【文档说明】山东省实验中学2023届高三下学期开学考试数学试题 word版含解析.docx，共(24)页，1.122 MB，由小赞的店铺上传

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2023届高三适应性训练数学试题注意事项：1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码.2．本试卷满分150分，时间120分钟.3．选择题的作答：每小题选出答案后

，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.4．非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答

题区域均无效.一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{N13},3AxxBxx=−=∣∣，则AB=（）A.{13}xx−∣B.03xx∣C.

0,1D.1【答案】C【解析】【分析】先化简集合A、B，再利用交集定义即可求得AB.【详解】{N13}0,1,2Axx=−=∣，2333Bxxxx==−∣∣，则0,1,2330,1ABxx=−

=∣故选：C.2.()()3icos60isin60+−=（）A.i−B.2C.13i−D.3i−【答案】D【解析】【分析】利用复数乘法规则即可求得该式的值.【详解】()1333133iiii3i222222+−=−++=−，故选：D.3已知向量()

()2,3,,1abm=−=，若|2||2|abab+=−，则m=（）A.32B.32−C.23D.23−【答案】A【解析】【分析】利用向量线性运算的坐标表示和向量模的坐标表示，列出关于m的方程，解之即可求得m的值.【详解】由()()2,3,,1abm=−=，可得()()22

2,1,222,5abmabm+=+−−=−−，又|2||2|abab+=−，则22|2||2|abab+=−，即22(22)1(22)25mm++=−+，解之得32m=故选：A.4.已知一个正四棱台形油槽可以装煤油200L，若它的上､下底面边长分别为60cm和40cm，则它的深度约为（）A.

115cmB.79cmC.56cmD.26cm【答案】B【解析】【分析】设出深度，利用棱台的体积计算公式即可求解.【详解】设深度为h，由棱台的体积计算公式可得：()136001600240020010003h++=，解得：79h=，故选：B.5.某市地铁1号线从A站到G站共有6个站点

，甲、乙二人同时从A站上车，准备在B站、D站和G站中的某个站点下车，若他们在这3个站点中的某个站点下车是等可能的，则甲、乙二人在不同站点下车的概率为（）.A14B.13C.23D.34【答案】C【解析】【分析】根据

概率乘法公式，结合对立事件的概率公式进行求解即可.【详解】两人在相同站点下的概率为：1113333=，所以甲、乙二人在不同站点下车的概率为12133P=−=，故选：C6.已知定义在R上的函数()fx的图象连续不

间断，有下列四个命题：甲：()fx是奇函数；乙：()fx的图象关于点(2,0)对称；丙：(22)0f=；丁：(6)()fxfx+=；如果有且仅有一个假命题，则该命题是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性及对称性的性质，结合赋值法及函数的周

期性即可求解.【详解】命题甲正确，因为()fx是奇函数，所以()()fxfx−=−，命题乙正确，因为()fx的图象关于点(2,0)对称，所以()()4fxfx−=−，由(4)()fxfx−=−，得(44)(4)fxfx−−=−−，即()(4)fxfx−=−−，于是有()(4)fxfx=−，

所以函数()fx的周期为4，故丁是假命题；由(42)(2)ff−=−，即2(2)0f=，解得(2)0f=，所以(22)(452)(2)0fff=+==，故丙是真命题.故选：D.7.已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足

为M，若MOF△的重心G在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A.22B.7C.6D.5.【答案】B【解析】【分析】依次求出点M、G的坐标，然后由点G在双曲线上可建立方程求解.【详解】不妨设M在byxa=，令()00

,Mxy，则有0000byxayaxcb==−−，解得200axcabyc==，所以2,aabMcc，2,33acabcGc+，因为点G在双曲线上，所以22222199accaac+−=，解得7e=，故选：B.8.已

知()1.11e,,1lne12abc−===−−，则,,abc的大小关系为（）A.cabB.abcC.acbD.cba【答案】C【解析】【分析】利用作差法结合对数的运算性质分析判断即可.【详解】解：()()()11e1lne1l

ne1lnelne1ln,22e1cb−=−−−=−−=−−=−，e1,0,e1cb−−cb∵1.1111ee2a=∴ab()()21.11.11.11111ee11lne111e1e1e10eeeecae−−

−=−−−−−−−=−−−−=,,caacb故选：C.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目.要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）

A.数据1,3,3,5,5,5,7,9,11的众数和第60百分位数都为5B.样本相关系数r越大，成对样本数据的线性相关程度也越强C.若随机变量服从二项分布38,4B，则方差()26D=D.若随机变量X服从正态分布()0,1N，则11222PXPX=

【答案】AC【解析】【分析】利用众数和第60百分位数的定义判断A，利用相关系数的意义判断B，利用方差的性质判断C，利用正态曲线的性质判断D即可求解.【详解】数据中的众数为5,960%5.4=，第6个数据为5，

选项A正确；r越大成对样本数据的线性相关程度也越强，选项B错误；()()()233138,,8,2264442BDDD====，选项C正确；()11110,1,212222XNPXPX

PX=−=−，选项D错误，故选：AC10.已知函数()sin3cos(0)fxxx=−的最小正周期为π，则（）A.2=B.点5π,06−是()fx图象的一个对称中心C.

()fx在π11π,312上单调递减D.将()fx的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，可得到πcos26yx=−的图象【答案】AB【解析】【分析】将()sin3cos(0)fxxx=−化简，由其周期求得，判断A;将5π6x=−代入解析式验证，判断B；根据

正弦函数的单调性判断C；根据正弦函数图象的平移变换判断D.【详解】由题意知()π2πsin3cos2sin,π,23fxxxxT=−=−===,A正确.()π55π2sin2,π2sinπ03633fxxf=−−=−−=

，故()fx关于5π,06−对称，B正确.令ππ3π2π22π,Z232kxkk+−+，则5π11πππ,Z1212kxkk++，当0k=时，5π11π,Z1212xk，令πππ2π22π,Z232kxkk−+−+，则5ππππ,Z1212k

xkk−++，当0k=时，5ππ,Z1212xk−，即()fx在π5π,1212−上单调递增，在511π,1212上单调递减，而ππ5π12312−，故()fx在π11π,312上不单

调递减，C错误；将()fx的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到π3fx+的图象,而ππππππ2sin22sin22sin2333362fxxxx+=+−=+=−+ππ2co

s2cos266xx=−−，D错，故选：AB11.过直线:25lxy+=上一点P作圆22:1Oxy+=的切线,切点分别为,AB,则（）A.若直线ABl∥则5AB=B.cosAPB的最小值为35C.直线AB过定点

21,55D.线段AB的中点D的轨迹长度为5π10【答案】BC【解析】【分析】根据题意设出点P坐标,求出直线AB方程,若ABl∥,则,斜率相等,进而求出直线方程,进而求出弦长即可;根据直线AB方程,求出定点即可;由π,APBAOB+=进而转化为与cosAOQ的关系,即圆心到直

线的距离与半径的比值的最值,根据直线AB过的定点即可得出选项B正误;由定点,弦AB中点,圆心所形成的角为直角,即可判断线段AB的中点的轨迹,进而求出长度即可.【详解】解:由题知,设()00,Pxy,因为

过点P作圆22:1Oxy+=的切线,切点分别为,AB,所以,AB在以OP为直径的圆上,即,AB在222200020222xyxyxy+=+−−上,因为,AB是切点,所以,AB在221xy+=上,故,AB是两圆的交点,

故两圆方程相减可得,AB所在的直线方程,化简可得00:1ABxxyy+=,因为P在l上,所以0025xy+=,故直线()00:521ABxxxy+−=;,关于选项A,若ABl∥,则00252xx−=−−,解得:02,x=所以:210ABxy+−=,故圆心O到AB的距离1,5d=所以1452

15,55AB=−=故选项A错误;由()00:521ABxxxy+−=,即()0251xxyy−+=,联立2051xyy−==,解得:2515xy==,所以AB过定点21,,55M故选项C正确;因为π,APBAOB+=

所以()coscosπcos,APBAOBAOB=−=−由于AB过定点21,,55M所以O到AB距离max5,5dOM==记AB中点为Q,则OMOQ,coscosAPBAOB=−cos2AOQ=−()22cos1

AOQ=−−212cosAOQ=−212OQr=−131255−=,故选项B正确;因为D为线段AB的中点,且M在AB上,所以π2MDO=,所以D点轨迹为以OM为直径的圆,所以5,210OMr==周长为52

ππ,5r=故选项D错误.故选:BC12.已知在三棱锥−PABC中，PAPB⊥，ABBC⊥，1PAPB==，ABBC=，设二面角PABC--的大小为，M是PC的中点，当变化时，下列说法正确的是（）A.

存在，使得PABC⊥B.存在，使得PC⊥平面PABC.点M在某个球面上运动D.当2=时，三棱锥−PABC外接球的体积为4π3【答案】ACD【解析】【分析】取AB、AC中点D、E，连接PD，DE，PE，ME，BE，即可

得到PDE即为二面角PABC--，求出线段BC、AB、DE、AC、PD的长度，假设PABC⊥，求出的值，即可判断A，假设PC⊥平面PAB，即可得到ABPB⊥，推出矛盾，即可判断B，由12ME=为定值，即可

判断C，结合A可得1EPEAECEB====，即可求出三棱锥外接球的半径，从而求出体积，即可判断D.【详解】解：对于A：取AB、AC中点D、E，连接PD，DE，PE，ME，BE，因为1PAPB==，所以PDAB⊥，又ABBC⊥，//DEBC，所以DEAB⊥，所以PDE即为二面角

PABC--的平面角，又PAPB⊥，ABBC=，所以222BCABPBPA==+=，所以1222DEBC==，则222ACABBC=+=，1222PDAB==，若PABC⊥，又PAPB⊥，PBBCB=，,PBBC平面PBC，则PA⊥平面PBC，因PC平面PBC，所以PAPC⊥，所以112

PEAC==，则222PDDEPE+=，即2PDE=，即π2=，故A正确；对于B：若PC⊥平面PAB，AB平面PAB，则PCAB⊥，又ABBC⊥，PCBCC=，,PCBC平面PBC，所以AB⊥平面PBC，PB平面PBC，ABPB⊥，在ABP中ABPB⊥与PAPB⊥

矛盾，故B错误；对于C：1122MEPA==，M在半径为12的球面上，故C正确；对于D，当2=时，1PE=，所以1EPEAECEB====，E为三棱锥−PABC外接球的球心，外接球的半径为1，所以三棱锥−PA

BC外接球的体积344π1π33V==，故D正确.为故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.()522xx−−的展开式中x项的系数是__________.【答案】80−【解析】【分析】根据二项式的特点，先将分解()52522(2)(1)xxxx

−−=−+，然后分两部分求解，最后求和即可得出结果.【详解】因为()52522(2)(1)xxxx−−=−+，5(2)x-展开式第1r+项55155C(2)C(2)rrrrrrrTxx−−+=−=−5(1)x+展开式第1p+项551

55C(1)CppppppTxx−−+==当5,4rp==时，55455C(2)C160xx−=−；当4,5rp==时，44555C(2)C80xx−=，所以展开式中x项为1608080xxx−+=−，则x的系数为80−，故答案为：

80−.14.若抛物线212xy=上的一点P到坐标原点O的距离为27，则点P到该抛物线焦点的距离为__________.【答案】5【解析】【分析】设出点P的坐标，利用OP的长度计算出0y，再利用抛物线的定义即可求解.【详解】设点()00,Pxy，由题意可知：22200001227OPxyyy=+=

+=，解得：02y=，所以02352pPFy=+=+=，故答案为：5.15.已知直线ykxb=+是曲线()ln1yx=+与2lnyx=+的公切线，则kb+=__________.【答案】3ln2−【解析】【分析】分别设两条曲线上的切点，写出切线方程，建立方程组，解出切点，计算kb+.

【详解】设曲线()ln1yx=+上切点()()11,ln1Axx+，11yx=+，切线斜率111kx=+，切线方程()()1111ln11yxxxx−+=−+，即()11111ln111xyxxxx=−+

+++同理，设曲线2lnyx=+上切点()22,2lnBxx+，1yx=，切线斜率21kx=，切线方程()()22212lnyxxxx−+=−，即2211lnyxxx=++，所以121121111l

n(1)1ln1xxxxxx=+−++=++，解得121212xx=−=，所以2k=，1ln2b=−，3ln2kb+=−.故答案为：3ln2−.16.己知数列na满足：2111160,,5nnnnnaaaa

aa+++=+=，记(1)1nnnba−=−，且202311iikbk=+，则整数k=_____．【答案】5−【解析】【分析】根据因式分解法，结合取倒数法进行求解即可.【详解】由211nnnaaa++−=，可得()1111nnnna

aaa+++−=，所以112na+，212a，则21222,(1,2)aaaa=−，所以2111(0,2),nnnaaaa++−=，2111111111nnnnnaaaaa++++==−−−，所以111111nnnaaa

++=+−，(1)1nnnba−=−，所以122023123202220231111111111bbbaaaaa+++=−+−++−−−−−−11223202220232023111111125116aaaaaaaa−=++−+−+

=−−−，因为112na+，所以120232aa，则有20236,25a，所以122023145,3bbb+++−−，则5k=−.故答案为：5−．【点睛】关键点睛：利用取倒数法，结

合因式分解法是解题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列na满足：111,234nnaaan+=−=−（1）求证：31nan+−是等比数列；（2）设数列na的前n项和为nS，求nS【答案】（1）证明见解析；（2

）nS()()313212nnn+=−−.【解析】【分析】（1）利用等比数列定义即可证明31nan+−是等比数列；（2）利用分组求和法即可求得数列na的前n项和nS.【小问1详解】由1234nnaan+−=−，得()132231nnanan

+++=+−，由11a=，可得131130a+−=，所以310nan+−，所以()1311231nnanan+++−=+−，所以31nan+−是等比数列，且首项为3公比为2.【小问2详解】由（1）得，13132nnan−+−=，即()13231nnan−=−−

所以()()1213122225831nnSn−=++++−++++−()231123122nnn+−−=−−()()313212nnn+=−−18.记ABC中，角,,ABC所对边分别为,,abc，且3cos2sinsinCAB=（1）求sinsinsin

CAB的最小值；（2）若π,76Aa==，求c及ABC的面积.【答案】（1）233（2）5，1534【解析】【分析】（1）先利用题给条件求得tantan3AB=，再利用均值定理即可求得sinsinsinCAB的最小值；（2）先求得3217si

n,cos1414BB==，再利用正弦定理即可求得c及ABC的面积.【小问1详解】因为3cos2sinsinCAB=，所以()3coscossinsin2sinsinABABAB−−=，即sinsin3c

oscosABAB=，因为coscos0AB，所以tantan3AB=，所以sinsincoscossintantansinsinsinsintantanCABABABABABAB++==1111232tantantantan3ABAB=+=，（当且仅当tan

tan3AB==时等号成立.）所以sinsinsinCAB的最小值为233.【小问2详解】因为π6A=，由（1）得，3tan33tanBA==，因为()0,πB，所以3217sin,cos1414BB==，所以()π3157sinsinsinsinco

s62214CBABBB=+=+=+=，由正弦定理sinsinacAC=，得57sin14751sin2aCcA===，所以ABC的面积为11321153sin7522144acB==.19.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，平面PAB⊥

平面PBC.（1）证明：ABBC⊥；（2）若,PAABM=为PC上的点，当PC与平面ABM所成角的正弦值最大时，求PMPC的值.【答案】（1）证明见解析（2）12PMPC=【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质证得⊥AE平面PBC，过点A作AEPB⊥可证得AEBC⊥，再由

线面垂直的性质证得PABC⊥，进而证得BC⊥平面PAB，进而证得ABBC⊥.（2）建立空间直角坐标系，设()01PMPC=≤≤，分类讨论01与1=时，分别计算线面角的正弦值比较即可.【小问1详解】如图，过

点A作AEPB⊥，垂足为E，∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB平面PBCPB=，AE平面,PABAEPB⊥，∴⊥AE平面PBC又∵BC平面PBC，∴AEBC⊥.又∵PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD,∴PABC⊥.又∵AEP

AA=，PA、AE平面PAB，∴BC⊥平面PAB，又∵AB平面PAB，∴ABBC⊥.【小问2详解】由（1）知，以A为坐标原点，,,ABADAP分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系Axyz—，如图所示，∵底面ABCD是

菱形，且ABBC⊥，∴底面ABCD为正方形，设1==PAAB，则()()()1,0,0,1,1,0,0,0,1BCP，所以()()1,0,0,1,1,1ABPC==−，设()(),,,01PMPC==−，则(),,1AMAPPM=+=−.设平面AB

M的一个法向量为(),,nxyz=r，则00(1)00nABnABxxyznAMnAM⊥==++−=⊥=①当01时，取0,1,1n=−−.设PC与平面ABM所成角为，则221

11sincos<,>3221311nPC+−===−++−，当12=时，sin的最大值为63.②当1=时，取()0,0,1n=，则∴|1|36sin|cos,|3331n

PC−===，∴综述：PC与平面ABM所成角的正弦值最大时为63，此时12PMPC=.20.2022年卡塔尔世界杯决赛于当地时间12月18日进行，最终阿根廷通过点球大战总比分7:5战胜法国，夺

得冠军.根据比赛规则：淘汰赛阶段常规比赛时间为90分钟，若在90分钟结束时进球数持平，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采用“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5轮前，一

队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢（例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为2:0，则不需要再踢第5轮）；③若前5轮“点球大战"中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一

方不进球的情况，进球方胜出.（1）假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也只有35的可能性将球扑出.若球员射门均在门内，在一次“点球大战"中，求门将在前4次扑出点球的个数

X的分布列期望；（2）现有甲､乙两队在决赛中相遇，常规赛和加时赛后双方0:0战平，需要通过“点球大战”来决定冠军.设甲队每名队员射进点球的概率均为34，乙队每名队员射进点球的概率均为23，假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结

果也互不影响.（i）若甲队先踢点球，求在第3轮结束时，甲队踢进了3个球并获得冠军的概率；（ii）求“点球大战”在第7轮结束，且乙队以6:5获得冠军概率.【答案】（1）分布列见解析，45（2）（i）164；（ii）131152【解析】【分析】（1）根据题意可得门将

每次扑中点球的概率131355p==，且14,5XB，进而根据二项分布求解即可；（2）利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式求解即可.【小问1详解】根据题意门将每次扑中点球的概率131355p==，X的可能取值为0,1,2,3,4，且14,5XB，(

)()004113442562560C(1);1C(1);625625PXppPXpp==−===−=()()()222334496162C(1);3C1;625625PXppPXpp==−===−=()440414C(1)625PXpp==−=；所以X的概率分布为X01234()PX

25662525662596625166251625数学期望()14455EX==.的【小问2详解】（i）甲队先踢点球，第三轮结束时甲队踢进了3个球，并获得冠军，则乙队没有进球，所以甲队获得冠军的概率为3332114364−=.（ii）点球在第7轮结束，且乙队以6:5

获胜，所以前5轮战平，且第6轮战平，第7轮乙队1:0胜甲队当前5轮两队为时，乙队胜出的概率为4444553121321225CC443343432304=当前5轮两队为5:5时，乙队胜出的概率为55

55553211121CC4343432304=，因为上述两个事件互斥，所以乙队胜出的概率为25113230423041152+=.21.已知椭圆2222:1(10)xyCabab+=的左､右焦点分别为1

2,FF，过点2F作直线l（与x轴不重合）交C于,MN两点，且当M为C的上顶点时，1△MNF的周长为8，面积为837（1）求C的方程；（2）若A是C的右顶点，设直线,,lAMAN的斜率分别为12,,kkk，求证：1211kkk+为定值.【答案】（1）2

214xy+=;（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用三角形周长求出a，当M为C的上顶点时，求出直线l方程，进而求出点N的坐标，利用三角形面积求出b作答.（2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合斜率坐标公式计算推理作答.【小问1详解】依题意，1△MN

F的周长111221||||||||||||||48MFMNNFMFMFNFNFa++=+++==，解得2a=，则椭圆222:14xyCb+=，令椭圆C的半焦距为c，当M为C的上顶点时，直线l为：1xycb+=，由222114xycbxyb+

=+=消去y得22(4)80cxcx+−=，解得0x=或284cxc=+，于是得点2228(4)(,)44cbcNcc−++，又1△MNF的面积为837，则221(4)832[]247bccbc−−=+，整理得273(4)bcc=

+，则有22743(4)ccc−=+，解得23c=或2413c=，有21b=或24813b=，因为01b，则21b=，所以椭圆C的方程为2214xy+=.【小问2详解】由（1）知，2(3,0)F，(2,0)A，直线l的方程为(3)ykx=−，由22(

3)44ykxxy=−+=消去y得2222(41)831240kxkxk+−+−=，设()()1122,,,MxyNxy，则2212122283124,4141kkxxxxkk−+==++，而1122122121,2(3)

(3)222ykkxykxxxxkx−−====−−−−，12121212121212222(23)(431111()333(3))xxxxxxkkkkxxxxxx−−−++++=+=−−−++222222222(23)43133124834141124834141kkkkkkkkk−++=−

++−+−++22222212(124)(23)8343(1(843)(41)41)124)3833(kkkkkkkk−−++==−−−+++，所以1211()843kkk+=−为定值.【点睛】方

法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22.已知函数()()1ln1axfxxx+=−−（1）当1a=−时，求()fx的单调区间；（2）若()fx有两个零点(

)1212,xxxx，求a的范围，并证明12110lnlnxaxa+++【答案】（1）单调增区间为()0,23−和()23,++，单调减区间为()23,1−和()1,23+（2）a的范围是()0,+，证明见解析【解析】【分析】（1）1a=−求出导函数()fx，令()0

fx¢>、()0fx解不等式可得答案；（2）当0a=、0a讨论不符合题意；当0a时求出()fx得()fx在()0,1和()1,+均单调递增，当1x时，由()0eaf、()31e0+af得()fx在()1,+上有一个零点；当01x，()(

)312e0,e0e1aaaaff−−−=−，()fx在()0,1上有一个零点，所以a的范围是()0,+，可得11111ln2xxaax−=+，22211ln2xxaax−=+，再由1211lnln+++xaxa1211122=−+axx，(

)0fx=得()fx的两个零点12,xx，再利用基本不等式得121120xx−+可得答案.【小问1详解】()fx的定义域为()()0,11,+，当1a=−时，()1ln1xfxxx+=

+−，导函数()2241(1)xxfxxx−+−=，令()0fx¢>，得023x−或23x+；令()0fx，得2323x−+且1x；所以()fx的单调增区间为()0,23−和()23,++，单

调减区间为()23,1−和()1,23+；【小问2详解】当0a=时，()fx只有1个零点，不符合题意；当0<a时，若01x，则()0fx；若1x，则()0fx，不符合题意，所以0a.当0a时，()2120(1)afxxx−=+，所以()fx在()0,1和()1,+

均单调递增.当1x时，由()2e0e1aaaf=−−，()()()()()31313131313131e131e1e1elnee1e1aaaaaaaaaaf+++++++++−−+=−=−−()()()31313131313e1e12

e20e1e1aaaaaaaa+++++−−+−=−−，所以()fx在()1,+上有一个零点；当01x，同理()()312e0,e0e1aaaaff−−−=−，所以()fx在()0,1上有一个零点，所以a的范围是()0,+，因为()fx的两个零点为12,xx，所以

()1111ln1axxx+=−，即1112ln1axxax+=−，所以11111ln2xxaax−=+，同理，22211ln2xxaax−=+，所以1212121211111112lnln222xxxaxaaxa

xaxx−−+=+=−+++，若()0fx=，即()1ln01axxx+−=−，则()()1111lnln0111aaxxxfxxxx++−=−+=−=−−，所以()fx

的两个零点12,xx互为倒数，即211xx=，所以11211112xxxx+=+（等号不成立），所以121120xx−+，所以12121212111111120lnln222xxxaxaaxaxaxx−−+=+

=−+++，所以得证.【点睛】关键点点睛：第二问的关键点是利用导数判断出两个零点12,xx互为倒数，本题考查了学生的分析问题、解决问题以及运算能力，属于难题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号

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