浙江省浙南名校联盟2025届高三上学期第一次联考(10月)数学试题 Word版含解析

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【文档说明】浙江省浙南名校联盟2025届高三上学期第一次联考(10月)数学试题 Word版含解析.docx,共(19)页,1.029 MB,由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明:

2024学年第一学期浙南名校联盟第一次联考高三数学试题审题温州二高潘晓雷温州中学林庆望考生须知:1.本试卷共4页,满分150分,考试时间120分钟.2.答题前,在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号.3.

所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效.4.考试结束后,只需上交答题卷.选择题部分一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项符合题目要求.)1.已知复数121i,2izz=−=−,则

复数12zz在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】应用复数的除法及乘法化简,得出复数即可求出对应点,进而得出所在象限即可.【详解】()()()()2121i2i1i2i2ii31i2i2i2i555zz−+−+−−====−−−+,复

数12zz在复平面内对应的点为31,55−,点位于第四象限.故选:D.2.已知集合1{(,)|||},(,)|||AxyyxBxyyx====,则AB=()A.{1,1}−B.{(1,1),(1,1)}−C.(0,)+D.(0,1)【答案】B【解析】【分析】先解方程

组,得出点的坐标即可得出交集.【详解】,1yxyx==,解得1,1xy==,或1,1xy=−=,所以{(1,1),(1,1)}AB=−,故选:B.3.“其身正,不令而行;其身不正,虽令不从”出自《论语·子路》.意思是:当政者本身言行端正,不用发号施令

,大家自然起身效法,政令将会畅行无阻;如果当政者本身言行不正,虽下命令,大家也不会服从遵守.根据上述材料,“身正”是“令行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】结合题意判断“身正

”和“令行”之间的逻辑关系,即得答案.【详解】由题意:其身正,不令而行,即身正令行,故“身正”是“令行”的充分条件;又其身不正,虽令不从,即令行身正,所以“身正”是“令行”的必要条件,综合知“身正”是“令行”的充要条件,故选:C.4.已知(

)fx为定义在R上的奇函数,当0x时,1()1fxax=−+.若()fx在(,)−+上单调递减,则实数a的取值范围为()A.[1,)+B.(1,)+C.(,1)−D.(,1]−【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶

性、单调性列出相应不等式,即可求得答案.【详解】因为()fx为定义在R上的奇函数,所以(0)0f=,若()fx(,)−+上单调递减,故只需11001aa−=−+,即1a,故选:A.5.将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧,要求每一侧种植3棵,且每一侧中间

的景观树都要比两边的高,则不同的种植方法共有()A.20种B.40种C.80种D.160种在【答案】C【解析】【分析】先分步计算两侧的排法,再结合分步计数原理计算即可.【详解】一侧的种植方法有3262CA20240==种排法,另一侧的种植方法有22A2=种排法再由分步计数原理得不同的种

植方法共有40280=种排法,故选:C.6.将函数()*π()cosN12gxx=+的图象上所有点的横坐标变为原来的12,纵坐标变为原来的2倍,得到函数()fx的图象,若()fx在π0,2上只有一个极大值点,则ω的最大值为()A2B.3C.4D.5【答案

】B【解析】【分析】根据伸缩变换规则可得()*π()2cos2N12fxx=+,再由余弦函数图象性质以及极值点个数解不等式可得结果.【详解】由题可知()*π()2cos2N12fxx=+

,当π02x时,πππ2π121212x++,若()fx在π0,2上只有一个极大值点,则由2cosyx=的图像可得π2ππ4π12+,解得23471212,因为*N

,所以的最大值为3..故选:B.7.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左焦点为1F,O为坐标原点,若在C的右支上存在关于x轴对称的两点,PQ,使得1PFQ△为正三角形,且1OQFP⊥,则C的离心率为()A.2B.12+C.3D.13+【答案】D【解析】【分

析】根据条件,利用几何关系得到12π2FPF=,又21π6FFP=,得到21,3PFcPFc==,再结合双曲线的定义得到32cca−=,即可求解.【详解】设双曲线的焦距为2(0)cc,右焦点为2F,直线OQ交1FP于点M,连接2PF,因为1P

FQ△为正三角形,1OQFP⊥,所以M为1FP的中点,所以2//OMFP,故12π2FPF=,易知21π6FFP=,所以21,3PFcPFc==,由双曲线定义知122PFPFa−=,即32cca−=,得21

331cea===+−.故选:D.8.已知0x为函数222()eeln2exfxxx=+−的零点,则00lnxx+=()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】由题意确定0x为方程22eeelnxxxx=的根,构造函数()e(0)xgxxx=,由其单调性即可求解.的【详解

】由()0fx=得222e2eelnxxx=−,即22ee(2ln)xxx=−,即222eeelnxxx=,因为0x,所以22eeelnxxxx=,所以0x为方程22eeelnxxxx=的根,令()e(0)xgxxx=,则()e(1)0xgxx

=+,所以()gx在(0,)+上单调递增,又222eeelnlngxxx=,所以2eln2lnxxx==−,即002lnxx=−,即00ln2xx+=,故选:B.二、选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题所给的四个选项中,有

多项符合题目要求,全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错得0分.)9.已知非零向量,,abc,则下列结论正确的是()A.若()0abc=,则bc⊥B.若()(),abab+⊥−则||||ab=C.若

acbc=,则ab=D.向量()()abcacb−与向量a垂直【答案】ABD【解析】【分析】选项A,根据条件,利用数乘向量的定义得到0bc=,即可判断选项A的正误;选项B,根据条件,利用数量积的运算及模的定义,即可判断选项B的正误;选项C,根据条

件,利用数量积的定义,得到||cos,||cos,aacbbc=,即可求解;选项D,根据条件,结合数量积的运算律,得到[()()]0abcacba−=,即可求解.【详解】对于选项A,因为a为非零向量,若()0abc=

,则0bc=,故bc⊥,所以选项A正确,对于选项B,若2222()()||||0abababab+−=−=−=,故||||ab=,所以选项В正确,对于选项C,若acbc=,则||||cos,||||cos,aca

cbcbc=,得到||cos,||cos,aacbbc=,不能确定ab=,所以选项C错误,对于选项D,[()()]()()()()()()0abcacbaabcaacbaabcaabca−=−=−=,故[()()]abcacba−⊥,所

以选项D正确,故选:ABD.10.如图,在正三棱柱111ABCABC−中4AB=,M,N,D,Q分别为棱111,,,ABACBCAA的中点,DQQM⊥,则以下结论正确的是()A.11//BC平面QMNB.16AA=C.点Q到平面DMN的距离为6D.三棱锥D

QMN−的外接球表面积为131π18【答案】AC【解析】【分析】应用线面平行判定定理判断A,应用勾股定理计算判断B,应用等体积求出点Q到平面DMN的距离判断C,利用补形及直三棱柱的外接球公式计算外接球半径即可判断D.【详解】由题,11//,//MNBCBCBC,所以11//,MN

BCMN平面QMN,11BC不在平面QMN内,故11//BC平面QMN,A正确;由题可得,,QMQNDMDN==,设12AAa=,易得22224,12QMaQDa=+=+,2244DMa=+,因为222DMQDQM=+,即

22244124aaa+=+++,解得6a=,故126AA=,B错误;因为222DMQDQM=+,所以222DNQDQN=+,所以,,,DQQNQNQMQQNQM⊥=平面QMN,MN平面QMN,得出DQ⊥平面QMN,2

21121013222QMNMNSMNQM=−=−=,所以13QDMNDQMNQMNVVSDQ−−===△1332323=,又2213322DMNMNSMNDM=−=,设点Q到平面D

MN的距离为d,则13323QDMNDMNVSdd−===△,得6d=,C正确;将三棱锥DQMN−补成以QMN为底面的直三棱柱,则该三棱柱的外接球即为三棱锥DQMN−的外接球,其球心O位于上下底面外心

的中点,222310sin10MNQMQMNQM−==,故QMN的外接圆半径152sin3QNrQMN==,设外接球半径为R,则2225321313218R=+=,所以三棱锥DQMN−的外接球表面积2262π4

π9SR==,D错误.故选:AC.11.已知抛物线2:4Cxy=的焦点为F,A,B,P为抛物线C上的点,cos,1FAFB=−,若抛物线C在点A,B处的切线的斜率分别为12,kk,且两切线交于点M.N为抛物线C的准线与y

轴的交点.则以下结论正确的是()A.若4AFBF+=,则1AFBF=−B.直线PN的倾斜角π4C.若122kk+=,则直线AB的方程为10xy−+=D.||MF的最小值为2【答案】BCD【解析】【分析】先根据向量夹角设直线再结合抛物线定义得出焦半径公式即可判断A,设点2

00,4xPx,分000,0xx两种情况讨论判断B,求导函数得出直线的斜率即可得出直线方程判断C,先写出切线再联立得出1212,24xxxxM+,结合焦半径公式计算最小值判断D.

【详解】由题cos,1FAFB=−,则向量,FAFB的夹角为π,故F,A,B三点共线,设:1ABykx=+,与C的方程联立得2440xkx−−=,设()()1122,,,AxyBxy,则124xxk+=,124xx=−,故1221242,1kyy

yy=+=+,由抛物线的定义得12||1,||1AFyBFy=+=+,故21224440AFBFyykk+=++=+==,,·4FAFB=−,所以A错误;设200,4xPx,(0,1)N−,当00x时,直线

PN倾斜角大于等于π2,当00x时,200000011142144PNxxxkxxx+==+=,所以直线PN的倾斜角π4,B正确;记直线AB的斜率为k,令21()4fxx=,则1()2fxx=,则()()11122211,22kfxxkfxx====,又

()222121212121144xxyykxxxxxx−−===+−−,所以122kkk+=,所以1k=,又直线AB过点(0,1)F,故直线AB的方程为10,Cxy−+=正确;()111:2xMAyyxx−=−,又2114

xy=,所以211:24xxMAyx=−,同理222:24xxMByx=−,联立解得1212,24xxxxM+,即(2,1)Mk−,又(0,1)F,所以2||442MFk=+,当0k=时,等号成立,所以MF的最小值为2,D正

确;故选:BCD.【点睛】关键点点睛:解题关键点是应用导数求出切线斜率进而得出切线方程,再分别得出直线方程及焦半径的最小值.非选择题部分三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.)12.已知1πsin3cos,cos(

)26−=+=______________.【答案】14−##0.25−【解析】分析】利用辅助角公式得到π1sin34−=,再整体法用诱导公式求出答案.【详解】1sin3cos2−=,即π1sin34−=,ππππ1co

ssinsin62634+=−+=−=−.故答案为:14−13.已知某中学的3个年级各有学生300,300,400人,现采用分层抽样的方法从3个年级的学生中抽取

10人,对他们的体重进行了统计.若3个年级被抽到的学生体重的平均值分别为48,52,55kg,方差分别为4,10,1.将这10名学生体重W(kg)作为样本,则样本的方差为______.【答案】13【解析】【分析】先根据分层抽样平均数公式求出平均数为52,再代入方差公式计算得

出方差.【详解】3个年级抽取的学生数分别为3,3,4人,则()13483524555210W=++=,故22223344(4852)10(5252)1(5552)13101010s=+−++−++−=

.故答案为:13.14.“四进制”是一种以4为基数的计数系统,使用数字0,1,2,3来表示数值.四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性,对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响.四进

制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以4的相应次方(从0开始),然后将所有乘积相加.例如:四进制数013转换为十进制数为2100414347++=;四进制数0033转换为十进制数为3

2100404343415+++=;四进制数1230转换为十进制数为321014243404108+++=;现将所有由1,2,3组成的4位(如:1231,3211)四进制数转化为十进制数,在这些十进制数中任取一个,则这个数能被3整除的概率为______.【答案】13【解

析】【分析】根据四进制与十进制的转换规则,利用二项式定理将4的高次方展开并求得除以3之后的余数,令余数能被3整除即可得出所有数字组合种类数,可求得概率.【的【详解】设,,,1,2,3abcd,则4位四进制数转换为十进制为3232444

(13)(13)(13)abcdabcd+++=++++++()()01223301223333222CC3C3C3CC3C33abccd=+++++++++()()1223312233322C3C3C3C3C33abcabcd=++++

+++++,若这个数能被3整除,则+++abcd能被3整除.当这个四进制数由1,2,3,3组成时,有24A12=个;当这个四进制数由1,1,2,2组成时,有24C6=个;这个四进制数由1,1,1,3组成时,有14C4=个;这个四进制数由2,2

,2,3组成时,有14C4=个;这个四进制数都由3组成时,有1个.因为由1,2,3组成的4位四进制数共有4381=个,所以能被3整除的概率1264411813P++++==.故答案为:13.【点睛】关键点点睛:本题关键在于将4进制转化为10进制之后,利用二项式定理来求解能否被3整除的问题,

得出所有可能的组合即可求得相应概率.四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)15.如图,三棱台111ABCABC−中,ABCV是正三角形,1AA⊥平面ABC,111224AB

AAAC===,M,N分别为棱1,ABBB的中点.(1)证明:1BB⊥平面MCN;(2)求直线1CC与平面MCN所成的角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)34【解析】【分析】(1)先应用线面垂直判定定理得出CM⊥平面11,AABB再应用线面垂直性质得出线线垂直,即可证明线

面垂直;(2)建立空间直角坐标系,应用空间向量法求线面角正弦值即可.【小问1详解】因为ABCV是正三角形,M为AB中点,所以CMAB⊥,因为1AA⊥平面,ABCCM平面ABC,所以1CMAA⊥,又11,,AAABAAAAB=平面11,AABB所以CM⊥平面11,A

ABB又因为1BB平面11AABB,所以1CMBB⊥,连接1AB,易得1122ABBB==,所以22211ABABBB=+,所以11ABBB⊥,又因为1//ABMN,所以1MNBB⊥,因为MNCMM=,,MNCM平面MCN,所以1BB⊥平面MCN.【小问2

详解】取AC中点O,连接1,BOCO,易知1,,OBOCOC三条直线两两垂直,以O为坐标原点,1,,OBOCOC所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则11(3,1,2),(23,0,0),(0,2,0),(0,0,2)BBCC−,由(1)知平面MCN的一个法向

量为1(3,1,2)BB=−,又1(0,2,2)CC=−,所以11111163cos,42222BBCCBBCCBBCC===,因为直线1AB与平面FMN所成的角为直线1BB与1CC所成角的余角,所以直线1A

B与平面FMN所成的角的正弦值为34.16.已知0b,函数2()((ln)1)fxxxxbx=−−−在点()(1,)1f处的切线过点()0,1−.(1)求实数b的值;(2)证明:()fx在()0,+上单调递增;(3)若对())1,1(xfxax−恒成立,求实数a

的取值范围.【答案】(1)1b=(2)证明见解析(3)(,1]−【解析】【分析】(1)先求导函数再写出切线方程代入点得出参数值;(2)求出导函数1()2ln2fxxxx=+−−,再根据导函数求出()(1)10

fxf=即可证明单调性;(3)根据函数解析式分1x=和1x两种情况化简转化为lnxxa−恒成立,再求()ln(1)hxxxx=−的单调性得出最值即可求出参数范围.【小问1详解】()fx的定义域为1(0,),()2ln()2fxxbxx+=+−−,故(1)1lnfb=

−,又(1)0f=,所以()fx在点(1,(1))f处的切线方程为(1ln)(1)ybx=−−,将点(0,1)−代入得1ln1b−=,解得1b=.【小问2详解】由(1)知2()(1)lnfxxxxx=−−−,则1()2ln2fxxxx=+−−,令1()()2ln2gxfxxx

x==+−−,则22221121(1)(21)()2xxxxgxxxxx−−−+=−−==,当01x时,()0,()gxgx单调递减;当1x时,()0,()gxgx单调递增,所以()(1)10fxf=,所以()fx在(0,)+上单调递增.

【小问3详解】对())1,1(xfxax−恒成立,即对1,(1)(1)ln(1)xxxxxax−−−−恒成立,当1x=时,上式显然恒成立;当1x时,上式转化为lnxxa−恒成立,设()ln(1)hxxxx=−

,则11()10xhxxx−=−=,所以()hx在(1,)+上单调递增;所以()(1)1hxh=,故1a,所以实数a的取值范围为(,1]−.17.如图,四边形ABCD中,1,2,3,πABCDADBCBADBCD====+=.(1)求BAD;(2)

P为边BC上一点,且PCD△的面积为3,求ABP的外接圆半径.【答案】(1)2π3(2)74【解析】【分析】(1)根据题意,在ABD△和BCD△中,利用余弦定理,分别求得2BD的表达式,两式作差求得1cos2BAD=−,即可求解;(

2)由(1)求得7BD=,利用余弦定理求得PCD,结合题意,求得2PC=,进而求得2PD=,再在ABD△和BCD△中,求得2coscos7ABDDBC==,进而得到1cos7ABP=,得到43sin7ABP=,利用正弦

定理,即可求解.【小问1详解】解:因为πBADBCD+=,所以coscosBADBCD=−,在ABD△中,由余弦定理得:2222cos54cosBDABADABADBADBAD=+−=−,在BCD△中,由余弦定理得:2222cos1312cosBDBCCDBCCDBCDBAD

=+−=+,两式作差得:816cos0BAD+=,解得1cos2BAD=−,因为(0,π)BAD,所以2π3BAD=.【小问2详解】解:因为1,2,3,πABCDADBCBADBCD====+=由(1)知22π54cos73BD=−=,可得7BD=,且π3PCDB

CD==,则13sin3,22PCDSPCCDPCDPC===△所以2PC=,在PCD△中,可得2222cos4PDCDPCCDPCPCD=+−=,所以2PD=,在ABD△中,可得2221742cos22177ABBDADABDABBD+−+−===

,在BCD△中,可得2227942cos22737BDBCCDDBCBDBC+−+−===,可得ABDDBC=,所以27cos2cos11ABPABD−==,则43sin7ABP=,所以222122cos7APABBPABAPABP=+−=,解得

2217AP=,设ABP的外接圆半径为R,由正弦定理得221772sin2437APRABP===,解得74R=,所以ABP的外接圆半径为74.18.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为12,FF,点6(1,)3P在椭圆上,且直线1P

F与2PF的斜率之积为23−.(1)求C的方程;(2)直线:(0,0)lykxmkm=+与C交于M,N两点,与y轴交于点A,与x轴交于点B.(ⅰ)若A,B恰为弦MN的两个三等分点,求直线l的方程;(ⅱ)若点B与点1F重合,线段MN的垂直平分线

与x轴交于点Q,求1||||MNQF的值.【答案】(1)2213xy+=(2)(i)3535yx=+;(ii)6【解析】【分析】(1)根据点在椭圆上及斜率积列方程组计算22,ab即可得出椭圆方程;(2)(i)设()()1122,,,MxyN

xy结合1()2OAOBOM=+,1()2OBOAON=+向量关系列方程求出点的坐标,即可求出直线方程;(ⅱ)设方程:(2)lykx=+联立方程组,韦达定理结合弦长公式计算求解.【小问1详解】将点61,3P代入C的方程得:221

213ab+=①,设C的焦距为2(0)cc,则12(,0),(,0)FcFc−,故1266233113PFPFkkcc==−+−,解得2c=②,又222abc=+③,由①②③解得21b=或23a=,所以C的方程为2213xy+=.【小问2详解】(ⅰ)由题,(0,),,0mAmBk

−,设()()1122,,,MxyNxy,O为坐标原点,因为A,B恰为弦MN的两个三等分点,所以BANBAM==,则1()2OAOBOM=+,即110,12mxkym−==,解得112mxkym==,所以,2mMmk,又1()2OBOAON=+,即222

,1022mxkmy=−+=,解得222,mxkym=−=−,所以2,,mNmk−−将点M,N的坐标代入C的方程得22222241,3413mmkmmk+=+=,解得

2211,35km==,因为0,0km,所以35,35km==,所以直线l的方程为3535yx=+.(ⅱ)由题直线l过点1(2,0)F−,所以:(2)lykx=+,与椭圆方程联立22(2),13y

kxxy=++=,得()22221362630kxkxk+++−=,212120k=+,设()()1122,,,MxyNxy,则221212226263,1313kkxxxxkk−−+==++,所以()()

222211212114MNkxxkxxxx=+−=++−()()()24222222463721123131313kkkkkkk−+=+−=+++,又()2121222622222221313kkyykxxkkk−+=++=+=++,所以MN中点

为222322,1313kkkk−++,所以MN的垂直平分线方程为22221321313kkyxkkk−=−+++,令0y=得222213kxk−=+,故2222,013kQk−+,所以22

122221221313kkQFkk−+=+=++,所以16MNQF=.【点睛】关键点点睛:(2)(i)解题的关键点是应用1()2OAOBOM=+1()2OBOAON=+向量关系列方程求出点的坐标即可求出直线方程;19.密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学.研究密

码变化的客观规律,应用于编制密码以保守通信秘密的,称为编码学;应用于破译密码以获取通信情报的,称为破译学,总称密码学.20世纪70年代,一些学者提出了公开密钥体制,即运用单向函数的数学原理,以实现加、脱密密钥的分离.加密密钥是公开的,脱密密钥是保密的.这种新的密码体制,引起了密码学界的

广泛注意和探讨.某数学课外小组研究了一种编制密码的方法:取任意的正整数n,将小于等于n且与n互质的正整数从小到大排列,即为密码.记符合上述条件的正整数的个数为na.(1)求数列na的前5项和;(2)求2(N)nan的表达式和3

137a的值;(3)记22()nnnnba+=,数列nb的前n项和nS,证明16nS.【答案】(1)10(2)122nna−=,31371080a=(3)证明见解析【解析】【分析】(1)根据数列定义求出前5项即可求和;(2)先根据定义得出122nna−=,再求出31

37a即可;(3)应用错位相减法计算得出2158162nnnnS−++=−即可证明.【小问1详解】由题,11a=;小于等于2且与2互质的正整数有1,所以21a=;小于等于3且与3互质的正整数有1,2,所以32a=;小于等于4且与4互质的正整数有1,3,所以42a=;小于等于5且与

5互质的正整数有1,2,3,4,所以54a=.所以数列na的前5项和为1122410++++=.【小问2详解】若2为质数,则小于等于2n的正整数中,只有2的倍数不与2互质,又因为小于等于2n的正整数中,2的倍数有12n−个,所以112222nnnna−−=−=.在

小于等于31×37的正整数中,31的倍数有37个,37的倍数有31个,所以()()31373137313713113711080a=−−+=−−=.【小问3详解】由(2)知122nna−=,所以212nnnnb−+=,所以222201211122332222nnnnS−++++=+++

+,故222223111223322222nnnnS++++=++++,作差得:2012111232222222nnnnnnS−+=++++−,所以201211123422222nnnnnnS−−+=++++−.令01211232222

nnnT−=++++,则23112322222nnnT=++++,作差得:2311111111221212222222212nnnnnnnnnT−−+=+++++−=−=−−,所以1242nnnT−+=−,故221112584(4)16222nnnnnnnnnS−−

−++++=−−=−,因为*Nn,所以215802nnn−++,所以16nS得证.

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