【文档说明】河北省部分名校2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 含答案.docx，共(12)页，757.970 KB，由小赞的店铺上传

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1河北省部分名校2020-2021学年高一下学期期末考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标

号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册。一、选择题：本题共8小题，每小题5分

，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.1.复数322izi+=−的实部是A.85B.75C.45D.75−2.已知数据123,,,,nxxxx的方差为3，则数据123x+，223x+，323x+，…23nx+的方

差是A.3B.6C.9D.123.在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F是DE的中点，则AF=A.1142ABAD−B.1142ABAD+C.1344ABAD+D.1344ABAD−4.某校举行校园歌手大赛，6位评委对某选手的评分分别为9.2，9.5，8.8，9.9，8.9，9.

5，设该选手得分的平均数为x，中位数为y，众数为z，则A.xyzB.xyz=C.yxzD.xzy5.已知l，m，n是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列命题正确的是A.若∥，n∥，则n∥B.若m∥，m∥，则

∥C.若n=，mn∥，则m∥D.若m，n是异面直线，m∥，n∥，lm⊥且ln⊥，则l⊥6.某校对该校800名高一年级学生的体重进行调查，他们的体重都处在A，B，C，D四个区间内，根据调查结果得到如下统计图，则下列说法正确的是2A.该校高一年级有300名男生B.该校高一年级学生体重

在C区间的人数最多C.该校高一年级学生体重在C区间的男生人数为175D.该校高一年级学生体重在D区间的人数最少7.在三棱锥PABC−中，平面PAC⊥平面ABC，PAC△和ABC△均为等边三角形，E，F分别

是棱AB，PC的中点，则异面直线EF与PB所成角的正弦值是A.55B.105C.155D.2558.已知集合{2,0,3}A=−，且aA，bA，则函数2()3fxaxxb=++有零点的概率是A.79

B.59C.49D.29二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数134zi=+，2(,)zabia

b=+R，则下列命题正确的是A.若3a=−，则12zz+是纯虚数B.若12zz+是纯虚数，则3a=−C.若430ab+=，则12zz是实数D.若12zz是实数，则430ab+=10.连续抛掷一个质地均匀的骰子（每个面上对应的数字分别为1，2，3，4，5，6）两

次.事件A表示“第一次正面朝上的点数是奇数”，事件B表示“第二次正面朝上的点数是偶数”，事件C表示“两次正面朝上的点数之和小于6”，事件D表示“两次正面朝上的点数之和是9”，则下列说法正确的是A.事件A与事件B为对立事件B.事件A与事件B相互独立C.事件C与事件D是互斥事件

D.事件C与事件D相互独立11.在锐角ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cosabB=，且bc，则A.2AB=B.角B的取值范围是(0,)4C.cosA的取值范围是1(0,)2D.ab的取值范围是

(2,3)312.如图，在直三棱柱111ABCABC−中，1323ABAA==，ABC△是等边三角形，点O为该三棱柱外接球的球心，则下列命题正确的是A.11AC∥平面1ABCB.异面直线1BC与1AA所成角的大小是6C.球O的表面积是20D.点O到平面1ABC的距离是1313三、填空题：本题共

4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量(2,1)a=，(3,)bx=−，若ab∥，则x=▲.14.已知一圆锥的侧面展开图是半径为23的半圆，则该圆锥的体积是▲.15.已知43i+是方程20(,)xaxbab−+=R的一个根，则ab+=▲.16.如图，已知两座山的

高分别为30MN=米，20BC=米，为测量这两座山峰M，C之间的距离，选择水平地面上一点A为测量观测点，测得60MAN=，45CAB=，150BAN=，则MC=▲米.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应

写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知向量a，b的夹角为30，且||2a=，||3b=.（1）求|2|ab−的值；（2）若()(2)kabakb−⊥−，求k的值18.（12分）4某高校将参加该校自主招生考试的学生的笔试成绩按

得分分成5组，得到的频率分布表如图1所示.该校为了选拔出最优秀的学生，决定从第4组和第5组的学生中用分层抽样法抽取60名学生进行面试，根据面试成绩（满分：100分），得到如图2所示的频率分布直方图.组号分组频数频率第1组[150，160）600.10第2组[160，170）1500.25

第3组[170，180）2100.35第4组[180，190）1500.25第5组[190，200]300.05合计6001.00图1图2（1）求第4组和第5组的学生进入面试的人数之差；（2）若该高校计划录取15人，求该高校的录取分数.19.（12分）如图，在三棱柱111ABCABC−中，1

190ABBACCACB===，点O为1AB的中点，2ACBC==，123AA=.（1）证明：平面11ACCA⊥平面ABC.（2）求点1B到平面11OAC的距离.20.（12分）端午节，又称端阳节、龙舟节、天中节等，源于中国人对自然天象的崇拜，由上古时代祭

龙演变而来.端午节5与春节、清明节、中秋节并称中国四大传统节日.某社区为丰富居民业余生活，举办了关于端午节文化习俗的知识竞赛，比赛共分为两轮.在第一轮比赛中，每位参赛选手均需参加两关比赛，若其在两关比赛中均达标，则进入第二轮比赛.已知在第一轮比赛中，A，B第一关达标的概率分别是45，23；第二关

达标的概率分别是34，35.A，B在第一轮的每关比赛中是否达标互不影响.（1）分别求出A，B进入第二轮比赛的概率；（2）若A，B两人均参加第一轮比赛，求两人中至少有1人进入第二轮比赛的概率.21.（12分）在①sin3cos0a

BbA+=，②()()abcabcbc++−−=−，③sin2sin0bAaB+=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求A；（2）若角A的角平分线1AD=，且3c…，求ABC△面积的最小值.注：如果选择多个条件分

别解答，按第一个解答计分.22.（12分）如图，在正四棱锥PABCD−中，点E，F分别在棱PB，PD上，且13PEPFPBPD==.（1）证明：EF⊥平面PAC.（2）在棱PC上是否存在点M，使得PA∥平面MEF？若存在，求出

PMMC的值；若不存在，说明理由.高一年级下学期期末考试数学参考答案1.C由题意可得232(32)(2)63424725555iiiiiizii++++++====+−，则复数z的实部是45.2.D由题意可得数据12323,23,23,,23nxxxx++++的方差是223

12=.63.B由题意可得12DEAEADABAD=−=−，则11111()22242AFADDFADDEADABADABAD=+=+=+−=+.4.A由题意可得9.29.58.89.98.99.59.36x+

++++==，9.29.59.352y+==，9.5z=，则xyz.5.D若∥，n∥，则n或n∥，则A错误；若m∥，m∥，则∥或，相交，则B错误；若n=，mn∥，则m或m∥，则C错误；若,mn是异面直线，m∥，n∥，lm⊥且ln⊥

，则l⊥，则D正确.6.C由题意可得该校高一年级有608012040300+++=名女生，则有800300500−=名男生，则男生体重在A，B，C，D区间内的人数分别为75，150，175，100，从而该校高一年级学生体重在A，B，C，D区间的人数分别为135，270，255，

140，故A，B，D错误，C正确.7.B如图，分别取棱BC，AC的中点D，H，连接DE，DF，PH，BH.由题意可得PHAC⊥，BHAC⊥，则AC⊥平面PBH.因为PB平面PBH，所以ACPB⊥，因

为D，F分别是棱BC，PC的中点，所以DFPB∥，则DFE是异面直线EF与PB所成的角.因为D，E分别是棱BC，AB的中点，所以DEAC∥，则DFDE⊥.设4AB=，则23PHBH==，122DEAC==.因为平面PAC⊥平面ABC，且PHAC⊥，所以PHBH⊥，所以1212

26PB=+=，所以6DF=，则4610EF=+=，故210sin510DEDFEEF===.8.A由题意可得总的基本事件数为9.当0a=时.符合条件的基本事件有3个；当0a时，()fx有零点，则940ab−…，即94ab„，从而符合条

件的基本事件有4个.故所求概率34799P+==.9.BCD由题意可得123(4)zzabi+=+++，12(34)(43)zzababi=−++.当3a=−且4b−时，12zz+是7纯虚数，则A错误，B正确；当430ab+=时，12zz是实数，则C，D正确

.10.BC由题意可知事件A与事件B相互独立，则A错误，B正确；事件C与事件D是互斥事件，但不是对立事件，则C正确；D错误.11.ACD因为2cosabB=，所以sin2sincossin2ABBB==，所以2AB=或2AB+=.因为bc，所以BC，所以2

ABABC+++=，则2AB=，故A正确.因为ABC++=，所以3CABB=−−=−.因为ABC△是锐角三角形，所以0,20,20,2ABC即02,20,203,2BBB−解得6

4B，所以23cos22B，则sinsin22cos(2,3)sinsinaABBbBB===，故B错误，D正确.因为2AB=，所以32A，所以10cos2A，则C正确.12

.ACD如图，由题意可知11ACAC∥，因为AC平面1ABC，11AC平面1ABC，所以11AC∥平面1ABC，故A正确.因为11AACC∥，所以11BCC是异面直线1BC与1AA所成的角.因为1323ABAA==，所以111111tan3BCAB

BCCCCAA===，所以113BCC=，故B错误.设111ABC△外接圆的圆心为1O，连接1111,,OOOCOC，由题意可得11212323OC=−=，11112OOAA==，则球O的半径15ROC==，从而球O的表面积是2244(5)20R==，故C正确.设1AB

C△外接圆的半径为r，由题意可得111244ABBC==+=，则116313sin44BAC−==.由正弦定理可得4813131324r==，则点O到平面1ABC的距离22641351313dRr=−=−

=，故D正确.813.32−由题意可得230x+=，解得32x=−.14.3设该圆锥底面圆的半径为r，高为h，母线长为l，则23l=，223r=，解得3r=，从而223hlr=−=，故该圆锥的体积是21(3)333=.15.33设该方程的另一个根为(,)zxyixyR=+

，则4(3),(43)(),xyiaixyib+++=++=从而30,430,yyx+=+=解得4,3,xy==−即8,25,ab==故82533ab+=+=.16.1014如图，过点C作CDMN⊥，垂足为D，则10

DMMNBC=−=米，CDBN=.由题意可得103AN=米，20AB=米，150BAN=，则23300400210320()13002BN=+−−=，从而22213001001400MCCDDM=+=+=，故1014MC

=米.17.解：（1）由题意可得3||||cos,2332ababab===，则22222(2)444243(3)7abaabb−=−+=−+=，故2|2|(2)7abab−=−=.（2）因为()(2)kabakb−

⊥−，所以()(2)0kabakb−−=，9所以222220kakababkb−−+=，所以231160kk−+=，即(32)(3)0kk−−=，解得23k=或3k=.18.解：（1）由题意可知抽取比例为601150303=+，则第4组应抽取的人

数为1150503=，第5组应抽取的人数为130103=.故第4组和第5组的学生进人面试的人数之差为501040−=.（2）由题意可知该高校的录取率为15100%25%60=.因为(0.020.04)100.60.75+=，0.60.03100.90.75+=.则该高校的录取分

数在[80，90）内.设该高校的录取分数为x，则(80)0.030.60.75x−+=.解得85x=.故该高校的录取分数カ85分.19.（1）证明：因为1190ABBACC==，所以1ABBB⊥，1ACCC⊥.在三棱柱111ABCABC−中，11BBCC∥，所以1ABCC⊥，又因为A

BACA=，所以1CC⊥平面ABC，又因为1CC平面11ACCA，所以平面11ACCA⊥平面ABC.（2）解：设点O到平面111ABC的距离为h，点B到平面11OAC的距离为d.因为点O为1AB的中点，所以1132hAA

==，111111111232233323OABCABCVSh−===△.因为2ACBC==，1123CCAA==，所以22114BCCCBC=+=，10则1111111111242244QACBACSSACBC====△△.因为1111

112333BQACOACVSd−==，所以3d=，故点1B到平面11OAC的距离为3.20.解：（1）设事件A1为“A在第页轮第一关比赛中达标”，事件A2为“A在第一轮第二关比赛中达标”，事件B1为“B在第一轮第一关比

赛中达标”，事件B2为“B在第一轮第二关比赛中达标”.则A进入第二轮比赛的概率()()()1212433545PAAPAPA===，B进入第二轮比赛的概率()()()1212232355PBBPBPB=

==.（2）由（1）可知A没有进入第二轮比赛的概率()112321155PPAA=−=−=，B没有进入第二轮比赛的概率()212231155PPBB=−=−=，则A，B两人都没有进入第二轮比赛的概率为122365525PP==.故A，B两人中至少有1人进入第二轮比

赛的概率61912525P=−=.21.解：若选①，（1）因为sin3cos0aBbA+=，所以sinsin3sincos0ABBA+=.因为0B，所以sin0B，所以sin3cos0AA+=

，所以tan3A=−.因为0A，所以23A=.若选②，（1）因为()()abcabcbc++−−=−，所以2222abbccbc−−−=−，所以222bcabc+−=−，则2221cos22bcaAbc+−=

=−.11因为0A，所以23A=.若选③，（1）因为sin2sin0bAaB+=，所以2sinsincossinsin0BAAAB+=，所以2cos10A+=，所以1cos2A=−.因为0A，所以23A=.（2）

因为ABCABDACDSSS=+△△△，所以1211sinsinsin232323ABACABADACAD=+，所以bcbc+=，则1cbc=−，故213sin24(1)ABCcSbcAc==−△.设1tc=−，则2(1)12(2)tytttt+==++…，从而，当且仅当2t=

，即3c=时，min92y=.故当32b=，3c=时，ABC△的面积取得最小值，且最小值为938.22.（1）证明：如图，连接BD，记ACBDO=，连接PO.由题意可得四边形ABCD是正方形，PBPD=.则O为AC的中点，且ACBD⊥.因为PBPD=，所以POBD⊥

.因为AC平面PAC，PO面PAC，且ACPOO=，所以BD⊥平面PAC.因为PEPFPBPD=，所以EFBD∥，则EF⊥平面PAC.（2）解：设存在点M满足条件.连接ME，MF，记POEFN=，连接MN.取PC的中点Q，连接

OQ.因为O，Q分別是AC，PC的中点，所以OQPA∥.因为PA∥平面MEF，所以OQ∥平面MEF.12因为平面POQ平面MEFMN=，所以OQMN∥，则PMPNPQPO=.由（1）可知EFBD∥，所以13PNPEPOPB==，所以13PM

PNPQPO==.因为Q为PC的中点，所以12PQPC=，所以15PMMC=.故存在满足条件的点M，此时15PMMC=.