【文档说明】江西省上饶市余干县第三中学2020-2021学年高二下学期第三次月考数学（文）试题 版含答案.docx，共(10)页，834.868 KB，由小赞的店铺上传

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余干三中2020-2021学年度高二下学期第三次月考卷数学（文）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题(每题5分)1．复数2020511zii=++（其中i为虚数单位），则z=

（）A．13B．55C．157D．2342．已知集合2|20Axxx=−−，|21xBx=，则AB=（）A．(1,0)−B．(0,1)C．(1,1)−D．(0,2)3．已知数列na中，11a=，又()1,1naa+=，()21,1nba=+，若//ab，则4a=（）

A．7B．9C．15D．174．函数()()11xxefxxe+=−（其中e为自然对数的底数）的图象大致为A．B．C．D．5．已知2a=,3b=，()1aba−=−，则向量a在向量b方向上的射影为（）A．2B．2C．

3D．36．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，两数和为偶数的概率为（）A．15B．25C．35D．3107．已知实数,xy满足不等式组10240440xyxyxy+−−++−，则4zxy=−的最小值为（）A．16−B．10−C．8−D．

48．已知1213tan1523,log,513tan15abc−===+，设mabc=++，则与m最接近的整数为（）A．3B．4C．5D．69．已知()sin()(0,(0,))fxx=+，若函数()fx图像的一个对称中心为,06

，函数|()|yfx=图像相邻对称轴间的距离为4，则=（）A．56B．23C．1112D．310．已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab−=，过E的右焦点F作其渐近线的垂线，垂足为P，若OPF△的面积为34ac

，则E的离心率为（）A．3B．233C．2D．211．在三棱锥SABC−中，SA⊥底面ABC，且22,60,2ABACASA====，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．2B．4C．8D．1212．在锐角ABC中，三内角,,ABC的对

边分别为,,abc，且2sinabC=，则tantantanABC++的最小值为（）A．2B．4C．6D．8二、填空题(每题5分)13．抛物线24xy=的焦点坐标是__________．14．已知()1222xxmfx++=−为奇函数，则m

=______．15．函数()()()()210,1fxxxx=−取最大值时，对应x的值为______．16．已知圆22:1Oxy+=，A点为圆上第一象限内的一个动点，将OA逆时针旋转90°得OB，又()1,0P，则PAPB的取值范围为____

____．三、解答题(每题12分)17．在等差数列na中，公差10,2da=，若124,,aaa成等比数列．（1）求na；（2）若数列na的前n项和为nS，数列1nS的前n项和为nT，求nT．18．如图，四棱柱1111ABCDABCD−

的底面ABCD是菱形ACBDO=，1AO⊥底面ABCD，11AAAB==．（1）求证：平面1ACO⊥平面11BBDD；（2）若60BAD=，求四棱锥1AABCD−的体积．19．盒子里装有4张卡片，上面分别写着数字1，1，2，2，每张卡片被取到的概率相等.先从盒子中任取1张卡

片，记下上面的数字x，然后放回盒子内搅匀，再从盒子中随机任取1张卡片，记下它上面的数字y.（1）求2xy+=的概率P；（2）设“函数2318()()55fttxyt=−++在区间(2,4)内有且只有一个零点”为事件A，求A的概率()PA.20．已知椭圆E的焦点在x轴上，对

称轴为两坐标轴，离心率22e=，且椭圆E经过21,2P．（1）求椭圆E的方程；（2）已知直线:lykxm=+交椭圆E于,AB两点，直线:20sxy+=，若在直线s上存在点M使得四边形OAMB为平行四边形，求m的取值范围．21．已知函数()()212ln22fxaxxax

=+−+．（1）当3a=时，讨论()fx的单调性；（2）已知2a，()fx在()2,+上的最小值为()ha，若()4ln24haa−，求a的值．四、选做题（下面两题二选一，每题10分）22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1232

3xtyt=+=+(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为26cos10.−+=（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于,AB两点，求11||||OAOB+的值.23．（

本小题满分10分）已知函数f（x）=|x+2|+|x-2|．（1）求不等式f（x）≥6的解集；（2）若f（x）≥a2-3a在R恒成立，求实数a的取值范围．参考答案1．A【分析】首先化简z的表达式，然后求得z.【详解】2020505451

1511125ziiiii=++=++=+，所以2212513z=+=.故选：A【点睛】本小题主要考查复数运算，属于基础题.2．D【分析】先求出|12Axx=−，再求出|0Bxx=，最后求AB即可.【详解】解：因为2|20Axxx=

−−，所以|12Axx=−，因为|21xBx=，所以|0Bxx=所以(0,2)AB=故选：D【点睛】本题考查一元二次不等式的求解、指数函数的性质、集合的交集运算，是基础题.3．C【分析】

利用向量平行的坐标运算公式得出121nnaa+=+，可得出1121nnaa++=+，所以数列1na+是以2为首项，公比为2的等比数列，然后求解4a.【详解】因为//ab，所以121nnaa+=+，则()112221nnnaaa++=+=+，即112

1nnaa++=+，又11a=，所以112a+=，所以数列1na+是以2为首项，公比为2的等比数列，所以441216a+==，得415a=.故选：C.【点睛】本题考查向量的平行，考查数列的通项公式求解及应用，难度一般.一般地，若na满足()

10,1,0nnapaqppq+=+，则只需构造()1nnaxpax++=+，其中1qxp=−，然后转化为等比数列求通项.4．A【分析】求得f（x）的奇偶性及f（1）的值即可得出答案．【详解】∵f（﹣x）()()()111111xxxxxxeeexexexe−−++

+====−−−−−f（x），∴f（x）是偶函数，故f（x）图形关于y轴对称，排除C，D；又x=1时，()e111ef+=−<0，∴排除B，故选A．【点睛】本题考查了函数图像的识别，经常利用函数的奇偶性，单调性及特殊函数值对选项进行排除，属于基础题．5．C

【分析】先求得ab，然后根据向量投影的计算方法，计算出量a在向量b方向上的射影.【详解】依题意2a=,3b=，()1aba−=−，所以241,3abaabab−=−=−=，所以量a在向量b方向上的射影为333

abb==.故选：C【点睛】本小题主要考查向量投影的计算方法，属于基础题.6．B【分析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从1,2,3,4,5中任取2个不同的数的方法有12,13,14,15,23,24,25,34,35

,45，共10种，其中和为偶数的有13,15,24,35共4种，所以所求的概率为42105=.故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，属于基础题.7．A【分析】作出约束条件的可行域，作14yx=，在可行域内平移直线，截距最大时，4zxy=−最小，即可求解.【详解】解：作出

实数,xy满足不等式组10240440xyxyxy+−−++−的可行域，如图（阴影部分）令4zxy=−，则144zyx=−，作出14yx=，平移直线，当直线经过点()0,4B时，截距最大，4zxy=−最小，故min0441

6z=−=−.故选：A.【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域、理解目标函数的意义，属于基础题.8．C【分析】由两角差正切可得tan451c==，而mabc=++结合对数加法运算得m的近似值，即可确定选项；【详解】由题

意知：2log3a=，2log5b=，又3tan15tan(6015)113tan15c−==−=+，∴222log3log51log1514.91mabc=+++==++，故选：C【点睛】本题考查了指对数的运算

，应用了指数化为对数及对数的加法运算，结合两角差正切公式求得目标代数式的近似值；9．B【分析】根据函数|()|yfx=图像相邻对称轴间的距离为4，得出2=，再根据条件有sin2066f=+=，结合角的范围可得出答案.【详解】函数|()|sin

()yfxx==+的相邻对称轴间的距离为|()|yfx=的半个周期.又|()|yfx=的周期为=T，函数|()|yfx=图像相邻对称轴间的距离为4，所以=,224T=所以2=又函数()fx图像的一个对称中心为,06

，则sin2066f=+=所以2,6kkZ+=,即,3kkZ=−由(0,)，所以23=故选：B【点睛】本题考查三角函数的图像性质，根据周期和对称

性求参数的值，属于中档题.10．C【分析】先求出焦点F到渐进线的距离为b，由勾股定理求出RTOFP的边长OPa=，再由面积得到,ac的关系，从而求出离心率.【详解】双曲线2222:1(0,0)xyEabab−=的渐近线方程为：byxa=过E的右焦点

F作其渐近线的垂线，垂足为P，则22bcPFbab==+所以在RTOFP中，,,2OPFFPbOFc===，所以OPa=则1324OPFacSab==，即23bc=所以2243bc=，即()22243cac−=，所以224ac=，故2cea==故选：C【点睛】本题考查求双曲线

的离心率，属于基础题.11．C【分析】首先根据垂直关系，确定三棱锥外接球的球心，再求外接球的表面积.【详解】根据余弦定理可知，2222cos603BCABACABAC=+−=所以3BC=，满足222ACBCAB+=，所以ACBC⊥，

又因为SA⊥底面ABC，所以SABC⊥且ACSAA=,所以BC⊥平面SAC，所以BCSC⊥，又因为SAAB⊥，所以SB是直角三角形SAB和SBC的公共斜边，取SB的中点M，连结,MAMC，可知MAMSMBMC===即

点M是三棱锥SABC−外接球的球心，2222SBSAAB=+=，即外接球的半径为2，所以该三棱锥外接球的表面积248SR==.故选：C【点睛】本题考查球与几何体的综合应用，重点考查空间想象能力，推理证明，属于基础题型.12．D【分析】首先由正弦定理和三角恒等变形得到tantan2tan

tanBCBC+=，再根据正切公式得到tantantantantantantantantantantantan1BCABCABCBCBC+++==−，最后再换元，利用基本不等式求最小值.【详解】由正弦定理可知2sin22sinsinsin2sinsinRARBCABC==,又因

为()sinsinsincoscossinABCBCBC=+=+，所以sincoscossin2sinsinBCBCBC+=，因为ABC是锐角三角形，所以coscos0BC,上式两边同时除以coscosBC，可得tantan2tantanBCBC+=，①又因为()tatantan0

tantann1tanBCACBCB+=+−−=，()tantantantantan1BCABC+=−,tantantantantantantantantantantantan1BCABCABCBCBC+++==−，令tantan10BCm−=，由①可知()tantan

21BCm+=+所有()()()22121tantantan1mmABCmmm++++=+=，22424228mmmm=+++=，当且仅当22mm=时，即1m=时，取等号，此时tantan2BC=，所以tantantanABC++的

最小值是8.故选：D【点睛】本题考查解三角形，三角恒等变换，基本不等式求最值，重点考查转化，变形，计算能力，逻辑推理能力，属于中档题型.13．()0,1【分析】由抛物线的标准方程，可直接写出其焦点坐标.【详解

】因为抛物线方程为24xy=，所以焦点在y轴上，且焦点为()0,1.故答案为()0,1【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点坐标的问题，属于基础题型.14．1【分析】利用()()0fxfx−+=，化简求得m的值.【详解】由于()fx为奇函数，所以()()0fxfx−+=，即

112202222xxxxmm−−+++++=−−，()()11222022222xxxxxxmm−+−++++=−−，1112202222xxxxmm+++++=−−，1121202222xxxx

mm++++−=−−，()1121022xxmm+−+−=−，所以10m−=，故1m=.故答案为：1【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，属于基础题.15．23【分析】利用导数研究()fx在区间()0,1上的

单调性，由此求得()fx在区间()0,1上取最大值时对应的x的值.【详解】()32fxxx=−+，()()'23232fxxxxx=−+=−−，所以()fx在区间20,3上()'0fx，()fx递增，在区间2,13上()'0fx，()fx递减，

所以当23x=时，()fx取得最大值.故答案为：23【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，属于基础题.16．()0,2【分析】由题意可设(cos,sin)A，02，即有(sin,cos)B−，结合()1,0P应用数量积的坐标公式即可求PAPB的取值范围；【详解】

由题意，设(cos,sin)A，02，则(sin,cos)B−，即有(cos1,sin)PA−，(sin1,cos)PB−−，∴(cos1)(sin1)sincossincos12sin()14PAPB=−−−+=−+=−+，而(,)444

−−，即2sin()(0,)42−，∴(0,2)PAPB，故答案为：()0,2【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示，结合坐标的三角表示、正弦函数的区间值域求数量积的范围；17．（1）2nan=；（2）1nnTn=+.【分析】（1）由124,,aaa成等比数列得2d=，代入等

差数列的通项公式即可；（2）由（1）得1111nSnn=−+，用裂项相消求前n项和即可.【详解】（1）由124,,aaa成等比数列得2214aaa=，即2(2+)2(23)dd=+，解得2d=所以22(1)2nann=+−=.（2）由（1）知22(1)2

nnnnnS+==+，1111(1)1nSnnnn==−++，所以121111111112231nNTSSSnn=+++=−+−++−+1111nnn=−=++.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等比数列的性质，裂项相消求和

的方法，是基础题.18．（1）证明见解析;(2)312【分析】(1)根据条件证明BD⊥面1ACO，即可证明结论.(2)先求底面ABCD的面积，再求高1AO的长度，从而可求体积.【详解】（1）底面ABCD是菱

形，则ACBD⊥，又1AO⊥底面ABCD，BD面ABCD,则1AOBD⊥，又1AOACO=,则BD⊥面1ACO，由BD面ABCD，则平面1ACO⊥平面11BBDD；（2）11AAAB==,60BAD=且底面

ABCD是菱形.ABD△是边长为1的正三角形,则32AO=，则221131142AOAAAO=−=−=，所以132sin6022ABCDSABAD==，1111133332212AABCDABCDVSAO−===.【点睛】本题考查面面垂直的证明和求锥体的体积问题，属于中档题

.19．（1）14.（2）12【分析】（1）利用列表法和古典概型的概率公式可求得结果；（2）因为xy+的值只能取2，3，4，分别当xy+取2，3，4时，求出函数()ft的零点，可知只有3xy+=符合要求，然后求出3xy+=的概率即可得到答

案.【详解】（1）先后两次取到卡片的情况如下表：xy11221()1,1()1,1()2,1()2,11()1,1()1,1()2,1()2,12()1,2()1,2()2,2()2,22()1,2()1,2()2,2()2,2共有16种情况.满足2xy

+=的共有4种情况.所以2xy+=的概率41164P==.（2）因为xy+的值只能取2，3，4，当2xy+=时，()()235fttxy=−+t21831820555tt+=−+=无解，所以()ft没有零点，不符合要求.当3xy+=时，由()()235ft

txy=−+t21831830555tt+=−+=，解得2t=或3t=，()ft的零点分别为2，3，所以()ft在区间()2,4内只有3这个零点，符合要求.当4xy+=时，由()()235fttxy=−+t21831840555tt+=−+=，解得10463t−=或10463t+=，所以()ft的

零点分别为10463−，10463+，都不在区间()2,4内，不符合要求.所以事件A相当于3xy+=，由（1）知：满足3xy+=的共有8种情况，所以81()162PA==.即函数函数()()235fttxy=−+t185+在区间()2,4内有且只有一个零点的概率等于12.【点睛】本题考查了用列表

法求古典概型的概率，考查了求函数的零点，属于基础题.20．（1）2212xy+=；（2）(3,0)(0,3)m−.【分析】（1）根据题意列出相应等式，然后，求解方程组即可（2）根据平行四边形的性质，要使得四边形OAMB为平行四边形，则

需满足AB的中点落在直线s上，据此，联立直线与椭圆方程，用k与m表示中点坐标，进而代入直线:20sxy+=中，即可求解m的取值范围【详解】（1）解：椭圆E的焦点在x轴上，可设椭圆方程为：22221xyab+=()0ab，由题意可知，离心率

22e=，椭圆E经过21,2P，可得，22222221112caabcab==++=，解方程组可得，2a=，1b=，1c=，故椭圆方程为：2212xy+=（2）由题意知，0m，设()11,Axy，()22,Bxy，221

2ykxmxy=++=()222124220kxkmxm+++−=，由Δ0可得，22210km−+①122412kmxxk−+=+，121222()212myykxxmk+=++=+，要使得四边形OAMB为平行四边形，则需满足AB的中点落在直

线s上，即222201212kmmkk−+=++，得()221012mkk−=+，所以，1k=，代入①可得，33m−，综上：(3,0)(0,3)m−【点睛】本题考查椭圆标准方程以及椭圆与直线的关系，主要考查学生的运算能力，属于中档题21．（1）(

)fx在()2,3上递减，在()0,2和()3,+上递增；（2）4a=.【分析】（1）当3a=时，利用导数求得()fx的单调区间.（2）先求得()ha，然后利用构造函数法，结合导数，求得a的值.【详解】（1）当3a=时，(

)216ln52fxxxx=+−，()fx的定义域为()0,+.()()()2'236565xxxxfxxxxx−−−+=+−==，所以当02x或3x时，()'0fx，()fx递增；当23x

时，()'0fx，()fx递减.所以()fx在()2,3上递减，在()0,2和()3,+上递增.（2）由于()()212ln22fxaxxax=+−+，()()()()()2'222222xaxaxxaafxxaxx−++−−=+−+==，由于2a，所以()fx在区间()2,a

上()'0fx，()fx递减，在区间(),a+上()'0fx，()fx递增.所以()fx在()2,+上的最小值为()()hafa=()()22ln22ahafaaaa==−−，令()()2ln22haagaaa==−−，()'

21422agaaa−=−=，所以()ga在()2,4上递增，在()4,+上递减，所以()()42ln444ln24gag=−=−，由题意()4ln24haa−可知4a=．【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于中档题.22．（1）3

yx=，22610xyx+−+=；（2）3.【分析】（1）消参即可得出直线方程，222,cosxyx+==即可得出直角坐标方程.（2）联立极坐标方程，由韦达定理可得31ABAB+==，，进而可得结果.【详解】（1）由12323xtyt=+=+

消去参数t，得直线l的普通方程为3yx=，将222,cosxyx+==代入26cos10−+=中，得曲线C的直角坐标方程为22610xyx+−+=．（2）直线l的极坐标方程是()3=R，代入曲线C的极坐标方程得2310.−+=设,AB两点对应的极径分别为,,AB则

31ABAB+==，，所以11||||3.||||||||ABABOBOAOAOBOAOB+++===23．（1）),3[]3,(+−−；（2）1,4−【解析】试题分析：（1）用找零

点法去绝对值，再解不等式()6fx．（2）用绝对值不等式的公式求()fx的最小值，可将原问题转化为()2min3fxaa−，再解关于a的一元二次不等式即可．试题解析：（1）因为,2,222-,42-,2-)(=xxxx

xxf所以原不等式等价于−−622xx或−6422x或622xx，解得3−x或x或3x．因此不等式解集为),3[]3,(+−−．（2）由题意得，关于x的不等式aaxx3|2||2|2−−++

在R恒成立，因为4|)2()2(||2||2|=−−+−++xxxx，所以432−aa，解得41−a．因此满足条件的a的取值范围为1,4−．考点：绝对值不等式．