【文档说明】高中数学人教版必修1教案：1.1.3集合的基本运算 （系列五）含答案【高考】.doc，共(18)页，1.330 MB，由小赞的店铺上传

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1第1.1.3节集合的基本运算某地对所在地的居民中拥有电视机、电冰箱、组合音响的情况进行一次抽样调查，调查结果：3户特困户三种全无；至少有一种的：电视机1090户，电冰箱747户，组合音响850户；至少有两种的：电视机、组合音

响570户，组合音响、电冰箱420户，电视机、电冰箱520户，“三大件”都有的265户.可是调查组在统计上述数字时发现没有记下被调查的居民总户数，你能避免重新调查而解决这个问题吗？研习教材重难点研习点1.并集与交集1．并集（重点）定义：一

般地，由所有属于集合A或属于集合B的所有元素所组成的集合，称为集合A与集合B的并集（unionset）,记作AB（读作“A并B”），即{|ABxxA=，或}.xB从定义可以看出两个集合的并集还是一个集合，是由集合A与B的所有元

素组成的集合（重复元素只看成一个元素）.（1）理解并集定义中“或”字的意义：xA或xB包括如下三种情况：①xA但xB；②xB但xA；③xA且xB.由集合A中元素的互异性可知，集合A与B的公共元素在AB中只出现一次，因此AB是由所有至少属于A，B两者之一的元素组

成的集合.例如：{3,5,6,8},{4,5,7,8}AB==，则{3,4,5,6,7,8}AB=，而不是{3,5,6,8,4,5,7,8}.AB=并集用韦氏图（venn）表示为:由并集的定义及韦氏图不难看出，并集具有以下性质：○1AAA=（吸收律）；○2A＝A；

○3ABBA=（交换律）；○4()()ABCABC=(结合律)..【探究·发现】并集与子集之间的关系ABABABABABAB2由并集的韦氏图表示不难发现，如果集合A是集合B的子集即AB，就意味着ABB=；同相关可以分析，如果集合B是集合A的

子集即BA，就意味着ABA=；如果ABB=且ABA=，则.AB=典例1.（1）设集合{1,2,3},{2,3,4,5}AB==，求AB；（2）设集合{|35}Axx=−，{26}Bx=，求AB.【

研析】（1）AB＝{1,2,3}{2,3,4,5}＝{1,2,3,4,5}；（2）在研究集合的运算时，我们还经常利用数轴工具表示集合之间的运算关系.从数轴上看应有从而AB＝{|35}xx−{26}x＝{|36}.xx−2．交集（重点）定义：一般地，

由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集（intersectionset）,记作AB（读作“A交B”），即{|,ABxxA=且}.xB正如并集一样，两个集合的交集仍然是一个集合，所不同的是交集是由两个集合中的共

同元素所组成的集合.也就是说，交集是由那些既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的.如{1,2,3,4,5},{2,4,5,8,9}AB==，由于这两个集合中都有共同元素2、4、5，从而{2,4,5}.AB=交集用韦氏图（venn）表示为:由交集的定义及韦氏图不难看出，交集具有以下性质：○1A

AA=（吸收律）；○2A＝；○3ABBA=（交换律）；○4()()ABCABC=(结合律).【梳理·总结】交集的定义的理解x5203−6ABAB3我们可以从以下三个方面去理解交集的概念:(1)AB中的任一元素都是集合A中的元素,也都是集合B中

的元素;(2)AB是由集合A与集合B的的公共元素组成的;(3)当集合A与集合B没有公共元素时,不能说集合A与集合B没有交集,而是说AB=.典例2设集合2{2,1,1},{2,4,4},{1,7}AxxByxC=−−+=−+=−,且ABC=,求实数,xy的值

及.AB【研析】本题的关键在于理解两个集合交集的意义以及元素的互异性.此时{1,7}AB=−包含了两层意思:一方面－1,7是集合A与集合B的公共元素;另一方面集合A与集合B的公共元素也只有－1,7.由已知2{2,1,1},{2,4,4},{1,7}AxxByxC=

−−+=−+=−且ABC=得:7,7AB且1B−,在集合A中217xx−+=,解得:2x=−或3.当2x=−时,在集合B中,42x+=,又2A故2ABC=,但2C,故2x=−不合题意,舍去.当3x=时,在集合B中,47x+=,故有21y=−,解得12y=−,经检验知满足

.ABC=综上知,所求13,.2xy==−此时,{2,1,7},{1,4,7},AB=−=−−故{1,2,4,7}.AB=−−研习点2.全集与补集1．全集一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集(universeset

),通常记作.U对于全集的理解,我们可以认为是将我们欲研究的问题限定在一个范围内进行,这个范围以外的问题则不在我们研究的范围之内,这时我们就会有理由将我们所研究的这个范围视为全集.另外,全集并不是一成不变的,它是依据

所研究问题的来加以选择的.例如我们在考虑正整数的因式分解时,我们把正整数集作为全集;在解不等式时,我们通常把实数集作为全集;多项式的因式分解,如果没有附加说明,通常把有理数集作为全集;在研究数的问题时,常常把实数集4作为全集;在研究图形集合时,常常将所有的空间图形的集合作为全

集.事实上,即使有些问题不指明全集,全集也是存在的,这就需要我们根据经验来判断全集什么样的集合了.2．补集对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementanryset),简称为集合A的补集,记作UA

ð,即{|,UAxxU=ð且}xA,读作全集U中集合A的补集.补集既是集合之间的一种关系,又是集合的一种运算,利用集合的定义可以发现,求已知集合A的补集,其实就是从全集U中去掉属于集合A的元素后,由所有剩下的元素组成的集合就是全集U中集合A的补集.其韦氏图（ven

n）表示如下图所示:3．全集与补集的性质全集与补集具有以下性质:(1)()UUAA=痧;(2)UU=ð;UU=ð;(3)();()UUAAUAA==痧;(4)*(德摩根(DeMorgan)定律)()()()UUUABAB=痧?;()()()UUUABAB=痧?.典例3.已

知，全集U={x|－5≤x≤3}，A={x|－5≤x<－1}，B={x|－1≤x<1},求UAð，UBð，(UAð)∩(UBð)，(UAð)∪(UBð)，()UABð，()UABð，并指出其中相等的集合.【研析】UAð={x|

－1≤x≤3}；UBð={x|－5≤x<－1或1≤x≤3}；(UAð)∩(UBð)={x|1≤x≤3}；(UAð)∪(UBð)={x|－5≤x≤3}=U；()UABð=U；()UABð={x|1≤x≤3}.相等集合有(UAð)∩(UBð)=()UABð；(UAð)∪(UB

ð)=()UABð,这一结论也可以用韦氏图来验证.AUAðU5研习点3.交集、并集之间的关系（难点）(1)ABABA=如下图所示,不难得到ABABA=.(2)ABAAB=如下图所示,不难得到ABAAB=.【探究·发现】分类标准的确立解分类讨论问题的实质是将整体化为部分来解

决。对于含参数的计划问题，常需要对参数分类讨论。在分类时要注意“不重不漏”。由于空集是任何非空集合的真子集，空集必是非空集合的真子集，因此对于BA这种关系，B=时也满足BA．所以BA中就应考虑B=与B≠两

种情况，就是说，正是空集引法的分类讨论．典例3.已知集合222{|40},{|2(1)10}.AxxxBxxaxa=+==+++−=(1)若ABB=,求实数a的取值范围;(2)若ABB=,求实数a的取值范围.【研析】因为ABB=的含义是BA;ABB=的含义是AB且2{|40}{0,4

}.Axxx=+==−另外在讨论的过程中,还需注意B=是BA的一种情况,不要漏掉.(1)因为ABB=,所以.BA○1当B=时,224(1)4(1)0aa=+−−,解得1a−;○2当{0}

B=或{4}B=−时,0=,解得1a=−,此时{0}B=;○3当{0,4}B=−时,0,4−是方程222(1)10xaxa+++−=的两个根,BAABA=ABABA=6则有2224(1)4(1)02(1)410aaaa=+−−−+=−−=,解得1.

a=综上所述,实数a的取值范围是0a=或1.a−(2)因为ABB=,所以AB.因为{0,4}A=−且集合B中至多有两个元素,所以AB=.由(1)知1.a=探究解题新思路基础思维探究题型一并集与交集的概念的考查典例1.集合A={x|x2＋5x－6≤0},B={x|x2＋3x>0}，求A∪B和

A∩B．【研析】∵A={x|x2－5x－6≤0}={x|－6≤x≤1}，B={x|x2＋3x>0}={x|x<－3或x>0}．如图所示：∴A∪B={x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3或x>0}=R．{|61}{|3ABxxxx=−−或0}x{|63xx=−−或

01}.x探索发现集合问题大都比较抽象，解题时应先将相关的两个集合分别表示出来，然后尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直

观地获解．典例2.设A={x|－2<x<－1或x>1}，B={x|x2＋ax＋b≤0}，已知A∪B={x|x>－2}，A∩B={x|1<x≤3}，求a、b的值．【研析】如图所示，设想集合B所表示的范围

在数轴上移动，显然当且仅当B覆盖住集合{x|－1<x<3}，才能使A∪B={x|x>－2}，且A∩B={x|1<x≤3}．根据二次不等式与二次方程的关系，可知－1与3是方程x2＋ax＋b=0的两根，由韦达定理得：∴a=－(－1＋3)=－2，b=(－1)×3=－3．x103−6−7推

广引申类似本题多个集合问题，借助于数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合的方法，会得到直观、明了的解题效果．【拓展·变式】1.已知集合22230,0AxxxBxxaxb=−−=++,且,34ABRABxx=，,34ABRABxx==，求a

,b的值.2.集合A={（x,y）022=+−+ymxx},集合B={（x,y）01=+−yx}，又AB，求实数m的取值范围.题型二全集与补集概念的考查典例3.已知全集32{1,3,2}Sxxx=−

−，A={1,21x−}如果}0{=ACS，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x，若不存在，说明理由.【研析】〖解法一〗∵}0{=ACS；∴AS00且，即322xxx−−＝0，解得1230,1,2xxx==−=.当0=x时

，112=−x，为A中元素；当1−=x时，Sx=−312当2x=时，213xS−=∴这样的实数x存在，是1x=−或2x=.〖解法二〗∵}0{=ACS，∴AS00且，3A，∴322xxx−−＝0且213x−=∴1x=−或2x=.反思

领悟求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形

结合的思想方法.本题考察了集合间的关系以及集合的性质，分类讨论的过程中“当0=x时，112=−x”不能满足集合中元素的互异性，此题的关键是理解符号}0{=ACS是两层含义：AS00且.【拓展·变式

】3.设全集22323212SaaAa=+−=−，，，，，5SCA=，求a的值．8题型三对交集、并集之间关系的考查典例4.已知集合}90{}06{2−=−−=mxxBxxxA①若BBA=，求实数m的取值范围；②若=BA，求实数m的取值范

围.【研析】}9{}32{+=−=mxmxBxxA①BABBA=2662392−−−−+−mmmmm即②=BA311329−−+mmmm或即或交流探讨在理解集合符号的基础上，准确地将集合语言转化为初中已学过的数学问题，然后用所学

的知识和方法把问题解决．这种转化可以把抽象知识用简洁、准确的数学语言表达出来，提高解题效率．【拓展·变式】4.已知集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－ax＋a－1=0}，且A∪B=A，求实数a的值.综合思维探究题型一学科内综合题典例5.若A={2，4,a3－2a2－a＋7},

B={1,a＋1,a2－2a＋2,12−(a2－3a－8),a3＋a2＋3a＋7}，且A∩B={2，5}，求实数a的值．【研析】∵A∩B={2，5}，∴a3－2a2－a＋7=5,由此求得a=2或a=±1．当a=1时，a2－2a＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去a=1．当a=－1时

，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去a=－1．当a=2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设．故a=2为所求．方法探究由A∩B={2，5}求得a=

2或a=±1时,针对于集合B中的元素是什么，需要分类进行讨论,并且对于集合B中的元素是否满足元素的互异性，有待于进一步考查．【拓展·变式】x3-2mm+9x-23mm+9m+9m95.已知}3{},1,13,3{}3,1,{22−=+−−=

−+=BAaaaBaaA若，求a的值.题型二实际应用题典例6.向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对

A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？【研析】赞成A的人数为50×53=30，赞成B的人数为30+3=33，如右图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B.设对事件A、B都赞成的

学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为3x+1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x.依题意(30－x)+(33－x)+x+(3x+1)=50,解得x=21.所以对A、B都赞成的同学有2

1人，都不赞成的有8人方法探究本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索.画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系.【拓展·变式】6.求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？题型三易错辨析题典例7.已知集合A={x|

x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R=，则实数m的取值范围是_________．【研析】从方程观点看，集合A是关于x的实系数一元二次方程x2＋(m＋2)x＋1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A∩R=可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m

的不等式，并解出m的范围．由A∩R=又方程x2＋(m＋2)x＋1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，X3+133-XX30-XUBA10()()2240,20,mm=+−−+或△=(m＋2)2－4<0．解得m≥0或－4<m<0

，即m>－4．思维指南空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合．当题设中隐含有空集参与的集合关系时

，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误．此题容易发生的错误是由A∩R=只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为1，因为方程无零根），而把A=漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言．【拓展·变式】7.已知|(1)10Axm

x=−+=，2|230Bxxx=−−=，若AB，则m的值为．创新思维探究题型一开放探究题典例8设集合A={(x，y)|y2－x－1=0}，集合B={(x，y)|4x2＋2x－2y＋5=0}，集合C={(x，y)|y=kx＋b}，是否存在k，bN

，使得()ABC=？若存在，请求出k，b的值；若不存在，请说明理由．【研析】因为()ABC=，即()()ACBC=，所以AC=且BC=．将y=kx＋b代入y2－x－1=0，得k2x2＋(2kb－1)x＋b2－1

=0，因为AC=，所以△1=(2kb－1)2－4k2(b2－1)＜0，即4k2－4kb＋1＜0，若此不等式有解，应有16b2－16＞0，即b2＞1．①又将y=kx＋b代入4x2＋2x－2y＋5=0，得：4x2＋(2－2k)x＋(5－2b)=0，因为BC=，所以△2=(2－2k

)2－4k(5－2b)＜0，即k2－2k＋8b－19＜0，若此不等式有解，应有4－4(8b－19)＞0，解得b＜52．②由不等式①、②及bN，得b=2．将b=2代入由△1＜0和△2＜0组成的不等式组，得224810,230.kkkk−+−−

，再注意到kN，求得k=1．11故存在自然数k=1，b=2使得()ABC=．理念链接在数学命题中，常以适合某种性质的结论“存在(肯定型)”、“不存在(否定型)”、“是否存在(讨论型)”等形式出现．“存在”就是有适合某种条件或符合某种性质的对象，对于这类问题无论用什么方法只要找出一个，就

说明存在．“不存在”就是无论用什么方法都找不出一个适合某种已知条件或性质的对象，这类问题一般需要推理论证．“是否存在”结论有两种：一种是可能或存在；另一种是不存在，则需要说明理由．【拓展·变式】8.已知集合22|190Axxaxa=−+−=，2|560Bxxx=−+=

，2|280Cxxx=+−=是否存在实数a使得,AB，,AC=若存在求出实数a的值，若不在，说明理由题型二奇思妙解题典例9已知集合2{|4260}Axxaxa=−++=,若AR−,求实数a的取值范围.【研析】设全集2{|168240}

{|1Uaaaaa==−−=或3}.2a方程24260xaxa−++=的两根均非负等价于40260aUaa+3.2a即AR−=时,实数a的取值范围是3{|}2aa.故AR−

时,实数a的取值范围为集合3{|}2aa关于集合U的补集,即{|1}.aa方法探究本题中AR−意味着方程24260xaxa−++=的根有三种不同的情况:(1)两个负根;(2)一个负根一个零根;(3)一个负根一个正根.此三种情况虽然可

概括为较小的根小于零,即利用求根公式402a−,但是求解此不等式也并不轻松.但是如果考虑AR−的反面,则可先求出方程两根非负时a的取值范围,然后再利用补集思想求解AR−时的a的取值范围,就显得比较容易了.【拓展·变式】9.已知集合A={x|x2－4mx＋

2m＋6=0,x∈R}，若A∩R－≠，求实数m的取值范围．12题型3奥赛欣赏题典例10已知集合},,,{4321aaaaA=,},,,{24232221aaaaB=,其中4321aaaa,Naaaa4321,,,.若},{41aaBA=,1041=+aa.且BA中的

所有元素之和为124,求集合A、B.【研析】4321aaaa,且},{41aaBA=,211aa=,又Na1,所以.11=a又1041=+aa,可得94=a,并且422aa=或.423aa=若922=a,即32=a,则有,12481931233=+

++++aa解得53=a或63−=a(舍)此时有}.81,25,9,1{},9,5,3,1{==BA若923=a,即33=a,此时应有22=a,则BA中的所有元素之和为100124.不合题意.综上可得,}.81,25,9,1{},9,5,3,1{==BA品思感悟本

题的难点在于依据已知条件推断集合A、B中元素的特征.同时上述解答中使用发分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了.【拓展·变式】10.已知A为有限集,

且*NA,满足集合A中的所有元素之和与所有元素之积相等,写出所有这样的集合A.高考思维探究本节内容联系面广，多与高中数学其它知识相结合，方法灵活多变,除了能利用基本概念与方法外,还应该注意采用逆向思维,从问题的反

而入手,利用补集思想解决问题.在高考试题中多有体现.多以选择题与填空题的形式出现,有时也可以出解答题.典例11（2007年北京卷）已知集合|1Axxa=−≤，2540Bxxx=−+≥．若AB=，则实数a的取值范围是．【研析】集合

|1Axxa=−≤={x|a－1≤x≤a+1}，2540Bxxx=−+≥={x|x≥4或x≤1}．又AB=，∴1411aa+−，解得2<a<3，实数a的取值范围是{|23}.aa13品思感悟这是一道研究集合的包含关系与解

不等式相结合的综合性题目.主要考查集合的概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法.在解题过程中要注意应先确定已知集合，再利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法.【拓展·变式】11（2007年安徽卷文）若}032|{}1|{22=−

−===xxxBxxA，，则AB=（）A．{3}B．{1}C．D．{－1}开拓学习新视野其实只有一个你好友最近为情所困，茶饭不思，心情极其低落.网上QQ一露脸，便顿足捶胸，呼天抢地地大喊：“我为什么这么命苦啊，为什么找不到合适的男人，为什么得不到成功的爱情！”我好言相劝，不料刚开导几句就被

她无情地打击.范围之广，令人汗颜：“你们男人都不是好东西！”我刚想直陈其失，却见其眼泪汪汪很是可怜.忽又记得古训曰：“凡劝人，不可遽指其过，必须先美其长；盖人喜则言易入，怒则言难入也.”于是，我转念一想，道：“你其实是万里挑一的好女子！”友惊，竟然停止哭泣，问道：“真的？”

我答：“那还有假！且听我慢慢算来.”我继续解释：“目前，地球上有50亿人口，中国人有13亿，大概占20%.其中男女大致各半，我们以此为基础，从这‘半边天’的6亿多女人中算起.”友急迫之心可见：“快说快说，愿闻其详.”“这6亿多中国女人中，像你这样身高165以上，身材匀称

，皮肤白皙，气质动人的电眼美女也就10%左右.”友略有些腮红——脸红的QQ头像迅速发来.我继续分析：“家在直辖市的美丽女性只有1%，而其中考上中国Top10重点大学的最多只占0.1%，你自然属于这一类.”友赶紧点头.14“而从这些重点大学中保送上重点大学的研究生的只占0

.01%.”友打出一个微笑的脸庞，说：“的确如此！”“这其中家庭幸福、朋友众多、身体健康的女子也就十分之一，占总数0.001%.瞧，这已经是千万里挑一了！”友做幸福状，鲜红的心闪得我眼晕.我答道：“但是事情远远还没有结束.”友兴致高昂，大手一挥：“继续！”

“你没毕业就拿到华为的offer，可谓‘千里挑一’，那么只有0.000001%.算起来，真是超出万里挑一，简直凤毛麟角，你还不知足吗？”友听完大笑不止，似乎又有了快乐活下去的勇气和动力.她喃喃自语说：“咦，我怎么就没有发现呢？”而后对我千恩万谢，似乎我就

是传说中的伯乐，而她则是隐匿多年，才得以重见天日的千里马驹！其实，我本想说万里挑一足矣，却没料到一发不可收拾.我掐指仔细一算，这竟然是十亿分之一.换句话说，只要没有克隆的好友出现，偌大中国甚至整个星球上仅她自己而已.的确如此，这便是人存在的独特性

与相对性之意义所在，每一个人都是十亿里挑一：在整个世界上，其实只有一个你！优化考题新演练理解与应用1.（2007年天津卷）已知集合12Sxx=+R，21012T=−−，，，，，则ST=（）A．2B．12，C．012，，D．1012−，，，2

.图中阴影部分所表示的集合是（）A.B∩［CU(A∪C)］B.(A∪B)∪(B∪C)C.(A∪C)∩(CUB)D.［CU(A∩C)］∪B3.已知集合A={x|－2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m－1}且B≠,若A∪B=A，则()A.－3≤m≤4

B.－3<m<4C.2<m<4D.2<m≤43．4.已知全集,UR=且2|12,|680,AxxBxxx=−=−+则()UCAB等于A.{|14}xx−B.{|23}xxC.{|23}xxD.{|1

4}xx−15二、拓展与创新5.某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为人.6.（2007年湖南卷）设集合(),||2|,0,Axyyxx=−

(),|,BxyyxbAB=−+，（1）b的取值范围是.（2）若(),,xyAB且2xy+的最大值为9，则b的值是.三、综合与探究7.已知22,,{46}{218}xRyNAyyxxByyxx+==−+==−−+,求A∩B.

8.设}01{}032{2=−==−−=axxNxxxM，若NNM=，求所有满足条件的a的集合.答案与解析研读【拓展·变式】1.解：13Axxx=或，∵ABR=.∴13xx−中元素必是B的元素.又∵34ABxx=,∴34xx中的元素属于B,

故133414Bxxxxx=−=−或.而20Bxxaxb=++.∴－1,4是方程20xaxb++=的两根，∴a=－3,b=－4.2.由AB知方程组220,,10xmxyyxy

+−+−+=消去得x2+(m－1)x=0，04)1(2−−=m即m3或m－1.因此{m3x,或m－1}.3.解：∵5SCA=，5S∴且5A，2235aa+−=∴，2280aa+−=∴2a=

∴或4a=−（1）当2a=时，213a−=，此时满足3S．（2）当4a=−时，219aS−=，4a=−∴应舍去，2a=∴．164.解：∵A∪B=A，,BA∵A={1，2}，∴B=或B={1}或B={

2}或B={1，2}．若B=，则令△<0得a∈；若B={1}，则令△=0得a=2，此时1是方程的根；若B={2}，则令△=0得a=2，此时2不是方程的根，∴a∈；若B={1，2}则令△>0得a∈R且

a≠2，把x=1代入方程得a∈R，把x=2代入方程得a=3．综上a的值为2或3．5.解：+−+−=−+−+−=−1313131131332222aaaaaaaaaa或320−==aa或检验：}1,3{}1,1,

3{}3,1,0{0−=−−=−==BABAa时当24111{,,3}{,3,1}{3}393323aABABa=−=−=−−=−=−当时6.解：“正难则反”，先求出200个数不满足条件的，即能被2或3或5整除的自然数个数，再从200中减去.设不能被2、3、5

整除的数的集合分别是A、B、C，则符合条件的数的集合为A∩B∩C,不符全条件的数的集合为：()()()()UUUUABCABC=痧痧，如图先画出文氏图，不难看出不符合的数共有：（200÷2）＋[200÷3]

＋(200÷5)－(200÷10)－[200÷6]－[200÷15]＋[200÷30]＝146(式中[x]为不超过x的最大整数)所以，符合条件的数共有200－146＝54（个）7.解：当A时，由(1)1

0mx−+=得11xm=−，由2230xx−−=得1x=−或3x=1|1Axxm==−∴13B=−，AB∵，111m=−−∴或3，2m=∴或23m=当A=时，1m=．_3的倍数_2的倍数_5的倍数UAuðUBuðUCuð17综上所述，得m

的值为2123，，．8.解：存在2a=−满足题意，因为2,3B=，4,2C=−，而AB，则2,3至少有一个元素在A中，又AC=，∴2A，3A，即293190aa−+−=，得52a=−或而5aAB==时，与AC=矛盾，∴2a=−.9.解:设全集U={m|△=(－4m

)2－4(2m＋6)≥0}={m|m≤－1或m≥32}．若方程x2－4mx＋2m＋6=0的二根为x1、x2均非负，1212340,226mUxxmmxxm+==+则因此，{m|m≥32}关于U补集{m|m≤－1}即

为所求．10.解：设集合A=)1}(,,,{21naaan且naaa211,由=+++naaa21naaa21,*)(Nnnan,得nna=+++naaa21naaa21)!1(

−nan,即)!1(−nn2=n或3=n(事实上,当3n时,有)2)1()2)(1()!1(nnnnn−−−−.当2=n时,1,2,21122121=+=aaaaaaa,而.2,1122+naa当3=n时,3,32

13321321++=aaaaaaaaa,.2,121==aa由3332aa+=,解得.33=a综上可知,}.3,2,1{=A11.解：D提示：{|1,1}{|1,3},1.AxxxBxxxAB==−===−=

=−，从而选D.优化考题新演练1．B提示：方法一（直接法）：121SxxSxx=+=RR,21012T=−−，，，，,故ST=12，.18方法二(排除法)：由121SxxSxx=+=

RR可知ST中的元素比0要大,而C、D项中有元素0，故排除C、D项，且ST中含有元素比1，故排除A项.故答案为B.2.A3.D提示：∵A∪B=A，∴BA,又B≠,∴−+−−+12171221mmmm，即2＜m

≤44．C提示：集合||1|2|31Axxxxx=−=−或，所以|13UCAxx=−，集合2|680|24Bxxxxx=−+=，所以()UCAB为{|23}xx.5.26提示：图出韦氏图，根据韦氏图进行计算.6．（1）{|2}bb（2）92解析

：（1）如图所示，可知b的取值范围是{|2}bb；（2）若(),,xyAB则（x，y）在图中的四边形内，t=2xy+在（0，b）处取得最大值，所0+2b=9，所以b=92.7.解：}2{}2)2({}64}{22=+−=

=+−==yyxyyxxyyA}19{}19)1({}182}{22=++−==+−−==yyxyyxxyyB=NyyyBA}192{}19,18,,4,3,2{=BA8.解：M={－1，

3}MNNNM=①当=N时，ax－1=0无解，∴a=0②axN1,=时当311311131=−==−==−=aaaaxx或或或综①②得：所求集合为{－1，0，31}.22b