【文档说明】陕西省2021届高三下学期5月教学质量检测测评（五）理科数学试题 含答案.docx，共(19)页，1.261 MB，由小赞的店铺上传

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秘密★启用前2020—2021学年陕西省高三教学质量检测测评卷（五）数学（理科）注意事项：1．本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置．3．全部答案在答题卡

上完成，答在本试题卷上无效．4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．1．已知集合()lg20xx+，集合112xBx=，则AB=（）A．(2,0−B．()2,1−−C．(1,0−D．()1,0−2．若复数z满足i1z−=

，iizx=+（xR），则z在复平面内对应的点为（）A．()1,1B．()1,1−C．()1,iD．()1,i−3．《易·系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之．”“河图”“洛书”历来被认为是河洛文化

的滥觞，是华夏文明的源头．如图“洛书”中9个数字排列巧妙，“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中央．”横纵斜方向上的3个数字之和均为15，从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个数，三个数字

之和为15的概率为（）492357816A．121B．221C．17D．4214．已知点P为直线l：1yx=+上一点，点Q为圆C：()2211xy−+=上一点，则PQ的最小值为（）A．21−B．2C．1D．212−5．设sin20m=，c

os20n=，化简2tan10111tan1012sin10+−=−−（）A．mnB．mn−C．nmD．nm−6．已知函数()()sinfxAx=+（0A，0，π2），若()fx的图象经过点2π,03，相邻对称

轴的距离为π2，则()fx的解析式可能为（）A．()cosπ26fxx=−+B．()2sinπ3fxx=+C．()3cos2π3fxx=−D．()4cosπ6fxx=−7．()()242xyxy+−的展开式中24xy的系数为（）A．88B．104C

．40−D．24−8．已知菱形ABCD中，22AC=，2BD=，点E为CD上一点，且2CEED=，则AEB的余弦值为（）A．255B．55C．12D．339．函数(),e,0e0,xxxfxxxx=的部分图象大致为（）A．B．C．D．10．已知如图，在棱长为2的正方体1111A

BCDABCD−中，过1AB且与1AC平行的平面交11BC于点P，则1PC=（）A．2B．3C．2D．111．已知抛物线C：22ypx=（0p）的焦点为()2,0F，过点F的直线交C于A，B两点，OAB△的重心为点G，则点G到直线3310xy−+=的距离的最小值为（）A．2B．2C．22D

．2212．已知函数()fx满足()()11fxfx+=−，且21,ex时，()lnfxx=，若22e,1x−时，方程()()2fxkx=−有三个不同的根，则k的取值范围为（）A．221,eeB．1,e−C．2

12,ee−−D．1,e−+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若变量x，y满足约束条件23,0,4,xyxyxy+−+则25zxy=−+的最小值为________．14．已知双曲线E：22221xyab−=（0

a，0b），()1,8M，过点M的直线交E于A，B两点，M为AB的中点，且直线AB与E的一条渐近线垂直，则E的离心率为________．15．已知锐角ABC△中，3AB=，4AC=，π3A=，延长AB到点

D，使39sin26BCD=，则BCDS=△________．16．如图所示的三棱锥PABC−，PA⊥平面ABC，π2ABC=，若PAa=，ABc=，10PB=，27BC=，当ac取最大值时，点A到平面PBC的距离为________．三、解答题：

共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知正项等比数列na的前n项和为nS，若1a，3a，217a+成等差数列，3210Sa−=．（Ⅰ）求na与nS；（

Ⅱ）设()2log2nnnbSa=+，数列nb的前n项和记为nT，求nT．18．（12分）已知如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为正方形，2ABPA==，PA⊥平面ABCD，E为PC上一点，且2PEEC=．（Ⅰ）求证：PC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角ABEP−−的平面角的余弦值．1

9．（12分）核酸检测也就是病毒DNA和RNA的检测，是目前病毒检测最先进的检验方法，在临床上主要用于新型冠状乙肝、丙肝和艾滋病的病毒检测．通过核酸检测，可以检测血液中是否存在病毒核酸，以诊断机体有无病原体感染．某研究机构为了提高检测效率降低检测成

本，设计了如下试验，预备12份试验用血液标本，其中2份阳性，10份阴性，从标本中随机取出nn份分为一组，将样本分成若干组，从每一组的标本中各取一部分，混合后检测，若结果为阴性，则判定该组标本均为阴性，不再逐一检测；若结果为阳性，需对该组标本逐一检测．以此类推，直到确定所有

样本的结果．若每次检测费用为a元，记检测的总费用为X元．（Ⅰ）当3n=时，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）（i）比较3n=与4n=两种方案哪一个更好，说明理由；（ii）试猜想100份标本有2份阳性，98份阴性时，5n=

和10n=两种方案哪一个更好（只需给出结论不必证明）．20．（12分）已知椭圆E：22221xyab+=（0ab）的左、右焦点分别为1F，2F，上顶点为A，若123AFFS=△，121sin2AFF=．（Ⅰ）

求E的标准方程；（Ⅱ）若直线l交E于P，Q两点，设PQ中点为M，Q为坐标原点，2PQOM=，作ONPQ⊥，求证：ON为定值．21．（12分）已知函数()2212ln2fxxaxax=+−，aR．（Ⅰ）当1a=时，求()fx的图象在点()()1,1f处的切线；（Ⅱ

）求函数()fx的单调区间；（Ⅲ）判断函数()fx在区间210,38ln2aaa+−上的单调性．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．[选修4-4：坐标

系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：1,1xtyt=−=+（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为()223sin12+=．（Ⅰ）求直线l的普通方程和

C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C的交点为A，B，P为曲线C上的动点，若PAB△的面积最大值为S，求S的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()32fxxxm=−+−（xR），不等式()3fx的解集为()1,n．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ

）若三个实数a，b，c，满足abcm++=．证明：()()()2224223mbcabcabc+++++++．2020—2021学年陕西省高三教学质量检测测评卷（五）数学（理科）答案详解123456789101112BABAAADDCDCC1．B【解析】本题考查集合的交集运算与对数不等式、

指数不等式的解法，考查数学运算核心素养．∵()lg20x+，∴021x+，解得21x−−，故集合21Axx=−−．由集合112xBx=得0Bxx=，∴()2,1AB=−−，故选B．2．A【解析】本题考查复数数的运算、复数的

模和复数的几何意义，考查运算求解能力，考查数学核心素养．∵i1zx=+（xR），∴复数1izx=−．又i1z−=，∴()2111x++=，解得1x=−，∴复数1iz=+，∴z在复平面内对应的点为()1,1，故选A．【一题多解】当复数1iz=+时，i1z−

=，()i1ii1iizx=+=−+=+成立，故选A3．B【解析】本题考查古典概型，考查数据分析、逻辑推理、数学运算核心素养．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个数，共有39C84=（种）等可能的

结果，三个数字之和为15的所有可能结果有()1,5,9，()1,6,8，()2,4,9，()2,5,8，()2,6,7，()3,4,8，()3,5,7，()4,5,6，共8种情况，则所求概率828421P==，故选B．4

．A【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养．由题可知圆心()1,0C，半径为1，则圆心C到直线l的距离222d==，当CP垂直于直线l，且点Q为线段CP与圆C的交点时，PQ有最小值21−，故选A．5．A【解析】本题考查二倍角公式和同角三角函数的基本

关系，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养．222tan1011sin10cos10112sin10cos101sin201tan1012sin10cos10sin10cos20cos10sin10cos20cos20mn+++−==−=−==−−−−

，故选A．6．A【解析】本题考查三角函数的图象与性质，考查数形结合思想，考查数学运算、逻辑推理核心素养．因为相邻对称轴的距离为π2，所以函数()fx的最小正周期πT=，所以2=，故选项B，D错误；把点2π,03代入选项A，C，

易知选项C不成立，选项A成立，故选A．7．D【解析】本题考查二项式定理，考查运算求解能力，考查数学运算及逻辑推理核心素养．()2222xyxxyy+=++，2x与()42xy−中的416y的积为2416xy

，2xy与()42xy−中的()334C2xy−的积为2464xy−，2y与()42xy−中的()242C2xy−的积为2424xy，所以24xy的系数为16642424−+=−，故选D．8．D【解析】本题考查菱形、平面向量的坐标运算、平面向量的夹角，考查运算求解能力，考查数学运算及逻辑推

理核心素养．设AC与BD交于点O，以O为坐标原点，AC，BD所在的直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系如图所示，则点()2,0A，()0,1B，22,33E−−，∴422,33EA=，25,33EB

=，则23cos323EAEBAEBEAEB===，故选D．9．C【解析】本题考查分段函数的图象和性质，考查数形结合思想、推理论证能力，考查数学运算、数学抽象核心素养．令函数()exgxx=（0

x），则()()1e0xgxx=+，∴()gx在)0,+上单调递增，且()01g=，∴()gx在坐标原点()0,0处的切线方程为yx=．当0x时，()gx的图象在切线yx=的上方，故选项A，B，D错

误，选项C正确，故选C．10．D【解析】本题考查空间中点、线、面的位置关系、直线与平面平行的判定定理与性质，考查空间想象能力，考查数学运算及逻辑推理核心素养．连接1AB交1AB于点Q，连接PQ，1PA，PB，则1//AC平面1ABP．又1AC平面11ABC，平

面11ABC平面1ABPPQ=，所以1//ACPQ．又Q是1AB的中点，所以P是11BC的中点，所以11PC=，故选D．11．C【解析】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系，考查推理论证能力，考查数学运算及逻辑推理核心素养．由题意得抛

物线C的方程为28yx=．设直线AB的方程为2xmy=+，代入28yx=，消去x得28160ymy−−=，0成立，设点()11,Axy，()22,Bxy，则128yym+=，()12124xxmyy+=++284m=+，所以2848,33mmG+，则点G到直线3310xy

−+=的距离288532mmd−+=．记2885mmt−+=，易知其对称轴12m=，且3t，则32232d=，即min22d=，故选C．12．C【解析】本题考查利用导数研究函数的最值、切线方程、导数的几何意义，考查运算求解能力

及数形结合思想，考查数学运算及直观想象核心素养．因为()()11fxfx+=−，所以函数()fx的图象关于直线1x=对称．当21,ex时，()lnfxx=，则当22e,1x−时，()fx的图象如图所示，直线()2ykx=−为过定点()2,0的一条直线．当直线与当

22e,1x−时的函数()fx的图象相切时，直线与()fx在22e,1−的图象有两个公共点．当22e,1x−时，函数()()()2ln2fxfxx=−=−，()12xfx=−，设切点为()()00,ln2xx−，切线的斜率0

12kx=−，则切线方程为()()0001ln22yxxxx−−=−−，把点()2,0代入得02ex=−，所以1ek=−；当直线过点()22e,2−时，22ek=−，所以k的取值范围为212,ee−−，故选C．13．6−

【解析】本题考查线性规划，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养．作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分（含边界）所示．由图可知，当直线25zxy=−+过点()1,5A−时，目标函数z取得最大值，此时min11056z=−−+=−，故25zx

y=−+的最小值为6−．14．5【解析】本题考查双曲线的方程和几何性质，考查数形结合思想、运算求解能力，考查数学运算与直观想象核心素养．设点()11,Axy，()22,Bxy，代入双曲线E的方程得2211221xyab

−=，2222221xyab−=，两式相减得2222121222yyxxba−−=，即2221222212yybxxa−=−，所以2Ou20ABbkka=．因为8OMk=，直线AB与E的一条渐近线垂直，所以ABakb=，则228abba=，所以2ba=，所以双曲线E的离心率2215bea

=+=．15．3【解析】本题考查三角形的面积公式、正弦定理、余弦定理，考查运算求解能力，考查数学运算及逻辑推理核心素养．因为3AB=，π3A=，由余弦定理得，1916234132BC=+−=，所以239si

nsin13ACABCABC==，则sin4sinCDDBCBDBCD==．设BDx=，则4CDx=，因为13cos13ABC=，所以13cos13DBC=−，由余弦定理得2213161321313xxx=++，即21

52130xx−−=，解得1x=或1315−（舍），所以1BD=，4CD=，则1394133226BCDS==△．16．5【解析】本题考查点到平面的距离、基本不等式、几何体的体积，考查空间想象能力，考查直观想象核心素养．∵π2ABC=，∴ABPC

⊥，PA⊥平面ABC，∴PABC⊥，ABPAA=，故BC⊥平面PAB，即PBBC⊥，∴11271010722PBCSBCPB===△．在RtPAB△中，222PAABPB+=，即222100acPB+==，∴22100ca=−，则222100100502aaacaa+−=−=，当且

仅当22100aa=−，即250a=时取等号，此时52aPA==，52ABc==，三棱锥的体积111150752275232323pABCVABBCPA−===．设点A到平面PBC的距离为d，由等体积法得111115072710332323PABCA

PBCPECVVSdBCPBdd−−=====△，解得5d=．【一题多解】∵π2ABC=，∴ABPC⊥，PA⊥平面ABC，∴PABC⊥，ABPAA=，故BC⊥平面PAB，取PB的中点H，连接AH．∵AH平面PAB，故BCAH⊥．在RtPAB△中，222PAA

BPB+=，∴222100acPB+==，即22100ca=−，则222100100502aaacaa+−=−=，当且仅当22100aa=−，即250a=时取等号，此时52aPA==，52ABc==，此时RtPAB△满足52PAPB==，

5AH=．∵PBAH⊥，BCAH⊥，BCPBB=，∴AH⊥平面PBC，即点A到平面PBC的距离为5AH=．17．【名师指导】本题考查等比数列的通项公式、错位相减法求数列的和，考查运算求解能力及推理论证能力，考查数学运算、逻辑推理核心素养．（Ⅰ）根据等比数列的通项公式、前n

项和公式和等差中项列出方程组，求出1a，q的值，即可求解；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出nb，再利用错位相减法即可求解．解：（Ⅰ）设正项等比数列na的公比为q（0q），由12332,10210,aaaSa++=−=解得12aq==，所以2

nna=，()12122212nnnS+−==−−．（Ⅱ）由（Ⅰ）得()()122log2log22(1)2nnnnnnbSan+=+==+，所以()2322324212nnTn=+++

++，①()2312223212nnTn+=++++，②①－②得()2231222212nnnTn+−=++++−+()()212121221212nnn−+−=+−+−12nn+=

−，所以12nnTn+=．18．【名师指导】本题考查直线与平面垂直的判定定理与性质定理、二面角，考查运算求解能力及空间想象能力，考查逻辑推理及直观想象核心素养．（Ⅰ）先根据直线与平面垂直的判定定理与性质定理，证明BDPC⊥，再利用勾股定理逆定理证明PC

BE⊥，即可得证；（Ⅱ）以A为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，分别求出平面ABE和平面PBE的一个法向量，再利用空间向量的夹角公式即可求解．解：（Ⅰ）证明：连接AC，则ACBD⊥．因为PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD

，所以PABD⊥．又ACPAA=，所以BD⊥平面PAC，PC平面PAC，所以PCBD⊥．因为22AC=，23PC=，所以233CE=．因为PA⊥平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB=，BCAB⊥，

所以BC⊥平面PAB．因为PB平面PAB，所以BCAB⊥，所以3cos3BCBCPPC==，在BCE△中，由余弦定理得222423382cos4223333BEBCCEBCCEBCP=+−=+−=，所以222BECEBC+=，所以PCBE⊥．又BDBEB

=，所以PC⊥平面BDE．（Ⅱ）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则点()0,0,0A，()2,0,0B，442,,333E，()0,0,1P，()2,0,0AB=，44

2,,333AE=，()2,0,2PB=−，444,,333PE=−．设平面ABE的法向量为(),,mxyz=，则由20,4420333mABxmAExyz===++=得0,2,xzy==−令1y=−，得()0,1,2m=−．设平面P

BE的法向量为(),,nabc=，则由220,4440333nPBacnPEabc=−==+−=得,0,acb==令1c=，得()1,0,1n=．设二面角ABEP−−的平面角为，则210cos552mnmn===，由图易知二面角ABEP−−

为锐角，所以二面角ABEP−−的平面角的余弦值为105．19．【名师指导】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查运算求解能力及推理论证能力，考查数学运算、逻辑推理和数据分析核心素养．（Ⅰ）根据题设条件求当3n=时1X的所有可能取值及对应的概率，即可求解；（Ⅱ）（i）求出当4n=时离散型随

机变量的分布列和数学期望并与（Ⅰ）进行比较，即可判断；（ⅱ）由（Ⅱ）（i）可知当数据变大，阳性标本占的比例变小时，应该适当增大n的值．解：（Ⅰ）当3n=时，共分为4组，若2份阳性标本分在一个组，第一轮检测4次，第二轮检测一组3次

，共检测7次；若2份阳性标本分在两个组，第一轮检测4次，第二轮检测两组共6次，总共检测10次，所以检测总费用1X的所有可能取值为7a，10a，任意检测有333312963CCCC种等可能的结果，若2份阳性标本分在一个组，有11333410963

ACCCC种等可能的结果，所以()113334109631333312963ACCCC27CCCC11PXa===；若2份阳性标本分在两个组中，有22233410863ACCCC种等可能的结果，所以()222334108631

33331296391011ACCCCPXaCCCC===，所以1X的分布列为1X7a10aP211911所以1X的数学期望()129104710111111EXaaa=+=．（Ⅱ）（i）当4n=时，共分为3组，检测总费用2X的所有可能取值为7a，10a，任意检测有4441284CCC种等可能

的结果，若2份阳性标本分在一个组，有124431084ACCC种等可能的结果，所以()1244310s424441284ACCC37CCC11PXa===；若2份阳性标本分在两个组，有233431074A

CCC种等可能的结果，所以()23343107424441284ACCC811CCC11PXa===，所以2X的分布列为2X7a11aP311811所以2X的数学期望()2381091047111111111

1EXaaaa=+=，所以3n=的方案更好一些．（ii）10n=更好一些．20．【名师指导】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力及推理论证能力，考查数学运算及逻辑推理核心素养．（Ⅰ）根据已知条件及椭圆中基本量的关系列出方程，求出a，b的值，即可求解椭

圆E的标准方程；（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设出直线l的方程并与椭圆E的方程联立，再利用0OPOQ=即可得证；当直线l的斜率不存在时，设点(),Pmm，代入椭圆E的方程可得m的值，进而可得P，Q两点坐标，即可得证．解：（Ⅰ）由题得121232AFFScb==△，

121sin2bAFFa==．又222abc=+，解得2a=，1b=，所以椭圆E的标准方程为2214xy+=．（Ⅱ）证明：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm=+，代入2214xy+=消去y得()222418440kxkmxm+++−=

，()()222264441440kmkm=−+−，所以22410km−+．设点()11,Pxy，()22,Qxy，则122841kmxxk−+=+，21224441mxxk−=+．因为2PQOM=，所以OPOQ⊥，所以12120OPO

Qxxyy=+=，()()()2222121212122441mkyykxmkxmkxxkmxxmk−=++=+++=+，所以2222444041mmkOPOQk−+−==+，所以22514km+=．坐标原点O到直线l的距离22551mONk==

+为定值；当直线l的斜率不存在时，M即PQ与x轴的交点，2PQOM=，设点(),Pmm，代入椭圆E的方程，解得255m=．当直线l：255x=时，点2525,55P，2525,55Q−，44055OPOQ=−=成立，同理当直线l：255x=−时也成立

，所以255ONm==．综上所述，ON为定值255．21．【名师指导】本题考查切线方程、利用导数研究函数的单调性、最值，考查运算求解能力及推理论证能力，考查数学运算及逻辑推理核心素养．（Ⅰ）求出切线的切点坐标，对()fx

求导，求出切线的斜率，即可求解；（Ⅱ）对()fx求导，分0a，0a=，0a三种情况讨论()fx的正负，即可求解；（Ⅲ）构造函数，结合（Ⅱ）求出函数的最小值，即可求解．解：（Ⅰ）当1a=时，()212ln2xfx

xx=+−，()312f=，所以切点坐标为31,2．因为()21fxxx=+−，则()10f=，所以切线的斜率为0，切线方程为32y=．（Ⅱ）()()()222222xaxaaxaxa

xaxxxxf+−+−=−==+，0x，令()0fx=，得xa=或2xa=−．当0a时，20a−，当0xa时，()0fx，()fx单调递减；当xa时，()0fx，()fx单调递增，所以()fx的单调递增区间为(),a+，()fx的单调递减区间为()0,a；当0a=时

，()0fxx=，()fx单调递增，所以()fx的单调递增区间为()0,+；当0a时，20a−，当02xa−时，()0fx，()fx单调递减；当2xa−时，()0fx，()fx单调递增，所以()fx的单调递增区间为()2,a−+，()fx的单调递减区间为()

0,2a−．（Ⅲ）当210,38ln2xaaa+−时，0a，由（Ⅱ）知，()fx的单调递增区间为(),a+，()fx的单调递减区间为()0,a．令()221138ln28ln22gaaaaaaaa=+−−=+−

，当2a=时，()2128ln2fxxxx=+−，当2x=时，()fx取极小值也是最小值，()268ln20f=−，所以()0ga，即2138ln2aaaa+−，所以()fx在()0,a上单调递减，在21,38ln2aaaa+−上单调递增．22．【名师指

导】本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查化归与转化思想，考查数学运算核心素养．（Ⅰ）将直线l的参数方程消参可得直线l的普通方程，利用极坐标方程和直角坐标方程的互化公式即可求得曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，再利用弦长公式求

得AB，设出点P的极坐标，求出点P到直线l的距离的最大值，再利用三角形的面积公式即可求解．解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为1,1xtyt=−=+（t为参数），∴消去参数t可得直线l的方程为20xy+−=．∵曲线C的极坐标

方程为()223sin12+=，即2223sin12+=，∴曲线C的直角坐标方程为223412xy+=，即22143xy+=．（Ⅱ）设直线l的参数方程为21,2212xtyt=−=+（t为参数），代入曲线C的直角坐标方程22341

2xy+=中，整理得2722100tt+−=．设点A，B对应的参数分别为1t，2t，则12227tt+=−，12107tt=−，()212121212247ABtttttt=−=+−=．P为曲线C上的点，设其坐标为()2cos,3sin，设点

P到直线l：20xy+−=的距离为d，由点到直线的距离公式得()22222cos3sin27sin22723tan321111d+−+−+===++，故d的最大值为272+，∴PAB△的面积最大值()62711

1222722772SABd++===．23．【名师指导】本题考查解绝对值不等式的解法、柯西不等式、不等式的证明，考查逻辑推理、数学运算核心素养．（Ⅰ）由题意求出m的值，利用零点分段法解不等式，再取并集即可求解；（Ⅱ）由（Ⅰ）得1abc++=，再利用柯西不等式即可

证明．解：（Ⅰ）由题意知，1为方程323xxm−+−=的根，∴31213m−+−=，解得1m=，∴()3fx，即不等式3213xx−+−．①当1x时，由()743fxx=−，解得1x，此时x；②当12x时，()523fxx=−，解得1x，此时1

2x；③当2x时，()473fxx=−，解得52x，此时522x，所以不等式的解集为51,2．综上可知1m=，52n=．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知1m=，∴1abc++=，故只需证明()()()2224223bcabcabc+++++++，即()()()2

2241113abc−++++．由柯西不等式得()()()()()()()2222222111111111111abcabc−++++−++++++()22124abc=+++==

，当且仅当111abc−=+=+且()()()22241113abc−++++=，即53a=，13bc==−时，等号成立．∴()()()22231114abc−++++，即()()()22241113abc−

++++，故()()()2224223bcabcabc+++++++，即()()()2224223mbcabcabc+++++++．