【文档说明】福建省莆田第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题 含答案.pdf，共(12)页，578.725 KB，由小赞的店铺上传

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1莆田一中2020-2021学年度上学期第一学段考试试卷高二数学选修2-1命题人：审核人：高二数学备课组试卷满分150分考试时间120分钟一、选择题(本大题共有8小题，每小题5分，共40分，每小题在给出

的四个选项中，只有一项符合题目要求的)1.抛物线212yx的焦点坐标是（）A．0,1B．102,C．10,4D．10,82.已知(2,1,4),(1,1,2),(7,5,)a

bcm，若,,abc共面，则实数m的值为（）A．607B．14C．12D．6273.如图，在四面体OABC中，1G是ABC的重心，G是1OG上的一点，且12OGGG，若OGxOAyOBzOC

，则(,,)xyz为（）A.111(,,)222B.222(,,)333C.111(,,)333D.222(,,)9994.在一平面直角坐标系中，已知1,6A，2,6B，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为（）A．27B．

41C．17D．355.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24yx的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点3,1M射2出，经过抛物线上的点A反射后，再

经抛物线上的另一点B射出，则ABM的周长为（）A．712612B．910C．832612D．9266.直三棱柱111ABCABC中，1ABACAA，60BAC，则异面直线1BA和1AC所成角的余弦值为（）A．32B．34C．14D．137.已知F是

椭圆E：222210xyabab的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若3PFQF，且120PFQ，则椭圆E的离心率为（）A．74B．12C．34D．328.已知水平地面上有一篮球，球的中心为O，在斜平行光线的照射下，其阴影为

一椭圆（如图），在平面直角坐标系中，椭圆中心O为原点，设椭圆的方程为22142xy，篮球与地面的接触点为H，则||OH的长为（）A．62B．2C．32D．103二．选择题(本大题共有4小题，每小题5分，共

20分，在每小题在给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9.设m，n是空间两条不同直线，，是空间两个不同平面，则下列选项中正确的是（）A．当n⊥时，“n⊥”是“∥”成立的充要条件3B．当时，“m⊥”是“”的充分

不必要条件C．当时，“n//”是“”必要不充分条件D．当时，“”是“”的充分不必要条件10．已知抛物线24xy的焦点为F，11,Axy，22,Bxy是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）A．点F的坐标为1,0B．若A，F，B三点共

线，则3OAOBC．若直线OA与OB的斜率之积为14，则直线AB过点FD．若6AB，则AB的中点到x轴距离的最小值为211.已知1F、2F分别为双曲线22221(0,0)xyab

ab的左、右焦点，且2122bFFa，点P为双曲线右支一点，I为12PFF△的内心，若1212IPFIPFIFFSSSl=+△△△成立，则下列结论正确的有（）A．当2PFx轴时，1230PFFB．离心率152eC．512D．点I的横坐标为定值

a12.在如图所示的棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点P在侧面11BCCB所在的平面上运动，则下列命题中正确的为（）A．若点P总满足1PABD，则动点P的轨迹是一条直线B．若点P到点A的距离为2，则动点P的轨迹是一个周长为2的圆4C．若点P

到直线AB的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆D．若点P到直线AD与直线1CC的距离相等，则动点P的轨迹是双曲线二:填空题(本大题共有4个小题，每题5分，共20分)13.已知命题p：xR，22

0xxa，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是______.14.已知双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线方程为3yx，若其右顶点到这条渐近线的距离为3，则双曲线方程为______．15.设A，B分别是直线y＝2x和y＝﹣2x上

的动点，满足|AB|＝4，则A的中点M的轨迹方程为_____．16.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的鳖臑PABC中，PA平面ABC，90ACB，4CA，2PA，D为

AB中点，E为PAC内的动点（含边界），且PCDE.①当E在AC上时，AE______；②点E的轨迹的长度为______.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤．)17.（本小题满分10分）已知命题:p实数t满足22540tata，:q实数t满足

曲线22126xytt为双曲线.（1）若1a，且p为假，求实数t的取值范围；（2）若0a，且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围.518.（本小题满分12分）如图在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，E是AB上一点，2PD

，32AD,2CD，12AE．(1)求二面角EPCD的大小；(2)求点B到平面PEC的距离．19.（本小题满分12分）已知F是抛物线C：22ypx(0)p的焦点，点A在C上，A到y轴的距离比||AF小1.（1）求C的方程；（2）设直线AF与C交于另一点B，

M为AB的中点，点D在x轴上，||||DADB.若||6DM，求直线AF的斜率.20.（本小题满分12分）正四棱锥PABCD的底面正方形边长是4，O是P在底面上的射影，22PO，Q是AC上的一点，ACAQ41,过Q且与PA、BD都平行的截面为五边

形EFGHL．（1）在图中作出截面EFGHL(写出作图过程）；（2）求该截面面积．621.（本小题满分12分）在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，//BCAD，90ADC，112BCCDAD，E为线段AD的中点，过BE的平面与线段PD，

PC分别交于点G，F．（1）求证：GFPA；（2）若2PAPD，是否存在点G，使得直线PB与平面BEGF所成角的正弦值为105，若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．22.（本小题满分12分）已知椭圆22122:1(0)xyCabab

的左右焦点是12,FF，且1C的离心率为32.抛物线22:20Cypxp的焦点为2F，过2OF的中点Q垂直于x轴的直线截2C所得的弦长为26.（1）求椭圆1C的标准方程；（2）设椭圆1C上一动点T满足：2OTOAOB

，其中,AB是椭圆1C上的点，且直线,OAOB的斜率之积为14.若(,)N为一动点，点P满足1212PQFF.试探究NPNQ是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不

是，请说明理由.7莆田一中2020-2021学年度上学期第一学段考试试卷高二数学选修2-1二、选择题BBDDDCABABDBCDBCDABD三、填空题13.,114.221412xy15.

22116yx16．2255三、解答题17、解：（1）p为假，∴p为真，21,540att，解得1,4t；（2）:p由22540tata得()(4)0tata:q由实数t满足曲线22126xytt为双曲线.得(2)

(6)0tt解之26t由0a且()(4)0tata得，4ata设|4Atata，|26Btt，因为q是p的充分不必要条件，所以集合B是集合A的真子集，故有0246aaa

，得322a.18.（1）以D为原点，向量DA，DC，DP的方向分别为x，y，轴的正方向建立空间直角坐标系，∴31,,022E，31,,222PE

，33,,022EC．设平面PEC的一个法向量为,,nxyz，由0nPE，0nEC，得31202233022xyzxy，令1y，则3,2xz.所以

3,1,2n，取平面PCD的一个法向量为1,0,0m，8设二面角EPCD的大小为，由图可知为锐角.∴2cos2mnmn，∴4，即二面角EPCD的大小为4．（2）由（1）知平面PEC的一个法向量为(3,

1,2)n，又3,2,02B，∴30,,02BE，∴点B到平面PEC的距离||64||BEndn．19.（1）设C的准线为l，过A作AHl于H，则由抛物线定义，得||||AFAH，因为A到F的距离比到y轴的距离大1，所以1

2p，解得2p，所以C的方程为24yx（2）由题意，设直线AF方程为(1)ykx，由2(1),4,ykxyx消去y，得2222240kxkxk，设11,Axy，22,Bxy，则212224kxxk，所以121242yykxxkk

，又因为M为AB的中点，点M的坐标为2222,kkk，9直线DM的方程为22212kyxkkk，令0y，得223xk，点D的坐标为223,0k，所以22224246DM

kk，解得22k，所以直线AF的斜率为2.20、解：（1）由题可知，Q是AC上的一点，过Q且与PA、BD都平行的截面为五边形EFGHL，过Q作//ELBD，交AB于点E，交AD于点L，过Q作//QGPA，交PC于点G，再过点E作//EFPA，交PB于点

F，过点L作//HLPA交PD于点H，连接,,FGGHFH，//EFPA，//HLPA，//GQPA，////EFHLGQ，所以,,,,EFGHL共面，Q平面EFGHL，//ELBD，EL平面EFGHL，//BD平面EFGHL，同理//PA平面EFG

HL.所以过Q且与PA、BD都平行的截面EFGHL如下图：（2）由题意可知，//PA截面EFGHL，//BD截面EFGHL，//,//,//PAEFPAHLPAGQ，//,//BDELBDFH，而O是在底面上的射影

，22PO，PO平面ABCD，BDAC，POBD，且ACBDO，所以BD平面PAC，则BDPA，EFEL，又//FHBD，PABCD为正四棱锥，PHPF，故PFGPHG△△，于是GFGH，10因此截面EFGHL是由两个全等的直角梯形组

成，因//ELBD，则AEL△为等腰直角三角形，224PAPOOA122EFPA，同理得，334QGPA，设截面EFGHL面积为S，所以(23)*252SEFQGEQ，所以截面

EFGHL的面积为52.21、（1）证明：12BCAD，且E为线段AD的中点，BCDE，又//BCAD，四边形BCDE为平行四边形，//BECD，又CD平面PCD，BE平面PCD，//BE平面PCD，又平面BEGF平面PCDGF，//BEGF，又BE

AD，且平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BE平面PAD，GF平面PAD，又PA平面PAD，GFPA.（2）存在，G为DP的靠近D点的三等分点．PAPD，E为线段AD的中点，PEAD∴，

又平面PAD平面ABCD，PE平面ABCD，以E为坐标原点，EA的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，则0,0,1P，0,1,0B，0,0,0E，1,0,0D，则0,1,

1PB，0,1,0BE，1,0,1DPuuur，11设DGDP，得1,0,G，1,0,EGuuur，设平面BEGF的法向量为,,nxyz，

则0,0,BEnEGn即0,10,yxz令xλ，可得,0,1n为平面BEGF的一个法向量，设直线PB与平面BEGF所成角为，于是有22110sinco

s,521nPBnPBnPB；得13或1（舍），所以存在点21,0,33G，使得直线PB与平面BEGF所成角的正弦值为105，故G为DP的靠近D点的三等分点．22.解：（1）

抛物线22:2Cypx的焦点为2(,0)2pF，∴(,0)4pQ过Q垂直于x轴的直线截22ypx所得的弦长为26所以2624pp，解得23p.所以2(3,0)F又∵椭圆1C的离心率为32，∴2,1ab椭圆1C的方程为2214xy，

.（2）设(,)Txy，11(,)Axy，22(,)Bxy，则由2OTOAOB，得122xxx，122yyy∵点,,TAB在椭圆2214xy上，∴所以221144xy，

222244xy，2244xy故222212124(2)4(2)xyxxyy1222222211221212(4)4(4)4(4)4xyxyxxyy.设,OAOB

kk分别为直线,OAOB的斜率，由题意知，121214OAOByykkxx因此121240xxyy所以2241..所以N点是椭圆上22114上的点，.∵3(,0)2Q，又∵1212

PQFF，∴3,02P.∴,PQ恰为椭圆22114的左、右焦点，由椭圆的定义，2NPNQ为定值.