【文档说明】江苏省泰兴市第三高级中学虹桥校区2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题含解析.doc，共(22)页，2.545 MB，由小赞的店铺上传

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泰兴市第三高级中学虹桥校区2020-2021高一数学期中试卷总分150分时间120分钟20210426一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.复数113i−的虚部是()A

.310−B.110−C.110D.3102.化简2cos822sin81+−+=()A.2sin4B.2sin4−C.2cos4D.2cos4−3.在ABC中,,,abc为角,,ABC的对边,且2bac=,则B的取值范围是()A.0,3B.,3C.0,6

D.,64.ABC的三边长分别为7,5,6ABBCCA===,则ABBC的值为()A.19B.14C.18−D.19−5.在ABC△中,角,,ABC的对边分别为,,abc,向量(3,1)m=−,(cos,sin)nAA=,若mn⊥,且coscossinaBb

AcC+=,则角,AB的大小为()A.,63B.2,36C.,36D.,336.已知正三角形ABC的边长为1,设,,ABcBCaCAb===,那么abbcca++的值是()A.32B.32−C.12D.12−7.我国古代人民早在几千年以前就已经

发现并应用勾股定理了,勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”.如图,大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的,若,ABaADb==,E为BF的中点,则AE=()A.4255ab+B.2455ab+C.4233ab+D.24

33ab+8.下列关于函数2()12sin()4fxx=−−的说法错误．．的是()A.最小正周期为B.最大值为1,最小值为1−C.函数图象关于直线0x=对称D.函数图象关于点(,0)2对称二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合

题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9.已知是锐角,那么下列各值中sincos+不能．．取得的值是()A.43B.34C.53D.1210.设向量(,2),(1,1)akb==−,则下列叙述错误．．的是()A.若2k,则a与b的夹角为钝角B.a的最小值为2C.与b共线的单位向量只有

一个为22(,)22−D.若2ab=,则22k=或22−11.下面关于复数的四个说法中,结论正确．．的是()A.若复数zR,则zRB.若复数z满足2zR,则zRC.若复数z满足1Rz,则zRD.若复数12,zz满足12,zzR,

则12zz=12.在三角形ABC中,下列说法正确．．的有()A.若30,4,5Aba===,则三角形ABC有两解B.若0tantan1AB,则ABC△一定是钝角三角形C.若cos()cos()co

s()1ABBCCA−−−=,则ABC△一定是等边三角形D.若coscosabcBcA−=−,则ABC△一定是等腰三角形三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第15题共有2空，第1个空2分，第2个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13.在

ABC△中,若2,120bA==,三角形的面积3S=,则三角形外接圆的半径为________.14.在ABC△中,设边,,abc所对的角为,,ABC,若1cos,62Aa==,则bc的最大值为________.15.若点M是ABC△所在平面内的一点,且满足

30AMABAC−−=,则ABM△与ABC△的面积之比为________.16.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”,设ABC△的三个内角,,ABC的对边分别为,,abc,面积为S,则“三斜求积”公式为_______

___________________.若2sin2sinaCA=,()22423acb+=++,则用“三斜求积”公式求得ABC△的面积_____.四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知复数2

:(1)(23)zmmmmi−++−,当m取何值时复数z是:(1)实数;(2)纯虚数;(3)25zi=+.18.已知ABC△的内角,,ABC的对边分别为,,abc,向量(sin,),(1,sin)mAanB==.(1)当2sinmnA=时,求b的值;(2)当//mn且1cos2Ca=时

,求tantanAB的值.19.在ABC△中,2222acbac+=+.(1)求B的大小;(2)求2coscosAC+的最大值.20.在ABC△中,角,,ABC的对边分别为,,abc,已知3,2,45acB=

==.(1)求sinC的值;(2)在边BC上取一点D,使得4cos5ADC=−,求tanDAC的值.21.在某次地震时,震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市,,BCD.已知,BC两城

市相距20km,,CD两城市相距34km,C市在,BD两市之间,如图所示,某时刻C市感到地表震动,8s后B市感到地表震动,20s后D市感到地表震动,已知震波在地表传播的速度为每秒1.5km.求震中A到,,BCD三市的距离.22.在①coscos2cosaBbAcC+=;②2

sincossin23aABbAa+=;③ABC△的面积为S,且22243()Sabc=+−,这三个条件中任意选择一个,填入下面的问题中,并求解.在锐角ABC△中,角,,ABC所对的边分别为,,abc,___

_____,函数2()23sincos2cosfxxxx=+的最小正周期为,c为()fx在0,2上的最大值,求ab−的取值范围.注:如果选择多个条件分别解答,那么按第一个解答计分.泰兴市第三高级中学虹桥校区2020-2021高一数学期中试卷答案

总分150分时间120分钟20210426一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.复数的虚部是()A.-B.-C.D.【解析

】选D.因为==+i,所以复数的虚部为.2.化简-2=()A.2sin4B.-2sin4C.2cos4D.-2cos4【解析】选A.原式=-2=2|cos4|-2|sin4+cos4|,因为π<4<,所以cos4<0,sin4+cos4<0.所以

原式=-2cos4+2(sin4+cos4)=2sin4.3.在△ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,且b2=ac,则B的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选A.cosB==+≥,因为0<B<π,所以B∈.4.△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5

,CA=6,则·的值为()A.19B.14C.-18D.-19【解析】选D.由余弦定理的推论知cosB==,所以·=||·||·cos(π-B)=7×5×=-19.5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量

m=(,-1),n=(cosA,sinA),若m⊥n,且acosB+bcosA=csinC,则角A,B的大小为()A.,B.,C.,D.,【解析】选C.因为m⊥n,所以cosA-sinA=0,所以tanA=,则A=.由正弦定理得:sinAcosB+sinBcosA=sin2C

,所以sin(A+B)=sin2C,所以sinC=sin2C.因为0<C<π,sinC≠0,所以sinC=1,所以C=,所以B=.6.已知正三角形ABC的边长为1,设=c,=a,=b,那么a·b+b·c+c·a的值是()A.B.-C

.D.-【解析】选B.因为a+b+c=0,所以(a+b+c)2=0,即|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+b·c+c·a)=0,所以3+2(a·b+b·c+c·a)=0,所以a·b+b·c+c·a=-.7.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股

定理了,勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”.如图,大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的,若=a,=b,E为BF的中点,则=

()A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b【解题指南】建立平面直角坐标系.不妨设AB=1,BE=x,则AE=2x.利用勾股定理可得x,通过Rt△ABE的边角关系,可得E的坐标,设=m+n,通过坐标运算性质即可得出.【解析】选A.如图所示,建立平面直角坐标系.不妨设AB=1,BE=x,则AE=2x

.所以x2+4x2=1,解得x=.设∠BAE=θ,则sinθ=,cosθ=.所以xE=cosθ=,yE=sinθ=.设=m+n,则=m(1,0)+n(0,1).所以m=,n=.所以=a+b.8.下列关于函数f(x)=1-2sin2的说法错误的是()A.最小正周期为πB.最大值为1,最

小值为-1C.函数图象关于直线x=0对称D.函数图象关于点对称【解析】选C.函数f(x)=1-2sin2=cos=sin2x,函数的最小正周期T=π,A正确.最大值为1,最小值为-1,B正确.由2x=kπ+⇒x=+,k∈Z,得函数图象关于

直线x=+,k∈Z对称,C不正确.由2x=kπ⇒x=,k∈Z,得函数图象关于点,k∈Z对称,D正确.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答

案添涂在答题卡相应位置上）9.已知θ是锐角,那么下列各值中sinθ+cosθ不能取得的值是()A.B.C.D.【解析】选BCD.因为0<θ<,所以θ+∈,所以<sin≤1,又sinθ+cosθ=sin,所以1<sinθ+cosθ≤.10.设向

量a=,b=,则下列叙述错误的是()A.若k<2,则a与b的夹角为钝角B.的最小值为2C.与b共线的单位向量只有一个为D.若=2,则k=2或-2【解析】选ACD.对于选项A,若a与b的夹角为钝角,则a·b<0且a与b不共线,则k-2<0且-k≠2,解得k<2且k≠-2,故选项A不

正确,符合题意;对于选项B,=≥2,当且仅当k=0时,等号成立,故选项B正确,不符合题意;对于选项C,=,与b共线的单位向量为±,即与b共线的单位向量为或,故选项C错误,符合题意;对于选项D,=2=2,即=2,解得k=±2,故选项D错误,符合题意.11.下面关

于复数的四个说法中,结论正确的是()A.若复数z∈R,则∈RB.若复数z满足z2∈R,则z∈RC.若复数z满足∈R,则z∈RD.若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=【解析】选AC.A选项,设复数z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi(a,b∈

R),因为z∈R,所以b=0,因此=a∈R,即A正确;B选项,设复数z=a+bi(a,b∈R)则z2==a2-b2+2abi,因为z2∈R,所以ab=0,若a=0,b≠0,则z∉R,故B错;C选项,设复数z=a+bi(a,b∈R),则===-i,因为∈R,

所以=0,即b=0,所以z=a∈R,故C正确;D选项,设复数z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),则z1z2==+i,因为z1z2∈R,所以ad+bc=0,若能满足ad+bc=0

,但z1≠,故D错误.12.在三角形ABC中,下列说法正确的有()A.若A=30°,b=4,a=5,则三角形ABC有两解B.若0<tanA·tanB<1,则△ABC一定是钝角三角形C.若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则△ABC一定是等边三角形D.若a-b=c·cosB-c

·cosA,则△ABC一定是等腰三角形【解析】选BC.因为A=30°,b=4,a=5,所以由正弦定理得sinB==,因为b<a,所以B只有一个解,故A错误.由0<tanA·tanB<1,得0<<1,所以cosAcosB-sinAsinB>0,即cos(A+B)>0,

所以A+B<,所以C=π-A-B>,故△ABC一定是钝角三角形,故B正确.因为cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,所以cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1,所以A=B=C=60°,故C正确.因为a-b=c·cosB-c·cosA,所以sinA-sinB=s

inCcosB-sinCcosA,所以sinA-sinCcosB=sinB-sinCcosA,因为sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以sinBcosC=sinAco

sC,所以cosC=0或sinA=sinB,所以C=或A=B,所以△ABC的形状是等腰或直角三角形.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第15题共有2空，第1个空2分，第2个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填

写在答题卡相应位置上）13.在△ABC中,若b=2,A=120°,三角形的面积S=,则三角形外接圆的半径为________.【解析】在△ABC中,因为b=2,A=120°,三角形的面积S==bc·sinA=c·,所以c

=2=b,故B=C=(180°-A)=30°,再由正弦定理可得=2R==4,所以三角形外接圆的半径R=2.答案:214.在△ABC中,设边a,b,c所对的角为A,B,C,若cosA=,a=,则bc的最大值为________.【解析】

根据题意,在△ABC中,若cosA=,a=,则a2=b2+c2-2bccosA,即b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=6,又由(b+c)2≥4bc,则有4bc-3bc=bc≤6,即bc的最大值为6.答案:615.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满

足3--=0,则△ABM与△ABC的面积之比为________.【解析】如图,D为BC边的中点,则=(+).因为3--=0,所以3=2,所以=,所以S△ABM=S△ABD=S△ABC.答案:1∶316.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”,设△ABC的

三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,则“三斜求积”公式为________.若a2sinC=2sinA,(a+c)2=4+2+b2,则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为________.【解析】由余弦

定理得cosB=,所以sinB==,所以S△ABC=acsinB=ac·=.因为a2sinC=2sinA,所以a2c=2a,即ac=2,又因为(a+c)2=4+2+b2,所以c2+a2-b2=2,S===.答案:S=四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题

卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知复数z:m(m-1)+(m2+2m-3)i,当m取何值时复数z是:(1)实数;(2)纯虚数;(3)z=2+5i.【解析】(1)因为z为实数,所以m2+2m-3=0,解得m=-3或m=1,所以当m=-3或m=1时,

z为实数;(2)由z为纯虚数,可得即解得m=0,所以当m=0时,z为纯虚数;(3)因为z=2+5i,所以m(m-1)+(m2+2m-3)i=2+5i,所以解得m=2,所以当m=2时z=2+5i.18.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为

a,b,c,向量m=(sinA,a),n=(1,sinB).(1)当m·n=2sinA时,求b的值;(2)当m∥n且cosC=a时,求tanA·tanB的值.【解析】(1)由题意得m·n=sinA+asinB=2sinA,即=.由正弦定理得=,由以

上两式可知b=1.(2)由平行条件得a=sinA·sinB,cosC=-cos=sinAsinB-cosAcosB=a,则可得到cosAcosB=a,所以tanAtanB==2.19.在△ABC中,a2+c2=b2+ac.(1)求B的大小;(2)求cosA+cosC的最大值.【解析】(1)由余弦

定理得,b2=a2+c2-2accosB.代入已知得,cosB=.因为B∈(0,π),所以B=.(2)cosA+cosC=cosA+cos(π-B-A)=cosA+cos=cosA+sinA=sin,因为B=,所以A∈,A+∈.当A+

=,即A=时,sin取得最大值1.即cosA+cosC的最大值为1.20.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=,B=45°.(1)求sinC的值;(2)在边BC上取一点D,使得cos∠ADC=-,求tan∠DAC的

值.【解析】(1)由余弦定理,得cosB=cos45°===,因此b2=5,即b=,由正弦定理=,得=,因此sinC=.(2)因为cos∠ADC=-,所以sin∠ADC==,因为∠ADC∈,所以C∈,所以cosC==,所

以sin∠DAC=sin(π-∠DAC)=sin(∠ADC+∠C)=sin∠ADCcosC+cos∠ADCsinC=,因为∠DAC∈,所以cos∠DAC==,故tan∠DAC==.21.在某次地震时,震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座

东西方向的城市B,C,D.已知B,C两城市相距20km,C,D两城市相距34km,C市在B,D两市之间,如图所示,某时刻C市感到地表震动,8s后B市感到地表震动,20s后D市感到地表震动,已知震波在地表传播的速度为每秒1.5km.求震中A到B,C

,D三市的距离.【解析】在△ABC中,由题意得AB-AC=1.5×8=12(km).在△ACD中,由题意得AD-AC=1.5×20=30(km).设AC=xkm,AB=(12+x)km,AD=(30+x)km.在△ABC中,cos∠ACB===,在△ACD中,c

os∠ACD===.因为B,C,D在一条直线上,所以=-,即=,解得x=.所以AB=km,AD=km.即震中A到B,C,D三市的距离分别为km,km,km.22.在①acosB+bcosA=2ccosC;②

2asinAcosB+bsin2A=a;③△ABC的面积为S,且4S=(a2+b2-c2),这三个条件中任意选择一个,填入下面的问题中,并求解.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,________,函数f=2s

inωxcosωx+2cos2ωx的最小正周期为π,c为f在上的最大值,求a-b的取值范围.注:如果选择多个条件分别解答,那么按第一个解答计分.【解析】函数f=2sinωxcosωx+2cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+1=2sin+1,函数f的最小正周期为π,则ω

=1,f=2sin+1,当x∈时,2x+∈,f=3,故c=3,若选①,acosB+bcosA=2ccosC,由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC,可得sin=sinC=2s

inCcosC,cosC=,又C为三角形内角,则C=,由正弦定理得===2,所以a=2sinA,b=2sinB,则a-b=2sinA-2sinB=2sinA-2sin=sinA-3cosA=2sin,因为A∈,A

-∈,故2sin∈.若选②,2asinAcosB+bsin2A=a,由正弦定理得2sin2AcosB+2sinBsinAcosA=sinA,2sinAcosB+2sinBcosA=2sin=2sinC=,sinC=,又C为三角形内角,则C=(C=舍去),由正弦定理得===2,所以a=2sinA,b

=2sinB,则a-b=2sinA-2sinB=2sinA-2sin=sinA-3cosA=2sin,因为A∈,A-∈,故2sin∈.若选③,△ABC的面积为S,且4S=(a2+b2-c2),可得2absinC=,sinC==cosC,tanC=,又C为三

角形内角,则C=,由正弦定理得===2,所以a=2sinA,b=2sinB,则a-b=2sinA-2sinB=2sinA-2sin=sinA-3cosA=2sin,因为A∈,A-∈,故2sin∈.