【文档说明】浙江省强基联盟2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷 Word版含解析.docx，共(19)页，1.383 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-4dedea25e55375a5e3fabf61bf0a839c.html

以下为本文档部分文字说明：

浙江强基联盟2024年10月高二联考数学试题浙江强基联盟研究院命制考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择

题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，已知点(2,1,2),(1,2,2)AB−−，则AB=（）A.(1,3,4)−B.(2,6,8)−C.(1,3,1)−−D.(2,6,2)−−【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合向量减法运算的运算法则，即可求解.【详解】由向量减法运算的运算法

则，因为(2,1,2),(1,2,2)AB−−，可得(1,3,4)AB=−。故选：A.2.直线10xy−+=的倾斜角为（）A.1B.6C.4D.34【答案】C【解析】【分析】先求出斜率，然后根据倾斜角与斜

率的关系，即可得到结果.详解】由方程得直线斜率111k=−=−，所以倾斜角4=.故选:C.3.已知，是两个不重合的平面，且直线l⊥，则“⊥”是“//l”的（）【A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析

】由线面、面面关系，结合平面的基本性质判断线面关系，根据面面垂直的判定判断线面是否平行，再由充分、必要性定义判断条件间的充分、必要关系.【详解】解：由l⊥，若⊥，则,l可能平行或l，充分性不成立

；由l⊥，//l，由面面垂直的判定知⊥，必要性成立.所以“⊥”是“//l”的必要不充分条件.故选：B.4.在平面直角坐标系中，直线:123xyl−=，则直线l过（）A.一、二、三象限B.一、二、四

象限C.二、三、四象限D.一、三、四象限【答案】D【解析】【分析】用坐标轴上的截距得到大致草图可解.【详解】直线在x轴上截距为2，y轴上截距为3−，画出直线l，发现直线l过一、三、四象限，故选：D.5.设复数z满足1zi+=，z在复平面内对应的点为(),Pxy，则点P的轨迹方程为（）A.(

)2211xy++=B.()2211xy−+=C.()2211xy+−=D.()2211xy++=【答案】D【解析】.【分析】复数z满足1zi+=，由复数的模的几何意义可得：z在复平面内对应的点(),Pxy到复数i−在复平面内对应的点()0,1A−的距离为1，再求解即可.【详解】

解：由z在复平面内对应的点为(),Pxy，且复数z满足1zi+=，由复数的模的几何意义可得：z在复平面内对应的点(),Pxy到复数i−在复平面内对应的点()0,1A−的距离为1，即22(1)1xy++=，则点P的轨迹方程为(

)2211xy++=，故选：D.【点睛】本题考查了复数的模的几何意义，重点考查了运算能力，属基础题.6.已知点(1,2,3)Q，平面{|0}PnPQ==，其中(2,1,2)=−n，则点(1,0,1)A−到平面的距离是（）A.53B.73C.2D.3【答案】C【解

析】【分析】根据题意，求得(2,2,2)QA=−−−和平面的法向量，结合向量的距离公式，即可求解.【详解】由点(1,2,3),,(1,01)AQ−，可得(2,2,2)QA=−−−，又由{|0}PnP

Q==，可得向量n为平面的法向量，且3n=，则4246QAn=−+−=−uurr，所以点A到平面的距离为||623||QAndn===.故选：C.7.正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）作为一种对称稳定的几何结构，在物质世界中具有广泛的应用.从晶体材料到

生物分子，正八面体结构都发挥着重要作用，影响着物质的性质.如六氟化硫（化学式为6SF）分子结构为正八面体结构，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.则在如图所示的正八面体EABCDF−−中，二面角EABF−−的正弦值为（）A.13B.22

3C.33D.63【答案】B【解析】【分析】由图可得EGF为所求的二面角的平面角，后由余弦定理可得答案.【详解】取AB中点G，连结EG，GF，EF，由正八面体定义可知，EGF为所求的二面角的平面角，不妨设2AB=，则3EGFG==，22EF=，在EFG中，由余

弦定理，得222(3)(3)(22)1cos3233EGF+−==−，所以22sin3EGF=.故选：B.8.已知正三角形ABC的边长为1，D在平面ABC内，若向量AD满足2430ADADAB−+=，则||

CD的最大值为（）A.31+B.31−C.2D.3【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的坐标运算，确定出点D的轨迹为圆，即可求解.【详解】以A为坐标原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，如图，设(,)Dxy，则(,)ADxy=，(1,0)AB=，所以，满足2430ADADAB−

+=的点D坐标满足：22430xyx+−+=，即D在以(2,0)E为圆心，1为半径的圆上，当C，E，D三点共线，且D在如图所示位置时，||CD最大，因为13(,)22C,所以22132322CE=−+−=，，所以max||31CD=+.故选：A.二、多项选择题：

本大题共3小题，每小题，共1.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在空间直角坐标系Oxyz−中，已知(1,2,1)A−，(0,1,1)B，下列结论正确的有（）A.||4AB=B.1OAOB=C.若(4,2,)nt=，

且nAB⊥，则3t=D.若(1,1,)mk=且//mAB，则2k=【答案】BC【解析】【分析】根据题意，得到向量(1,2,1)OA=−，(0,1,1)OB=，(1,1,2)AB=−−，结合空间向量的坐标运算法则，逐项判定，即可求解.【详解

】对于A，因为(1,2,1)A−，(0,1,1)B，所以(1,1,2)AB=−−，可得||1146AB=++=，所以A错误；对于B，因(1,2,1)OA=−，(0,1,1)OB=，所以0211OAOB=+−=，所以B正确；对于C，若(4,

2,)nt=，且nAB⊥，则4(1)2(1)20nABt=−+−+=，解得3t=，所以C正确，为对于D，若(1,1,)mk=且//mAB，因为(1,1,2)AB=−−，可得112k=−，解得2k=−，所以D错误.故选：BC.10.已知曲线22:xyxy

+=+，点(,)Pab在曲线上，则下列结论正确的是（）A.曲线有4条对称轴B.3ab++的最小值是2C.曲线围成的图形面积为π2+D.2ba−的最大值是1【答案】ACD【解析】【分析】当0,0xy时，化简方程为22111()()222xy

−+−=，结合曲线的对称性，画出曲线的图象，结合图象，可得判定A正确，把3ab++表示曲线上的点P到直线30xy++=的距离的2倍，可判定B错误；结合圆的面积公式和正方形的面积公式，可判定以C正确；设2bka

=−表示点(2,0)与点P确定的直线的斜率，结合图象，利用点到直线的距离公式，列出方程，可得判定D正确.【详解】当0,0xy时，原方程化为22xyxy+=+，即22111()()222xy−+−=，所以曲线是以圆心为11,22，半径为22的圆在第一象限的部分，又由2

2||||xyxy+=+图象关于x轴，y轴对称，所以曲线，如图所示.，对于A中，由图象可得，该曲线关于x轴，y轴，yx=和yx=−对称，所以该曲线有4条对称轴，所以A正确，对于B中，由3ab++表示曲线上的点P到直线30xy++=的距离的2倍，结合图象得，当(,

)Pab是(1,1)−−时，距离最小值为113222−−+=，所以3ab++最小值为2212=，所以B错误；对于C中，曲线围成的图形由四个直径为2的半圆和一个边长为2的正方形组成，所以面积为222()π24(2)π22+=+，所以C正确；对于D

中，设2bka=−表示点(2,0)与点P确定的直线的斜率，设该直线方程为(2)ykx=−，结合图象，当0,0xy，即22xyxy+=−，则圆心为11,22−，半径为22的圆在第四象限的部分与直线相切时，该切线的斜率是k的最大值，由dr=，可得

23122221kk−+=+，解得1k=或17k=−（舍），则k的最大值为1，所以D正确.故选：ACD.11.正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，E，F分别是11BC，11CD的中点，点P在正方体表面

上运动，且(03)PAxx=，记点P的轨迹长度为()fx，则下列结论正确的是（）A.3π(1)2f=B.(2)3πf=C.若//PA平面BEF，且点P平面11AC，则x的最小值为223D.若(,)BPBEBF=+R，则32()52fx=

+【答案】AD【解析】【分析】A选项，得到点P的轨迹为以A为球心，1为半径的球与正方体表面的交线，从而求出轨迹长度；B选项，与A同理可得；C选项，作出辅助线，得到点P的轨迹是线段HI，则当APHI⊥时，AP最小，由勾股定理求出答案；D选项，作出辅助线，得到P的轨

迹为等腰梯形EFDB，求出轨迹总长()fx.【详解】对于A、B，如图，(1)f等于以A为球心，1为半径的球与正方体表面的交线总长，所以(1)2π3f=，故A正确；(2)f等于以A为球心，2为半径的球与正方体表面的交线总

长，由于21，所以球A与过A的三个正方体表面没有交线，与另外三个面的交线长为2π3π3(2)122−=，故B错误；对于C，如图，取11AD的中点H，11AB的中点I，连接,,,,,EFBEBFHIAHAI，可知//,//HIAHBEEF，因为

EF平面EFB，HI平面EFB，所以//HI平面EFB，同理可得//AH平面EFB，又AHHIH=，,AHHI平面AHI，故平面//AHI平面EFB，则当点P平面AHI时，//PA平面EFB，又点P平面11AC，所以点P的轨迹是线段HI，则当APHI⊥时，

AP最小，由勾股定理得22232144AP=+=，即x的最小值为324，故C错误；对于D，因为(,)BPBEBF=+R，所以点P与点B，E，F共面，从而点P的轨迹为平面BEF与正方体表面的交线，连接BD，则/

/EFBD，故,,,BDEF四点共面，画出交线如图，所以P的轨迹为等腰梯形EFDB（如图），故轨迹总长2532()225222fx=++=+，故D正确.故选：AD.【点睛】思路点睛：（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是

找交线的过程；（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；（3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线

；（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线1:22lyx=+，直线:mykx=，若lm⊥，则实数k的值为________.【答案】−

2【解析】【分析】根据垂直关系得到直线的斜率之积为1−，得到方程，求出2k=−.【详解】因为lm⊥，所以两直线的斜率之积为1−，即112k=−，所以2k=−.故答案为：−2.13.已知在直三棱柱111ABCABC−中，90ABC=，1CB=，2CA=，M是1CC

的中点，若1AMBA⊥，则1AA=________.【答案】6【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设1AAt=，再利用空间向量求解即可.【详解】以B为坐标原点，分别以BA，BC，1BB所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设1AAt=，则由题意：(

3,0,0)A，0,1,2tM，1(3,0,)At，则3,1,2tAM=−，1(3,0,)BAt=，又1AMBA⊥所以21302tBAAM=−+=，解得6t=，即16AA=.故答案为：6.14.在平面直角坐标系中，已知圆22:21Mx

yx++=，直线:230lxy−−=，过l上一点P作圆M的切线，切点为A，则PAPM的最小值为________.【答案】3【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系，结合平面向量数量积的几何意义将PAPM化为22PM−，计算minPM即可.【详解】由题意()2212xy+

+=，则圆M的半径()2,1,0AMM=−，根据向量数量积的几何意义，得2222PAPMPAPMMAPM==−=2−.所以只要PM最小即可，当PMl⊥时，()min222103||521PM−−−==+，所以PAPM的最小值为()2

523−=.故答案为：3四、解答题：本大题共5小题，共7.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知空间三点(0,2,3)A，(2,1,6)B−，(1,1,5)D−，以向量AB，AD为一组邻边组成平行四边形ABCD，（1）求C点坐标；（2）求平行四边形ABCD的面积S.【答案】（1）

(1,2,8)−−（2）73【解析】【分析】（1）设(,,)Cxyz，根据空间向量的线性运算及平行四边形法则求解即可；（2）先根据空间向量求出,ABAD，进而结合面积公式求解即可.【小问1详解】设(,,)Cxy

z，则(2,1,3)AB=−−，(1,3,2)AD=−，(,2,3)ACxyz=−−，由平行四边形法则：(1,4,5)(,2,3)ACABADxyz=+=−−=−−，所以1x=−，2y=−，8z=，即C点坐标为(1,2,8)−−.【小问2详解】由题意，||4191

4AB=++=，||19414AD=++=，2361cos,21414ABADABADABAD−++===，所以π,3ABAD=，所以π3sin14147332SABAD===.16.如图，在直三棱柱111ABCABC−中，底面是等腰三

角形，120ACB=，1ACBCAA==，D，E分别是棱AB，11BC的中点.（1）求证：//DE平面11ACCA；（2）求直线DE与平面11ABC所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）35.【解析】【分析】（1）

取AB中点D，以点D为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得.（2）求出平面11ABC的法向量，利用线面角的向量求法求解即得.【小问1详解】在直三棱柱111ABCABC−中，ACBC=，120ACB=，取AB中点D，连接CD，则

CDAB⊥，过点D作1//DzAA，由1AA⊥平面ABC，得Dz⊥平面ABC，则直线,,DBDCDz两两垂直，以点D为原点，直线,,DBDCDz分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，设2AC=，则1(0,0,0),(0,1,)31(3,0,0),(0,0),,1,2)(,,222DCACE−，

则31(,,2)22DE=，(3,1,0)AC=，1(3,1,2)AC=，设平面11ACCA的法向量(,,)nxyz=，则130320nACxynACxyz=+==++=，取1x=，得(1,3,0)n=−，于是330022DE=−+=n，即D

En⊥，//DE平面11ACCA，又DE平面11ACCA，所以//DE平面11ACCA.【小问2详解】由（1）知(0,1,0)C，1)3,2(0,A−，1(3,0,2)B，则1(3,1,2)CA=−−，11(23,0,0)AB=，设平面11CAB的法向量为(,,)mabc=，则11132023

0mCAabcmABa=−−+===，取1c=得(0,2,1)m=，又31(,,2)22DE=，设直线DE与平面11ABC所成的角为，则|33sin|cos,|5||||55|DEmDEmDEm====，所以直线DE与

平面11ABC所成的角的正弦值为35.17.已知平面直角坐标系中，圆22:8Oxy+=，点(4,2)P−，（1）若A是圆O上的动点，线段AP的中点为M，求M的轨迹方程；（2）以OP为直径圆交圆O于C，D两点，求CD

.【答案】（1）22(2)(1)2xy++−=（2）4305CD=【解析】【分析】（1）利用轨迹方程求法设(,)Mxy，可求得M的轨迹方程为22(2)(1)2xy++−=；（2）求出公共弦CD的方程24

0xy−+=，利用点到直线距离以及弦长公式可得4305CD=.【小问1详解】设(,)Mxy，00(,)Axy，则根据题意可得()004,22,2xxyy+−=+=所以可得002422xxyy=+=−，代入圆22:8Oxy+=，得()()2224228x

y++−=，化简得()()22212xy++−=，M的轨迹方程为()()22212xy++−=.【小问2详解】如下图所示：因为OP的中点坐标为()2,1−，16425OP=+=，所以以OP为直径的圆的方程为22(2)(1)5++−=x

y，的即22420xyxy++−=.圆22420xyxy++−=的圆心为()2,1−，半径为5，圆228xy+=的圆心为()0,0，半径为22，两圆的圆心距为5，半径和225+，半径差的绝对值为225−，2255225−+，两圆相交，由2222842

0xyxyxy+=++−=得直线CD的方程240xy−+=.圆心O到直线CD的距离45d=，圆O的半径22R=，可得2216248255CDRd=−=−=，24430255CD==，所以4305CD=.18.如图，三棱锥PA

BC−中，底面ABC是边长为2的等边三角形，2PAPC==.（1）若2PB=，求三棱锥PABC−的外接球的表面积；（2）若异面直线PC和AB所成角的余弦值为24，点F是线段PB（不含端点）上的一个动点，平面ACF与平面PBC的夹角为，求cos的取值范围.【答案】（

1）6π（2）210,7【解析】【分析】（1）根据题意可知PA，PB，PC两两垂直，所以可将其补成正方体，正方体对角线就是外接球的直径，再根据外接球的表面积计算公式可求解；（2）根据异面直线所称的角的关系求出OBOP⊥，构建

空间坐标系，分别求出平面ACF的一个法向量m，平面PBC的一个法向量为n，再利用空间向量法求出二面角的余弦值取值范围.【小问1详解】当2PB=时，PA，PB，PC两两垂直，可将其补成正方体，正方体的体对角线

即为外接球的直径.所以三棱锥PABC−的外接球直径为：2236R==，两边平方得246R=，所以24π6πSR==.【小问2详解】如图，取AC中点O，由题意，1OP=，3OB=，设POB=，OCa

=，OBb=，OPc=.则0ab=，0ac=，3cos=bc，因为PC，AB所成角的余弦值为24，所以2cos,422PCABPCABPCABPCAB===，得1PCAB=.又PC=−ac，AB=+ba，2()

()13cos1PCAB=−+=+−−=−=acbaabacbca，解得cos0=或23cos13=（舍去）.所以cos0=，此时,90=bc，这样，可以以OA，OB，OP分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系（如图）.则(1,0,0)A，(0,3,0)B，

(1,0,0)C−，(0,0,1)P，设(,,)Fxyz，因为点FPB，所以设((0,1))PFtPBt=，(0,3,1)PB=−，(,,1)PFxyz=−，所以(,,1)(0,3,1)xyzt−=−.所以0,3,1,xytzt===−

得(0,3,1)Ftt−因为(2,0,0)AC=−，(0,3,1)OFtt=−，设平面ACF的一个法向量000(,,)mxyz=，则00020,3(1)0,ACmxOFmtytz=−==+−=取(0,

1,3)mtt=−−，又(1,0,1)PC=−−，(0,3,1)PB=−，同理可求得平面PBC的一个法向量为(3,1,3)n=−.因为平面ACF与平面PBC的夹角为，所以2222|||13|71681

cos7421||||(1)37mnttttttmntt−−−+===−+−+，设242xtt=−，(0,1)t，1,24x−，则221681414211ttxttx−++=−++，记()413411xfxxx+==

−++，1,24x−，显然()fx在1,24x−上单调递增，所以min1()04fxf=−=，当2x→时，()3fx→，所以21cos0,7.即c

os的取值范围是210,7.19.古希腊亚历山大时期最后一位重要的几何学家帕普斯（Pappus，公元3世纪末）在其代表作《数学汇编》.中研究了“三线轨迹”问题：平面上，到两条已知直线距离的乘积是到第三条直线距离的平方的k倍的动点轨迹为二次曲线（在平面上，由二元二次方

程所表示的曲线，叫做二次曲线）.常数k的大小和直线的位置等决定了曲线的形状.为了研究方便，我们设平面内三条给定的直线为(1,2,3)ili=，当三条直线中有相交直线时，记12llA=，23llB=，31llC=，动点P到直线il的距离为(1,2,3)idi=，且满足2

123ddkd=.阅读上述材料，完成下列问题：（1）当12ll//，31ll⊥时，若1k=，且1l与2l的距离为2，点P在1l与2l之间运动时，求动点P的轨迹所围成的面积.（2）若ABCV是等腰直角三角形，BAC是直角，点P在BAC内（包括两边）运动，试探求k为何值时，P的轨迹

是圆？（3）若ABCV是等腰三角形，ABAC=，点P在BAC内（包括两边）任意运动，当1k=时，问在此等腰三角形对称轴上是否存在一点D，使PAPD为大于1的定值.若存在，求出点D的位置，若不存在，请说明理由.【答案】（1）π（

2）当1k=时，P的轨迹是圆（3）存在，点D为BC中点【解析】【分析】（1）适当建系，以1l为y轴，3l为x轴，同时2:2lx=，再结合新定义确定轨迹方程即可求解；（2）适当建系，以A为坐标原点，1l为y轴，2l为x轴，同时3:0(0)lxycc+−

=.再结合新定义即可求解；（3）适当建系，以A为坐标原点，CAB的角平分线为x轴，设1:lytx=，2:(0)lytxt=−，3:(0)lxaa=，结合新定义列出等式即可求解.【小问1详解】以1

l为y轴，3l为x轴，建立平面直角坐标系，2:2lx=，设(,)Pxy，因为P在1l，2l之间，所以1dx=，22dx=−，3||dy=，由定义得2123ddd=，所以2(2)xxy−=，化简得22(1)1xy−+=，表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆.所以动点P的轨迹围成的图形面积2

ππSr==.【小问2详解】以A为坐标原点，1l（AB）为y轴，2l（AC）为x轴，建立平面直角坐标系.设()3:0(0)lBCxycc+−=，点(,)(00)Pxyxy且，则1dx=，2dy=，3||2xycd

+−=，2123ddkd=，代入坐标得：2222222xycxycxcyxyk+++−−=.化简整理：222(22)220kxkykxykcxkcykc++−−−+=①当1k=时，方程①没有xy项，此时方程①为：22

2220xycxcyc+−−+=.即222()()xcycc−+−=，此方程表示圆心为(,)cc，半径为c的圆，所以当1k=时，P的轨迹是圆.【小问3详解】以A为坐标原点，CAB的角平分线为x轴，建立平面直角坐标系，设()1:lABytx=，()2:(0)lACytxt

=−，()3:(0)lBCxaa=，点(,)Pxy，先求点P的轨迹方程：由12|1|txydt−=+，因为P在CAB内部，所以0txy−，得121txydt−=+.同理：221txydt+=+，又3

||dxa=−.由题意，当1k=时，得222||11txytxyxatt−+=−++.化简整理得：222222(1)(1)0xyatxat+−+++=.②假设存在点(,0)(0)Dmm，满足条件，则

2222222222()xyPAxyPDxymxmxmy++==+−+−+③由②得：222222(1)(1)xyatxat+=+−+.代入③得22222(1)(2)2()[(1)]PAatxaPDatamxatm+−=+−−+−.要使此式为定值，则22222()2(1)atamatma+−=+

−，化简得ma=，故存在点(a,0)D，即点D为3l与CAB的角平分线的交点，即点D为BC中点，此时211PAtPDt+=.【点睛】关键点点睛：这类新定义的关键是适当建系，简化计算过程，减少计算量是关键点.