【文档说明】江苏省泰州市姜堰二中2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题.docx，共(15)页，959.587 KB，由小赞的店铺上传

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江苏省姜堰第二中学2020－2021学年度第一学期期中考试高二数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线22xy=的焦点为F，准线为l，则点F到直线l的距离为（）A．1

2B．1C．2D．42．已知向量()2,3,1a=−−，()4,,bmn=，且//ab，其中,mnR，则mn+=（）A．4B．-4C．2D．-23．若()sin2cosπ=−，则πtan4+的值为（）A．3B．13C．-3D．13−4．在平面直角坐标系xOy中，若椭圆

22:19xyCm+=与双曲线22:1yTxm−=有相同的焦点，则双曲线T的渐近线方程为（）A．14yx=B．12yx=C．4yx=D．2yx=5．在平面直角坐标系xOy中，直线240xy+−=与两坐标

轴分别交于点A，B，圆C经过A，B，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（）A．226160xyy++−=B．226160xyy+−−=C．22890xyy++−=D．22890xyy+−−=6．如图，已知圆柱的底面半径为2，与圆柱底面成60角的平面截这个圆柱得到

一个椭圆，则该椭圆的焦距为（）A．22B．23C．42D．437．如图，在三棱柱111ABCABC−中，1BC与1BC相交于点O，1160AABAAC==，90BAC=，13AA=，2ABAC==

，则线段AO的长度为（）A．292B．29C．232D．238．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左焦点为F，点M，N在双曲线C上．若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（）A．31−B．51−C．31+D．51+

二、多项选择题：本大题共4小题．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．9．已知两个不重合的平面，及直线m，下列说法正确的是（）A．若⊥，m⊥，则//mB．若//，m⊥，则m⊥C．

若//m，m⊥，则⊥D．若//m，//m，则//10．在平面直角坐标系xOy中，1F，2F分别为椭圆22142xy+=的左、右焦点，点A在椭圆上．若12AFF为直角三角形，则1AF的长度可以为（）A．1B．2C．3D．411．如图，直线

1l，2l相交于点O，点P是平面内的任意一点，若x，y分别表示点P到1l，2l的距离，则称(),xy为点P的“距离坐标”．下列说法正确的是（）A．距离坐标为()0,0的点有1个B．距离坐标为()0,1的

点有2个C．距离坐标为()1,2的点有4个D．距离坐标为(),xx的点在一条直线上12．20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石．人工合成

金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及它们的过渡形态．其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点、14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体．已知一个立方八面体的棱长为1，则（）A．它的

所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2B．它的任意两条不共面的棱所在直线都相互垂直C．它的体积为523D．它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等三、填空题：本大题共4小题．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．在平面直角坐标系xOy中，已知直线1:0lxay+=

和直线()2:2340lxay−−−=，aR．若1l与2l平行，则1l与2l之间的距离为________．14．在空间直角坐标系中，若三点()1,1,Aa−，()2,,0Ba，()1,,2Ca−满足()2ABACBC−⊥，则实数a的值为________．15．词语“堑

堵”、“阳马”、“鳖臑”等出自中国数学名著《九章算术·商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术·商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC，其中PA⊥平面ABC，1PAAC==，2BC=，则

四面体PABC的外接球的表面积为________．16．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，根据

图上尺寸，溢流孔ABC所在抛物线的方程为________，溢流孔与桥拱交点A的横坐标为________．四、解答题：本大题共6小题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17

．在①()sinsinsinBCAB+−=；②2cos2aCbc=+；③ABC的面积()22234Sabc=−−三个条件中任选一个（填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题．已知ABC的内角A，B，C

的对边分别为a，b，c，________，D是边BC上的一点，π2BAD=，且4b=，2c=，求线段AD的长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．在平面直角坐标系xOy中，已知圆()22:21Fxy−+=，动圆

M与直线:1lx=−相切且与圆F外切．（1）记圆心M的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）已知()2,0A−，曲线C上一点P满足PAPF=，求PAF的大小．19．如图，在直三棱柱111ABCABC−中，D为AC中点

．（1）求证：1//BA平面1CBD；（2）若13AAAB==，4BC=，且ABBC⊥，求三棱锥11BBCD−的体积．20．在平面直角坐标系xOy中，已知圆22:1Oxy+=，点A，B是直线()0xymm−+=R与圆

O的两个公共点，点C在圆O上．（1）若ABC为正三角形，求直线AB的方程；（2）若直线30xy−−=上存在点P满足0APBP=，求实数m的取值范围．21．如图，在四棱锥PABCD−中，平面PAB⊥平面ABCD，PAAB⊥，4PAAD==

，//BCAD，ABAD⊥，2ABBC==，()01PEPC=＜．（1）若12=，求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；（2）设二面角BAEC−−的大小为，若234cos17=，求的值．22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆()2222:10xyCabab+=的左顶点与上顶点的

距离为23，且经过点()2,2．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C相交于P，Q两点，M是PQ的中点．若椭圆上存在点N满足3ONMO=，求证：PQN的面积S为定值．2020－2021学年度第一学期期

中调研测试高二数学参考答案2020.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．B2．B3．D4．D5．A6．D7．A8．C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．9．BC10．ABC11．ABC12．ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，

共20分．13．214．92−15．4π16．()251436yx=−−，14013四、解答题：本大题共6小题，共70分．17．（本小题满分10分）解：选①．由条件①()sinsinsinABBC−=+，在ABC中，πABC++=，所以()()sinsinsinAB

BAB−=++，即sincoscossinsinsincoscossinABABBABAB−=++，从而sin2cossinBAB=−．因为B为三角形内角，所以sin0B，所以1cos2A=−．因为A为三角形内角，所以2

π3A=．在ABC中，因为4b=，2c=，故由正弦定理sinsinbcBC=得4sin2sinCB=，即2sinsinCB=，所以sin2sin2sin3cosπ3sinBBCBB−===−，即2sincosBB=．由sin0B知cos0B，因此sin3tan

cos2BBB==．因为π2BAD=，所以tan3ADABB==．选②．由条件②2cos2aCbc=+，结合余弦定理得222222bacabcab+−=+，即222abcbc=++，所以2221cos22bcaAbc+−==−，因为A为三角形内角，所以2π3A=．在ABC中，因为4b=，

2c=，故由正弦定理sinsinbcBC=得4sin2sinCB=，即2sinsinCB=，所以πsin2sin2sin3cossin3BCBBB==−=−，即2sin3cosBB=．由sin0B知cos0B，因此sin3tancos2BBB==．因为π2

BAD=，所以tan3ADABB==．选③．由条件③，ABC的面积()22234Sabc=−−，得()13sin2cos24bcAcA=−，即sin3cosAA=−，因为A为三角形内角，所以sin0A，从而cos0A，所以sintan3cosA

A==−，所以2π3A=．在ABC中，因为4b=，2c=，故由正弦定理sinsinbcBC=得4sin2sinCB=，即2sinsinCB=，所以πsin2sin2sin3cossin3BCBBB==−=−，即2sin3cosBB=．由sin0B知cos0B，因此sin3tanc

os2BBB==．因为π2BAD=，所以tan3ADABB==．另解：2π3A=（略）在ABC中，因为4b=，2c=，由余弦定理得222222π2cos42242cos283abcbcA=+−=+−=，所以27a=．由正弦定理得sin

sinabAB=，则2π4sinsin213sin727bABa===，又B为锐角，所以227cos1sin7BB=−=，则sin3tancos2BBB==．在ABD中，因为π2BAD=，所以tan3ADABB==．18．（本小题满分12分）解：（1）设(),

Mxy，圆M的半径为r．由题意知，1MFr=+，M到直线l的距离为r．方法一：点M到点()2,0F的距离等于M到定直线2x=−的距离，根据抛物线的定义知，曲线C是以()2,0F为焦点，2x=−为准线的抛物线．故曲线C的方

程为28yx=．方法二：因为()2221MFxyr=−+=+，1xr+=，1x−，所以()2222xyx+=+−，化简得28yx=，故曲线C的方程为28yx=．（2）方法一：设()00,Pxy，由2PAPF=，得()()22220000222xyxy++=−+，又2008yx=，解得02

x=，故()42,P，所以1PAk=，从而π4PAF=．方法二：过点P向直线2x=−作垂线，垂足为Q．由抛物线定义知，PQPF=，所以2PAPQ=，在APQ中，因为π2PQA=，所以2sin2PQQAPPA

==，从而π4QAP=，故π4PAF=．19．（本小题满分12分）（1）证明：连结1BC交1BC于点O，连结OD．在三棱柱111ABCABC−中，11BCBC=，11//BCBC，所以四边形11BBC

C为平行四边形，所以O为1BC中点．又因为D为AC中点，所以OD为1CBA的中位线，所以1//BAOD．又因为1BA平面1CBD，OD平面1CBD，所以1//BA平面1CBD．（2）解：方法一：三棱锥11BBCD−的

体积就是三棱锥11DBBC−的体积．过点D作DEBC⊥，垂足为E．在直三棱柱111ABCABC−中，1BB⊥平面ABC．因为DE平面ABC，所以1BBDE⊥．又因为DEBC⊥，且1BB，BC平面11BBCC，1BBBCB=，

所以DE⊥平面11BBCC，即DE为三棱锥11DBBC−的高．在ABC中，3AB=，4BC=，且ABBC⊥，所以22345AC=+=，3sin5C=，在RtDEC中，1522DCAC==，所以3sin2

DEDCC==．又11BBC的面积1111134622SBBBC===，所以三棱锥11DBBC−的体积133VSDE==，故三棱锥11BBCD−的体积等于3．方法二：三棱锥11BBCD−的体积就是三棱锥11BBDC−的体积．因为（1）中已证1//BA面1CBD，所以1B到平

面1BDC的距离等于A到平面1BDC的距离．因此三棱锥11BBDC−的体积等于三棱锥1ABDC−的体积，即等于三棱锥1CABD−的体积．在直三棱柱111ABCABC−中，1CC⊥平面ABC，所以1CC为三棱锥1

CABD−的高．因为3AB=，4BC=，且ABBC⊥，162ABCSABBC==．因为D是AC的中点，所以ABD的面积132ABCSS==．故三棱锥1CABD−的体积1133VSCC==，即三棱锥11BBCD−的体积等于

3．20．（本小题满分12分）解：（1）由ABC为正三角形，得2π23AOBACB==，所以π6ABOBAO==，所以原点O到直线AB的距离π11sin62d==．由点到直线的距离公式得122m=，解得22m=或22−．所以直线AB的方程为2

220xy−+=或2220xy−−=．（2）方法一：设()11,Axy，()22,Bxy，(),Pxy．因为0APBP=，所以点P在以AB为直径的圆上．记该圆圆心为()00,xy，则00,xxyy==是方程组00xyxym+=−+=的解，解得00,2.2mxmy=−

=故以AB为直径的圆的方程为2221222mmmxy++−=−，其中22m−．又点P在直线30xy−−=上，即直线与圆有公共点，所以23122mm+−，即222310mm++．解得311322m+−−

．综上，实数m的取值范围是3113,22+−−．方法二：设()11,Axy，()22,Bxy．联立直线AB与圆O方程，得221,0,xyxym+=−+=消去y得222210xmxm++−=．①所以1x，2x是①

的两个解，判别式()()2224210mm=−−，即22m−，且12xxm+=−，21212mxx−=．设点(),Pxy，则()11,APxxyy=−−，()22,BPxxyy=−−．由0APBP=，()()()()12120xxxxyyyy−−+−−=，②

将3yx=−，11yxm=+，22yxm=+代入②，整理得()()()()221212122232330xxxmxxxmxxm−+++++++++=．又12xxm+=−，21212mxx−=，所以22223320xxmm−+++=，关于x的方程

22223320xxmm−+++=有实数解，因此()()222342320mm−−++，即222310mm++，解得311322m+−−．综上，实数m的取值范围是3113,22+−−．21．（本小题满分12分）解：因为平面PAB⊥平面ABCD，PAAB⊥，平面PA

B平面ABCDAB=，PA平面PAB，所以PA⊥平面ABCD．因为AD平面ABCD，所以PAAD⊥．又ABAD⊥，所以PA，AB，AD两两互相垂直．以,,ABADAP为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz−．因为4PAAD==，2ABBC==，所以()0,0,0A

,()2,0,0B，()2,2,0C，()0,4,0D，()0,0,4P，（1）若12=，即E为PC中点，则()1,1,2E，所以()1,3,2DE=−，()2,0,0AB=，()1,1,2AE=．设平面ABE的一个法

向量为()111,,mxyz=，则0,0,mABmAE==即111120,20.xxyz=++=令11z=，得12y=−，所以平面ABE的一个法向量为()0,2,1m=−．设直线DE与平面ABE所成角为，则62470s

incos,35145DEm+===．（2）因为()01PEPC=，则()2,2,44E−．设平面ABE的一个法向量为()222,,nxyz=，则0,0,nABnAE==即()222220,22440.xxyz=++−=

令22y=，得21z=−，所以平面ABE的一个法向量为0,2,1n=−．设平面AEC的一个法向量为()333,,lxyz=，则0,0,lAClAP==即333220,40.xyz+==令31x=，得31y

=−，所以平面AEC的一个向量为()1,1,0l=−．（或证明CD⊥平面PAC，从而CD为平面PAC的一个法向量）因为二面角BAEC−−的大小为，且234cos17=，得22234cos,17421nl

−==+−，整理得23210+−=，解得13=，或1=−（舍）．所以13=．22．（本小题满分12分）解：（1）椭圆C的左顶点(),0a−，上顶点()0,b．因为左顶点与上顶点的距离为23，所以2223ab+=，化简得2212ab+=．①因为椭圆经

过点()2,2，所以22421ab+=，②由①②解得28a=，24b=或26a=，26b=（舍去），所以椭圆C的方程为22184xy+=．（2）当PQ斜率不存在时，N为()22,0，PQ方程为223x=，易得823PQ=，此时1182826422

339SMNPQ===．当PQ斜率存在时，设PQ的方程为()0ykxmm=+，联立22184ykxmxy=++=得()()222124240kxkmxm+++−=，由()()()222481240kmkm=−+−，得22084mk+．（*）

设()11,Pxy，()22,Qxy，则122412kmxxk−+=+，()21222412mxxk−=+，因此PQ的中点M为222,1212kmmkk−++．又因为3ONMO=，所以2263,1212kmmNkk−++，将点M代入椭圆方程，得()()222

22221891412412kmmkk+=++，化简得229214km+=，符合（*）式．记点O到直线l的距离为d，则2124221OPQSSPQdkxxd===+−22222228421121mkmkkk+−=+++222428412

mkmk+−=+，将229214km+=代入，得22242964994mmmSm−==．综上，PQN的面积S为定值649．