【文档说明】【精准解析】专题51直线与椭圆-（文理通用）【高考】.docx，共(43)页，1.936 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-4d9c3a2db97a6234654b23acf35e4d61.html

以下为本文档部分文字说明：

专题51直线与椭圆最新考纲1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.重点难点突破【题型一】直线与椭圆的位置关系【典型例题】已知椭圆，直线，则椭圆C上的点到直线l的最大距离为（）A．B．C．D．2【解答】解：椭圆，

和直线，设椭圆上的点P（cosθ，sinθ），∴椭圆上的点P到直线l的距离：d，其中tanγ∴当cos（θ+γ）＝1时，椭圆上的点到直线l的距离取最大值：．故选：C．【再练一题】椭圆E：1的右焦点为F2，直线y＝x+m与椭圆E交于A，B两点，当△F2AB的周长最大值为8时，则m的

值为（）A．2B．C．3D．【解答】解：椭圆E：1的右焦点为F2，F1为左焦点，直线y＝x+m与椭圆E交于A，B两点，则△F2AB的周长l＝AB+F2A+F2B＝AB+2a﹣F1A+2a﹣F1B＝4a+（AB﹣F1A﹣F1B）由于F1A+F1B≥AB，∴当F1、A、B三点共线时，△

F2AB的周长最大，为4a＝8，则a＝2．椭圆的方程为：．∵直线直线y＝x+m经过左焦点（），∴m．故选：B．思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与

椭圆方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．【题型二】弦长及弦中点问题命题点1弦长问题【典型例题】已知椭圆的短轴长为2，且椭圆的一个焦点在圆（x﹣2）2+（y﹣3）2

＝18上．（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆的焦距小于4，过椭圆的左焦点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，若，求|AB|．【解答】解：（1）由题意可得2b＝2，即b＝1，∵椭圆的一个焦点在圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝18上，当y＝0时，解得x

＝﹣1或x＝5，∴c＝1或c＝5，当c＝1时，a2＝b2+c2＝2，此时椭圆方程为y2＝1，当c＝5时，a2＝b2+c2＝26，y2＝1，（2）椭圆的焦距小于4，则2c＜4，则c＜2，故c＝1，此时椭圆方程为y2＝1，此时椭圆的左焦点F（﹣

1，0），设直线l的方程为x＝my﹣1，由，消x可得（m2+2）y2﹣2my﹣1＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2，①，y1y2，②∵，∴（﹣1﹣x1，﹣y1）＝3（x2+1，y2），

∴y1＝﹣3y2，③，由①②③可得m2＝2，∴|AB|•••．【再练一题】已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，且其焦点和短轴端点都在圆C：x2+y2＝2上．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）点P是圆C上一

点，过点P作圆C的切线交椭圆E于A，B两点，求|AB|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵焦点和短轴端点都在圆C上，∴b＝c，∴a＝2，∵椭圆焦点在x轴上，∴椭圆方程为：；（Ⅱ）显然切线斜率不为0；当AB⊥x轴时，易得|AB|＝2；当AB有斜率时，设

其方程为y＝kx+m，（k≠0），则，得m2＝2k2+2，…①直线方程与椭圆方程联立消去y得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4＝0，x1+x2，x1x2，∴4x1x2②把①代入②得，，∴|AB||x1﹣x2|＝4＝4，∵44，∴|AB|，综上可知，|AB|≤2，故|AB|的最大值

为2．命题点2弦中点问题【典型例题】已知椭圆C：1（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），过点F的直线交椭圆于M．N两点且MN的中点坐标为（1，）．（1）求C的方程；（2）设直线，不经过点P（0，b）且与C相交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率的和为l，试判断直线，是否经过定

点，若经过定点，请求出该定点；若不经过定点，请给出理由．【解答】解：（1）设M（x1，y1）、N（x2，y2），则，两式相减得0，∴•，∵MN的中点坐标为（1，），且M，N，F，O共线，∴•，∴．∵a2＝b2+4，∴a2＝8，b2＝4，∴椭圆C的方程为1．

（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2）．①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+m，易知m≠2．将直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去y得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，由韦达定理得，x1+x2，x1x2．直线PA和直线PB的斜率之和

为kPA+kPB2k+（m﹣2）（）＝1．化简得（2k﹣1）x1x2+（m﹣2）（x1+x2）＝0，即（2k﹣1）•（m﹣2）（）＝0，由于m≠2，∴2k﹣1）（m+2）﹣2km＝0，∴m＝4k﹣2．∴直线l的方程为y＝kx+4k﹣2，直线l过定点（﹣4，﹣2）；②当直线l与x轴垂直时，设直线

l的方程为x＝n，此时点A与点B关于x轴对称，则y1+y2＝0，直线PA和直线PB的斜率之和为1，得n＝﹣4．此时，直线l也过点（﹣4，﹣2）．综上所述，直线l过定点（﹣4，﹣2）．【再练一题】已知中心在原点，一焦点为F（0，4）的椭圆被直线l：y＝3x﹣2截得的弦的中点横坐标为，求

此椭圆的方程．【解答】解：椭圆被直线l：y＝3x﹣2截得的弦的中点横坐标为，可得宗坐标为y，可得中点M．设椭圆标准方程为：1（a＞b＞0）．设直线l与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．则1，1，相减可得：0，又y1+y2＝﹣1，x1+x

2＝1，3，∴0，又a2﹣b2＝42，联立解得a2＝24，b2＝8．∴椭圆的标准方程为：．命题点3椭圆与向量等知识的综合【典型例题】已知点P是椭圆1上的动点，F1，F2是左、右焦点．点Q满足与是方向相同的向量，且||＝||．（1）求点Q的轨迹C的方程；（2）是否存在斜率为1的

直线l，使直线l与曲线C的两个交点A、B满足AF2⊥BF2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵F1，F2是左、右焦点．点Q满足与是方向相同的向量，且||＝||．∴|QF1|＝2a＝4，∵

F1（﹣1，0），∴点Q的轨迹C的方程是（x+1）2+y2＝16；（2）设斜率为1的直线方程为x﹣y+a＝0设A（x1，y1），B（x2，y2），与圆方程联立消去y，得方程2x2+（2a+2）x+a2﹣15＝0，∴△＝124+8a﹣4a2＞0．利用根与系数的关系，得到x1+x2＝﹣1﹣a，x1x2

（a2﹣15）①，若AF2⊥BF2，则可得1﹣（x1+x2）+x1x2+y1y2＝0，结合y1＝x1+a，y2＝x2+a，代入可得1+2x1x2+（﹣1+a）（x1+x2）+a2＝0②由①②联解可得a＝±，此时△＝124+8a﹣4a2＞0．∴a＝±，∴存在斜率为1的直线x﹣y±0，使

其与圆C交于A、B两点满足AF2⊥BF2．【再练一题】已知椭圆C：1（0＜b），斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，向量与向量（2，﹣1）共线．（Ⅰ）求b；（Ⅱ）点P（x0，y0）在椭圆上移动（直线

AB不过点P），且直线PA、PB分别与直线l：x＝2相交，交点记为M、N，试问M、N两点的纵坐标之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设直线AB：y＝x﹣c，联立椭圆方程得：（b2﹣2）x2﹣4c

x+2c2﹣2b2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得：x1+x2，x1•x2，∴（x1+x2，y1+y2）＝（，），而向量与向量（2，﹣1）共线，∴，∴b＝1．（Ⅱ）易得A（，）

，B（0，﹣1），设点P（x0，y0），则直线PB的方程：yx﹣1，令x＝2可得：yN，同理yM，∴yM•yN1．思维升华(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点

差法”解决，往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝1＋1k2[y1＋y22－4y1y2](k为直线斜率)．(3)利用公式计算直线

被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．【题型三】高考中求椭圆的离心率问题考点分析离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值

范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．基础知识训练1．【

湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试】已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为63，左、右焦点分别为1F、2F，A为相圆C上一点，1AF与y轴交于B，2||ABFB=，6||6OB=.（Ⅰ）求椭圆C的方程

；（Ⅱ）过右焦点2F的直线(2)(0)ykxk=−交椭圆于P、Q两点若PQ的中点为N，O为原点，直线ON交直线3x=于点M.求2||PQMF的最大值.【答案】（I）22162xy+=；（II）3【解析】（I）连接2AF，由题意得21||ABFBFB==，所以BO为12FAF的中

位线，又因为12BOFF⊥，所以212AFFF⊥，且2262||3bAFBOa===又63cea==，222abc=+，得26a=，22b=，故所求椭圆方程为22162xy+=.（II）联立22162(2)xy

ykx+==−，可得()222231121260kxkxk+−+−=.设()11,Pxy、()22,Qxy，则21221231kxxk+=+，212212631kxxk−=+，所以为()121224431kyykx

xkk−+=+−=+所以PQ的中点N坐标为22262,3131kkkk−++，222261||131kPQkk+=++因此直线ON的方程为13yxk=−，从而点M为13,k−，

2211MFk=+，设()()2222222241||31kkPQIMFk+==+，令231uk=+，则2(1)(2)83uuIu−+=216111322uu=−−−2161193416u=−−−，因此当4u=，即

1k=时2||PQMF取得最大值3.2．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟】动点(,)Mxy满足2222(22)(22)6xyxy−++++=.（1）求M点的轨迹并给出标准方程；（2）已知(22,0)D，直线l：22ykxk=−交M点的轨迹于A，

B两点，设ADDB=且12，求k的取值范围.【答案】（1）2219xy+=（2）7k或7k−.【解析】（1）解：M点的轨迹是以()22,0，()22,0−为焦点，长轴长为6的椭圆，其标准方程为2

219xy+=.（2）解：设()11,Axy，()22,Bxy，由ADDB=得12yy=−……①由12得0k，由22ykxk=−得22ykxk+=代入2219xy+=整理()22219420kykyk++−=……②显然②的判别式恒

成立，由根与系数的关系得1224219kyyk+=−+……③212219kyyk=−+……④由①③得()()1242119kyk=−+，()()2242119kyk=−−+代入④整理得()22323219112k+==−+−.设()12f

=+−，则由对勾函数性质知()f在()1,2上为增函数，故得()102f.所以21964k+，即k的取值范围是7k或7k−.3．【山东省日照市2019届高三5月校际联合考试】如图，已知椭圆()222210xyEabab+=：＞＞，()4,0A是长轴的一个端

点，弦BC过椭圆的中心O，且213213cosOACAOCOBBCBA=−=−，，．（1）求椭圆E的方程．（2）过椭圆E右焦点F的直线，交椭圆E于11,AB两点，交直线8x=于点M，判定直线11,,CACMCB的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．【答案】（1）22

11612xy+=；（2）是，理由见详解.【解析】（1）由2OCOBBCBA−=−，得2BACC=，即2OACC=，所以AOC是等腰三角形，又4aOA==，∴点C的横坐标为2；又21313cosOACA

=，，设点C的纵坐标为Cy，∴222213132Cy=+，解得3Cy=，应取(2,3)C，又点C在椭圆上，∴22222314b+=，解得212b=，∴所求椭圆的方程为2211612xy+=；（2）由题意知椭圆的右焦点为(2,0)F，(2

,3)C，由题意可知直线11,,CACMCB的斜率存在，设直线11AB的方程为(2)ykx=−，代入椭圆2211612xy+=并整理，得2222(34)1616480kxkxk+−+−=；设11(,)Axy，22(,)Bxy，直线11,,CACMCB的斜率分别为123,,kkk，则有212

21634kxxk+=+，2122164834kxxk−=+，可知M的坐标为(8,6)Mk；∴()()12121312122323332222kxkxyykkxxxx−−−−−−+=+=+−−−−1212124232142()xxkkxxxx+−=−•=−+−+，又263222

182kkk−=•=−−；所以1322kkk+=，即直线11,,CACMCB的斜率成等差数列．4．【江苏省南通市2019届高三模拟练习卷（四模)】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：22221xyab+=(a＞b＞0)经过点(

0，3−)，点F是椭圆的右焦点，点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F的直线l交椭圆于M，N两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）当MF＝2FN时，求直线l的方程；（3）若直线l上存在点P满足PM·PN＝PF2，且点P在

椭圆外，证明：点P在定直线上．【答案】（1）22143xy+=；（2）5250xy−=；（3）见解析.【解析】（1）设椭圆的截距为2c，由题意，b＝3，由点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c＝

2acc−，又a2＝b2+c2，联立解得a＝2，c＝1．∴椭圆C的标准方程为22143xy+=；（2）当直线l与x轴重合时，M（﹣2，0），N（2，0），此时MF＝3NF，不合题意；当直线l与x轴不重合时，设

直线l的方程为x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立22my1xy143x=++=，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0．△＝36m2+36（m2+4）＞0．122634myy

m+=−+①，1229yy3m4=−+②，由MF＝2FN，得y1＝﹣2y2③，联立①③得，1222126,3434mmyymm=−=++，代入②得，()22227293434mmm−=−++，解得25m5=．∴直线方程为5250xy−=；（3）当直线l的斜率为0时，则M（2，0），N（﹣

2，0），设P（x0，y0），则PM•PN＝|（x0﹣2）（x0+2）|，∵点P在椭圆外，∴x0﹣2，x0+2同号，又()()()()2220000PFx1,x2x2x1=−−+=−，解得052x=．当直线l的斜率不为0时，由（2）知，1212226m9yy,yy3m43m4+=−=−++，

22210200PM1myy,PN1myy,PF1my=+−=+−=+．∵点P在椭圆外，∴y1﹣y0，y2﹣y0同号，∴PM•PN＝（1+m2）（y1﹣y0）（y2﹣y0）＝()()221201201myyyy

yy+−++()()2222002269113434mmymymm=++−=+++，整理得032ym=，代入直线方程得052x=．∴点P在定直线52x=上．5．【吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟考试】已知椭圆()222

2:10xyEabab+=与y轴正半轴交于点()0,3M，离心率为12．直线l经过点()(),00Ptta和点()0,1Q．且与椭图E交于A、B两点（点A在第二象限）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若AP

PB=，当2303t时，求的取值范围．【答案】（1）22143xy+=（2）351,2+【解析】解析：（1）．由题意，12cea==且3b=，所以2a=，所以椭圆E的标准方程为22143xy+=．（2）．因为直线l经过点()(),00Ptta

和点()0,1Q，所以直线l的斜率为1t−，设1:1lyxt=−+，将其代入椭圆方程22143xy+=中，消去x得()22223463120tytyt+−+−=，当时，设()11,Axy、()22,Bxy，则2122634tyyt+=+……①，212231234ty

yt−=+……②因为APPB=，所以()()1122,,txyxty−−=−，所以12yy=−……③联立①②③，消去1y、2y，整理得()222124141t=+−−．当2303t时，

())2221241412,1t=+−+−，解3535,11,22−+由()2122261034tyyyt+=−=+且20y，故1，所以351,2+．6．【江苏省苏

州市2019届高三高考模拟最后一卷】已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为12，点P是椭圆C上的一个动点，且12PFF面积的最大值为3.（1）求椭圆C的方程；（

2）设斜率不为零的直线2PF与椭圆C的另一个交点为Q，且PQ的垂直平分线交y轴于点1(0,)8T，求直线PQ的斜率.【答案】（1）22143xy+=（2）12或32【解析】(1)因为椭圆离心率为12，当P为

C的短轴顶点时，12PFF△的面积有最大值3.所以222121232caabccb==+=，所以231abc===，故椭圆C的方程为:22143xy+=.（2）设直线PQ的方程为()1ykx=

−，当0k时，()1ykx=−代入22143xy+=，得:()22223484120kxkxk+−+−=.设()()1122,,,PxyQxy，线段PQ的中点为()00,Nxy，212024234xxkxk+==+，()1200231234yykykxk+−==−=+即22243,3434

kkNkk−++因为TNPQ⊥，则1TNPQkk=−，所以222314381443kkkkk−−+=−+，化简得24830kk−+=，解得12k=或32k=，即直线PQ的斜率为12或32.7．【山西省晋城市

2019届高三第三次模拟考试】已知ABC的周长为6，B，C关于原点对称，且(1,0)B−.点A的轨迹为.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若(2,0)D−，直线l：(1)(0)ykxk=−与交于E，F两点，若1DEk，k，1DFk成等差数列，求

的值.【答案】（Ⅰ）()221243xyx+=；（Ⅱ）2.【解析】（Ⅰ）依题意，(1,0)B−，(1,0)C，故2BC=，则42ABACBC+==，故点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆（不含左、右

两顶点），故的方程为221(2)43xyx+=.（Ⅱ）依题意，112DEDFkkk=+，故2DEDFkkkk=+.联立22(1)34120ykxxy=−+−=整理得()22223484120kxkxk+−+−=.设11(,)Exy，22(,

)Fxy，则2122834kxxk+=+，212241234kxxk−=+.故()()121222DEDFkxkxkkkkyy+++=+()()()()12122211kxkxkxkx++=+−−()()()1212123233221111xxxxxx+−=++=+

−−−−()()1212123221xxxxxx+−=+−++222222832342412813434kkkkkk−+=+−−+++()22222386822242412834kkkkk−−=+=+==−−++，则2=.8．【山东省泰安市教科研中

心2019届高三考前密卷】圆O：x2+y2＝9上的动点P在x轴、y轴上的射影分别是P1，P2，点M满足122133OMOPOP=+．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）点A（0，1），B（0，﹣3），过点B的直线与轨迹C交于

点S，N，且直线AS、AN的斜率kAS，kAN存在，求证：kAS•kAN为常数．【答案】（1）2214xy+=；（2）12【解析】（1）设P（x0，y0），M（x，y），则1OP＝（x0，0），2OP＝（0，y

0），由122133OMOPOP=+．得00002332133xxxxyyyy====代入x02+y02＝9，所以点M的轨迹C的方程为2214xy+=.（2）当SN的斜率不存在时，AS，A

N的斜率也不存在，故不适合题意；当SN的斜率存在时，设斜率为k，则直线SN的方程为y＝kx﹣3代入椭圆方程整理得（1+4k2）x2﹣24kx+32＝0，△＞0⇒k2＞2设S（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝22414kk+，x1x2＝

23214k+，则kAS•kAN＝()()()212121212121212kx4kx4kxx4kxx16y1y1xxxxxx−−−++−−==＝2222222322441632961664114143232214kkkk

kkkkk−+−++++==+，故kAS•kAN为常数12.9．【北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试】已知椭圆C的两个焦点分别为()()121,0,1,0FF−，长轴长为23．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程及离

心率；（Ⅱ）过点()0,1的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点M满足0MAMBMO++=，求证：由点M构成的曲线L关于直线13y=对称．【答案】（Ⅰ）22132xy+=，离心率33e=；（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）

由已知，得3,1ac==，所以1333cea===，又222abc=+，所以2b=所以椭圆C的标准方程为22132xy+=，离心率33e=.（Ⅱ）设()11,Axy，()22,Bxy，(),mmMxy，①直线l与x轴垂直时，点,AB的坐标分别为()0,2−，()0,2．因为(

)0,2mmMAxy=−−−，()0,2mmMBxy=−−，()0,0mmMOxy=−−，所以()3,30mmMAMBMCxy++=−−=uuuruuuruuurr．所以0,0mmxy==，即点M与原

点重合;②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为1ykx=+，由221321xyykx+==+得()2232630kxkx++−=，()22236123272240kkk=++=+．所以122632kxxk−+=+.则1224032yyk+=+，因为()11

,mmMAxxyy=−−，()22,mmMBxxyy=−−，(),mmMOxy=−−，所以()121203,030mmMAMBMOxxxyyy++=++−++−=uuuruuuruuurr．所以123mxxx+=，123myyy+=．2232mkxk−=+，243

032myk=+，消去k得()2223200mmmmxyyy+−=．综上，点M构成的曲线L的方程为222320xyy+−=对于曲线L的任意一点(),Mxy，它关于直线13y=的对称点为2,3Mxy−．把2,3Mxy−的坐标代入曲线L的方程的左端：222222224

4232243223203333xyyxyyyxyy+−−−=+−+−+=+−=．所以点M也在曲线L上．所以由点M构成的曲线L关于直线13y=对称.10．【北京市清华附中2017-2018学年高三数学十月月考】已知椭圆G：22221(0)

xyabab+=过点6(1,)3A和点(0,1)B−.（1）求椭圆G的方程；（2）设直线yxm=+与椭圆G相交于不同的两点M，N，记线段MN的中点为P，是否存在实数m，使得BMBN=？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由【答案】（1）2213xy

+=（2）不存在【解析】（1）椭圆G：22221(0)xyabab+=过点61,3A和点(0,1)B−，所以1b=，由2263111a+=，解得23a=，所以椭圆G：2213xy+=.（2）假设

存在实数m满足题设，由2213yxmxy=++=，得()2246310xmxm++−=，因为直线与椭圆有两个交点，所以()22364810mm=−−，即24m，设MN的中点为(,)PPPxy，Mx，

Nx分别为点M，N的横坐标，则324MNpxxmx+==−，从而4ppmyxm=+=，所以143pBPpymkxm++==−，因为BMBN=，所以BPMN⊥，所以1BPMNkk=−，而1MNk=，所以413mm

+−=−，即2m=，与24m矛盾，因此，不存在这样的实数m，使得BMBN=.11．【重庆一中2019届高三下学期5月月考】已知点)1,0(−D，过点D作抛物线1C：22(0)xpyp=的切线l，切点A在第二象限.（1）求切点A的纵坐标；（2）

有一离心率为22的椭圆2C：22221(0)xyabab+=恰好经过切点A，设切线l与椭圆2C的另一交点为点B，记切线l、OA、OB的斜率分别为k、1k、2k，若124kkk+=，求椭圆2C的方程.【答案】(1)01y=.(2)22142xy+=.【解析】（1）设切点00(,)Ax

y则有2002xyp=，由切线l的斜率为0xkp=，得l的方程为2002xxyxpp=−，又点)1,0(−D在l上，所以2012xp=，即01y=，所以点A的纵坐标01y=.由（1）得(2,1)Ap−，切线斜率2kp=−，设11(,)Bxy，切线方程为1ykx=−，由22=e得2212ca=，

又222cab=−，所以222ba=，所以椭圆方程为122222=+bybx，由222122ykxxyb=−+=得()222124220kxkxb+−+−=，∴012412kxxk+=+，20122212bxxk−=+，又因为124

kkk+=，即0100110101yxyxyyxxxx++=()()()1001100101112xkxxkxxxkxxxx−+−+==−2222421222422112kkkkkkbbk+=−=−=−−+，解得22b=，所以2224ab

==，所以椭圆方程为22142xy+=.12．【2019年江苏省高考】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:22221(0)xyabab+=的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:222(1)4xya−+=交于点A

，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=52．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．【答案】（1）22143xy+=；（2）3(1,)2E−−.【解析】（1）设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F

1F2=2，c=1.又因为DF1=52，AF2⊥x轴，所以DF2=222211253()222DFFF−=−=，因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3.因此，椭圆C的标准方程为2214

3xy+=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C：22143xy+=，a=2，因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16，解得y=±4.因为点A在x轴上方，所以A(1，4).又F1(-1，0

)，所以直线AF1：y=2x+2.由()2222116yxxy=+−+=，得256110xx+−=，解得1x=或115x=−.将115x=−代入22yx=+，得125y=−，因此1112(,)

55B−−.又F2(1，0)，所以直线BF2：3(1)4yx=−.由223(1)4143yxxy=−+=，得276130xx−−=，解得1x=−或137x=.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以1x=−.将1x=−代入3(1)

4yx=−，得32y=−.因此3(1,)2E−−.解法二：由（1）知，椭圆C：22143xy+=.如图，连结EF1.因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，从而∠BF1E=∠B.因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥

F2A.因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.因为F1(-1，0)，由221143xxy=−+=，得32y=.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以32y=−.因此3(1,)2E−−.13．【湖北省十堰市2019年高三年级四月调研考试】已知椭圆

2222:1(0)xyCabab+=的离心率为32，F是椭圆C的一个焦点．点(02)M,，直线MF的斜率为63．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M的直线l与椭圆C交于AB，两点，线段AB的中点为N，且ABMN＝．求l的方程．【答案】（1）22182xy+=；（2）2

22yx=+【解析】（1）由题意，可得32263cac==，解得226ac==，则222=2bac=-，故椭圆C的方程为22182xy+=．（2）当l的斜率不存在时，42=2ABMNABMN=，，，不合题意，故l的斜率存在．设l的方程为2ykx=+，联立2

21822xyykx+==+，得22(14)1680kxkx+++＝，设1122(()AxyBxy，)，，，则12122216k8,14k14kxxxx+=−=++，()222(16)3214128320kkk=−+=−即214k，设00()Nxy，，则120282

14xxkxk+==−+，22120||||,110ABMNkxxkx=+−=+−则()2121204xxxxx+−=，即22284241||1414kkkk−=++整理得21124k=．故22k=，l的方程为222yx=+．14

．【安徽省定远重点中学2019届高三下学期第三次模拟考试】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22xCy13+=：，如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于两点A，B，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x＝﹣3于点D（﹣3，m）．（1）求m2+k2的最小值；

（2）若|OG|2＝|OD|•|OE|，求证：直线l过定点．【答案】（1）2；（2）见解析【解析】（1）设直线l的方程为y＝kx+t（k＞0），由题意，t＞0，由方程组22ykxtxy13=++=，得（3k2+1

）x2+6ktx+3t2﹣3＝0，由题意△＞0，所以3k2+1＞t2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系得1226ktxx3k1+=−+，所以1222tyy3k1+=+，由于E为线段AB的中点，因此EE2

23kttxy3k13k1，=−=++，此时EOEEy1kx3k==−，所以OE所在直线的方程为1yx3k=−，又由题意知D（﹣3，m），令x＝﹣3，得1mk=，即mk＝1，所以m2+k2≥2mk＝2，当且仅当m＝k

＝1时上式等号成立，此时由△＞0得0＜t＜2，因此当m＝k＝1且0＜t＜2时，m2+k2取最小值2．（2）证明：由（1）知D所在直线的方程为1yx3k=−，将其代入椭圆C的方程，并由k＞0，解得223k1G3

k13k1−++，，又223ktt1ED3k3k13k1，，，−−++，由距离公式及t＞0得22222223k19k1|OG|()()3k13k13k1+=−+=+++，()22219k1OD3kk+=−+=，2222223kt

tt9k1OE3k13k13k1+=−+=+++，由|OG|2＝|OD|•|OE|，得t＝k，因此直线l的方程为y＝k（x+1），所以直线l恒过定点（﹣1，0）．15．【西藏拉萨市2019届

高三第三次模拟考试】已知点()1,0F，动点P到直线2x=的距离与动点P到点F的距离之比为2.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F作任一直线交曲线C于A，B两点，过点F作AB的垂线交直线2x=于点N，求证：ON平分线

段AB.【答案】（1）2212xy+=（2）见证明【解析】（1）设(),Pxy，由动点P到直线2x=的距离与动点P到点F的距离之比为2，则()22221xxy−=−+，化简得2212xy+=.（2）设AB的直线方程为1xmy=+，则NF的直线方

程为()1ymx=−−，联立()12ymxx=−−=，解得()2,Nm−，∴直线ON的方程为2myx=−，联立22112xmyxy=++=得()222210mymy++−=，设()11,Axy，()22,Bxy，则12222myym+=−

+，设AB的中点为()00,Mxy，则120222yymym+==−+，∴002212xmym=+=+，∴222,22mMmm−++，将点M坐标代入直线ON的方程222222mmymm=−=−++，∴点M在直线ON上，∴ON平分线段AB.能力提升训练1．【安徽省蚌埠市2

019届高三年级第三次教学质量检查】已知点，是平面内一动点，可以与点重合.当不与重合时，直线的斜率之积为.（1）求动点的轨迹方程；（2）一个矩形的四条边与动点的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）当与点不重合时，，得，即，当与点重合时，.

综上，动点的轨迹方程为.（2）记矩形面积为，当矩形一边与坐标轴平行时，易知.当矩形各边均不与坐标轴平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为，则对边方程为另一边所在的直线为，则对边方程为，联立：，得，则，即.矩形的一边长为，同理：

，矩形的另一边长为，，综上：.2．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷】已知椭圆的左、右焦点为，点在椭圆上.（1）设点到直线的距离为，证明：为定值；（2）若是椭圆上的两个动点（都不与重合），直线的斜率互为相反数，求直线的斜率（结果用表示）【

答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）由已知，得，所以，即因为点在椭圆上，所以，即又所以为定值.（2）当时，则，直线的斜率一定存在.设，直线的斜率为，则的方程为，即，与椭圆的方程，联立组成方程组，消去，整理得由韦达定理，得

，于是根据直线的斜率为，将上式中的代替，得于是注意到，于是因此，直线的斜率为3．【江西省宜春市2019届高三4月模拟】已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为长为半径的圆与直线相切，过点的直线与椭圆相交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）若原点在以线段为直径的圆内，求直线

的斜率的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】解（1）由可得，又.故椭圆的方程为.（2）由题意知直线方程为.联立.由，得.①设，则..原点在以线段为直径的圆外，，②由①②，解得.当原点在以线段为直径的圆外时，直线的斜率.4．【北京市房山区2019年高考第一次模拟测试】已知椭圆的离心

率为，左顶点为A，右焦点为F，且|AF|=3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点F做互相垂直的两条直线l1，l2分别交直线l：x=4于M，N两点，直线AM，AN分别交椭圆于P，Q两点，求证：P，F，Q三点共线．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意：，得b2=a2-

c2=3，所以椭圆的方程是．（Ⅱ）由题意可知，直线l1，l2的斜率均存在且不为0，A（-2，0），F（1，0），设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1•k2=-1．直线l1的方程为y=k1（x-1），则M点坐标为（4，3k1），得，设直线AM的方程为，由得：因

为x=-2是方程的根，所以．同理可得．当，即时，可得，又F（1，0），所以P，F，Q三点共线；当，即时，，，得kQF=kPF，所以P，F，Q三点共线；综上所述：P，F，Q三点共线.5．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模】椭圆的离心率，过点的直线与原点间的距离为.（1）

求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，且点位于第一象限，当时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）据题知，直线的方程为.依题意得.解得，所以椭圆的方程为.（2）设），设直线的方程为.代入椭圆方程整理得

：∴.①由，依题意可得：，②结合①②得，消去解得（不合题意）.所以直线的方程为.6．【辽宁省辽阳市2019届高三下学期一模】设D是圆O：x2+y2＝16上的任意一点，m是过点D且与x轴垂直的直线，E是直线m与x轴的交点，点Q在直线m

上，且满足2|EQ|3=|ED|．当点D在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程．（2）已知点P（2，3），过F（2，0）的直线l交曲线C于A，B两点，交直线x＝8于点M．判定直线PA，PM，PB的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由．【答案】（1）221612xy

+=1，（2）成等差数列【解析】解：（1）设Q（x，y），D（x0，y0），∵2|EQ|3=|ED|，Q在直线m上，∴x0＝x，|y0|＝|23y|．①∵点D在圆x2+y2＝16上运动，∴x02+y02＝16，将①式代入②

式即得曲线C的方程为x243+y2＝16，即221612xy+=1，（2）直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，证明如下：由（1）知椭圆C：3x2+4y2＝48，直线l的方程为y＝k（x﹣2），代入椭圆方程并整理，

得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线PA，PM，PB的斜率分别为k1，k2，k3，则有x1+x2221634kk=+，x1x222164834kk−=+，可知M的坐标为（8，6k）．∴k1+k3()()1212121

22323332222kxkxyyxxxx−−−−−−=+=+−−−−＝2k﹣3•()121212442xxxxxx+−=+−+2k﹣3•1236−=−2k﹣1，2k2＝2•6382k−=−2k﹣1．∴k1+k3＝2k2

．故直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．7．【天津市部分区2019年高三质量调查试题（二)】已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的一个焦点为1(1,0)F−，上顶点为1B，原点O到直线11BF的距离为32.(1)求椭圆C的标准方程；(

2)若点T在圆222xy+=上，点A为椭圆的右顶点，是否存在过点A的直线l交椭圆C于点B（异于点A），使得14()7OTOAOB=+成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22143xy+=(2)存在满足条件的直线l，其方程为()322yx

=−.【解析】解：（1）由椭圆的一个焦点为()11,0F−知:1c=，即221ab−=.①.又因为直线11BF的方程为0bxyb−+=，即2321bb=+，所以3b=.由①解得24a=.故所求椭圆C的标准方程为22143xy+=.（2）假设存在过点A的直线l适合题意，则结合图形易

判断知直线l的斜率必存在，于是可设直线l的方程为()2ykx=−，由()221432xyykx+==−，得()2222341616120kxkxk+−+−=.（*）因为点A是直线l与椭圆C的一个交点，且2Ax=所以22161234

ABkxxk−=+，所以228634Bkxk−=+，即点2228612,3434kkBkk−−++.所以2221612,3434kkOAOBkk+=−++，即222141612,73434kkOTkk=−++.因

为点T在圆222xy+=上，所以2222221612273434kkkk+−=++，化简得42488210kk−−=，解得234k=，所以32k=.经检验知，此时（*）对应的判别式0，满足题意.故存在满足条件的直线l，其方程为()322yx

=−.8．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试】已知椭圆的离心率为，直线被圆截得的弦长为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标和的值

；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵椭圆的离心率为，∴,∵圆的圆心到直线的距离为,∴直线被圆截得的弦长为.解得，故，∴椭圆的方程为.（2）设，当直线轴不重合时，设的方程：.由，∴，，当，即时，的值与无关，

此时.当直线轴重合且时，.∴存在点，使得为定值.9．【福建省泉州市2019届高三第二次（5月)质检】已知椭圆E的左、右焦点分别为()(),0,,0AcBc−（0c）．点M在E上，MBAB⊥，△MAB的周长为6，面积为32c．（1）求E的方程；（2）过A的直线l与E交于,P

Q两点，以,PQ为直径的圆与直线MB相切，求直线l的方程．【答案】（1）22143xy+=（2）()612lyx=+：【解析】（1）设椭圆2222:1(0)xyEabab+=，依题意知△MAB的

周长为6，得226ac+=，…①又因为MBAB⊥，所以2=bMBa，所以△MAB的面积()21132222bSABMBcca===，所以232ba=，即2232aca−=…②，联立①②解得2,1ac==，则2223bac=−=，所以E的方程为

22143xy+=．（2）当直线l斜率为0时，不满足题意．设直线l的方程为1xmy=−，()()1122,,,PxyQxy，由221,1,43xmyxy=−+=消去x，得()2234690mymy+−−=，

从而12122269,3434myyyymm−+==++，所以()()()22222121221211211+4PQxxyymyymyyyy=−+−=+−=+−222263613434mmmm=++++2211234mm+=+，设以,PQ为直径的圆的圆心(),N

NNxy，半径为r，则22116234mrPQm+==+，又1223234Nyymym+==+，24134NNxmym−=−=+,又因为圆N与直线MB相切，则1Nxr−=，即22241163434mmm−+−=++，解得

63m=．所以直线l的方程为613lxy=−：，即()612lyx=+：10．【河北省唐山市第一中学2019届高三下学期冲刺（二)】已知椭圆方程为22221(0)xyabab+=，其右焦点F与抛物线243yx=的焦点重合，过F且垂直于抛物线对称轴的直

线与椭圆交于M、N两点，与抛物线交于C、D两点．||43||CDMN=（1）求椭圆的方程；（2）若直线l与(1)中椭圆相交于A,B两点,直线OA,l,OB的斜率分别为1k,k,2k(其中k0)，且1k,k,2k成

等比数列；设OAB的面积为S,以OA、OB为直径的圆的面积分别为1S,2S,求12SSS+的取值范围.【答案】(1)2214xy+=(2)5π[)4+，【解析】（1）由抛物线方程得()3,0F，椭圆方程为22221(0)xyabab+=，过F垂直于抛物线对称轴的直线

与椭圆交于M,N两点，可得22||bMNa=，与抛物线交于C,D两点可得43CD=，22434322CDabbMNa===，223ab−=，21ab==，所以椭圆方程为2214xy+=.(2)设直线的方程

为()()1122,,,,ykxmAxyBxy=+，由2214ykxmxy=++=可得()()222148410kxkmxm+++−=，由韦达定理：()()221222122161408144114kmkmx

xkmxxk=+−+=−+−=+，∵1k，k，2k构成等比数列，1222112yxkxkky==()()1212kxmkxmxx++=，即()2120kmxxm++=由韦达定理代入化简得：2

14k=，∵0k，12k=．此时()21620m=−，即()2,2m−．又由AOB、、三点不共线得0m，从而()()2,00,2m−．故2122111221mSABdkxxk==+−+()2212121422xxxxmmm=+−=−∵22221212144xxyy+

=+=，122xxm+=−，21222xxm=−，则()222222121122123324444SSxyxyxx+=+++=++()212123521624xxxx=+−+=为定值．()12222

51515444222SSSmmmm+==−+−…，当且仅当222−=mm即1m=时等号成立．综上：12SSS+的取值范围是5π4+，．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com