【文档说明】山东省淄博市2021届高三上学期教学质量摸底检测（零模）数学试题 含解析.doc，共(24)页，1.768 MB，由小赞的店铺上传

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普通高中高三教学质量摸底检测考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试

卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合U1,2,3,4,5=，1,3A=，2,3,4B=，则()UAB=ð（）A.1,3,4,5

B.1,2,4C.2,4D.————C分析：根据集合补集运算求出UAð，根据集合交集运算求出()UABð.解答：解：由题意得U2,4,5A=ð，所以()U2,4,52,3,42,4AB==ð故

选：C.2.复数z满足(1i)2iz−=，则z=A.1i−B.1i−+C.1i−−D.1i+————B因为()1i2iz−=，所以()2i111iziii==+=−+−,选B.3.已知向量a，b的夹角为23，2=a，1b=，则

2ab−=（）A.23B.3C.3D.12————A分析：利用条件进行数量积运算即可求出()2212ab−=，从而可得出2−ab的值.解答：2,3ab=，2=a，1b=，()222124444421122ababab−=+−=+−−=，223a

b−=，故选：A.点拨：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．4.某校学生的男女人数之比为2:3，

按照男女比例通过分层随机抽样的方法抽到一个样本，样本中男生每天运动时间的平均值为100分钟、女生为80分钟．结合此数据，估计该校全体学生每天运动时间的平均值为（）A.98分钟B.90分钟C.88分钟D.85分钟———

—C分析：根据学生的男女人数之比为2:3，设样本中男生人数为2a，女生人数为3a，利用平均数公式求解.解答：设样本中男生人数为2a，女生人数为3a，则样本容量为5a，又男生每天运动时间的平均值为100分钟、女生为80分钟，所以该校全体学生每

天运动时间的平均值为1002803885aaa+=,故选：C5.若正实数x，y满足3xyxy+=，则34xy+的最小值是（）A.12B.15C.25D.27————C分析：3xyxy+=变形得131yx+=，然后利用基本不等式的乘“1”法计算最小值.解答：3xyxy+=变形得131y

x+=，因为x，y是正实数，则()312312343421133=13xyyxyxyxyxxyxy+=+++++261325=+=，当且仅当131312yxxyyx+==时，取

最小值25.故选：C.点拨：关键点睛：在基本不等式中，遇到已知条件为axbyxy+=时，需要先变形为1abyx+=，然后利用乘“1”法展开计算，再根据“一正二定三相等”的步骤计算最值.6.已知定义在R上的奇函数()fx满足()()2fxfx=−，且在)1,0−上有()4xfx=，

则()2020.5=f（）A.2B.12C.2−D.12−————D分析：根据题意可得函数()fx是周期为4的周期函数，结合函数为奇函数可得()2020.5(0.5)ff=−−，代入函数解析式化简即可.解答：解：因为定义在

R上的奇函数()fx满足()()2fxfx=−，所以()()2()fxfxfx+=−=−，所以()()()()222()()fxxffxfx=−=−−=+++，即函数()fx是周期为4的周期函数，又)1,0x−时有()4xfx=，所以()0.512020.5(0

.5)(0.5)42fff−==−−=−=−故选：D.点拨：函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路：(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性；(2)解决不等式问题时一定要充分利用

已知的条件，把已知不等式转化成12()()fxfx或12()()fxfx的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响.7.在6张奖券中有一等奖奖券1张、二等奖奖券2张、三等奖奖券3张．现有3个人抽奖，每人2张，则不同的获奖情况有（）A.1

5B.18C.24D.90————A分析：分两步，第一步分配一等奖奖券，第二步，分配二等奖奖券，可算出答案.解答：第一步：把一等奖奖券分给3人中的一个，有13=3C种；第二步：把2张二等奖奖券分配，有两种情况，①其中一张给了得一等奖的人，另外一张给了剩下两人中的一人，有12=2C种②抽一

等奖的人没有得二等奖，则两张二等奖奖券分给剩下2人一人一张或者有1人得2张，有121+=3C种综上：共有()32+3=15种情况故选：A8.我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与声音的强度有关系，声音的强度常用I（单位

：瓦/米2，即2W/m）表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L（单位：分贝）表示，它们满足换算公式：010lgILI=（0L，其中1220110W/m−=I是人平均能听到的声音的最小强度），国家《城市区域噪声标准》中规定白天公共场所不超过60分贝，则要求声音的强度

不超过（）A.6210W/mB.6210W/m−C.122610W/m−D.122110W/m6−————B分析：令60L，解此不等式即可得解.解答：令010lg60ILI=，可得6010II，()661262010101010/IIWm−−==.故

选：B.二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．9.已知,abR，则下列叙述中正确的是（）A.若ab，则11abB.若0ab−，则0ab+C.“1a”是“2aa”的充分不必要条件D.命题“1a，

210a−”的否定是“1a，210a−”————BC分析：利用赋值法可判断选项A；去绝对值后可判断选项B；根据充分条件和必要条件的可判断C；根据含有一个命题的否定可判断D.解答：对A，当1a=，1b=−时，11ab不成立，故A错误；对B，因为0ab−，即|

|ab，所以aba−，所以02aba+，故B正确；对C，当1a时，2(1)0aaaa−=−，所以2aa，故充分性成立；当2aa，即0a或1a，故1a不一定成立，故必要性不成立，所以“1a”是“2aa”的充分不必要条件，故C正确；对D，命题“1a，210a−”的

否定是“1a，210a−”，故D错误.故选：BC10.为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，现调查了当地的100家中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样

本的频率分布直方图，则下面结论正确的是（）A.样本在区间500,700内的频数为18B.如果规定年收入在300万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有30%的当地中小型企业能享受到减免税政策C.样本的中位数小于350万元D.可估计当地的中小型企业年收入的平均数超过400万元（同一组中的数据用该

组区间的中点值为代表————AB分析：由题意和图形及频率分布直方图的相关公式计算频率、中位数、平均数即可，解答：由图可得100(0.0010.0020.002620.0004)10.0014aa++++==样本在区间500,700内的频数为100(0.00140.0004)10018+

=，故A正确；年收入在300万元以内的企业频率为100(0.0010.002)0.3+=，故B正确；100(0.0010.0020.0026)0.560.5++=则中位数在300,400之间，设为x则()3000.00260.2377350xx−=，故C不正确；年收

入的平均数超过1500.12500.23500.264500.265500.146500.04376400+++++=，故D不正确故选：AB点拨：方法点睛：1.谨记频率分布直方图的相关公式：(1)直方图中各小长方形的面积

之和为1；(2)直方图中纵轴表示：频率/组距，故每组样本的频率为组距乘以频率/组距，即矩形的面积；(3)直方图中每组样本的频数为频率乘以总数.2.频率分布直方图中数字特征的计算：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率

分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.11.已知函数()()sinfxAx=+（其中0A，0，2）的部分图像，则下列结论正确的是（）A.函数()fx的图像关于直线12x=对称B.函数()fx的图像关于

点,012−对称C.将函数()fx图像上所有的点向右平移6个单位，得到函数()gx，则()gx为奇函数D.函数()fx在区间,412−上单调递增————ACD分析：根据函数图象求得()fx解析式，再根据三角函数图象性质及伸缩平移变

换分别判断各个选项.解答：由图象得函数最小值为2−，故2A=，741234T=−=，故T=，22T==，故函数()2sin(2)fxx=+，又函数过点7,212−，故72sin(2)212+=−，解得2,3kkZ

=+，又2，即3=，故()2sin(2)3fxx=+，()fx对称轴：2,32+=+xkkZ，解得,122kxkZ=+，当0k=时，12x=，故A选项正确；()fx对称中心：2,3xkkZ+=，解得,62kxkZ=−+，对称中心为(

,0),62kkZ−+，故B选项错误；函数()fx图像上所有的点向右平移6个单位，得到函数()2sin2gxx=，为奇函数，故C选项正确；()fx的单调递增区间：2[2,2],322xkkkZ+−++，解得5[,],1212xkkkZ−++，又

5[,][,],4121212kkkZ−−++，故D选项正确；故选：ACD.12.定义“正对数函数”：0,01lnln,1xxxx+=，若0a，0b，则下列说法正确的是（）A.lnln

+aaB.()()lnln0++−−ababC.()lnlnlnabab+++=+D.()lnlnbaba++=————ABD分析：由所给的定义即对数的运算性质，根据不同的定义中函数的解析式的不同，对,a

b分类讨论，对四个选项逐项判定，即可求解.解答：对于A中，由定义可得，当01a时，ln0,ln0aa+=，可得lnlnaa+，当1a时，lnlnaa+=，所以lnln+aa，所以A正确；对于B中，由题意，当ab=时，可得()()lnln0abab++−−

=当ab¹时，不妨设ab，则0ab−，当,(0,1)ab时，此时lnln0ab++−=，此时()()lnln0abab++−−=当(0,1),[1,)ab+时，此时ln0,lnln0abb++==，则lnl

n0ab++−，所以()()lnln0abab++−−，当当[1,),[1,)ab++时，此时lnln,lnlnaabb++==，则lnlnlnln0abab++−=−，所以()()lnln0ab

ab++−−，综上可得()()lnln0++−−abab，所以B正确；对于C中，令12,3ab==，可得23=ab，由定义知()0,lnllnnln2abab+++=+=，所以()lnlnlnabab++++，所以C不正确；对于D中，由定义得，当1a时，1ba，可得()lnlnln

bbaaba+==，又由lnlnbaba+=，所以()lnlnbaba++=；当01a时，1ba，可得()ln0ba+=，又由()ln0ba+=，所以()lnlnbaba++=；所以D正确.故选：ABD点拨：对于函数的新定义试题的求解

：1、根据函数的定义，可通过举出反例，说明不正确；2、正确理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义进行推理、论证求解.三、填空题：本题共4小题．13.已知随机变量()2~1,N，若()30.3=Pξ，则()11P−=__

____．————0.2分析：根据随机变量服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性即可求出()11P−.解答：因为2~(1,)N，所以正态曲线的对称轴为1x=，因为(3)0.3Pξ=，所以(1)0.3Pξ−=，所以(11)P−=(

1)(1)0.50.30.2PξPξ−−=−=.故答案为：0.2点拨：关键点点睛：本题的关键是充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.14.已知0,2，tan3=，则sin24−=_____．————7210分析：根

据题意求出sin,cos，进而求出sin2,cos2，用两角差的正弦公式展开化简即可.解答：解：由0,2，tan3=可得31010sin,cos1010==，所以310103sin22sincos210105===，22221031

04cos2cossin10105=−=−=−所以324272sin24525210−=−−=故答案为：7210点拨：应用三角公式化简求值的策略（1）首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相

乘，符号反”.（2）注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.（3）注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.15.在二项式72xx−的展开式中，所有项系数之和为______，含4x的项的系数是______（用数字作答）．————(1).1−

(2).84分析：令1x=，可得所有项系数之和；由通项公式可得含4x的项的系数.解答：令1x=，得所有项系数之和为7(12)1−=−；二项式72xx−的展开式中的通项为37721772()(

2)rrrrrrrTCxCxx−−+=−=−，令3742r−=，得2r=，所以含4x的项的系数是227(2)84C−=.故答案为：1−；84点拨：方法点睛：求二项展开式中的特定项的系数，实质是考查通项1CrnrrrnTab−+=的特点，一般需要建立方程求r，再将r的值代回

通项求解，注意r的取值范围(0,1,2,,rn=).16.已知数列na为等差数列，数列nb为等比数列．若集合123,,Aaaa=，集合123,,=Bbbb，集合,,2=−Cab（0a，0b），且ABC==，则ab+

=______．————5分析：根据题意判断出22b=−，根据等比数列的性质可得22134bbb==，根据等差数列的性质，列出等式22ab=−+（或22ba=−+），求出ab、即可.解答：由123123,,,,,,

2aaabbbab==−，其中0a，0b，可得22b=−，则22134bbb==，令13,abbb==，或13,bbba==可得4ab=，①令na中的123,2,abaaa=−==，根据等差数列的性质可得2132aaa=+，所

以22ab=−+，②根据①②得出1,4ab==，所以5ab+=；令na中的123,2,aaaba=−==，根据等差数列的性质可得2132aaa=+，所以22ba=−+，③根据①③得出4,1ab==，所以5ab+=；同理令na中

的321,2,abaaa=−==，根据等差数列的性质可得2132aaa=+，所以22ab=−+，与①联立可5ab+=；令na中的321,2,aaaba=−==，根据等差数列的性质可得2132aaa=+，所以22ba=−+，与①联立可5

ab+=；综上所述5ab+=.故答案为：5ab+=.点拨：本题主要考查等差数列、等比数列的性质与集合相等，关键点是判断出22b=−，根据等比数列的性质可得22134bbb==，根据等差数列的性质，列出等式22ab=−+（或22ba=−+）

，考查学生分析问题、解决问题的能力.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球表面预选着陆区，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携

带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响，为进一步培养中学生对航空航天的兴趣爱好，某学校航空航天社团在本校高一年级进行了纳新工作，前五天的报名情况为：第1天3人，第2天6人，第

3天10人，第4天13人，第5天18人，通过数据分析已知，报名人数与报名时间具有线性相关关系．（1）已知第x天的报名人数为y，求y关于x的线性回归方程，并预测第7天的报名人数（结果四舍五入取整数）．（2）该社团为了解中学生对航空航天的兴趣爱好和性别是否有关系，随机调查了100名学生，并得到如

下22列联表：有兴趣无兴趣合计男生45550女生302050合计7525100请根据上面的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0．001的条件下认为“中学生对航空航天的兴趣爱好和性别有关系”参考公式及数据：回归方程ˆˆˆyabx=+中斜率的最小二乘估计公式为：()()()1122211

ˆnniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx====−−−==−−，ˆˆaybx=−；()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．2()PKk0.100.050.01000050.001k2.7063.8416.635

7.87910.828————（1）ˆ3.71.1=−yx，25；（2）在犯错误的概率不超过0.001的条件下认为“中学生对航空航天的兴趣爱好和性别有关系”.分析：（1）利用最小二乘法直接求解回归方程，进而预测第7天的报名人数；（2）根据22

列联表直接求得2K，进而判断.解答：解：（1）时间的平均数为1234535x++++==，报名人数的平均数为36101318105++++==y，所以717221187531037ˆ3.7555910==−−

====−−iiiiixynxybxnx，ˆˆ103.731.1=−=−=−aybx，所以线性回归方程为ˆ3.71.1=−yx，把7x=代入得ˆ24.825=y，所以第7天的报名人数约为25．（2）由列联表数据可得()2210045205301275255050−==K因为

12，所以，在犯错误的概率不超过0.001的条件下认为“中学生对航空航天的兴趣爱好和性别有关系”．点拨：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意

义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．18.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，3tantancos=+aCBbC．（1）求角B的大小；（2）若52ac+=，12=BABC，求b的值．————（1）3B=；（2）132b

=.分析：(1)将切化弦，再利用正弦定理及三角形内角和定理化简，即可求出B；(2)由12=BABC可得1ac=，由余弦定理并配凑出ac+及ac，即可求出b；也可由ac+及ac解出,ac，再由余弦定理，即可求出b.解答：（1）因为3tantancos=+aCBbC，由正弦定理，得3si

nsinsinsincoscoscos=+ACBBCCB，又cos0C，所以()sin3sinsincos+=BCABB，因为BCA+=−，所以()sin3sinsincosπAABB−=，所以3sinsinsincosAABB=，又(0,)A，所以sin0A，所以3c

ossinBB=，即tan3B=，又0B，所以3B=.（2）解法一：因为12=BABC，所以1cos2=BABCB，即1ac=由余弦定理，得2222cosbacacB=+−()23acac=+−2513344=−

=，所以132b=．解法二：因为12=BABC，所以1cos2=BABCB，即1ac=，又52ac+=，所以521acac+==，解得2a=，12c=或12a=，2c=，由余弦定理，得22211113

2cos4224224=+−=+−=bacacB，所以132b=．19.已知数列na是单调递增的等比数列，且各项均为正数，其前n项和为nS，1581=aa，2S，3a，43−aS成等差数列．（1）求数列na的通项公式；（2）若___

___，求nnab的前n项和nP，并求nP的最小值．从以下所给的三个条件中任选一个，补充到上面问题的横线上，并解答此问题．①数列nb满足：112b=，132+=+nnnbbn（nN）；②数列nb的前n项和2nTn=（nN）；③数列nb的前n项和n

T满足：65−=nnTb（nN）．注：如果选择多个条件分别解答，只按第一个解答计分．————（1）13−=nna；（2）答案见解析.分析：(1)求等比数列的通项公式用公式法，基本量代换；(2)对于①由132+=+nnnbbn用累乘法求出nb通项公式，从而得到111nnnc=-+用

裂项相消法求和；对于②由2nTn=用1=nnnbTT−−求出nb通项公式，求出到()1213nnnnncab−=−=用错位相减法求和；对于③由65−=nnTb及1=nnnbTT−−得到115−=−nnbb求出nb通项公式，得到()135nnnncab−

==−直接求和．解答：解：（1）设数列na的公比为q，则由0na，1581=aa，所以2381a=，因为0na，所以39a=，因为2S，3a，43−aS成等差数列，所以32432=+−aSaS，即343=aa，所以433aqa==，所以11a=，所以1

3−=nna．（2）选择①：因为112b=，132+=+nnnbbn（nN），所以1132+=+nnbnbn（nN），所以211133=bb；321234=bb；431335=bb；……；11131−−=+nnbnbn()3211211231−−=+nnnbbb

bbbnn所以()11131−=+nnbnn，当1n=时也成立．所以()11111===−++nnncabnnnn，所以11111111223111=−+−++−=−=+++nnPnnnn，因为nP是递增

的，所以nP的最小值为112P=，选择②：由2nTn=可知：当1n=时，111bT==，当2n时，()221121−=−=−−=−nnnbTTnnn，验证当1n=时亦满足此关系，所以21nbn=−所以()1213nnnnncab−=−=所以()21113

353213−=++++−nnPn()233133353213=++++−nnPn，两式相减得：()23121123332323213nnnPn−−=+++++−−()623121313nnn−=+−−−所以()131=−+nnPn，因

为nP是递增的，所以nP的最小值11P=，选择③：因为65−=nnTb（nN），所以1165−−−=nnTb（2n），两式相减得()()1160−−−−−=nnnnTTbb，即150−+=nnbb（2n），所以115−=−nnbb（2n）而1165−=Tb

，即11b=所以数列nb是以1为首项，15−为公比的等比数列，所以()115nnb−=−，所以()135nnnncab−==−，所以31535138515−−==−−+nnnP，当n为奇数时，由于()305n−，故58nP；当n为偶数时，由于(

)305n−，故58nP，由53185=−−nnP在n为偶数时单调递增，所以当2n=时，nP的最小值为51628255=．点拨：“结构不良问题”是2020年新高考出现的新题型：题目所给的三个可选择的条件是平行的

，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分。20.已知函数()32=−++axxfbxxc（0a，且,,abcR）在0x=处取得极

值1−．（1）讨论函数()fx的单调性；（2）判断是否存在实数a使得函数()fx的图像与直线20xy−−=相切，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．————（1）答案见解析；（2）存在，1a=或527−.分析：（1）利用()00f=，()0

1f=−求出0b=，1c=−，分类讨论a，利用导数可得函数()fx的单调性；（2）假设存在实数a使得函数()fx的图像与直线20xy−−=相切，根据()2ftt=−，()1ft=可解得结果.解答：（1）因为()2

32=−+axxxfb，且()00f=，()01f=−，得0b=，1c=−，得()321=−−fxaxx，()232=−axfxx，当0a时，(),0−20,3a2,3a+()fx+−+()fx增减增即函数(

)fx单调递增区间为(),0−和2,3a+，递减区间为20,3a．当0a时，2,3a−2,03a()0,+()fx−+−()fx减增减即函数()fx单调递

增区间为2,03a，递减区间为2,3a−和()0,+．（2）假设存在实数a使得函数()fx的图像与直线20xy−−=相切，设切点的坐标为(),2Ptt−（tR），可得()3212=−−=−ftattt，()2321

=−=attft，消掉a，可得2230tt+−=，解得1t=或3−．当1t=时，得1a=；当3t=−时，得527=−a；综上，存在实数1a=或527−使得函数()fx的图像与直线0xy+=相切．点拨：关键点点睛：利用导数的几何意义求解是解题关键

.21.某商场在“双十二”进行促销活动，现有甲、乙两个盒子，甲盒中有3红2白共5个小球，乙盒中有1红4白共5个小球，这些小球除颜色外完全相同．有两种活动规则：规则一：顾客先从甲盒中随机摸取一个小球，从第二次摸球起，若前一次摸到红球，则还从

该盒中摸取一个球，若前一次摸到白球，则从另一个盒中摸取一个球，每摸出1个红球奖励100元，每个顾客只有3次摸球机会（每次摸球都不放回）；规则二：顾客先从甲盒中随机摸取一个小球，从第二次摸球起，若前一次摸到红球，则要从甲盒中摸球一个，若前一次摸到白球，则要从乙盒中摸球一个，每摸出

1个红球奖励100元，每个顾客只有3次摸球机会（每次摸球都不放回）．（1）按照“规则一”，求一名顾客摸球获奖励金额的数学期望；（2）请问顾客选择哪种规则进行抽奖更有利，并请说明理由．————（1）138；（2）选择规则一更有利．理由见解析.分析：（1）按规则一，设3

次摸球后摸到的红球个数为随机变量X，其可能的取值有0，1，2，3，4利用互斥事件以及独立事件同时发生的计算公式分别计算出各个概率的值，并列出分布列，而所求的奖励金额为随机变量100X，根据期望计算公式即可求解；（2）与（1）同方法可求出规则二的奖励金额的期望，与（1

）中的结果相比较，即可知规则一更有利.解答：解：（1）按照规则一，设顾客经过3次摸球后摸取的红球个数为X，则X可以取0，1，2，3，则()2412055425===PX；()32421424314154555455425==++=PX；()322

32113254354550==+=PX；()3211354310===PX．随机变量X的分布列为：X0123P22514251350110在规则一下，顾客摸球获奖励金额的数学期望()214131100100012313825255010

=+++=EX．（2）若选规则二，设顾客经过3次摸球后摸取的红球个数为Y，则Y可以取0，1，2，3()2436055425===PY；()32421124117154555455450==++=PY；()3223212138254354555425==

++=PY；()3211354310===PY．随机变量Y的分布列为：X0123P6251750825110规则二下顾客摸球获奖励金额的数学期望为()61781100100012312825502510=+++=

EY，因为()()100100EXEY，所以选择规则一更有利．点拨：方法点睛：与数学期望相关的决策性问题解题步骤：①设出随机变量，并写出其所有可能的取值；②求出每个随机变量的概率；③写出分布列；④求出数学期望；⑤针对具体的问题选择合适的方案.22.已知函数()=−xfxx

ee（e是自然对数的底数）．（1）求函数()fx的最小值；（2）若函数()()ln=−gxfxkx有且仅有两个不同的零点，求实数k的取值范围．————（1）()1minfxee−−−=；（2）()()0,22,+kee.分析：（1）求导()()1xfxxe=+，令()0

fx=，求得极小值即可.（2）()ln=−−xxekxxge（0x），()10g=，当0k时，易知函数()gx是增函数，不合题意，当0k时，求导()()()11+−=+−=xxxxekkxexgxx，令()()1=+−xhxxxek，由导数法知()hx是增函数，利

用零点存在定理，得到函数()gx有最小值，且()()()00min000001lnxxgxgxxexxexe==−+−，然后由导数法论证()0gx在()0,1或()1,+存在一个零点即可.解答：（1）函数()()1xfxxe=+，令()0fx=，解得1x=−．当(),1x−−时

，()0fx，()fx单调递减；当()1,x−+时，()0fx，()fx单调递增，所以函数()fx有最小值()()1min1−=−−=−fexfe．（2）()ln=−−xxekxxge（0x），(

)10g=．当0k时，函数()gx是增函数，()gx有唯一的零点，与已知矛盾．当0k时，()()()11+−=+−=xxxxekkxexgxx，令()()1=+−xhxxxek，则()()2130=++xxxehx，所以()hx是增函数．又()00=−hk，()()10−==+−k

hekkkkkk，故存在()00x+,，使()()000010=+−=xhxxxek，即()0001=+xkxxe．当()00,xx时，()0hx，即()0gx，()gx单调递减；当()0,xx+时，()0hx，即()0gx，()gx单调递增，所以函数(

)gx有最小值，且()()()0000000000minln1lnxxxgxgxxekxexexxexe==−−=−+−,()()()000200000001ln13ln=−+−=−++xxxgxxexexexxex，当()00,1x时，()00gx，()0gx单调递增；当()01,x

+时，()00gx，()0gx单调递减，所以()()0max10gxg==．当()00,1x时，存在()100,xx使()10gx=，再()10g=，故()gx有且仅有两个不同的零点；当01x=时，此时2ke=，()gx有唯一的零点0

x；当()01,x+时，存在()20,xx+使()20gx=，再()10g=，故()gx有且仅有两个不同的零点．综上所述，()()0,22,+kee．点拨：方法点睛：用导数研究函数的零点，一

方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．