【文档说明】山西省太原市2020届高三下学期模拟测试（三）数学（文）试题 【精准解析】.doc，共(22)页，1.903 MB，由小赞的店铺上传

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太原市2020年高三年级模拟试题（三）数学试卷（文科）（考试时间：下午3：00——5：00）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页.2.回答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在

答题卡上.3.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.4.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本

题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合220Axxx=−−，210Bxx=−，则AB=（）A.()1，−+B.112，

C.122，D.12+，【答案】A【解析】【分析】确定出集合,AB中的元素后，由并集定义计算．【详解】由题意{|12}axx=−，1{|}2Bxx=，∴{|1}ABxx=−．故选：A.【点睛】本题考查集合的并集运算，确定集合中的元素是解题关键．2

.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从乙车间的产品中抽取了4件，则n=（）A.9B.10C.12D.13【答案】D【解析】【

分析】由题意结合分层抽样的性质可得4120806080n=++，即可得解.【详解】由题意4120806080n=++，解得13n=.故选：D.【点睛】本题考查了分层抽样的应用，考查了运算求解能力，牢记分层抽样的性质是解题关键，属于基础题.3.设复数z满足1izz−=

−（i为虚数单位），z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A.yx=−B.yx=C.()()22111xy−+−=D.()()22111xy+++=【答案】B【解析】【分析】设(,)zxyixyR=+，代入已知等

式化简即可．【详解】设(,)zxyixyR=+，∵1izz−=−，∴1xyixyii+−=+−，即2222(1)(1)xyxy−+=+−，化简得yx=．故选：B.【点睛】本题考查复数模的运算，直接代入复数的代数形式由模的定义化简即得．也可由模的几

何意义求解．4.已知等差数列{}na的前n项和为nS，且282,10aa=−=，则9S=（）A.45B.42C.25D.36【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质可知1928aaaa+=+,进而代入等差数列的前n项和的公式即可.【详解】由题,192899()9(

)9(210)36222aaaaS++−+====.故选:D【点睛】本题考查等差数列的性质,考查等差数列的前n项和.5.“1x”是“2log0x”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【详解】2log01

xx“1x”是“2log0x”的充要条件，选C.6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生"的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3，1，则输出的n等于A.5B.4C.3D

.2【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：当n＝1时，a＝33922+=，b＝2，满足进行循环

的条件，当n＝2时，a9927244=+=，b＝4，满足进行循环的条件，当n＝3时，a272781488=+=，b＝8，满足进行循环的条件，当n＝4时，a818124381616=+=，b＝16，不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选：B．【点睛】本题考查的

知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7.已知sincos2−=，(0,π)，则tan=A.−1B.22−C.22D.1【答案】A【解析】【详解】2sincos−=，()0,，12sincos2−=，即sin21=−，故3

4=1tan=−故选A8.已知向量12,ee是夹角为3的两个单位向量，则122aee=+与1232bee=−+的夹角为（）A.6B.3C.23D.56【答案】C【解析】【分析】由题意结合单位向量的性质、平面向量数量积的定义可得1212ee=

，利用平面向量数量积的运算可得ar、b、ab，再利用cos,ababab=即可得解.【详解】向量12,ee是夹角为3的两个单位向量，11e=，21e=，12121cos32eeee==，又122aee=+，1232bee=−+，()2221

211222447aeeeeee=+=++=，()2221211223291247beeeeee=−+=−+=，()()22121211227232622abeeeeeeee=+−+=−++=−，712cos,277ababab−===−，又,0,ab，2,3ab=

.故选：C.【点睛】本题考查了单位向量的性质及平面向量数量积的应用，考查了运算求解能力，熟练使用平面向量数量积的运算律是解题关键，属于中档题.9.把函数f（x）＝sin2x的图象向右平移12个单位后，得到函数y＝g（x）的图象.则g（x）的解析式是（）A.()212gxsinx=+

B.()12212gxcosx=−−C.()112262gxcosx=−−+D.()112262gxsinx=−+【答案】C【解析】【分析】利用函数sin()yAwx=+的图象变换规律，即可求解，得到函数的解析式.【详解】由题意，把函

数()211sincos222fxxx==−的图象向右平移12个单位后，得到函数()1111cos[2()]cos(2)2212226ygxxx==−−=−−的图象.故选：C.【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象变换求解三角函数的解析式，其中解答中利用余弦的倍角公式

，化简得到()fx的解析式，再结合三角函数的图象变换求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.10.已知函数()fx是定义在R上的偶函数，且在区间)0,+单调递增，若实数a满足()()212loglog21fafaf+

，则a的取值范围是（）A.1,12B.1,2C.1,22D.(0,2【答案】C【解析】【分析】由偶函数的性质将()()212loglog21fafaf+化为：2(log)(1)faf，再由f（x）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a的取值范

围.【详解】因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以1222(log)(log)(log)fafafa=−=，则()()212loglog21fafaf+为2(log)(1)faf，因为函数()fx在区间)0,+上单调递增，所以2log1a，解得122a，则a

的取值范围是1,22，故选：C.【点睛】此题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于中档题.11.设12,FF分别是双曲线22221(0,0)xyabab−=的左右焦点若双曲线上存在点P，使1260FPF=，且122PFPF=，则双曲线的离心率为（）A.3B.

2C.5D.6【答案】A【解析】【分析】由122PFPF=及双曲线定义得1PF和2PF（用a表示），然后由余弦定理得出,ac的齐次等式后可得离心率．【详解】由题意∵122PFPF=，∴由双曲线定义得122PFPFa−=，从而得14PFa=，22P

Fa=，在12PFF中，由余弦定理得222(2)(4)(2)242cos60caaaa=+−，化简得3==cea．故选：A．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线定义用a表示出P到两焦点的距离，再由余弦定理得出,a

c的齐次式．12.在三棱锥PABC−中，PA、PB、PC两两垂直，112PAPB==，Q是棱BC上一个动点，若直线AQ与平面PBC所成角的正切的最大值为52，则该三棱锥外接球的表面积为（）A.6B.7C.8D.9【答案】A【解析】【分析】由已知得PA⊥平面PBC

，因此当PQBC⊥时，直线AQ与平面PBC所成角最大，此时可求得PQ，从而求得PC，又以,,PAPBPC为棱的长方体的对角线就是三棱锥PABC−外接球直径，从而可求得其表面积．【详解】∵PA与PB、PC垂直，∴PA⊥平面PBC，∴

PQ是AQ在平面PBC内的射影，AQP就是直线PA与平面PBC所成的角，由PA⊥平面PBC得PAPQ⊥，tanPAAQPPQ=，要使tanAQP最大，则PQ最小，显然当PQBC⊥时，PQ最小，此时5tan

2AQP=，又1PA=，∴25PQ=，而2PB=，∴45BQ=，由PBPC⊥，得25PBBCBQ==，从而1PC=，如图，以,,PAPBPC为棱作出长方体，此长方体的外接球就是三棱锥PABC−的外接球，外接球直径等于长

方体的对角线长2222221216PAPBPC++=++=，∴球表面积为22644()62SR===．故选：A．【点睛】本题考查求球表面积，解题关键是要求出球的半径．由于,,PAPBPC两两垂直，因此以它们为棱作出长方体，此长方体的外接球就是三棱

锥PABC−的外接球，长方体的对角线就是球的直径．由此可得解．第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题

5分，共20分.13.已知函数()()122log01()11xxfxxx=−＜，＞，则18ff=_____.【答案】8.【解析】【分析】依题意得f（18）＝3，从而f（f（18））＝f（3），由此能

求出结果.【详解】解：∵函数()()122log01()11xxfxxx=−＜，＞，则1211()log388f==；∴18ff=f（3）＝32﹣1＝8.故答案为：8.【点睛】此题考查的是分段函数求值问题，属

于基础题.14.抛物线2ypx=经过点（1，4），则抛物线的焦点到准线的距离等于_________.【答案】18【解析】【分析】由点在抛物线上可得抛物线的方程为214xy=，结合抛物线的性质可得抛物线的准线方程与焦点坐标，即可得

解.【详解】由点()1,4在抛物线2ypx=上可得4p=，所以该抛物线方程为214xy=，所以该抛物线的焦点为10,16，准线方程为116y=−，所以抛物线的焦点到准线的距离等于11116168+=.故答案为：18.【点睛】

本题考查了抛物线方程的求解与性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.15.已知数列{}na的前n项和为nS且满足2nnSa+=−，则数列{}na的通项na=_______．【答案】112n−−【解析

】【分析】先求得1n=时11a=−；再由2nnSa+=−可得2n时112nnSa−−+=−,两式作差可得120nnaa−−=,进而求解.【详解】当1n=时,11122Saa+==−,解得11a=−；由2nnSa+=−,可知当2n时,112

nnSa−−+=−,两式相减,得120nnaa−−=,即11(2)2nnaan−=≥,所以数列{}na是首项为1−,公比为12的等比数列,所以112nna−=−,故答案为:112n−−【点睛】本题考查由nS与na的关系求通项公式,考查等比数列的通项公式的应用

.16.对任意正整数n，函数32()27cos1fnnnnn=−−−，若(2)0f，则的取值范围是_________；若不等式()0fn恒成立，则的最大值为_________．【答案】(1).13,2−−

(2).132−【解析】【分析】将2n=代入求解即可；当n为奇数时,cos1n=−,则转化32()2710fnnnn=+−−≥为2127nnn+−≤,设21()27gnnnn=+−,由单调性求得()gn的最小值；同理,当n为偶数时,cos1n

=,则转化32()2710fnnnn=−−−≥为2127nnn−−≤,设21()27(2)hxxxxx=−−≥,利用导函数求得()hx的最小值,进而比较得到的最大值.【详解】由题,(2)162

8210f=−−−≥,解得132−≤.当n为奇数时,cos1n=−,由32()2710fnnnn=+−−≥,得2127nnn+−≤,而函数21()27gnnnn=+−为单调递增函数,所以min()(1)8gng==,所以8；当n为偶数时,cos1n

=,由32()2710fnnnn=−−−≥,得2127nnn−−≤,设21()27(2)hxxxxx=−−≥,212,()470xhxxx=−+≥,()hx单调递增,min13()(2)2hxh==−,所以132−≤,综上可知,若不等式()0f

n恒成立,则的最大值为132−.故答案为:(1)13,2−−；(2)132−【点睛】本题考查利用导函数求最值,考查分类讨论思想和转化思想.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题

考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法.太原市为推进这项工作的实施，开展了“垃圾分类进小区”的评比活动.现有甲、乙两

个小区采取不同的宣传与倡导方式对各自小区居民进行了有关垃圾分类知识的培训，并参加了评比活动，评委会随机从两个小区各选出20户家庭进行评比打分，每户成绩满分为100分，评分后得到如下茎叶图.（1）依茎叶图判断哪个小区的平均分高？（2）现从甲小区不低于80分的家庭中随机抽取两户，求分

数为87的家庭至少有一户被抽中的概率；（3）如果规定分数不低于85分的家庭为优秀，请填写下面的22列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为得分是否优秀与小区宣传培训方式有关？”甲乙合计优秀a=b=不优秀c=d=

合计参考公式和数据：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.()20PKk…0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】

（1）乙小区的平均分高；（2）35；（3）填表见解析；可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为得分是否优秀与小区宣传培训方式有关.【解析】【分析】（1）由茎叶图中数据直接判断即可得解；（2）由题意列出所有基本事件，分别求出所有的基本事件的个数、满足要求的基

本事件的个数，再由古典概型概率公式即可得解；（3）由题意完成列联表，代入公式求出2K，再与5.024比较即可得解.【详解】（1）甲小区分数集中于60~90之间，乙小区分数集中于80~100之间，所以乙小区的平均分高；

（2）记分数为87的家庭为AB、，其他不低于80的家庭为,,,CDEF，则从甲小区不低于80分的家庭中随机抽取两户的基本事件有：(,)AB，(A,C)，(,)AD，(,)AE，(,)AF，(,)BC，(,)BD，(,)BE，(,)BF，(,)CD，(,)CE，(,)CF，(,)DE，(,)DF，

(,)EF，共15种；分数为87的家庭至少有一户被抽中的基本事件有：(,),(,),(,)ABACAD，(,)AE，(,)AF，(,)BC，(,)BD，(,)BE，(,)BF，共9种；故所求概率93155P==；（3）列联表如下：甲乙合计优秀31013不优秀171027合计202040

()224031017105.5845.02420201327K−=，因此可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为得分是否优秀与小区宣传培训方式有关.【点睛】本题考查了茎叶图的应用及古典概型概率的求解，考查了独立性检验的应用与运算求

解能力，属于中档题.18.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cossinabCcB=+．()1求B的值；()2设BAC的平分线AD与边BC交于点D，已知177AD=，7cos25A=−，求b的值.【答案】()14B=；()2sinsinADADCbC=.【解

析】【分析】()1利用正弦定理化简求值即可；()2利用两角和差的正弦函数的化简公式，结合正弦定理求出b的值.【详解】解：()1cossinabCcB−=，由正弦定理得：sinsincossinsinABCC

B−=，()sinsincossinsinBCBCCB−−−=，()sinsincossinsinBCBCCB+−=，sincossincossincossinsinBCCBBCCB+−=，sinCcossinsinBCB=，又B，C为三角形内角，故sin0B，si

n0C，则cossin0BB=，故tan1B=，4B=；（2）AD平分BAC，设BADCADx==，则()20,Ax=,0,2x,27coscos22cos125Axx==−=−，3cos5x=，则24sin1cos5xx=−=，224sin1cos25AA=

−=，又4B=，则333172sinsinsincoscossin44450CAAA=−−−=()72sinsinsinsincoscossin44410ADCBxxxx=+

=+=+=在ACD中，由正弦定理：sinsinbADADCC=，sinsinADADCbC=.【点睛】本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式，二倍角公式，考查运算能力，属于基础题.19.如图，在

直三棱柱111ABCABC−中，1111ABAC⊥，D是11BC的中点，1112AAAB==.（Ⅰ）求证：1AB//平面1ACD；（Ⅱ）异面直线1AB和BC所成角的余弦值为2613，求几何体11ABDCA的体积.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2【解析】【分析

】（Ⅰ）连结1AC交1AC于点E，连结DE，证出1//DEAB，利用线面平行的判定定理即可证出.（Ⅱ）根据题意可求出122AB=，在11ABC中，利用余弦定理求出1113BC=，由11111ABDCADAABDAACV

VV−−=+结合三棱锥的体积公式即可求解.【详解】（Ⅰ）如图，连结1AC交1AC于点E，连结DE，因为在直三棱柱111ABCABC−中，四边形11AACC是矩形，所以点E是1AC的中点，因为D是11BC的中点，所以1//DEAB.

因为1AB平面1ACD，DE平面1ACD，所以1AB//平面1ACD.（Ⅱ）因为棱柱111ABCABC−是直三棱柱，所以111AAAC⊥，因为1111ABAC⊥，111AAAB=，所以111ACBC

=，因为异面直线1AB和BC所成角的余弦值为2613.所以1126cos13ABC=，因为1112AAAB==，111AAAB⊥，所以122AB=.根据余弦定理，在11ABC中，2221111111112cosACBCABBCAB

ABC=+−，可得1113BC=，因为1111ABAC⊥，112AB=，所以由勾股定理可得113AC=，因为1111CAAB⊥，111CAAA⊥，1111AAABA=，所以11CA⊥平面1AB，同理11AB⊥平面1AC，所以11111ABDCADAABDAACVVV−−=+113112

223132232=+2=.所以几何体11ABDCA的体积为2.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理、三棱锥的体积公式，在证明线面平行时，需先证线线平行，此题属于中档题.20.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的焦距为2，且过点31,2.（1）求椭圆

C的方程；（2）已知BMN△是椭圆C的内接三角形，若坐标原点O为BMN△的重心，求点O到直线MN距离的最小值.【答案】（1）22143xy+=；（2）32.【解析】【分析】（1）由题意结合椭圆性质可得221ab−=，再结合点

在椭圆上即可得解；（2）设(,)Bmn，记线段MN中点为D，由重心的性质可得点,22mnD−−，按照0n=、0n分类，结合点差法、点到直线的距离可得239dn=+，即可得解.【详解】（1）因为椭圆C的焦距为2，所以

2221cab=−=，因为椭圆C过点31,2，所以221914ab+=.解得224,3ab==，故椭圆C的方程为22143xy+=；（2）设(,)Bmn，记线段MN中点为D，因为O为BMN△的重心，所以2BOOD=uuuruuur，则点D的坐标为,22mn−−

，若0n=，则||2m=，此时直线MN与x轴垂直，故原点O到直线MN的距离为2m，即为1；若0n，此时直线MN的斜率存在，设()()1122,,,MxyNxy，则1212,xxmyyn+=−+=−，又22112222143143xyxy+=+=，两式相减得()

()()()12121212043xxxxyyyy+−+−+=，可得121234MNyymkxxn−==−−.故直线MN的方程为3242nmmyxn+=−+即2268340mxnymn+++=，则点O到直线MN的距离为2222343664mndmn+=+，将22143mn+=

代入得239dn=+，因为203n，所以min32d=；又312，故原点O到直线MN距离的最小值为32.【点睛】本题考查了椭圆方程的求解及直线与椭圆的综合应用，考查了点差法的应用及运算求解能力，属于中档题.21.已知两数()

lnfxxkx=+．（1）当1k=−时，求函数()fx的极值点；（2）当0k=时，若()0(,)bfxaabRx+−…恒成立，求11aeb−−+的最大值．【答案】（1）唯一的极大值点1，无极小值点．（2）1【解析】【分析】（1）求出导函

数，求得()0fx=的解，确定此解两侧导数值的正负，确定极值点；（2）问题可变形为lnbaxx+„恒成立，由导数求出函数lnbyxx=+的最小值，0b时，lnbyxx=+无最小值，因此只有0b，从而得出,ab的不等关系，得出所求最大值．【详解】解：（1）()fx定义域

为(0,)+，当1k=−时，1()ln,()1fxxxfxx=−=−，令()0fx=得1x=，当()0,01;()0,1fxxfxx所以()fx在(0,1)上单调递增，在(1,)+上单调递减，所以()fx

有唯一的极大值点1x=，无极小值点．（2）当0k=时，()lnbbfxaxaxx+−=+−．若()0,(,)bfxaabRx+−…恒成立，则ln0(,)bxaabRx+−…恒成立，所以lnbaxx+„恒成立，令lnbyxx=+，则2xbyx−=，由题意0b，函数在(0,)b上单调递减，

在(,)b+上单调递增，所以ln1ab+„，所以1lnab−„所以1aeb−„，所以111aeb−−+„，故11aeb−−+的最大值为1．【点睛】本题考查用导数求函数极值，研究不等式恒成立问题．在求极值时，由()0fx=确定的0x不一定是极值点，还需满足

在0x两侧()fx的符号相反．不等式恒成立深深转化为求函数的最值，这里分离参数法起关键作用．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑，【选修4-4：坐标系与参数方程】22.已知曲线

C的极坐标方程是6cos0−=，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l过点()0,2M，倾斜角为3π4．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求11MAMB+的值．【答案

】（1）22(3)9xy−+=，22222xtyt=−=+(t为参数)；（2）524.【解析】【分析】（1）将曲线C的极坐标方程两边同乘，根据公式即可化简为直角坐标方程；根据已知信息，直接写出直线的参数方

程，整理化简即可；（2）联立曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程，得到关于t的一元二次方程，根据直线参数方程中参数的几何意义，求得结果.【详解】（1）因为6cos=，所以26cos=，所以226xyx+=，即曲线C的直角坐标方程为：22(3)9xy−+=，直线l的参数方程3πc

os43π2sin4xtyt==+(t为参数)，即22222xtyt=−=+(t为参数).（2）设点A，B对应的参数分别为1t，2t，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得2222(3)(2)922tt

−−++=，整理，得24052tt+=+，所以121252·4tttt+=−=，因为1212210,0,0,0tttttt+所以12MAMBtt+=+12()tt=−+=52，MAMB12tt==4，所以11MAMB+=M

AMBMAMB+524=.【点睛】本题考查将极坐标方程转化为直角坐标方程，以及直线参数方程的求解，涉及利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题，属综合基础题.【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()12fxxxa=++−.

（1）若1a=，解不等式()4fx；（2）对任意的实数m，若总存在实数x，使得()224mmfx−+=，求实数a的取值范围.【答案】（1）35,22−（2）2,1−【解析】【分析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个

不等式组，最后求并集得结果；（2）先根据绝对值三角不等式得()fx值域，再根据二次函数性质得值域，最后根据两个值域关系列不等式，解得结果.【详解】解：（1）当1a=时，()4124fxxx++−，化为123xx−−或1234x−或2214x

x−，解得312x−−或12x−或522x，∴3522x−.即不等式()4fx的解集为35,22−.（2）根据题意，得224mm−+的取值范围是()fx值域的子集.()2224133mmm−+=−+，又由于(

)1221fxxxaa=++−+，∴()fx的值域为)21,a++故213a+，∴21a−.即实数a的取值范围为2,1−【点睛】本题考查分类讨论求解含绝对值不等式、绝对值三角不等式、方程恒有解问题，考查综合分析求解能力，属中档题.