【文档说明】2022高三统考数学文北师大版一轮教师文档：第六章第五节　直接证明与间接证明含答案【高考】.doc，共(3)页，112.500 KB，由小赞的店铺上传

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-1-第五节直接证明与间接证明授课提示：对应学生用书第116页[基础梳理]1．直接证明内容综合法分析法定义从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论的方法，是一种从原因推导到结果的思维方法从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的

已知条件或已被证明的事实的方法，是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法特点从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的必要条件从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件2.间接

证明——反证法要证明某一结论Q是正确的，但不直接证明，而是先去假设Q不成立(即Q的反面非Q是正确的)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明非Q是错误的，从而断定结论Q是正确的，这种证明方法叫作反证法．[四

基自测]1．(基础点：综合法)命题“对任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了()A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接

证明法答案：B2．(基础点：分析法)要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明()A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－a4＋b42≤0C.（a＋b）22－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0答案：D3．(易错点：反证法)用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一

个不大于60°”，假设正确的是()A．假设三个内角都不大于60°B．假设三个内角都大于60°C．假设三个内角至多有一个大于60°D．假设三个内角至多有两个大于60°答案：B4．(基础点：反证法)用反证法证明“如果a>b，那么3a>3b”，假设内容为________．-2-答

案：3a≤3b授课提示：对应学生用书第116页考点一综合法挖掘综合法的思维过程/互动探究[例](1)已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明ab＋bc＋ca≤13.[证明]由a2＋b2≥2ab，b2＋c

2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤13，

当且仅当“a＝b＝c”时等号成立．(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.①求证：a，b，c成等差数列；②若C＝2π3，求证：5a＝3b.[证明]①由已知得sinAs

inB＋sinBsinC＝2sin2B，因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，由正弦定理，得a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．②由C＝2π3，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，所以5a＝3b.[破题技法]1.解

决数学问题时，往往要先作语言的转换，文字语言与符号语言、符号语言与图形语言等，从条件入手结合演绎推理证出结论．2．推理方式(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所

要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．考点二分析法挖掘分析法的操作过程/互动探究[例]a＞0，证明a＋a＋2＜2a＋1.[证明]因为a＞0，a＋a＋2＞0，2a＋1＞0，所以要证a＋a＋2＜2a＋1，只需证(a＋a＋2)2＜(2a＋1)2，即证2a＋2＋2a（a＋2）

＜4(a＋1)，只需证a（a＋2）＜a＋1，即证a(a＋2)＜(a＋1)2，即证0＜1，而0＜1显然成立，所以原不等式成立．[破题技法]分析法的思路“执果索因”，逐步寻找结论成立的充分条件，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或

已经证明成立的结论等．-3-考点三反证法挖掘反证法的思维/互动探究[例](2020·杭州模拟)已知函数f(x)＝ax＋x－2x＋1(a>1)．(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．[证

明](1)设u(x)＝ax，v(x)＝x－2x＋1.∵a＞1，∴u(x)＝ax在(－1，＋∞)上为增函数，要证明f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，只需证v(x)＝x－2x＋1在(－1，＋∞)上为增函数．设x1，x2∈(－1，＋∞)且x1＜x2，即证v(x2)－v(x1)

＞0.由v(x2)－v(x1)＝x2－2x2＋1－x1－2x1＋1＝（x2－2）（x1＋1）－（x1－2）（x2＋1）（x1＋1）（x2＋1）＝3（x2－x1）（x1＋1）（x2＋1）>0成立．∴f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(2)假设存在x0<0(x0≠－1)满

足f(x0)＝0，则ax0＝－x0－2x0＋1.∵a>1，∴0<ax0<1，∴0<－x0－2x0＋1<1，即12<x0<2，与假设x0<0相矛盾，故方程f(x)＝0没有负数根．[破题技法]1.反证法的适用范围：当一个命

题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法求证．2．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：(1)与已知条件矛盾；(2)与假设矛盾；(3)与定义、公理、定理矛盾；(4)与事实矛盾等方面．