【文档说明】广东省东莞市光明中学2021届高三下学期期初考试数学试题含答案.doc，共(13)页，1.428 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-4bfcce2ed9a7ac825ef7b5509f6c0620.html

以下为本文档部分文字说明：

12021届光明中学高三年级第二学期期初考试数学科试卷（全卷满分150分，考试用时120分钟）命题人：一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全

集U=R，集合360Axx=−，2540Bxxx=−+∣，则=（）A．12xxB．24xxC．12xxD．1xx2．已知复数11zi=+，1212zzi=+，则2z=（）A．1i−−B．i−C．12i−D

．3122i+3．美国在今年对华为实行了禁令，为了突围实现技术自主，华为某分公司抽调了含甲､乙的5个工程师到华为总部的4个不同的技术部门参与研发，要求每个工程师只能去一个部门，每个部门至少去一个工程师，且甲乙两人不能去同一个部门，则不同的安排方式一共有（）种A．96B．120C

．180D．2164．3D打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，

现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用3D打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为102cm，

母线与底面所成角的正切值为2．打印所用原料密度为31g/cm，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（）（取π3.14=，精确到0.1）2A．609.4gB．447.3gC．398.3gD．357.3g5．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方

法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、

丙寅、.癸酉，甲戌、乙亥、子、.癸未，甲申、乙酉、丙戌、癸巳，共得到60个组合，周而复始，循环记录.2010年是“干支纪年法”中的庚寅年，那么2019年是“干支纪年法”中的（）A．己亥年B．戊戌年C．庚子年D．辛丑年6．在边长为2的等边ABC中，BDDC=，APPD=，则BPA

C的值为（）A．1−B．12−C．1D．527．函数()sin()0,||2fxx=+的图象如图所示，为了得到g()sin34xx=−的图象，只需将()fx的图象（）A．向右平移π6个单位长度B．向左平移π6个单位长度C．向

右平移π2个单位长度D．向左平移π2个单位长度8．已知()13,03,0xxexfxxxx+=−，若关于x的方程()()210fxafx−−=有5个不同的实根，则实数a的取值范围为（）A．30,2B．30,2C．30,2

D．30,2二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9．已知函数()4sin214fxx=−−，则

下列结论正确的是（）A．()fx的最小正周期为3B．函数()fx在3,88−上单调递增C．将函数()fx图像的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移6个单位后关于y轴对称D．函数()fx在,48−上的最小值为221

−−10．设函数2()ln=+fxxxx的导函数为()fx，则（）A．1()0fe=B．1=xe是()fx的极值点C．()fx存在零点D．()fx在1,e+单调递增11．若,ab为正实数，且ab，则下列不等式成立的

是（）A．11abB．lnlnabC．lnlnaabbD．ababee−−12．过抛物线24yx=的焦点F作直线交抛物线于11(,)Axy，22(,)Bxy两点，M为线段AB的中点，则（）A．以线段AB为直径的圆与直线1x=−相切B．以线段BF为直径的圆与y轴相

切C．当FBAF3=时，92AB=D．3OAOB=−（O为坐标原点）第II卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知0,0xy，且191xy+=，求xy+的最小值_______．14．若有穷数列1a，2a，…，ma（m为正整数）满足条件：

1maa=，21maa=−，…，1maa=，则称其为“对称”数列．例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，4，8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列nc中，11c，12c，…，21c是以1为首项，2为公差的等差数列，则42c=_____

_______．15．已知正四棱柱1111ABCDABCD−的底面边长为2，侧棱11,AAP=为上底面1111DCBA上的动点，给出下列四个结论：其中所有正确结论的序号为__．①若PD=3，则满足条件的P点有且只有一个；②若3PD=，则点P的轨迹是一段圆弧；③若PD∥平面1ACB，则DP长的

最小值为2；④若PD∥平面1ACB，且3PD=，则平面BDP截正四棱柱1111ABCDABCD−的外接球所得图形的面积为94．16．已知水平地面上有一半径为4的球，球心为O，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C.如图椭圆中心为O，

球与地面的接触点为E，OE=3.若光线与地面所成角为θ，则sin=______________，（2分）椭圆的离心率e=___________.（3分）四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．1

7.（本小题满分10分）在①3(cos)sinbCacB−=；②22cosacbC+=；③sin3sin2ACbAa+=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足________________，且4ac+=，23,b

=求ABC的面积.518．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCDE−中，已知四边形BCDE为平行四边形，平面ABE⊥平面BCDE，2ABAEBCCE====，90BAE=，点O为BE的中点.（1）求证

：CD⊥平面AOC；（2）求二面角A-BC-O的正切值.19．（本小题满分12分）已知数列na的前n项和为nS，且233nnSa=−.（1）求数列na的通项公式；（2）设32log(1)nnnban=+−，求数列nb的前n项和nT.20．（本小题满分12分）山竹，原产于马鲁古，

具有清热泻火、生津止渴的功效，其含有丰富的蛋白质与脂类，对体弱、营6养不良的人群都有很好的调养作用，因此被誉为夏季的“水果之王”，受到广大市民的喜爱．现将某水果经销商近一周内山竹的销售情况统计如下表所示：采购数量x（单位：箱）)220,240)240,260)260,280

)280,300300,320采购人数1001005020050（1）根据表格中数据，完善频率分布直方图；（2）求近一周内采购量在286箱以下（含286箱）的人数以及采购数量x的平均值；（3）以频率估计概率，若从所有采购者中随机抽取4人，记采购量不低于260箱的采购人数为X，求

X的分布列以及数学期望()EX．21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为22，其左､右焦点分别为1F，2F，点()00,Pxy是坐标平面内一点，且7||2OP=，1234PFPF=(O为坐标原点).（1）求椭

圆C的方程；（2）过点10,3S−且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由.722．（本小题满分12分）已知函数()()2l

nfxxaxa=++.（1）讨论()fx的单调性；（2）若()1212,xxxx是2()()gxfxxax=++的两个极值点，证明：()21gxx82021届光明中学高三年级第二学期期初考试数学科试卷1．C2．D3．D4．C5．A

6．B7．A8．B8【详解】设()tfx=，则方程为210tat−−=，如图作出函数()fx的图象，要使关于x的方程()()210fxafx−−=有5个不同的实根，有1221tt−，解得302a.9．AB10．AD11．BD12．ABD11【详解】因为0ab，

所以11ab，故A错；因为函数lnyx=在()0,x+上为增函数，故当ab时，lnlnab，故B正确；对于C选项，构造函数()lnfxxx=，则()ln1fxx=+，当10,ex时，()0fx，当1,xe+时，()0fx，所以函数

()fx在10,e上递减，在1,e+上递增，故C错；对于D选项，构造函数()xgxex=−，则()10xgxe=−在()0,x+恒成立，所以函数()xgxex=−在()0,+上递增，故当ab时

，abeaeb−−，即ababee−−成立，故D正确.故选：BD.12．ABD对于选项A，AB的中点M到准线1x=−的距离为()1122AFBFAB+=，于是以线段AB为直径的圆与直线1x=−一定相切，A正确；对于选项B，C，D，设()11,Axy，()22,Bxy，

直线AB方程为1xmy=+，9联立直线与抛物线24yx=可得2440ymy−−=，124yy=−，121=xx，则12123xxyOOByA=+=−，D正确，若设()24,4Aaa，易见，0a，则211,4Baa−，设线段BF中点是N，则211412Nax

+=，则2222221111111444FaaaBa−−++=+==，N到y轴的距离是21114212BFa+=，故以线段BF为直径的圆与y轴相切，B正确；又21

221424ABxxpaa=++=++，当3AFFB=uuuruur可得123yy=−，143aa=−−，所234a=，163AB=，C错误.填空题：13．16；14.1915．①②④16．45351

5【详解】如图，∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，∴1122BD=，又侧棱AA1＝1，∴221(22)13DB=+=，则P与B1重合时PD＝3，此时P点唯一，故①正确；∵3PD=∈（1，3），DD1＝1，则12PD=，即点P的轨迹是一段圆弧，故②正确；连接DA1，DC1，可

得平面A1DC1∥平面ACB1，则当P为A1C1中点时，DP有最小值为22(2)13+=，故③错误；由③知，平面BDP即为平面BDD1B1，平面BDP截正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为2221322122++=，面积为94，故④正确．∴正确结论的

序号是①②④．16【详解】解：连接OO，则OOE=，因为4OE=，3OE=，所以2222345OOOEOE=+=+=所以4sin5OEOO==在照射过程中，椭圆的短半轴长b是圆的半径R，4b=，如图．椭圆的长轴长2a是AC，过

A向BC做垂线，垂足是B，由题意得：28ABR==，4sinsin5ACB==，又4sin5ABθAC==10所以10AC=即210a=，5a=，椭圆的离心率为222553516cabeaa−−====故答案为：45；35.【解析1】（1)17.在横线上填

写“3(cos)sinbCacB−=”.解：由正弦定理，得3(sincossin)sinsinBCACB−=.由sinsin()sincoscossinABCBCBC=+=+，得3cossinsinsinBCC

B−=.由0C，得sin0C.所以3cossinBB−=.又cos0B所以tan3B=−.又0B，得23B=.由余弦定理及23b=，得2222(23)2cos3acac=+−，即212()ac

ac=+−.将4ac+=代入，解得4ac=.所以1sin2ABCSacB=△13422=3=.【解析2】在横线上填写“22cosacbC+=”.解：由22cosacbC+=及正弦定理，得2sinsin2sincosACBC++=.又sinsin()sincoscossinABCBCBC=+

=+，所以有2cossinsin0BCC+=.因为(0,)C，所以sin0C.从而有1cos2B=−.又(0,)B，所以23B=由余弦定理及23b=，得2222(23)2cos3acac=+−即212()acac=+−.将4ac+

=代入，解得4ac=.所以113sin43222ABCSacB===.【解析3】在横线上填写“sin3sin2ACbAa+=”解：由正弦定理，得sinsin3sinsin2BBAA−=.11由0A，得sinA，所以si

n3cos2BB=由二倍角公式，得2sincos3cos222BBB=.由022B，得cos02B，所以3sin22B=.所以23B=，即23B=.由余弦定理及23b=，得2222(23)2cos3acac=+−.即212()acac=+

−.将4ac+=代入，解得4ac=.所以1sin2ABCSacB=△13422=3=.18.【详解】（1）证明：ABAE=，点O为BC的中点，AOBE⊥，BCCE=，点O为BC的中点，COBE⊥，ACCOO=，AC，CO平面AOC，BE⊥平面AOC，四边形BCDE为平行四

边形，//CDBE，CD\^平面AOC.（2）过O点作BC的垂线，垂足为G，连接AG，则GOBC⊥，因为AO⊥面BCO，BC平面BCO，所以AOBC⊥，又AOGOO=，所以BC⊥面AGO，AG平面AGO，所以BCAG⊥，故AGO为二面角A-BC-O的平面角，在直角三角形AGO中，2AO=，

1OG=，所以tan2AGO=.．19.【详解】（1）当1n=时，1112233Saa==−，所以13a=；当2n时，因为233nnSa=−，所以11233nnSa−−=−，两式作差得13nnaa−=，

即13nnaa−=，因为13a=，所以数列na是首项为3，公比为3的等比数列，故3nna=.（2）32log3(1)2(1)nnnnbnnn=+−=+−，当n为偶数时，前n项和2(1)32(1)2(3)(1)22nnnnnTnn+=+−++

−++−=+；当n为奇数时，前n项和2(1)112222nnnnnTnn+−−=+−=+，则223,,?21,.?2nnnnTnnn+=−+为偶数为奇数20.【详解】12（1）依题意，转化频率分布表如下所示：采购数量x（单位：箱）)220,240)240,260)26

0,280)280,300300,320采购人数1001005020050频率0.20.20.10.40.1频率/组距0.0100.0100.0050.0200.005完善频率分布直方图如图所示：（2

）采购量在286箱以下（含286）的频率为60.20.20.10.40.6220+++=；故采购量在286箱以下（含286）的人数为5000.62310=；所求平均值为2300.22500.227

00.12900.43100.146502711631270++++=++++=；（3）依题意，34,5XB，则()421605625PX===，()3143296155625PXC===

，()222432216255625PXC===，()33432216355625PXC===，()438145625PX===，故X的分布列为：X01234P1662596

62521662521662581625故()312455EX==．21.【详解】(1)72OP=，220074xy+=，又123·4PFPF=，00003(,)(,)4cxycxy−−−−−=，即2220034xcy−+=，则可得1c=，又22e=

，2,1ab==，故所求椭圆方程为2212xy+=；13(2)设直线1:3lykx=−，代入2212xy+=，有22416(21)039kxkx+−−=.设1122(,),(,)AxyBxy，则121222416,3(21)9(21)kxx

xxkk−+==++，若y轴上存在定点(0,)Mm满足题设，则11(,)MAxym=−，22(,)MBxym=−，21212121212·()()()MAMBxxymymxxyymyym=+−−=+−++2

1212121111()()()3333xxkxkxmkxkxm=+−−−−+−+221212121(1)()()339mkxxkmxxm=+−+++++222218(1)(9615)9(21)mkmmk−++−=+，由题意知，对任

意实数k都有·0MAMB=恒成立，即22218(1)(9615)0mkmm−++−=对kR成立.221096150mmm−=+−=，解得1m=，在y轴上存在定点()0,1M,使以AB为直径的圆恒过这个定点.22.【详解】（1）易知()

fx的定义域为()0,+，22()axaxxfx+=+=.当0a时，()0fx，所以()fx在()0,+上为单调递增函数；当0a时，若20,xa−，则()0fx，若2,xa−+，则()0fx，所以()fx在20,a−

上为单调递增函数，在2,a−+上为单调递减函数.（2）证明：22()()2ln()gxfxxaxxxa=++=++，则()2212()2()xaxgxxaxx++=++=.由题意可知，1x，2x是方程210xax++=的两根，所以12xxa+=−，121=xx，由120xx

，所以1201xx，()21221axxxx+==−−−，要证()21gxx，需证()211gxx.()()()22222222221212ln2lngxxgxxxxxaxxxx==++=+，令1()2ln(1)hxxxxx=+，则

21()2ln20hxxx=+−，所以()hx在()1,+上单调递增，所以()()11hxh=.所以()211gxx，故()21gxx.