【文档说明】天津市北辰区2023届高三三模数学试题 含解析.docx，共(25)页，3.314 MB，由小赞的店铺上传

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北辰区2023年高考模拟考试试卷数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目

的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：·如果事件A，B互斥，那么()()()PABPAPB=+．·如果事件A，B相互独立，那么()()()PABPAPB=．一、选择题：在每小题给出的四个选项中

，只有一项是符合题目要求的.1.设集合0,1,2,3A=，1,3,4B=，2R320Cxxx=−+，则()ABC=（）A.3B.1,2C.1,3D.0,3,4【答案】D【解析】【分

析】根据一元二次不等式化简C,进而由集合的交并补运算即可求解.【详解】2R3202Cxxxxx=−+=或1x，由0,1,2,3A=1,3,4B=得0,1,2,3,4AB=,所以()0,3,4ABC=，故选：D2.已知a为

非零实数，则“1a”是“1aa”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】由1aa，即210aa−，即()()110

aaa−+，解得1a或10a−，所以由1a可以推出1aa，故充分性成立，由1aa推不出1a，故必要性不成立，所以“1a”是“1aa”的充分不必要条件.故选：A3.函数()2e2xfxx=−的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】

C【解析】【分析】判断函数()fx的奇偶性，排除AD，取特殊点排除B，由此可得结论.【详解】由()2e2xfxx=−可得，()1e2f=−，()1e12f−=−，因为()()()()11,11ffff−−−，所以函数()fx不是奇函

数，也不是偶函数，所以函数()fx的图象不关于y轴对称，A，D错误，又()01e2f=−，B错误；选项C满足以上要求.故选：C.4.少年强则国强，少年智则国智．党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质．为了加强对学生的营养健康监测，某校在30

00名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（）A.样本的众数为65B.样本的第80百分位数为72.5C.样本的平均值为67.5D.该校学生中低于65kg的学生大约为1000人【答案】B【解析】【分析】根据众数，百分位

数，平均数的定义判断A，B，C，再求低于65kg的学生的频率，由此估计总体中体重低于65kg的学生的人数，判断D.【详解】由频率分布直方图可得众数为67.5，A错误；平均数为57.50.1562.50.2567.50.372.50.277.50.166.75++++=，C错

误；因为体重位于))))55,60,60,65,65,70,70,75频率分别为0.15,0.25,0.3,0.2，因为0.150.250.30.2+++0.8，所以第80百分位数位于区间

)70,75内，设第80百分位数为x，则()0.150.250.3700.040.8x+++−=，所以72.5x=，即样本的第80百分位数为72.5，B正确；样本中低于65kg的学生的频率为0.150.250.4+=，所以该校学生中低于65kg的学生大约为30000.

41200=，D错误；故选：B.5.设12log3a=,12eb=,lg2c=,则（）A.abcB.b<c<aC.cabD.acb【答案】D【解析】【分析】根据()12logfxx=,()exgx=,()lghxx=的单调性,分别判断,,abc的大概范围,即可得出大

小.的【详解】解:由题知12log3a=,12eb=,lg2c=,因为()12logfxx=在定义域内单调递减,所以()()31ff,即1122log3log10a==,因为()exgx=在定义域内单调递增,所以()102gg,即0121eeb==,因为()lg

hxx=在定义域内单调递增,所以()()()1210hhh,即0lg21c=,综上:acb.故选:D6.设3log4a=，3log5b=，则3log10=（）A.24ab+B.42ab−C.12ab+D.1142ab+【答案】C【解析】【分析】根据对数的运算法则即

可求解.【详解】由3log4a=得332log2log22aa==，所以333log10log2log52ab=+=+，故选：C7.设1F、2F分别为双曲线22221xyab−=（0a，0b）的左、右焦

点.若在双曲线右支上存在点P，满足212PFFF=，且2F到直线1PF的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线与抛物线24xy=的准线围成三角形的面积为（）A.35B.34C.43D.53【答案】B【

解析】【分析】由题意首先求得渐近线方程，然后结合渐近线方程确定其与准线方程的交点坐标，最后求解三角形的面积即可.【详解】依题意212PFFF=，可知21PFF是一个等腰三角形，2F在直线1PF的投影是其中点D，

由勾股定理可知|2214|244PFcab−=＝根据双曲定义可知422bca−=，整理得2cba=−，代入222cab=+整理得2340bab−=，所以43ba=所以双曲线渐近线方程为43yx=，即430xy=，抛物

线24xy=的准线方程为1y=−，渐近线与抛物线的准线=1y−的交点坐标为：3,14M−−，3,14N−，OMN的面积1331224S==.所以双曲线22221xyab−=的渐近线与抛物线24xy=

的准线围成三角形的面积为34.故选：B.8.中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂．1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大师

在棱长为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为（）A.46B.43C.26D.6【答案】A【解析】分析】根据题意，求正方体的内切球半

径，易知该球为所求正四面体的外接球，根据正四面体的性质，可求得棱长．【详解】由题意，球是正方体的内切球，且该球为正四面体的外接球时，四面体的棱长最大，则该球半径6r=，如图：【可知E为外接球球心，EPEBr==，

PD⊥平面ABC，D为底面等边ABC的中心，设正四面体的棱长为d，则233323BDdd==，2236()33PDddd=−=，在RtEDB中，则222EBEDDB=+，即22236()()33rddr=+−，解得263dr=，即46d=．故选：A9.已知函数

()()cosfxAx=+（0A，0，π2）的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：①()fx的图象关于点4π,03对称；②()fx的图象关于直线5π12x=−对称；③()fx的图象可由π2sin26yx=−的图象向左平移

π2个单位长度得到；⑧若方程()()(0)gxftxt=在5π0,6上有且只有两个极值点，则t的最大值为1310．以上四个说法中，正确的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据函数图象及五点作图法求出函数

解析式，再根据余弦函数的性质一一判断即可.【详解】依题意可得2A=，12πππ4312=−，2=，再根据五点法作图可得π2012+=，解得π6=−，π()2cos26fxx=−．因为4π4π5π2cos22cos0336π2f=

−==，所以()fx的图象关于点4π,03对称，故①正确；因为()25π5π1π22cos22cosπ612f=−=−=−−−，所以()fx的图象关于直线5π12x=−对称，故②正确；将π2sin2

6yx=−图象向左平移π2个单位长度得到πππ2sin2π2s2inn6π2626si2yxxx=+−+=−=−−，故③错误；因为()()π2cos26gxftxtx==−，当5π0

,6x时且0t，ππ5πtπ2,6636tx−−−，因为函数()gx在5π0,6上有且只有两个极值点，所以5πtππ2π36−，解得7131010t，即t的最大值为1310，故④正确；故选：C第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔

或签字笔将答案写在答题卡上.2．本卷共11小题，共105分.二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.已知i是虚数单位，复数734ii++的虚部为________.【答案】1−【解析】【分析】利用复数的除法运算求解.的【详

解】因为()()()()73471343434iiiiiii+−+==−++−，所以其虚部为-1，故答案为：1−11.在6312xx+的展开式中，4x的系数是________．【答案】60【解析】

【分析】利用二项式展开式通项公式，令x的指数等于4，计算展开式中含有4x项的系数即可.【详解】由题意得：()1863626671C2C21rrrrrrrTxxx−−−+==，0,1,2,3,4,5,6r=，只需71842

r−=，可得4r=，所以424456C260Txx==，故答案为：60.12.直线l经过点()2,3P−，与圆22:22140Cxyxy+++−=相交截得的弦长为27，则直线l的方程为________．【答案】512460xy−−=或2x=【解析】【

分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，根据弦长求出圆心到直线的距离，分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出直线方程.【详解】圆22:22140Cxyxy+++−=，即()()221116xy+++=，圆心为()1,1C−−，半径4r=，因为直线与圆相交截得

的弦长为27，所以圆心到直线的距离()22473d=−=，若直线的斜率不存在，此时直线方程为2x=，满足圆心()1,1C−−到直线2x=的距离为3，符合题意；若直线的斜率存在，设斜率为k，则直线方程为()32ykx+=−，即230kxyk−−−=，则()2212331kkdk−+−−==+−，

解得512k=，所以直线方程为()53212yx+=−，即512460xy−−=，的综上可得直线方程为512460xy−−=或2x=.故答案为：512460xy−−=或2x=13.有两台车床加工同一型号的零件

，第一台车床加工的优秀率为15%，第二台车床加工的优秀率为10%．假定两台车床加工的优秀率互不影响，则两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为________；若把加工出来的零件混放在一起，已知第一台车床加工的零件数占总数的60%，第二

台车床加工的零件数占总数的40%，现任取一个零件，则它是优秀品的概率为________．【答案】①.1.5%②.13%【解析】【分析】根据独立事件的乘法公式即可求解第一空，根据全概率公式即可求解第二空.【详解】由于第一台车床加工的优秀率为15%，第二台车床加工的优

秀率为10%，所以两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为15%10%1.5%=记B“加工的零件为优秀品”，A=“零件为第1台车床加工“，A=“零件为第2台车床加工“，()60%PA=，()40%PA=，(|)15%PBA=，(|)10%PBA=

，由全概率公式可得()(|)()(|)PBPBAPAPBA=+60%15%40%10%13%=+=，故答案为：1.5%,13%14.在ABC中，BAa=，BCb=，若O为其重心，试用a，b表示BO

为________；若O为其外心，满足()()22RABBCBCBOBABOmBOmBCAB+=，且sinsin2AC+=，则m的最大值为________．【答案】①.1133ab+②.1【解析】【分析】结合重心

的定义及向量的线性运算，利用a，b表示BO，根据向量的线性运算和数量积的定义结合正弦定理化简向量等式，可得2sinsinmCA=，结合基本不等式求m的最大值.【详解】连接BO并延长交AC与点D，由重心性质

可得D为线段AC的中点，且23BOBD=，又()111222BDBABCab=+=+，所以1133BOab=+，若O为ABC的外心，则OAOBOC==，设点E为线段BC的中点，设点F为线段AB的中点，则,OEBCOFBA⊥⊥，因为()()21122BCBOBC

BEEOBCBCBC=+==，()()21122BABOBABFFOBABABA=+==，所以()22ABBCBCBOBABOmBOBCAB+=可化为：()211222ABBCAB

BCmOB+=，所以()22ABBCmOB=，由正弦定理可得2sinsinABBCOBCA==，故()24sinsinABBCOBCA=所以24sinsinABBCABBCmCA=，所以2sinsin2

sinsin212ACmCA+==，当且仅当2sinsin2AC==，即π4AC==时等号成立.所以m的最大值为1.故答案为：1133ab+，1.15.设Ra，对任意实数x，记()2mine2,

ee24xxxfxaa=−−++．若()fx有三个零点，则实数a的取值范围是________．【答案】()12,28【解析】【分析】分析函数()()2e2,ee24xxxgxhxaa=−=−++的零点，由条件列不等式求a的取值范围.【详解】令()()2e2,ee24xxxgxh

xaa=−=−++，因为函数()gx有一个零点，函数()hx至多有两个零点，又()fx有三个零点，所以()hx必须有两个零点，且其零点与函数()gx的零点不相等，且函数()hx与函数()gx的零点均为

函数()fx的零点，由()0gx=可得，e20x−=，所以ln2x=，所以ln2x=为函数()fx的零点，即()2ln2ln2ln2ee244224280haaaaa=−++=−++=−，所以28a，令()0hx=，可

得2ee240xxaa−++=，由已知2ee240xxaa−++=有两个根，设ext=，则2240tata−++=有两个正根，所以()24240aa−+，0,240aa+，所以12a，故1228a，当1228a时，2240ta

ta−++=有两个根，设其根为12,tt，12tt，则22at，设()224Fttata=−++，则()24224280Faaa=−++=−，02aF，所以12t，令1212e,exxtt==，则1

122ln,lnxtxt==，则()10hx=，()20hx=，且()1ln11e220tgxt=−=−，()2ln22e220tgxt=−=−，所以当1228a时，()()120fxfx==，所以当12

28a时，12,xx为函数()fx的零点，又ln2x=也为函数()fx的零点，且12,xx与ln2互不相等，所以当1228a时，函数()fx有三个零点.故答案为：()12,28.【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0fx=，如果能求出解，

则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且()()0fafb，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有

几个不同的值，就有几个不同的零点．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步．16.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．满足()2coscosacBbC−=．（1）求角B的大小；（2）设4a=，27b=．（ⅰ）求c的值；（ⅱ）求()sin

2+CB的值．【答案】（1）π3（2）（ⅰ）6c=；（ⅱ）5314−【解析】【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式求解即可.（2）（ⅰ）利用余弦定理求解即可；（ⅱ）利用二倍角公式，两角和的正弦定理结合即可求解.【小问1详解】由()2c

oscosacBbC−=，根据正弦定理得，()2sinsincossincosACBBC−=,可得()2sincossinsinABBCA=+=，因为0πA，故sin0A，则1cos2B=，又0πB，所以π3

B=.【小问2详解】由（1）知，π3B=，且4a=，27b=，（ⅰ）则222cos2acbBac+−=，即211628224cc+−=，解得2c=−（舍），6c=.故6c=.（ⅱ）由()2coscosacBbC−=，得()124627cos2C−

=，解得7cos14C=，则27321sin11414C=−=，则33sin22sincos14CCC==，213cos22cos114CC=−=−，则()csoin=sin2scos2si2nCBCBCB++3311335314214

214=+−=−.17.如图，在三棱锥−PABC中，PA⊥底面ABC，90BAC=．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，2PAAC==，1AB=．（1）求证：//MN平面BDE；（2）求点N到直线ME的距离；（3）在线段PA上是否存在一点H，使得直线

NH与平面MNE所成角的正弦值为2621，若存在，求出线段AH的值，若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）10510（3）32【解析】【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算即可.【小问1详解】因为PA⊥底面ABC，90BAC=，建立空间直角坐标系如

图所示，则11(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,0,1),(0,1,1),(0,0,),(,1,0),(0,0,2)22ABCDEMNP，所以(0,1,0),(1,0,1)DEDB==−，设(,,)nxyz=为平面BDE的法向量，则00nDEnDB==

，即00yxz=−=，不妨设1z=，可得(1,0,1)n=，又11,1,22MN=−，可得0MNn=，因为MN平面BDE，所以//MN平面BDE，【小问2详解】因为10,1,2ME=，所以点N到直线ME的距离()2

2233105452104MNMEdMNME=−=−=.【小问3详解】设()0,0,Ht，0,2t，则1,1,2NHt=−−，设平面MNE的法向量为(),,mabc=，则11022102mMNabcmMEbc=+−==

+=令1b=，则()4,1,2m=−−，所以21226cos,215214mNHtmNHmNHt−===+，即2202830tt−−=，解得32t=或110t=−（舍去），所以32AH=.18.设

na是等差数列，其前n项和为nS（*nN），nb为等比数列，公比大于1．已知11a=，14b=，2211bS+=，3322bS+=．（1）求na和nb的通项公式；（2）设()()()13111nnnnnnacaab+−=−+，求nc的前2n项和；（3）设nnndab=，

求证：2132431111114nndddddddd+++++−−−−．【答案】（1）nan=，12nnb+=（2）()21112122nn+−+（3）证明见解析【解析】【分析】（1）设等差数列na公差为d，等比数列nb的公比为()1qq，依题意得到方程组，求出

d、q，即可得解；（2）由（1）可得()()1121121nnnncnn+=−++，利用裂项相消法计算可得；（3）由（1）可得12nndn+=，即可得到()121111222nnnnddn+++=−+，利用放缩法及等边数列求和公式

计算可得.【小问1详解】依题意设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为()1qq，则2122Saad=+=+，()313313332Sadd−=+=+，又2211bS+=，3322bS+=，所以2421143322qdqd++=++=，解得21qd==或1

5qd==（舍去），所以nan=，12nnb+=.【小问2详解】由（1）可得()()()()()()()()111313211111121122nnnnnnnnnnnancaabnnnn+++−+=−=−=−++++，设nc的前2n项和为

2nT，的所以21232nnTcccc=++++L()1223342211111111112222232324222212nnnn+=−+++−++++

+()21112122nn+=−+.【小问3详解】因为12nnnndabn+==，所以()()211112222nnnnnddnnn++++−=+−=+，所以()1121111122222nnnnnddn++++==

−+，所以21324311111nndddddddd+++++−−−−211182111142412nn+−=−−.19.已知椭圆22221(0)xyabab+=的右

顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，椭圆内一点M满足OMMA=，64BMAB=．（1）求椭圆的离心率；（2）椭圆上一点P在第一象限，且满6AMP=，PO与椭圆交于点Q，直线AQ交PM的延长线于点D．若PDQ的面

积为5312，求椭圆的标准方程．【答案】（1）255（2）2215xy+=【解析】【分析】（1）由已知条件可知，M为OA的中点根据64BMAB=，代入距离公式与比例关系可以求得,,abc的关系，即可求得离心率.（2）设MP所在直线方程与椭圆联立，可以求得,PQ的坐标，再有直线,

AQMP联立可以求得D的坐标，用点到直线的距离与两点间的距离公式既可以求出三角形的面积，即可求得椭圆方程.【小问1详解】因为椭圆内一点M满足OMMA=，所以M为OA的中点，则(,0)2aM，2222644abBMABab+==+，化

简得225ab=，因为222cab=−，所以224cb=，所以椭圆的离心率为22555cbeab===.【小问2详解】椭圆上一点P在第一象限，且满6AMP=,所以直线33MPk=，设直线方程为3()32ayx=−，由直线方程与椭圆方程联立22223()32115a

yxxyaa=−+=得，22322070xaxa−−=，解得127,48aaxx=−=，因为点P在第一象限，73,88ppaaxy==，因为,PQ关于原点对称，7373,,,8888aaaaPQ

−−，因为(,0)Aa，30387158AQakaa+==+，则直线AQ的方程为3()15yxa=−，联立3()153()15yxayxa=−=−得，33(,)824aDa−，所以338778PQaka==，所以直线PQ

的方程为37yx=，即370xy−=，所以点D到直线的距离为33738243349313aada+==+，132PQa=，所以PDQ的面积2135321212aSPQd===，所以25a=，所以椭圆的标准方程为2215xy+=.故椭圆方程为2

215xy+=.【点睛】关键点睛：本题为圆锥曲线中直线与椭圆的位置关系，通常设直线方程，并与椭圆方程联立，借助韦达定理与点到直线的距离公式即可解决有关三角形面积的问题.20.已知函数()()ln1fxxxax=−−，其中aR.（1）当1a=时，求函数()fx在点()()e,ef上的

切线方程.（其中e为自然对数的底数）（2）已知关于x的方程()fxaaaxxx+=+有两个不相等的正实根1x，2x，且12xx.（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）设k为大于1的常数，当a变化时，若12kxx有最小值ee，求k的值.【答案】（1）e10xy−−+=（2）（ⅰ）1

(0,)e；（ⅱ）2e2e−.【解析】【分析】（1）对函数求导数，求出在点()()e,ef处的斜率，最后求切线方程即可；（2）（ⅰ）方程()fxaaaxxx+=+有两个不相等的正实根，等价于函数ln()xFxx=的图象与直线ya=有两个交点，利用函数导数求出极值，

再结合图象求出a的取值范围即可；（ⅱ）结合（ⅰ）及指对互化得1lnln1txt=−，2lnln1ttxt=−，从而把12kxx最小值化为()ln1kttt+−的最小值，多次构造函数，求导，研究函数的单调性及最值，利用最值即

可求解.【小问1详解】当1a=时，()()ln1fxxxx=−−，所以()lnfxx=，所以()elne1f==，又()()eee11f=−−=，所以函数()fx在点()()e,ef上的切线方程为1

eyx−=−，即e10xy−−+=；【小问2详解】（ⅰ）()fxaaaxxx+=+即lnxax=，则有lnxax=，0x，设ln()xFxx=，0x，则21ln()xFxx−=，令()0Fx=，得ex=，令()0Fx，得0ex，令()0Fx，得ex，所以函数l

n()xFxx=在(0,e)上单调递增，在(e,+)上单调递减，又x趋向于0时，()Fx趋向负无穷，x趋向于正无穷大时，()Fx无限趋向0，且1(e)eF=，函数ln()xFxx=的图象如下：由题意，方程()fxaaaxxx+=+有两个不相等

的正实根，即方程lnxax=有两个不相等的正实根，所以函数ln()xFxx=的图象与直线ya=有两个交点，由图知，10ea，故实数a的取值范围为1(0,)e；（ⅱ）因为(1)0F=，由（ⅰ）得121xex，则1212lnlnxxaxx==，所以2211lnlnxxxx=，设21(1

)xttx=，则11lnlnlntxtx+=，即1lnln1txt=−，2lnln1ttxt=−，由题意12kxx有最小值ee，即12()lnlnln1kttkxxt++=−有最小值e，设()ln()1kttgtt+=−，1t，则2(

1)ln1()(1)kkttktgtt−++−+−−=，记()(1)ln1kGtkttkt=−++−+−，则221(1)()()1kkttkGtttt+−−++=−=，由于1t，1k，(1,)tk时，()0Gt

，则()Gt在(1,)k上单调递减，(,)tk+时，()0Gt，则()Gt在(,)k+上单调递增，又(1)0G=，()(1)0GkG=，且t趋向于正无穷大时，趋向于正无穷大，故存在唯一0,()tk+，使得0()0Gt=

，01tt时，()0Gt，即()0gt，所以()gt在0(1,)t上单调递减，0tt时，()0Gt，即()0gt，所以()gt在0(,)t+上单调递增，所以1k时，()gt有最小值0()gt，而0()0gt=，则000(1)ln10kkttkt−++−+

−=，即0000ln11ln1ttktt−+−=+−，所以20000000()ln(ln)()11ln1ktttgtttt+==−+−，由题意知0()egt=，令0lnxt=，设2()(0)e1xxhxxx−=+−，则2[(2)e2]()(e1)xxxxxhxx−−++−=+−，设(

)(2)e2xHxxx−=++−，则()(1)e1xHxx−+=−+，设()(1)e1xuxx−=−++，则()e0xuxx−=，故()Hx在(0,)+上单调递增，()(0)0HxH=，此时

()Hx在(0,)+上单调递增，有()(0)0HxH=，此时()0hx，故()hx在(0,)+上单调递增，又(1)eh=，故()ehx=的唯一解是1x=，故0()egt=的唯一解是0ln1t=

，即0et=，综上所述，2e2ek=−.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)

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