【文档说明】黑龙江省哈师大附中2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题含答案.docx，共(10)页，457.565 KB，由小赞的店铺上传

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哈师大附中2018级高二下学期期中考试数学试题一、选择题：（本题共12小题，每题5分，共60分．每题有且只有一个正确选项．）1．甲乙和其他2名同学合影留念，站成两排两列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这4名同学的站队方法有（）A．8种B．16种C

．32种D．64种2．函数2cosyxx=+在0,2上取得最大值时，x的值为（）A．0B．6C．3D．23．为了调查某班级的作业完成情况，将该班级的52名学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，18号，44号同学在样本中，那么样本中还

有一位同学的编号应该是（）A．23B．27C．31D．334．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（

）A．4B．12C．14D．85．在4(1)(2)xx−+的展开式中，含3x项的系数为（）A．16−B．16C．8−D．86．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到两个数均为偶数”，则(|)PBA

=（）A．18B．14C．25D．127．已知a是函数3()12fxxx=−的极小值点，则a=（）A．4−B．2−C．2D．48．某班某天上午有五节课，需安排语文，数学，英语，物理，化学各1节课，其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为

（）A．60B．48C．36D．249．函数||xxye=的图象大致为（）A．B．C．D．10．某学习小组有三名男生、三名女生共计六名同学，选出四人进行学业水平测试，这四人中所含女生人数记为，则的数学期望为（）A．3B

．2C．32D．111．已知A，B分别是双曲线2222:1(0,0)xyEabab−=的左右顶点，点M在E上．且||:||:||1:1:3ABBMAM=，则双曲线E的渐近线方程为（）A．3yx=B．12yx=C．yx=D．2yx=12．已知定义在

(1,)+上的函数()fx，()fx为其导函数，满足1()()ln20fxfxxxx++=，且2()fee=−，若不等式()fxax对任意(1,)x+恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[,)e+B．()2,2e−C．(,2)e−

D．[,)e−+二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．曲线sinyx=在点(0,0)O处的切线方程为__________．14．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100

次，X表示抽到的二等品件数，则DX=___________．15．若726701267(12)xaaxaxaxax−=+++++，则（1）0a=__________；（2）1234567234567aaaaaaa++++++=__________．16．如图，圆形纸片的圆心

为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D，E，F为圆O上的点，,,DBCECAFAB分别是以,,BCCAAB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以,,BCCAAB为折痕折起,,DBCECAFAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当所得三棱锥体积（单位：

3cm）最大时，ABC的边长为_________（cm）．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．其中17题10分，18-22题每小题12分．）17．已知函数2()ln(1)fxxmxx=++−．（1）当1m=时，求()fx的单调区间；（2）当12m

=，且0x时，求证：()0fx．18．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量,，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3

，0.3，0.2．（1）求,的分布列；（2）求,的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．19．已知函数22yx=，函数图象上有两动点()11,Axy、()22,Bxy．（1）用1x表示22yx=在点

A处的切线方程；（2）若动直线AB在y轴上的截距恒等于1，函数在A、B两点处的切线交于点P，求证：点P的纵坐标为定值．20．国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm）在区间[

165,175]内．现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为)))))165,167,,169,171,171,173,1167,16973,175五组，得到如图所示的频率分布直方图，

其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7．（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数x和方差2s（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高(cm)X近似服从正态分布()2,N，其中近似为样本平均数x，2

近似为样本方差2s．（ⅰ）求(167.86174.28)PX；（ⅱ）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm以上的概率．参考数据：若()2~,XN，则()0.6827PX−+=，(22

)0.9545,11510.7PX−+=，109100.95450.63,0.977250.81,0.977250.7921．2018年3月份，上海出台了《关于建立完善本市生活垃圾全程分类体系的实施方案》，4月份又出台了《上海市生

活垃圾全程分类体系建设行动计划（2018-2020年）》，提出到2020年底，基本实现单位生活垃圾强制分类全覆盖，居民区普遍推行生活垃圾分类制度．为加强社区居民的垃圾分类意识，推动社区垃圾分类正确投放，某社区在健身广场举办了

“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者？（1）为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分社区居民进行调查，其中被调查的男性居民和女性居民人数相同，男性居民中不喜欢担任

垃圾分类志愿者占男性居民的35，女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的15，若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关，则被调查的女性居民至少多少人？附：

22()()()()()nadbckabldacbd−=++++，其nabcd=+++.()20PKk…0.1000.0500.0100.0050.0010k2.7063.8416.6357.87910.828（2）某垃圾站的日垃圾分拣量y（千克）与垃圾分类志愿者人数x（人）满足回归直

线方程ˆˆˆybxa=+，数据统计如下：志愿者人数x（人）23456日垃圾分拣量y（千克）25304045t已知5552111140,90,8855iiiiiiiyyxxy=======．请利用所给数据求t和回归直线方程ˆˆˆybxa=+；附：()()

()121ˆˆˆ,niiiniixxyybaybxxx==−−==−−．（3）用（2）中所求的以性回归方程得到与ix对应的日垃圾分拣量的估计值ˆiy，当分拣数据iy与估计值ˆiy满足ˆ2iiyy−„时，则将分拣数据()

,iixy称为一个“正常数据”．现从5个分拣数据中任取3个，记X表示取得“正常数据”的个数，求X的分布列和数学期望．22．已知函数()()xfxaeexaae=−−，其中e为自然对数的底数．（1）若曲线()yfx=在点(0,0)处的切线为(1)yex=−，求a的值；

（2）若函数()yfx=的极小值为1−，求a的值；（3）若1a=，证明：当0x时，()2ln(1)0fxxxx+−+．哈师大附中2018级高二下学期期中考试参考答案一、选择题：（本题共12小题，每题5分，共60分．每题有且只有一个正确选项．）1．A2

．B3．C4．D5．A6．B7．C8．D9．A10．B11．C12．D二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．0xy−=14．1.9615．1；14−16．43三、解答题：（本大题共6小题，共70分．其中17题10分，1

8-22题每小题12分．）17．解：1()211fxmxx=+−+．（1）当1m=时，()fx的定义域为(1,)−+，1(21)()2111xxfxxxx+=+−=++，∵1()002fxx−，1()012fxx−−或0x．∴()fx的递减区间对1,02−

，()fx的递增区间为11,2−−，(0,)+．（2）当12m=，且0x时，21()ln(1)2fxxxx=++−．∵21()1011xfxxxx=+−=++，∴()fx在(0,)+上递增，∴()(0)0fxf=．18．解：（1）由题意得：0.

530.11aa+++=，解得0.1a=．因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，所以乙射中7环的概率为1(0.30.30.2)0.2−++=．所以，的分布列分别为：10987P0.50.30.10.110987P0.30.30.20.2（2）由（1）

得：()100.590.380.170.19.2E=+++=；()100.390.380.270.28.7E=+++=；2222()(109.2)0.5(99.2)0.3(89.2)0.1(79.2)0.10.96D=−+−+−

+−=；2222()(108.7)0.3(98.7)0.3(88.7)0.2(78.7)0.21.21D=−+−+−+−=．由于()()EE，()()DD，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比

乙的射击技术好．19．解：（1）∵22yx=，∴4yx=，所以，函数22yx=在点A处的切线斜率为14x，因此，函数22yx=在点A处的切线方程为()211124yxxxx−=−，即21142yxxx=−；（2）设直线AB的方程为1ykx=+，联立212ykxyx=+=，得2210xk

x−−=，由韦达定理得122kxx+=，1212xx=−．由于抛物线22yx=在点A处的切线方程为21142yxxx=−，则该抛物线在点B处的切线方程为22242yxxx=−,联立2112224242yxxxyxxx=−=−，解得121222xxxyxx+==，因此，点P的纵

坐标为1221xx=−（定值）20．解：（1）由题知五组频率依次为0.1，0.2，0.375，故0.11660.21680.3751700.251720.075174170x=++++=，22222(170166)0.1(170168)0

.2(170172)0.25(170174)0.0754.6s=−+−+−+−=；（2）由题知115170,4.62.145===，（ⅰ）1(167.86174.28)(2)0.6827(0.95450.6827)0.818

62PXPX=−+=+−=，（ⅱ）1(174.28)(10.9545)0.022752PX=−=故10人中至少有1人的身高在174.28cm以上的概率为10101(10.02275)10.9772510.

790.21P=−−=−−=．21．解：（1）设被调查的女性居民人数为5x，则22列联表如下所示，不喜欢人数喜欢人数合计男3x2x5x女x4x5x合计4x6x10x∴2210(342)555463xxxxxxKxxxx−==，∵犯错误的概率不超过0.010，∴

53x．．6.635，解得5x．．19.905，故被调查的女性居民至少有20人．（2）由表可知，2345645x++++==，1(25304045)405yt=++++=，∴60t=．∴5152218855440ˆ8.590516iiiiixynxybxnx==−−

===−−，ˆˆ408.546aybx=−=−=，∴回归直线方程为ˆ8.56yx=+，（3）将123452,3,4,5,6xxxxx=====分别代入回归直线方程得，1234523,31.5,40,48.5,

57yyyyy=====，∴11ˆ|2325|22yy−=−==，属于“正常数据”，22|31.530|1.52yy−=−=，属于“正常数据”，33|4040|02yy−=−=，属于“正常数据”，44|48.545|3.52yy−=−=，不属于“正常数据”，55|576

0|32yy−=−=，不属于“正常数据”，∴随机变量X的可能取值为1，2，3，1232353(1)10CCPXC===，2132353(2)5CCPXC===，33351(3)10CPXC===，∴X的分布列为X123P31035110数学期望3319()123105105E

X=++=．22．（1）(),(0)xfxaeefae=−=−，由题意得(0)1fe=−，∴1eae−=−，∴1a=．（2）当0a时，∵()0fx，∴()fx递减，∴()fx没有极值；当0a时，()0ln

efxxa==，∵()0lnefxxa，()0lnefxxa，∴()fx在区间,lnea−上递减，在区间ln,ea+上递增，∴lnexa=时，()fx极小值1−．即lnln1eefeeaaa=−−=−，∴l

n10(1)(0)eaaae−+=令()ln1(0)gtettte=−+，则()0etgtt−=，∴()gt在(0,)e上递增，又(1)0g=，∴方程（1）有唯一解1a=．∴当且仅当1a=时，()fx的极小值为1−

；（3）()2ln(1)0(2)1ln(1)xfxxxxeexxx+−++−−+以下分别证明：当0x时，有（a）ln(1)xx+；（b）2(2)1xeexx+−−．由（1）得xeex，∴1xex−，∴1xex+，∵0x，∴10x+，∴ln(1)xx+，∴（a）

式成立；0x=时，（b）式显然成立；0x时，21(2)1(2)0xxeeexxexxx+−−+−−−．令1()(2)(0)xehxexxxx=+−−−，则2(1)(1)()xxexhxx−−+

=，由（1）得(1)0xex−+，于是()01hxx==，∵()001,()01hxxhxx，∴min[()](1)0hxh==，∴()0hx．∴2(2)1ln(1)xeexxxx+−−+,∴()2ln(1)0fxxxx+−+．