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第八章立体几何初步8.6空间直线、平面的垂直8.6.2直线与平面垂直课后篇巩固提升必备知识基础练1.若空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是()A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交答案C解析取BD的中点O

,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO,故BD⊥平面AOC,BD⊥AC.又BD,AC异面,故选C.2.△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是()A.相交

B.异面C.平行D.不确定答案C解析因为l⊥AB,l⊥AC且AB∩AC=A,所以l⊥平面ABC.同理可证,m⊥平面ABC,所以l∥m,故选C.3.(多选题)已知a,b是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列命题正确的是()A.若a⊥α,a⊥β,则

α∥βB.若a⊥α,b⊥α,则a∥bC.若a⊥b,b⊥α,a∥β,则α∥βD.若α∥β,a与α所成的角和b与β所成的角相等,则a∥b答案AB解析对于A,若a⊥α,a⊥β,由线面垂直的性质及面面平行的定义可得α∥β,

故A正确;对于B,若a⊥α,b⊥α,由线面垂直的性质定理可得a∥b,故B正确;对于C,若a⊥b,b⊥α,a∥β,则α与β可能平行,也可能相交,故C错误;对于D,若α∥β,a与α所成的角和b与β所成的角相等,则a与b可能平行、相交或异面,故

D错误.故选AB.4.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=√6,则PC与平面ABCD所成角的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°答案C解析如图,连接AC.∵PA⊥

平面ABCD,∴∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角.∵AC=√2,PA=√6,∴tan∠PCA=𝑃𝐴𝐴𝐶=√6√2=√3.∴∠PCA=60°.5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB,BC的中点,

O是底面ABCD的中心,则EF与平面BB1O的位置关系是.(填“平行”或“垂直”)答案垂直解析∵底面ABCD为正方形,∴AC⊥BO.∵BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥BB1.又BO∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1O.∵EF是△ABC的中

位线,∴EF∥AC,∴EF⊥平面BB1O.6.如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,底面ABC是正三角形,AA'⊥底面ABC,且AB=1,AA'=2,则直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为.答案√1510解析如图所示,取A'B'的中点D,连接C'D,BD.∵底面△A'B'C'是正三

角形,∴C'D⊥A'B'.∵AA'⊥底面ABC,∴A'A⊥C'D.又AA'∩A'B'=A',∴C'D⊥侧面ABB'A',故∠C'BD是直线BC'与平面ABB'A'所成角.等边三角形A'B'C'的边长为

1,C'D=√32,在Rt△BB'C'中,BC'=√𝐵'𝐵2+𝐵'𝐶'2=√5,故直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为𝐶'𝐷𝐵𝐶'=√1510.7.在三棱锥V-ABC中,当三条侧棱VA,VB,VC之间满足条件时,有VC⊥AB.(注:填上你认为正确的一种

条件即可)答案VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一,只要能保证VC⊥AB即可)解析只要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB;故只要VC⊥VA,VC⊥VB即可.8.如图,∠ACB=90°,平面ABC外有一点P,PC=4cm,点P

到角的两边AC,BC的距离都等于2√3cm,则PC与平面ABC所成角的大小为.答案45°解析过P作PO⊥平面ABC于点O,连接CO,则CO为∠ABC的平分线,且∠PCO为PC与平面ABC所成的角,设其为θ,连

接OF,易知△CFO为直角三角形.又PC=4,PF=2√3,∴CF=2,∴CO=2√2,在Rt△PCO中,cosθ=𝐶𝑂𝑃𝐶=√22,∴θ=45°.9.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥

平面ABCD,AP=AB=2,BC=2√2,E,F分别是AD,PC的中点.证明:PC⊥BE.证明如图,连接PE,EC,在Rt△PAE和Rt△CDE中,PA=AB=CD,AE=DE,所以PE=CE,即△PEC是等腰三角形.又因为F是PC的中点,所以EF⊥P

C.又因为BP=√𝐴𝑃2+𝐴𝐵2=2√2=BC,F是PC的中点,所以BF⊥PC.又因为BF∩EF=F,所以PC⊥平面BEF.因为BE⊂平面BEF,所以PC⊥BE.10.如图,在棱长均为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点.(1)求证:AD⊥平面BCC1B1;(2)

求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值.(1)证明在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AD,∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC.又BC∩BB1=B,∴AD⊥平面BCC1B1.(2)解连接C1

D.由(1)知AD⊥平面BCC1B1,则∠AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角.在Rt△AC1D中,AD=√32,AC1=√2,sin∠AC1D=𝐴𝐷𝐴𝐶1=√64,即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正

弦值为√64.关键能力提升练11.(多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论正确的是()A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的

角为60°答案ABC解析由于BD∥B1D1,BD⊄平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1,则BD∥平面CB1D1,所以A正确;因为BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1,所以AC1⊥BD,所以B正确;可以证明AC1⊥B

1D1,AC1⊥B1C,所以AC1⊥平面CB1D1,所以C正确;由于AD∥BC,则∠BCB1=45°是异面直线AD与CB1所成的角,所以D错误.12.(多选题)在正三棱锥A-BCD中,侧棱长为3,底面边长为2,E,F分别为棱AB,CD的中点,则下列结论中正确的是()A.EF与AD

所成角的正切值为32B.EF与AD所成角的正切值为23C.AB与面ACD所成角的余弦值为7√212D.AB与面ACD所成角的余弦值为79答案BC解析设AC中点为G,BC的中点为H,连接EG,FG,AH,DH.因为

AE=BE,AG=GC,CF=DF,所以EG∥BC,FG∥AD.所以∠EFG就是直线EF与AD所成的角.在三角形EFG中,EG=1,FG=32,由于三棱锥A-BCD是正三棱锥,BC⊥DH,BC⊥AH,又因为AH,HD⊂平面ADH,AH∩DH=H

,所以BC⊥平面ADH.因为AD⊂平面ADH,所以BC⊥AD,所以EG⊥FG,所以tan∠EFG=𝐸𝐺𝐹𝐺=132=23,所以A错误,B正确.过点B作BO垂直AF,垂足为O.因为CD⊥BF,CD⊥AF,BF∩AF=F,BF,AF⊂平面ABF,所以

CD⊥平面ABF.因为BO⊂平面ABF,所以CD⊥BO.因为BO⊥AF,AF∩CD=F,AF,CD⊂平面ACD,所以BO⊥平面ACD.所以∠BAO就是AB与平面ACD所成角.由题得BF=√3,AF=2√2,AB=3,所以cos∠BAO=9+8-32×3×2√2=1412√2=712√2,所以C正

确,D错误.13.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列结论:①AC∥平面CB1D1;②AC1⊥平面CB1D1;③AC1与底面ABCD所成角的正切值是√22;④AD1与BD为异面直线.其中正确结论的序号是.答案②③④解

析①因为AC∩平面CB1D1=C,所以AC与平面CB1D1不平行,故①错误;②连接BC1,A1C1,图略.易证AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,因为B1D1∩B1C=B1,所以AC1⊥平面CB1D1,故②正确;③因为CC1⊥底面ABCD,所以∠C1AC是AC1与底面

ABCD所成的角,所以tan∠C1AC=𝐶1𝐶𝐴𝐶=√22,故③正确;④AD1与BD既无交点也不平行,所以AD1与BD为异面直线,故④正确.14.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=√2,AB=AA1=2,E是棱CC1的中点.(1

)求证:AE⊥BC;(2)求点A1到平面ABE的距离.(1)证明因为AC=BC=√2,AB=2,所以AC2+BC2=AB2,即AC⊥BC.因为直棱柱ABC-A1B1C1,所以AA1⊥底面ABC,BC⊂平面ABC,所以AA1⊥BC,又AA1∩AC=A,AA1⊂平面ACC1A1,AC⊂平面ACC1A1

,所以BC⊥平面ACC1A1.又因为AE⊂平面ACC1A1,所以AE⊥BC.(2)解设点A1到平面ABE的距离为h,取AB中点O,连接EO,在△ABE中,AE=BE=√3,AB=2,则EO⊥AB,所以EO=√𝐴𝐸2-𝐴𝑂2=√2.所以△ABE的面积为12×2×√2=√2.因为𝑉𝐴

1-𝐴𝐵𝐸=𝑉𝐵-𝐴𝐸𝐴1,所以13×S△ABE×h=13×𝑆△𝐴𝐸𝐴1×BC,所以13×√2×h=13×12×2×√2×√2,解得h=√2,所以点A1到平面ABE的距离为√2.学科素养创新练15.如图,正方

体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,动点E在线段A1C1上,F,M分别是AD,CD的中点,则下列结论中正确的是.①FM与BC1所成角为45°;②BM⊥平面CC1F;③存在点E,使得平面BEF∥平面CC1D1D;④三棱

锥B-CFE的体积为定值.答案②④解析连接A1B,BC1,图略.对于①,∵F,M分别为AD,CD的中点,∴FM∥AC,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥CC1且AA1=CC1,则四边形AA1C1C为平行四边形,∴AC∥A1C1,∴异面直线FM与BC1所成的角为∠A1

C1B,在△A1C1B中,A1C1=A1B=BC1,所以△A1C1B为等边三角形,则∠A1C1B=60°,故①错误;对于②,∵BC=CD,CM=DF,∠BCM=∠CDF,∴△BCM≌△CDF,∴∠BMC+∠DCF=90°,∴BM⊥CF,又因为CC1⊥平面ABCD,且BM⊂平面ABCD,所以C

C1⊥BM,因为CF∩CC1=C,所以BM⊥平面CC1F,故②正确;对于③,若平面BEF∥平面CC1D1D,因为平面CC1D1D∥平面AA1B1B,所以平面BEF∥平面AA1B1B,但平面BEF与平面AA1B1B有公共点B,故③错误;对于④,VB-CFE=VE-BCF=13

S△BCF·AA1=13×12BC·AB·AA1=16(定值),故④正确.16.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,E为A1C1的中点,CE⊥AC1.(1)证明:CE⊥平面AB1C1;(2)若C1E=√3,AA1=√6,AB=2BC,求点E到平面AB1C的距离.(1)

证明∵CC1⊥平面A1B1C1,B1C1⊂平面A1B1C1,∴CC1⊥B1C1.在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC,B1C1∥BC,AC⊥BC,则A1C1⊥B1C1.又A1C1⊂平面AA1C1C,CC

1⊂平面AA1C1C,A1C1∩CC1=C1,∴B1C1⊥平面AA1C1C.又CE⊂平面AA1C1C,∴B1C1⊥CE.又CE⊥AC1,AC1⊂平面AB1C1,B1C1⊂平面AB1C1,B1C1∩AC1=C1,∴CE⊥平面AB1C1.(2)解连接AE,B1C,图

略.∵C1E=√3,E为A1C1的中点,∴A1C1=2√3.又AA1=√6,∴S△ACE=12×2√3×√6=3√2.∵AA1=√6,AB=2BC,∠ACB=90°,AC=2√3,∴AB=4,B1C1=BC=2,𝑉𝐵1-

𝐴𝐶𝐸=13S△ACE·B1C1=13×3√2×2=2√2.∴AB1=√𝐴𝐴12+𝐴1𝐵12=√22,B1C=√𝐵𝐵12+𝐵𝐶2=√10,∴AC2+B1C2=A𝐵12,∴AC⊥B1C,∴𝑆△

𝐴𝐵1𝐶=12×2√3×√10=√30.设点E到平面AB1C的距离为h,则𝑉𝐸-𝐴𝐵1𝐶=13𝑆△𝐴𝐵1𝐶·h=√30ℎ3,∵𝑉𝐵1-𝐴𝐶𝐸=𝑉𝐸-𝐴𝐵1𝐶,∴2√2=√30ℎ3,解得h=2√155.