【文档说明】【精准解析】吉林省榆树市第一高级中学2020届高三上学期期末考试数学（文）试卷.doc，共(22)页，1.667 MB，由小赞的店铺上传

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数学（文）试题一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.1.若集合|0Bxx=，且ABA=，则集合A可能是（）A.1,2B.|1xxC.1,0,1−D.R【答案】A【解析】∵ABA=∴AB∵集合{|0}Bxx=∴选项A满

足要求故选A.2.已知复数1=−izi（i为虚数单位），则z的虚部为（)A.12iB.12i−C.12D.12−【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算化简z，由此求得z的虚部.【详解】()()()1111111222iiiiziiii+−+====−

+−−+，故虚部为12.故选：C【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数虚部的概念，属于基础题.3.设,xy满足约束条件3002xyxyx−++,则3zxy=+的最小值是A.5−B.4C.3−D.11【答案】C【解析】

画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．由3zxy=+可得3yxz=−+．平移直线3yxz=−+，结合图形可得，当直线3yxz=−+经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z也取得最小值．由300xyxy−+=+=，解

得3232xy=−=，故点A的坐标为33(,)22−．∴min333()322z=−+=−．选C．4.已知1.22a=，0.81()2b−=，52log2c=，则a,b,c的大小关系为（）A.cbaB.cab

C.bacD.bca【答案】A【解析】【详解】试题分析：因为0.80.81()22b−==，所以由指数函数的性质可得0.81.2122ba==，552log2log41c==，因此cba,故选A.考点：1、指数函数的性质；2

、对数函数的性质及多个数比较大小问题.【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小问题，属于中档题.多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质，所以也是常常是命题的热点，对于这类问题，解答步骤如下：（1）分组，先根据函数的性质将所

给数据以0,1为界分组；（2）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，将各个数按顺序排列.5.若()fx是定义在-2,2上的偶函数，在-2,0为增函数，则(1)(2)fxfx−的解集为（）A.21,3−B.11,3−C.1,1−D.1

,13【答案】B【解析】【分析】判断出()fx的单调性，由此化简不等式(1)(2)fxfx−，求得不等式的解集.【详解】由于()fx是定义在22−,上的偶函数，且在2,0−上递增，所以在0,2上递减.由(1)(2)fxfx−得21222212xxxx−−−

−()22131114xxxx−−−113x−，所以不等式的解集为11,3−.故选：B【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于基础题.6.已知椭圆22122:1(0)xyCabab+=与圆222

2:Cxyb+=，若椭圆1C上存在点P，使得由点P所作的圆2C的两条切线互相垂直，则椭圆1C的离心率最小值为（）A.33B.32C.22D.12【答案】C【解析】【分析】画出图像，根据图像判断出2ba，由此求得离心率的取值范围，进而求得离心

率的最小值.【详解】设过P作圆的切线，切点为,AB，连接,,OAOBOP.由于PAPB⊥，根据切线的对称性可知4APOBPO==.在RtOAP中有2OPOAa=，即2ba，所以222ba，即()2222ac

a−，化简得222ac，212ca，所以椭圆1C离心率的最小值为22.故选：C【点睛】本小题主要考查椭圆离心率最值的求法，考查圆的切线的几何性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.7.ABC的内角A

，B，C的对边分别为a，b，c，且3b=，2c=，O为ABC的外心，则AOBC=（）A.132B.52C.52−D.6【答案】B【解析】【分析】取BC的中点D，可得0ODCB=，这样AOBCAD

BC=，然后都用,ACAB表示后运算即可．【详解】取BC的中点D，连接,ODAD，∵O是ABC外心，∴ODBC^，0ODCB=，()AOBCADDOBCADBCDOBC=+=+1()()2ADBCACABACAB==+−2222115()(32)222ACAB=−=−=．故选：

B．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是取BC的中点D，把AOBC转化为ADBC，再选取,ACAB为基底，用基底进行运算．8.执行如图所示的程序框图，当输出210S=时，则输入n的值可以为A.6B.7C.8D.9【答案】B【

解析】【详解】由题意，模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算S=n×（n-1）×…×5的值，由于S=210=7×6×5，可得：n=7，即输入n的值为7．故选B．9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A.143B.103C.83D.53π【答案】C【解析】【分析】根据三视图判断出几何体由半个球和半个圆柱构成，由此计算出几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体的上半部分是半个球，下半部分是半个圆柱，故体积为

3214181142323+=.故选：C【点睛】本小题主要考查由三视图还原原图，考查球和圆柱体积有关的计算，属于基础题.10.已知锐角满足cos()cos24−=，则sincos等于（）A.14B.14−C.24D.24−【答案】A

【解析】由cos（α﹣4）=cos2α，得22coscossinsincossin44+=−2(sincos)(sincos)(cossin)2+=+−，(0,)2∴sinα+cosα＞0，则cosα﹣sinα=22．两边平方得：112sincos2−

=，∴1sincos4=．故答案为A．11.抛物线2:2(0)Cxpyp=焦点F与双曲线22221yx−=一个焦点重合，过点F的直线交C于点A、B，点A处的切线与x、y轴分别交于M、N，若OMN的面积为4，则||AF的长为（）A.3B.

4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】双曲线的一个焦点为()0,1F，所以2p=，设点211,4xAx，则利用导数得到A处切线方程21124xxyx=−，求出,MN的坐标后利用OMN的面积为4得

到14x=，最后利用焦半径公式可求AF.【详解】双曲线的一个焦点为()0,1F，所以2p=.设点211,4xAx，故抛物线在点A处切线的斜率为12xk=，切线方程为()22111112424xxxxyxxx=−+=−，所以211,0,0,24xxMN

−，所以311428OMNxS==，故14x=，2141542xpAF=+=+=，故选C.【点睛】若求抛物线()220xpyp=上点A的切线，我们一般可利用导数求出切线的斜率，再结合切线方程讨论相关问题.注意求焦半径的大小时应利用抛

物线的焦半径公式来求.12.已知数列na的前n项和2nSnn=−，数列nb满足1sin2nnnba+=，记数列nb的前n项和为nT，则2017T=（）A.2016B.2017C.2018D.201

9【答案】A【解析】【分析】由2nSnn=−得到22nan=−，即nb=2(1)cos2nn−，利用分组求和法即可得到结果.【详解】由数列na的前n项和为2nSnn=−，当1n=时，11110aS==−=；当2n…时，1nnnaSS−=−22(1)(1)22nnnnn

=−−−−−=−，上式对1n=时也成立，∴22nan=−，∴cos2nnnba==2(1)cos2nn−，∵函数cos2ny=的周期242T==，∴()2017152013Tbbb=++++(26bb+)20

14b++()()3720154820162017bbbbbbb+++++++++LL02(152013)0=−+++++2(3+72015)045042016+++==L，故选A.【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要

考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分.13.学校艺术节对同一类的A，B，C，D四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“C或D作品获得一等奖”；乙说：“

B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“C作品获得一等奖”．若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______.【答案】B【解析】【分析】首先根据“学校艺术节对ABCD、、、四件参赛作品只评一件

一等奖”，故假设ABCD、、、分别为一等奖，然后判断甲、乙、丙、丁四位同学的说法的正确性，即可得出结果．【详解】若A为一等奖，则甲、丙、丁的说法均错误，不满足题意；若B为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意；若C为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意；若D

为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；综上所述，故B获得一等奖．【点睛】本题属于信息题，可根据题目所给信息来找出解题所需要的条件并得出答案，在做本题的时候，可以采用依次假设ABCD、、、为一等奖并通过是否满足题目条件来判断其是否正确．14.若直

线20lxy+=：与圆()()22:10Cxayb−+−=相切，且圆心C在直线l的上方，则ab的最大值为___________．【答案】254.【解析】【分析】根据直线和圆相切，圆心到直线的距离等于半径列方程，求得,ab的关系，利用二次函数的性质求得ab的最大值.【详解】圆

的圆心为(),ab，半径为10，由于直线和圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即210,2525abab+=+=.由于圆心(),ab在直线2xy=−的上方，所以2ab−，即20ab+，所以2252abab+=+=，522ab=−，则()2

522252abbbbb=−=−+，对称轴为()5252224−=−，所以ab的最大值为2525225252444−+=.故答案为：254【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查点和直线的位置关系，考查化

归与转化的数学思想方法，属于中档题.15.在平面四边形ABCD中，AB⊥BD，∠BCD=30°，AB2+4BD2=6，若将△ABD沿BD折成直二面角A-BD-C，则三棱锥A-BDC外接球的表面积是______.【答案】6.【解析】【分析】先证明一条侧棱垂直于底面，可得外接球的球心为过底面外

接圆的圆心作垂直于底面的垂线与中截面的交点，再由2222ABRr=+求得外接球的半径，进而求出外接球的表面积.【详解】因为将ABD沿BD折成直二面角ABDC−−，ABBD⊥，面ABD面,BCDBDAB=

面ABD，所以AB⊥面ABD.所以外接球的球心为过底面外接圆的圆心作垂直于底面的垂线与中截面的交点，设外接球的半径为R，底面外接圆的半径为r，则2222ABRr=+，在BCD中，由题意知2sinsin30BDBDrBCD==，所以rBD=，所以22222

444ABABBDRBD+=+=，而2246ABBD+=，所以232R=，所以外接球的表面积为246SR==.故答案为：6【点睛】本小题主要考查折叠问题，考查几何体外接球表面积的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.16.已知双曲线()22

2210,0xyabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，点A是双曲线左支上的一点，若直线1AF与直线byxa=平行且12AFF的周长为9a，则双曲线的离心率为______.【答案】2【解析】【分析】根据双曲线的定

义及三角形的周长可求出2111272||,||22acacAFAF−−==，利用直线1AF与直线byxa=平行知12cosaAFFc=，结合余弦定理即可求解.【详解】由双曲线定义知21||||2AFAFa−=，又21||||92AFAFac+=−解得2111272||,||22acacAF

AF−−==，因为直线1AF与直线byxa=平行，所以12tanbAFFa=，故12cosaAFFc=，由余弦定理得：12cosaAFFc=222121||4||2||2AFcAFAFc+−=即2211844144eeeee−++=−，化简得2280ee+−=，解得2e=或4e=−

（舍去）.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，余弦定理，双曲线的离心率，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC中,,ABC的对边分别,,abc，若()2sin(2)()26fxxfC

=+=−，，7c=，sinB=2sinA，（1）求C（2）求a的值．【答案】（1）23C=；（2）1a=.【解析】【分析】（1）由()2fC=，结合特殊角的三角函数值，求得C.（2）利用正弦定理得到2ba=，利用余弦定理列方程，解方程求得a的值.【详解】（

1）由()2fC=−,得sin(2)16C+=−,且(0,)C,所以3262c+=，23C=-（2）因为sin2sinBA=,由正弦定理得2ba=又由余弦定理2222coscababC=+−得：22

27422cos,3aaaa=+−解得1a=【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，属于基础题.18.等差数列{an}的前n项和为Sn，且3a=9，S6=60．（I）求数列{an}的通项公式；（II）若数列{bn}满足b

n+1﹣bn=na（n∈N+）且b1=3，求数列1nb的前n项和Tn．【答案】（Ⅰ）an=2n+3；（Ⅱ）31142(1)2(2)nn−−++.【解析】试题分析：（Ⅰ）设出等差数列的首项和公差，利用通项公式、前n项和公式列出关于首项和公差的方程组进

行求解；（Ⅱ）利用迭代法取出数列{}nb的通项公式，再利用裂项抵消法进行求和.试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a3=9，S6=60．∴，解得．∴an=5+（n﹣1）×2=2n+3．（Ⅱ）∵bn+1﹣bn=an=2n+3，b1=3，当n≥2时，bn=（bn﹣bn﹣

1）+…+（b2﹣b1）+b1=[2（n﹣1）+3]+[2（n﹣2）+3]+…+[2×1+3]+3=．当n=1时，b1=3适合上式，所以．∴．∴==点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有：（1）已知数列的通项公式为1(1)nann=+，求前n项和：111(1)1nannnn==

−++；（2）已知数列的通项公式为1(21)(21)nann=−+，求前n项和：1111()(21)(21)22121nannnn==−−+−+；（3）已知数列的通项公式为11nann=++，求前n项和:.1

11nannnn==+−++19.“共享单车”的出现，为我们提供了一种新型的交通方式．某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度，从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图：（1）根据茎叶图，比较两城市

满意度评分的平均值的大小及方差的大小（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）若得分不低于80分，则认为该用户对此种交通方式“认可”，否则认为该用户对此种交通方式“不认可”，请根据此样本完成此2×2列联表，并据

此样本分析是否有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；AB合计认可不认可合计（3）在A，B城市对此种交通方式“认可”的用户中按照分层抽样的方法抽取6人，若在此6人中推荐2人参加“单车维护”志愿活动，求A城市中至少有1人的概率．参考数据如

下：（下面临界值表供参考）2()PKk0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+

++）【答案】（1）A城市评分的平均值小于B城市评分的平均值，A城市评分的方差大于B城市评分的方差，（2）没有95%的把握，（3）3()5PM=【解析】【详解】试题分析：（1）结合茎叶图根据数据的分布可得结论．（2）结合题意的到列联表，根据表中的数据求得283.8413K=，

对比临界值表可得没有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关．（3）先由分层抽样方法得到在A，B两市抽取的人数，然后根据古典概型概率公式求解即可．试题解析：(1)由茎叶图可得：A城市评分的平均值小于B城市评分的平均值；A城市评分的方差大于B城市评

分的方差．(2)由题意可得2×2列联表如下：故()2240510101583.841202015253K−==，所以没有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关．(3)由题意得在A市抽取562510=+人，设为x,y；在B市抽取1064510=+人，设为a,b,c,d

．则从6人中推荐2人的所有基本事件共有：(,),(,),(,),(,),(,),(,),xyxaxbxcxdya(,),(,),ybyc(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)ydabacadbcbdcd，共1

5个．设“A市至少有1人”为事件M，则事件M包含的基本事件为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),xyxaxbxcxdya(,),(,),(,)ybycyd，共9个．由古典概型概率公式可得()93155PM==，故A城

市中至少有1人的概率为35．20.在如图如示的多面体中，平面AEFD⊥平面BEFC，四边形AEFD是边长为2的正方形，EF∥BC,且122BECFBC===.（1）若,MN分别是,AECF中点，求证：MN∥平面ABCD（2）求此多面体ABCDEF的体积【答案】（1）见解析（2）833V=【解析】

【详解】试题分析：（1）在平面CDF中，作NHCF⊥交DC于H，连接AH，根据条件可得四边形AMNH是平行四边形，于是MN∥AH，由线面平行的判定定理可得结论成立．（2）结合图形将多面体ABCDEF的体积分为DBCFBAEFDVV

−−和两部分求解，由题意分别求得两个椎体的高即可．试题解析：（1）证明：在平面CDF中，作NHCF⊥交DC于H，连接AH．,MN是,AECF中点，且AEFD是正方形，NH∥DF,12NHDF=，又AM∥D

F,12AMDF=，,NHAMNH=∥AM，四边形AMNH是平行四边形，MN∥AH，又AH平面ABCD，MN平面ABCD，MN∥平面ABCD．（2）解：如图，连BD,BF,过F作FG⊥EF，交BC于点G．

四边形BEFC是等腰梯形，()11,32CGBCEFFG=−==．平面AEFD⊥平面BEFC，平面AEFD平面BEFCEF=，FG⊥EF，DF⊥EF，GF⊥平面AEFD,DF⊥平面BEFC．111434

323323DBCFBCFVSDF−===，1143223333BAEFDAEFDVSHF−===正方形，故多面体ABCDEF的体积833DBCFBAEFDVVV−−=+=．21.已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，若椭圆经过点(

)6,1P−，且△PF1F2的面积为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设斜率为1的直线l与以原点为圆心，半径为2的圆交于A，B两点，与椭圆C交于C，D两点，且CDAB=（R），当取得最小值时，

求直线l的方程.【答案】(1)22184xy+=；(2)yx=.【解析】【分析】（1）根据12PFF△的面积求得c的值，再利用椭圆过点()6,1P−及222abc=+，求得,ab的值，从而求得椭圆的方程；（2）设直线l的方程为yxm=+，由直线和圆、椭圆都相交，求得22m−

，再利用弦长公式分别计算AB，CD，从而建立()fm=的函数关系式，当取得最小值时，可求得m的值，从而得到直线l的方程.【详解】解：（1）由12PFF△的面积可得12122c=，即2c=，∴224ab−=．①又椭圆C过点(

)6,1P−，∴22611ab+=．②由①②解得22a=，2b=，故椭圆C的标准方程为22184xy+=.（2）设直线l的方程为yxm=+，则原点到直线l的距离2md=，由弦长公式可得2222822mABm=−=−．将yxm=+代入椭圆方程22184xy+=，得223

4280xmxm++−=，由判别式()221612280mm=−−，解得2323m−．由直线和圆相交的条件可得dr，即22m，也即22m−，设()11,Cxy，()22,Dxy，则1243mxx+=−，212283mxx−=，由弦长公式，得()2222121

216832424212933mmCDxxxxm−=+−=−=−．由CDAB=，得222412228313482mCDABmm−===+−−．∵22m−，∴2044m−，则当0m=时，取得最小值263，此时直线l的方程

为yx=．【点睛】本题考查直线与圆、直线与椭圆的位置关系、弦长公式的计算、函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想的灵活运用，求解时要注意坐标法思想的运用，即如何利用坐标将与m建立联系，从而使问题得到解决.22.已知函数2()(0,)xxaxafxxaR

e−+−=.（1）当1a=时，求函数()fx的极值；（2）设()()()1fxfxgxx+=−，若函数()gx在(0,1)(1,)+内有两个极值点12,xx，求证：1224()()gxgxe.【答案】（1）极大值1(1)fe=−，极小值23(2)fe=−（2

）见解析【解析】试题分析：（1）当1a=时，()21(0)xxxfxxe−+−=，求导后根据导函数的符号判断函数()fx的单调性，从而可得函数的极值．（2）由题意得()()()222221xxaxgxxe−++=

−，设()()2222hxxax=−++，结合题意可得方程()0hx=在()()0,11,+上有两个不相等的实根12,xx，且1不能是方程的根，故可得()21212216020210aaxxxx=+−++==，由此可得2a

．然后求得()()12gxgx=()2222224222aaaaee++−==+−，最后由2a可得结论成立．试题解析：（1）当1a=时，()21(0)xxxfxxe−+−=.∴()()

()()()2221112(0)xxxxxexxexxfxxee−+−−+−−−==当()()0,1,2,x+时()0fx，()fx单调递增；当()1,2x时，()0fx，()fx单调递减．所以()fx在()0,+上有

极大值()11fe=−，极小值()232fe=−．（2）由题意得()()()()211xfxfxxagxxxe+−+==−−，∴()()()222221xxaxgxxe−++=−，设()()2222hxxax=

−++，∵函数()gx在()()0,11,+内有两个极值点12,xx，∴方程()()22220hxxax=−++=在()()0,11,+上有两个不相等的实根12,xx，且1不能是方程的根，∴()21212216020210aaxxxx=+−++==，解得2a

．∴()()()()()()()()12122121212121212122242111xxxxxaxaxxaxxagxgxxexexxxxe+−+−+−++==−−−++()22222242

22aaaaee++−==+−，∴2,a∴22244aee+，∴()()1222244agxgxee+=．