【文档说明】福建省厦门市2022-2023学年高二下学期期末质量检测数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.780 MB，由小赞的店铺上传

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厦门市2022—2023学年第二学期高二年级质量检测数学试题满分：150分考试时间：120分钟考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考

证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束

后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.等比数列na中，116a=，2416aa=，则5a=（）A.1B.2C.4D.8【

答案】A【解析】【分析】根据等比数列的项的性质求得5a.【详解】因为na是等比数列，依题意116a=，241516aaaa==，所以51a=.故选：A2.直线10xy−+=被圆221xy+=所截得的弦长为（）A.22B.1C.2D.2【答案】C【解析】【分析

】根据圆的方程，写出圆心和半径，利用点到直线的距离公式，求得弦心距，利用弦长公式，可得答案.【详解】由圆的方程221xy+=，则其圆心为()0,0，半径为1r=，圆心到直线10xy−+=的距离0012211d−+==+，则弦长22122122lrd=−=−=.故选：C.3.在()512x+的展开

式中，3x的系数为（）A.8B.10C.80D.160【答案】C【解析】【分析】由题意求出二项展开式的通项公式，令x的指数为3求出r的值，从而可求得展开式中3x的系数.【详解】()512x+的展开式的通项公式为()15C2rrrTx+=，其中05r，当3r=时，可得展开式中

3x的系数为335C280=.故选：C4.试验测得四组成对数据(),iixy的值分别为()()()()1,1,0,1,1,2,2,4−−，由此可得y关于x的经验回归方程为1.6yxa=+$$，根据经验回归方程预测，当5x=时，y=（）A.8.4B

.8.6C.8.7D.9【答案】C【解析】【分析】首先求样本点中心(),xy，代入求回归直线方程，最后代入5x=，即可求解.【详解】由条件可知，1012142x−+++==，1124342y−+++==

，回归直线过点()13,,22xy=，代入直线，得31ˆ1.622a=+，得ˆ0.7a=，所以回归直线方程为1.60.7yx=+$，当5x=时，ˆ1.650.78.7y=+=.故选：C5.甲、乙两选手进行乒乓球比赛，采取五局三胜制（先胜三局者获胜，比赛结束），如果每

局比赛甲获胜的概率为()01pp，乙获胜的概率为1p−，则甲选手以3：1获胜的概率为（）A.()233C1pp−B.()223C1pp−C.()334C1pp−D.()31pp−【答案】A【解析】【分析】分析出甲

选手以3：1获胜的情况即可求解.【详解】甲选手以3：1获胜，说明前3场中甲赢了两场，输了一场，且第四场甲赢，故所求概率为()()322323C1C1ppppp−=−.故选：A6.如图，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，

上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，已知太阳灶的口径（直径）为4m，深度为0.5m，则该抛物线顶点到焦点的距离为（）A.0.25mB.0.5mC.1mD.2m【答案】D【解析】【分析】建立坐标系，求出抛物线方程即可求解.【详解】以该抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系，如图所示：

设此抛物线方程为22(0)xpyp=，依题意点(2,0.5)在此抛物线上，所以1242p=，解得4p=，则该抛物线顶点到焦点的距离为2m2p=.故选：D7.把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，O，E，F分别为AC，AD，BC的中点，则折纸后EOF

的大小为（）A.60°B.90°C.120°D.150°【答案】C【解析】【分析】依题意画出图形，连接BO，DO，由面面垂直的性质BO⊥平面ADC，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】折起后的图形如下所示，连接BO，DO，则BOAC

⊥，DOAC⊥，又平面ABC⊥平面ADC，平面ABC平面ADCAC=，BO平面ABC，BO⊥平面ADC，OD，OC，OB三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方形的对角线长为2，则可确定以下点坐标：()0,0,0O，()0,1,0A−，()1,0,

0D，11,,022E−，()0,0,1B，()0,1,0C，110,,22F，11,,022OE→=−，110,,22OF→=，114cos,21122O

EOFOEOFOEOF→→→→→→−===−，又0,180OEOF→→，,120OEOF→→=，120EOF=．故选：C8.直线l与两条曲线e1xy=+和1exy+=均相切，则l的斜率为（）A.12B.1C.2D.e【答案】B【解析】【分析】设两个曲线的切点坐标，由切线斜率

相等，利用导数列出方程，再利用两点斜率公式化简即可．【详解】由e1xy=+，可得exy=；由1exy+=，可得1exy+=，设两个切点分别为()111,exx+和()212,exx+，直线l斜率121eexxk+==，故121xx=

+，由12xx，所以12121ee1111xxkxx+−−−===−−，即直线l的斜率为1.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分，9.函数()fx的导函数()fx的

图象如图所示，则（）A.()fx在区间()23,xx上单调递减B.()fx在2xx=处取得极大值C.()fx在区间(),ab上有2个极大值点D.()fx在1xx=处取得最大值【答案】AB【解析】【分析】根据导函数的图象可分析出()

fx的单调性，进而可判断各选项.【详解】由导函数的图象可知：2[,)xax时()0fx¢>，()fx单调递增；23(,)xxx时()0fx，()fx单调递减；3(,]xxb时()0fx，()fx单调递增.故A，B正确，C，D错误.

故选：AB10.如图，已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，则（）的A.1ACBD⊥B.11AC∥平面1BCDC.三棱锥11CBCD−的体积为16D.1C到平面1BCD的距离为22【答案】ACD【解析】【分析】先建系再根据向量数量积为0判断A选项，先求出平面1BCD法向量，再根据线

面平行判断B选项，再根据点到平面距离判断D选项,应用三棱锥体积公式计算判断C选项.【详解】如图建系()()()()10,0,0,1,1,0,1,0,1,0,1,0ACBD，()()11,1,0,1,1,1,ACBD==−−()()111111010,ACBD

ACBD=−++−=⊥，A选项正确；设平面1BCD法向量(),,nxyz=，()()110,1,1,1,1,1,BCBD=−=−−0,0yzxyz−=−+−=令0,1,1xyz===，()0,1,1n=，()11111,1,0,

1011011ACACACn===++=，11AC不平行平面1BCD，B选项错误；()10,0,1CC=,平面1BCD法向量()0,1,1n=，1C到平面1BCD的距离为11222nCCdn===，

D选项正确；11111122,1,,21222BCDBCCDBCCDSBCCD==⊥===三棱锥11CBCD−的体积为11111221113322326CBCDBCDVSd−====，C选项正确.故选：ACD.11.设A、B是随机试验的两个事件，()23PA=，(

)34PB=，()1112PAB=，则（）A.事件A与事件B互斥B.事件A与事件B相互独立C.()23PAB=D.()12PAB=【答案】BCD【解析】【分析】由()()()()PABPAPBPAB=+−，可得()PAB，从而可判断A，B；由条件概率计算可判断C

；由对立事件的概率计算可判断D.【详解】因为()()()()PABPAPBPAB=+−，所以()23111()()()34122PABPAPBPAB=+−=+−=，故A错误；因为231()()()342PAPBPAB===，所以事件A与事件B相互独立，故B正确；因为()1()

223()34PABPABPB===，故C正确；因为()111()122PABPAB=−=−=，故D正确.故选：BCD12.在平面直角坐标系xOy中，()11,1F−−，()21,1F，动点P满足124PFPF+=，则（）A.P的轨迹方程为22142

xy+=B.P的轨迹关于直线yx=对称C.12PFF△的面积的最大值为2D.P的横坐标的取值范围为3,3−【答案】BCD【解析】【分析】由动点满足条件可求轨迹方程，由椭圆定义知轨迹是以12,FF为焦点的椭圆，利用椭圆的性质求对称轴，求焦点三角形的最大面积，通

过联立方程组利用判别式求P的横坐标的取值范围.【详解】对于A，设(,)Pxy，则()()()()222211114xyxy++++−+−=，得到2233280xyxy+−−=，故A错误.对于B，由椭圆定义知P的轨迹是以12,FF为焦点的椭圆，故12,FF所在直线是椭圆的对称轴，故B正确

.对于C，因为长半轴2a=，半焦距2c=，所以短半轴2b=，当点P在短轴顶点上，1290FPF=，此时12FPF△的面积最大，最大值为2，故C正确.对于D，联立方程2233280xyxyxm+−−==，得2232380ymym−+−=，由28240m=−+

，得33m−，故D正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：由已知和椭圆定义可知，P的轨迹是以12,FF为焦点的椭圆，充分利用椭圆的性质，可以更快找到解题思路，减少运算量.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13

.已知直线l的一个方向向量(),1,3am=，平面的一个法向量()1,,1bn=，若//l，则mn+=____________.【答案】3−【解析】【分析】依题意可得ab⊥，则0ab=，根据数量积的坐标表示得到方程，即可得解.【详解

】因为直线l的一个方向向量(),1,3am=，平面的一个法向量()1,,1bn=且//l，所以ab⊥，所以0ab=，即30mn++=，所以3mn+=−.故答案为：3−14.已知双曲线C：()222210

,0xyabab−=的渐近线方程为2yx=，则C的离心率为_____________.【答案】5的【解析】【分析】由题意可得2ba=，然后由21cbeaa==+可求得结果.【详解】因为双曲线C：()222210,0xyabab−=

的渐近线方程为2yx=，所以2ba=，所以离心率21145cbeaa==+=+=，故答案为：515.甲、乙、丙3个公司承包6项不同的工程，甲承包1项，乙承包2项，丙承包3项，则共有____________种承包方式（用数字作答

）.【答案】60【解析】【分析】由题意得，不同的承包方案分步完成，先让甲承包1项，再让乙承包2项，剩下的3项丙承包，根据分步乘法原理可求得结果.【详解】由题意得，不同的承包方案分步完成，先让甲承包1项，有16C6=种，再让乙承包2项，有2

5C10=，剩下的3项丙承包，所以由分步乘法原理可得共有61060=种方案，故答案为：6016.毕达哥拉斯树的生长方式如下：以边长为1的正方形的一边作为斜边，向外作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为边向外作

正方形，得到2个新的小正方形，实现了一次生长，再将这两个小正方形各按照上述方式生长，如此重复下去，则第n次生长得到的小正方形的周长的和为______________；11次生长后所有小正方形（包括第一个正方形）的周长的总和为__

____________.【答案】①.()42n+②.()25221+【解析】【分析】由题意，每次生长的小正方形周长和，依次构成首项为42公比为2的等比数列，计算所需结论即可.【详解】每次生长的小正方形的个数，构成以2为首项，2为公比的等比数列，每次生长的小正方形的边长构成以22为首项

，22为公比的等比数列，每次生长的小正方形周长和依次构成等比数列，首项42，公比2，故第n次生长得到的小正方形的周长的和为()42n+，11次生长后所有小正方形（包括第一个正方形）共12组，周长的总和为()()()121541244222522112−+++==+−.故答案为：

()42n+；()25221+四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列na的公差0d，其前n项和为nS，若1a，2a，5a成等比数列，且636S=.（1）求数列na的通项公式；（2）记1223

1111nnnTaaaaaa+=+++，求证：12nT.【答案】（1）21nan=−（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由已知条件列方程组求出数列na的首项和公差，可得数列na的通项公式；（2）利用裂项相消法求出nT，即可得到结论

.【小问1详解】因为1a，2a，5a成等比数列，636S=，所以()()211114656362adaadad+=++=，由0d，解得112ad==，所以()()1111221naandnn=+−=+−=−.【小问2详解】由()()

111111212122121iiaaiiii+==−−+−+，1,2,,in=，得111111111123352121221nTnnn=−+−++−=−−++L，由*Nn，有1021n+，所以11121n−+，得111

12212nTn=−+.18.随着全球新能源汽车市场蓬勃发展，中国在十余年间实现了“弯道超车”，新能源汽车产量连续7年位居世界第一.某新能源汽车企业改进并生产了某款纯电动车，该款电动车有白色和红色.为研究购车顾客的性

别是否与其购买的车辆颜色有关，公司研究团队利用随机抽样的方法收集了购买该车型的男生和女生各60人的数据，得到成对样本数据的分类统计结果，如下表所示：性别车辆颜色白色红色女生4020男生5010（1）依据小概率值0.05=的独立性检

验，能否认为购车顾客的性别与其购买的车辆颜色有关联?（2）现从上述购买白色车辆的90名顾客中按性别比例分配的分层随机抽样抽取9人，从购买红色车辆的30名顾客中按性别比例分配的分层随机抽样抽取3人，并从这12人中依次抽取2人作为幸运嘉宾

，求第二次抽到的嘉宾是男生且购买白色车辆的概率.附：()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++临界值表：0.10.050.010.0050.001x2.7063.8

416.6357.87910.828【答案】（1）认为购车顾客的性别与其购买的车辆颜色有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.（2）512【解析】【分析】（1）独立性检验，根据公式计算2，与临界值比较后下结论；（2）

利用条件概率和全概率公式计算.【小问1详解】零假设为0H：购车顾客的性别与其购买的车辆颜色无关联.根据列表中的数据，经计算得到()220.0512040102050404.4443.841606090309x−==

=根据小概率值0.05=的独立性检验，我们推断0H不成立，即认为购车顾客的性别与其购买的车辆颜色有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.【小问2详解】由题得抽取的12人中，是男生且购买白色车辆的有5人.设A=“第一次抽

到的是男生且购买白色车辆”，B=“第二次抽到的是男生且购买白色车辆”.()512PA=，()4|11PBA=，()712PA=，()5|11PBA=，由全概率公式()()()()()||PBPAPBAPAPBA=+，得()547

551211121112PB=+=.所以第二次抽到的嘉宾是男生且购买白色车辆概率为512.19.如图所示，在三棱柱111ABCABC-中，ABC是正三角形，D为棱AC的中点，1BDAA⊥，平面1BBD交11AC于点E.（1）证明：四边形1BBED是矩形（2）若1AAAC=，160AAC=

，求平面11ABBA与平面1BBED的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）255【解析】【分析】（1）取11AC的中点E，连接1BE和ED，可证得E为平面1BBD与棱11AC的交点，从而可得四边形1BBE

D是平行四边形，由1BDAA⊥可得BDDE⊥，从而可证得结论；（2）连接11,ADAC，可证得1,,DBDCDA两两垂直，所以以D为坐标原点，分别以1,,DBDCDA所在的直线为,,xyz轴建立空间直角坐

标系，然后利用空间向量求解即可.【小问1详解】取11AC的中点E，则点E为平面1BBD与棱11AC的交点，证明如下：连接1BE和ED，因为点,DE分别是AC和11AC的中点，所以ED∥1AA，1EDAA=，因为1BB∥1AA，11BBAA=，所以1BB∥ED，1

BBED=，所以四边形1BBED是平行四边形，所以点E为平面1BBD与棱11AC的交点，因为1BDAA⊥，ED∥1AA，所以BDDE⊥所以四边形1BBED是矩形，【小问2详解】连接11,ADAC，在正A

BC中，D为AC的中点，所以BDAC⊥，因为1BDAA⊥，1ACAAA=∩，1,ACAA平面11AACC，所以BD⊥平面11AACC，因为1ACAA=，160AAC=，所以1AAC△为正三角形，因为D为棱AC的中点，所以1ADAC⊥，以D为坐标原点，

分别以1,,DBDCDA所在的直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，设三棱柱的棱长为2，则1(0,1,0),(3,0,0),(0,0,3),(0,1,3)ABAE−，所以(3,1,0),(3,0,0)ABDB==,1(0,1,3)AADE==，设平面11ABBA的

法向量为111(,,)mxyz=，则111113030mABxymAAyz=+==+=，令13x=，则(3,3,3)m=−所以平面11ABBA的一个法向量为(3,3,3)m=−，设平面1BBED的法向量为222(,,)nxyz=，则2223030nDBxnDEyz===+=

，令23y=，则(0,3,3)n=−，所以平面1BBED的一个法向量为(0,3,3)n=−，设平面11ABBA与平面1BBED的夹角的大小为，则30(3)33(3)25cos5393093mnmn+−+−===++++，所以平面11

ABBA与平面1BBED的夹角的余弦值为25520.某商场为促进消费，规定消费满一定金额可以参与抽奖活动.抽奖箱中有4个蓝球和4个红球，这些球除颜色外完全相同.有以下两种抽奖方案可供选择：初始奖池摸球方式奖励规则方案A30元不放回摸3次，

每次摸出1个球.每摸出一个红球，奖池金额增加50元，在抽奖结束后获得奖池所有金额.方案B有放回摸3次，每次摸出1个球.每摸出一个红球，奖池金额翻倍，在抽奖结束后获得奖池所有金额.（1）若顾客选择方案A，求其所获得奖池金额X的分布列

及数学期望.（2）以获得奖池金额的期望值为决策依据，顾客应该选择方案A还是方案B?【答案】（1）分布列见解析，()105EX=（2）选择方案A.【解析】【分析】（1）由题意可知X可能取值为30，80，130，

180，然后求出相应的概率，从而可求得X的分布列及数学期望，（2）设顾客选方案B，所获得的金额为Y，则Y的可能取值为30，60，120，240，求出相应的概率，从而可求出()EY，然后与()EX比较可得结论.【小问

1详解】由题意可知X可能取值为30，80，130，180，则034438CC41(30)C5614PX====，124438CC243(80)C567PX====，214438CC243(130)C567PX====，304438CC41(

180)C5614PX====，所以X的分布列为X3080130180P1143737114所以1331()3080130180105147714EX=+++=【小问2详解】设顾客选方案B，所获得的金额为Y，则Y的可能取值为30，60，120，240，则0303111(30)C22

8PY===，1213113(60)C228PY===，2123113(120)C228PY===，3033111(240)C228PY===，所以1331405()306

012024088884EY=+++=，所以()()EXEY，所以选择方案A.21.已知函数()()eln1xfxxm=−+−.（1）当1m=时，讨论()fx的单调性；（2）若()0fx，求m的取值范围【答案】（

1）在()1,0−单调递减，在()0,+单调递增；（2）1m£【解析】【分析】(1)利用导数解决函数的单调性；(2)先利用导数找到函数()fx的最小值，使得最小值恒大于或等于0即可.【小问1详解】当1m=时，()()eln11xxfx=−+−，定义域为()1,−+，()1e1xfx

x=−+在定义域上单调递增，令()0fx=，得0x=，则当10x−时，()0fx，则()fx在()1,0−单调递减；当0x时，()0fx，则()fx在()0,+单调递增；所以()fx在()1,0−单调递减，在()0,+单调递增.【小问2详解】由函数()()

eln1xfxxm=−+−，(),xm−+，1()exfxxm=−+，由于()fx在(),m−+为增函数，且值域为(),−+，所以()0fx=在(),m−+上有唯一的实数根0x，即0()0fx=

，得001e0xxm-=+，则00ln()xmx+=-，则当0mxx−时，所以()0fx，则()fx()0,mx−单调递减；当0xx时，所以()0fx，则()fx在()0,x+单调递增；当0xx=时，

()fx取得最小值，在()()()0ln00001()eln11xmfxfxxmxxm−+==−+−=+−+最小值，令()00fx，即00110xxm+−+在(),m−+上恒成立，令()1()1,,gxxxmxm=+-

?+?+，则2221()1()1()()xmgxxmxm-+-¢=+=++，则当1mxm−−时，()0gx，则()gx在(),1mm−−单调递减；当1xm−时，()0gx，则()gx在()0,+单调递增；所以()1()(1)111,,1gxgmmmx

m=-=+--=-?+?最小值，所以只需10m−，即1m£.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式或在不等式中求参数取值范围的问题，常见的几种方法有：（1）直接构造函数法：证明不等式()()fxgx转化为证明()()0fxgx−，进而构造辅

助函数()()()hxfxgx=−；（2）适当放缩构造法：一根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.22.已知点N在曲线:C22186xy+=上，O为坐标原点，若点M满足2ONOM=，记

动点M的轨迹为.（1）求的方程：（2）已知点P在曲线C上，点A，B在曲线上，若四边形OAPB为平行四边形，则其面积是否为定值?若是，求出定值；若不是，说明理由【答案】（1）22143xy+=（2）为定值23【

解析】【分析】（1）设(),Mxy，(),NNNxy，依题意可得22NNxxyy==，再由点N在曲线C，代入方程即可得解；的是（2）设()11,Axy，()22,Bxy，()00,Pxy，依题意可得OPOAOB=+，根据点在曲线

上得到()2121212xyyx-=，表示出直线OA，求出点B到直线OA的距离d，根据2OAPBAOBSSOAd==计算可得.【小问1详解】设(),Mxy，(),NNNxy，因为点N在曲线:C22186xy+=上，所以22186NNxy+=，因为2ONOM=，所以22NNxx

yy==，代入22186NNxy+=可得()()2222186xy+=，即22143xy+=，即的方程为22143xy+=；【小问2详解】设()11,Axy，()22,Bxy，()00,Pxy，因为点P在曲线C上，所以220018

6xy+=，因为四边形OAPB为平行四边形，所以OPOAOB=+，所以()()001212,,xyxxyy=++，所以()()221212186xxyy+++=，又2211143xy+=、2222143xy+=，所以1212043xxyy+=，因为222

222112212121212143434323xyxyxxyyxyyx++骣骣骣骣-琪琪琪琪=++=琪琪琪琪桫桫桫桫，所以()2121212xyyx-=，直线OA：110yxxy−=，点B到直线OA的距离12122211xyyxdxy−=+，

所以平行四边形OAPB的面积1212221112122211223OAPBAOBxyyxSSOAdxyxyyxxy−===+=−=+.【点睛】思路点睛：本题第二问采用设而不求，利用整体思想得到()2121212xyyx-=是解决问题的关键，方法比较新颖.获得更多资源请扫码加入享学资源网微

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