次线上答题成绩的平均数为（）A.33B.34C.35D.365.在长方体1111ABCDABCD−中，11ABAA=

=，2AD=，则直线1AC与平面ABCD所成角的正弦为（）A.66B.55C.33D.636.用斜二测画法画△ABC的直观图为如图所示的△ABC，其中2OBBC==，2ABAC==，则△ABC的面积为（）A.1B.2C.22D.427.如图，

平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且2BFFE=．记BAa=，BCb=，则CF=（）A.2433ab−B.2233ab−+C.2433ab−−D.22ab33−8.某研究性学习小组为了测量某铁塔OT的

高度，在地面A处测得塔顶T的仰角为60°，在距离A处20米的地面B处测得塔顶T的仰角为45°，并测得30AOB=，则塔高OT为（）A.103米B.20米C.30米D.203米二、选择题：本大题共4小

题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.新中国成立以来，我国一共进行了七次全国人口普查（以下简称“普查”），历次普查得到的全

国人口总数如图1所示，城镇人口比重如图2所示．下列结论正确的是（）A.第三次普查城镇人口数量低于2亿B.对比这七次普查的结果，我国城镇人口数量逐次递增C.第六次普查城镇人口数量超过第二次人口普查总人口数D.

与前一次普查对比，第五次普查的总人口增长量高于第四次普查的总人口增长量10.设复数13i22z=+，其中i是虚数单位，下列判断中正确的是（）A.1zz+=B.2zz=C.z是方程210xx−+=的一个根D.满足nzR最小正整数n为311.已知向量1e，

2e满足1222ee==，且1e与2e的夹角为3．若122ee−与12ee+的夹角为钝角，则实数的值可以是（）A.12−B.13−C.13D.1212.对于给定的异面直线m，n，以下判断正确的是（）A.总存在四个顶点分别在m，n上的正

三棱锥B.总存在直线l，使得l同时与m，n垂直且相交C.总存在平面α，β，使得m，n，且∥D.对于任意点A，总存在过A且与m，n都相交的直线三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若3a=，5b=，

7c=，则AB+=______．14.某校从高一男生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，将得到的数据（单位：cm）从小到大排序：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，

168，169，x，172，172，173，173，174，175．若该样本数据的第70百分位数是171，则x的值为______．15.设i是虚数单位，若关于x的方程()22i2i()0xmxm+++−=R有实数解，则m的取值集合为______．16.如图，在中空

的圆台容器内有一个与之等高的实心圆柱，圆柱的底面与圆台的下底面重合．已知圆台的上底面半径与高均为40cm，下底面半径为10cm．现要在圆柱侧面和圆台侧面的间隙放置一些金属球，则能完全放入的金属球的最大半径为______cm，

这样最大半径的金属球最多可完全放入______个．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量()2,1a=，()1,3b=−．（1）求a与b夹角θ的余弦值；（2）若3ab+与akb−垂直，求实数k的值．18.如图，在直三棱柱11

1ABCABC−中，E为1CC的中点，且11BEAB⊥．（1）证明：AB⊥BC；（2）若12AAABBC===，且F为AC中点，求点B到平面11ABF的距离．19.如图，某景区拟开辟一个平面示意图为五边形ABCDE的观光步

行道，BE为电瓶车专用道，120BCDBAECDE===，11kmDE=，5kmBCCD==．（1）求BE的长；（2）若53sin14ABE=，求五边形ABCDE的周长．20.如图1，在平行四边形ABCD中，2AB=，3AD=，60BAD=，E是边BC上的点，且2BE

EC=．连结AE，并以AE为折痕将△ABE折起，使点B到达点P的位置，得到四棱锥PAECD−，如图2．（1）设平面PEC与平面PAD的交线为l，证明：AD∥l；（2）在图2中，已知2PD=．①证明：平面PAE⊥平面AECD；②求以P，A，D，E为顶点的四面体外接球的

表面积．21.△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且22bcac=−．（1）若3c=，且3A=，求△ABC的面积；（2）求cossinAC+的最大值．22.某市为了解居民月均用水量的整体情况，通过简单

随机抽样，获得了其中20户居民的月均用水量（单位：t），数据如下：9.511.77.116.58.311.210.413.513.26.88.513.49.210.210.812.614.27.49.711.8

经计算，201110.820iixx===，()20202221111206.3922.532020iiiisxxxx===−=−=，其中ix为抽取的第i户居民的月均用水量，其中1,2,,20i=．（1）设“从这20个数

据中大于13的数据中任取两个，其中恰有一个数据大于15”为事件A，求A的概率；（2）根据统计原理，决定只保留区间()2,2xsxs−+内的数据，剔除该区间外的数据．①利用保留的数据作为样本，估计该市居民月均用水量的平均值与方差（结果保留2位小数）；②根据剔除前后的数据对比，写出一个统计结论．答案1

-8DCBBACDD9.BD10.ACD11.BC12.BC13.3##6014.17015.4,4−16.①.10②.617.（1）由题设，12cos10||||510abab−===−.（2）由3(7,0)ab+=，(2,13

)akbkk−=−+，所以(3)ab+()7(2)0akbk−=−=，可得2k=.18.（1）因为11//ABAB，且11BEAB⊥，所以BEAB⊥，因为111ABCABC−是直三棱柱，所以1BB⊥平面ABC，

所以1ABBB⊥，又因为1BBBEB=，且BE平面11BBCC，1BB平面11BBCC，所以AB⊥平面11BBCC，因为BC平面11BBCC，所以AB⊥BC.（2）因为1BB⊥平面ABC，1BB平面11AABB，所以平面ABC⊥平面11AABB，因为

平面ABC平面11AABBAB=，所以BC⊥平面11AABB，设AB中点为H，连接FH，因为F是AC中点，则1,//2BCFHFHBC==，所以FH⊥平面11AABB，连接1,BFBA，111111111

123323FABBABBVSFHABBBFH−===，因为22222ACABBCAFBF+====，所以221116AFBFAAAF==+=，设11AB中点为G，则11FGAB⊥，则22115FGAFAG=−=，所以1111152ABFSABFG==，设点B到平面1

1ABF的距离为d，则11111533BABFABFVSdd−==，因为11BABFV−11FABBV−=，所以5233d=，解得：255d=.所以点B到平面11ABF的距离为255.19.（1）由120BCD=，5kmBCCD==，可得：53BD=，30BDC=，而120CDE=，

故90BDE=，在直角△BDE中11kmDE=，则2214kmBEBDDE=+=.（2）由（1）知：28sinsinsin3AEABBEABEAEBBAE===，则10AE=km，282814sinsin(60)14cossin333ABAEBABEABEABE

==−=−，由53sin14ABE=且(0,60)ABE，则11cos14ABE=，所以6AB=km.所以五边形ABCDE的周长37ABBCCDDEAE++++=km.20.（1）由题设，//ECAD，而EC面PAD，AD面PAD，所以//EC面PAD，又P面P

AD，P面PEC，平面PEC与平面PAD的交线为l，EC面PEC所以Pl且//ECl，综上，AD//l.（2）①若F为AE中点，连接,,PFDFDE，由题设2PAAB==，3ADBC==，2BEEC=，则2PEBE

==，1EC=，所以PAPE=，故PFAE⊥，又60BAD=，平行四边形ABCD中120ABEAPE==，可得1PF=，在△DEC中60DCE=，1EC=，2DC=，故3DE=，在△ADE中3AD=，AE23=，3DE=，即

222ADDEAE+=，所以ADDE⊥，又F为AE中点，故132DFAE==，在△PDF中1PF=，3DF=，2PD=，则222PFDFPD+=，所以PFDF⊥，由AEDFF=，,AEDF面AECD，故PF⊥面AECD，又PF面PAE，则面PAE⊥面AECD.②

由①知：△ADE为直角三角形，则外接圆圆心为F，故外接圆半径为3，又PF⊥面AECD，则以P，A，D，E为顶点的四面体外接球球心在直线PF上，若外接球半径为r，则223(2)rr=+−，可得74r=，所以外接球的表面积为24944r=

.21.（1）由222222cosabcbcAbcbc=+−=+−，故222acbbc−=−，而22bcac=−，所以223bc==，故133sin22ABCSbcA==.（2）由22()()0bcacacac=−=+−，故ac，即AC，由余弦定理知：2

222cosabcbcA=+−，即2222cosacbbcA−=−，所以2coscbcA=−，即sinsin2sincosCBCA=−，又ABC++=，故sinsin()2sincossincossincossin()CACCAAC

CAAC=+−=−=−，由0,AC，则CAC=−或CAC−=−（舍），所以2AC=，则03ACC+=，即03C，2219cossincos2sin2sinsin12(sin)48ACCCCCC+=+=−++=−−+，而3sin(0,)2C，所以，当1sin4C=时cossi

nAC+有最大值为98.22.（1）解：从表中数据得，抽取的20户居民的月均用水量大于13的数据有16.5、13.5、13.2、13.4、14.2，共5个，记16.5,13.5,13.2,13.4,14.2abcde=====，从上述大于13的5个数据中随机抽取两个的结果有如下：()ab，

，()ac，，()ad，，()ae，，()bc，，()bd，，()be，，()cd，，()ce，，()de，，共10种情况，恰有一个数据大于15的有：()ab，，()ac，，()ad，，()ae，，共4种情况

，所以()42105PA==；（2）解：由题意得10.8,2.53xs=，①22ixsxxs−+，所以10.822.5310.822.53ix−+，5.7415.86ix，由此剔除了16.5这个数据

，其他19个数据将保留作为样本，即现有样本平均值等于(2016.5)19(10.82016.5)1910.5x−=−=，故估计该市居民月均用水量的平均值是10.5t.剔除了16.5这个数据，其他19个数据将保留作为样本，1922216

.23920+2010.816.52188.39iix==−=，所以现有样本的方差为()212188.391910.54.9319−，故估计该市居民月均用水量的方差是4.93.②对比剔除前后的数据，可看出剔除后的平

均值与剔除前的平均值差别较大，剔除后的方差值与剔除前的方差值差别较大，16.5作为被剔除的数据，且是样本中最大的数据，对平均值、方差造成较大影响，说明平均数易受极端数据的影响，即一个数据离平均数越远，对平均数的影响越大;故当计算平均值时，可以通过去掉最大值和最小值，以降低它们对平均值计算结果的

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