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3.2.2双曲线的简单几何性质A级必备知识基础练1.已知双曲线𝑥2𝑎2-y2=1(a>0)的离心率是√5,则a=()A.√6B.4C.2D.122.(多选题)下列双曲线中,以2x±3y=0为渐近线的是()A.𝑥29−𝑦24=1

B.𝑦24−𝑥29=1C.𝑥24−𝑦29=1D.𝑦212−𝑥227=13.已知双曲线方程为x2-𝑦24=1,过点P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点,则直线l共有()A.4条B.3条C.2条D.1条4.(多选题)已知双曲线C:𝑥23−𝑦2𝑚=1过点(3,√2),则下列结论

正确的是()A.双曲线C的焦距为4B.双曲线C的离心率为√3C.双曲线C的渐近线方程为y=±√33xD.直线2x-√3y-1=0与C有两个公共点5.若实数k满足0<k<9,则曲线𝑥225−𝑦29-𝑘=1与曲线𝑥225-𝑘−𝑦29=1的()A.焦距相同B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.

离心率相等6.已知双曲线𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2=1的实轴长、虚轴长、焦距构成等差数列,则双曲线的渐近线方程为.7.过双曲线x2-𝑦23=1的左焦点F1,作倾斜角为π6的直线与双曲线交于A,B两点,则|AB|=.8.双曲线𝑥29−𝑦216=1的右顶点为A,右焦点

为F,过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,求△AFB的面积.9.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在y轴上,虚轴长为8,离心率为e=53;(2)经过点C(-√3,√2),且与双曲线𝑥28−𝑦216=1有共同的渐近线.B级关键能力提升练10

.过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ,F1是另一焦点,若∠PF1Q=π2,则双曲线的离心率等于()A.√2-1B.√2C.√2+1D.√2+211.已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0),过原点作一条倾斜角为π3的直线分别交双曲线左、右两支于P,Q两点,以线段P

Q为直径的圆过右焦点F,则双曲线离心率为()A.√2+1B.√3+1C.2D.√512.设双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线方程为()A.y=±

12xB.y=±√22xC.y=±xD.y=±√2x13.已知双曲线方程为2x2-y2=2,则以点A(2,3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为()A.4x-3y+1=0B.2x-y-1=0C.3x-4y+6=0D.x-y+1=014

.(多选题)已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线C的方程可能为()A.𝑥23-y2=1B.𝑥23−𝑦29=1C.𝑦23−𝑥212=1D.𝑦221−𝑥27=115.(多选题)已知F1,F2分别是双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,

P是双曲线上异于双曲线顶点的一点,且𝑃𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,则下列结论正确的是()A.双曲线C的渐近线方程为y=±xB.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1C.F

1到双曲线的一条渐近线的距离为1D.△PF1F2的面积为116.已知l为双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1的一条渐近线,其倾斜角为π4,且C的右焦点为(2,0),则C的右顶点为;C的方程为.17.已知F为双曲线E:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)

的右焦点,过点F向双曲线E的一条渐近线引垂线,垂足为A,且交另一条渐近线于点B,若|OF|=|FB|,则双曲线E的离心率是.18.已知点A(-√3,0)和B(√3,0),动点C到A,B两点的距离之差的绝对值为2.(1)求点C的轨迹方程;(2)点C的轨迹与经过点(2,0)且斜率为1的直

线交于D,E两点,求线段DE的长.C级学科素养创新练19.(多选题)已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的右焦点为F1(2√6,0),点A的坐标为(0,1),点P为双曲线左支上的动点,且△APF1的周长不小

于14,则双曲线C的离心率可能为()A.√3B.2C.√5D.320.已知F为双曲线C:𝑥24−𝑦29=1的左焦点,P,Q为双曲线C同一支上的两点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(√13,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为.3.2.2双曲线的简单几何性质1.D∵

双曲线的离心率e=𝑐𝑎=√5,c=√𝑎2+1,∴√𝑎2+1𝑎=√5,解得a=12,故选D.2.ABD令等式右端为0,解得A,B,D中的渐近线方程均为2x±3y=0,C项中渐近线方程为3x±2y=0.3.B因为双曲线x2-𝑦24=1的渐近线方程为y=±2x,所以

过点P(1,0)且与双曲线只有一个公共点的直线方程为x=1或y=2x-2或y=-2x+2,共有3条.故选B.4.AC由双曲线C:𝑥23−𝑦2𝑚=1过点(3,√2),可得m=1,则双曲线C的标准方程为𝑥23-y2=1.所以a=√3,

b=1,c=√𝑎2+𝑏2=2,因为双曲线C的焦距为2c=4,所以选项A正确;因为双曲线C的离心率为𝑐𝑎=2√3=2√33,所以选项B不正确;因为双曲线C的渐近线方程为y=±√33x,所以选项C正确;将

直线2x-√3y-1=0与双曲线𝑥23-y2=1联立,消去y可得3x2-4x+4=0,Δ=(-4)2-4×3×4=-32<0,所以直线2x-√3y-1=0与双曲线C没有公共点,所以选项D不正确.5.A由于0<k<

9,则9-k>0,即曲线𝑥225−𝑦29-𝑘=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(±√34-𝑘,0);∵9-k>0,∴25-k>0,即曲线𝑥225-𝑘−𝑦29=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐

标为(±√34-𝑘,0),故两曲线的焦距相同,故选A.6.y=±34x依题意有2a,2b,2c成等差数列,所以4b=2a+2c.因为c2=a2+b2,所以(2b-a)2=a2+b2,解得a=34b,于是双曲线渐近线方程为y=±𝑎𝑏x=±34x.7.3依题意,得双曲线的左焦点F1的坐

标为(-2,0),直线AB的方程为y=√33(x+2).由{𝑦=√33(𝑥+2),𝑥2-𝑦23=1,得8x2-4x-13=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=12,x1x2=-138,所以|AB|=√1+�

�2·|x1-x2|=√[1+(√33)2][(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2]=√(1+13)×[(12)2-4×(-138)]=3.8.解由题意得,双曲线𝑥29−𝑦216=1的右顶点A(3,0),右焦点F(5,0),渐近线方程为y=±43x.不妨设直线FB的

方程为y=43(x-5),代入双曲线方程并整理,得x2-(x-5)2=9,解得x=175,y=-3215,所以B175,-3215.所以S△AFB=12|AF||yB|=12(c-a)·|yB|=12×(5-3)×3

215=3215.9.解(1)设所求双曲线的标准方程为𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2=1(a>0,b>0),则2b=8,e=𝑐𝑎=53,从而b=4,代入c2=a2+b2,得a2=9,故方程为𝑦29−𝑥216=1.(2)由题意可设所求双曲线方程为�

�28−𝑦216=λ(λ≠0),将点C(-√3,√2)的坐标代入,得38−216=λ,解得λ=14,所以所求双曲线的标准方程为𝑥22−𝑦24=1.10.C不妨设双曲线标准方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0

),依题意知直线PQ所在直线方程为x=c,代入双曲线方程得|PQ|=2𝑏2𝑎.因为∠PF1Q=π2,所以|F1F2|=|PF2|,即2c=𝑏2𝑎,于是2ac=b2=c2-a2,所以e2-2e-1=0,解得e=√2+1或e

=1-√2(舍去),故选C.11.B设P(x1,y1),Q(x2,y2),依题意,直线PQ的方程为y=√3x,代入双曲线方程并化简,得x2=𝑎2𝑏2𝑏2-3𝑎2,y2=3x2=3𝑎2𝑏2𝑏2-3𝑎2,

故x1+x2=0,x1·x2=-𝑎2𝑏2𝑏2-3𝑎2,y1·y2=3x1·x2=-3𝑎2𝑏2𝑏2-3𝑎2,设焦点坐标为F(c,0),由于以线段PQ为直径的圆经过点F,故𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝐹𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=0,即(x1-c,y1)·(x2-c,y2)=

0,即4x1x2+c2=0,即b4-6a2b2-3a4=0,两边除以a4,得(𝑏𝑎)4-6(𝑏𝑎)2-3=0,解得(𝑏𝑎)2=3+2√3.故c=√1+(𝑏𝑎)2=√4+2√3=√3+1,故选B.12.C设双曲线的半焦距为c,则F(c,0),将x=c代入双曲线𝑥2𝑎2−𝑦

2𝑏2=1,得y=±𝑏2𝑎,不妨取C(𝑐,𝑏2𝑎),B(𝑐,-𝑏2𝑎),又A1(-a,0),A2(a,0),故𝑘𝐴1𝐵=-𝑏2𝑎𝑐+𝑎=-𝑏2𝑎(𝑎+𝑐),𝑘𝐴2𝐶=𝑏2𝑎𝑐-𝑎=𝑏2𝑎(𝑐-𝑎).

因为A1B⊥A2C,故-𝑏2𝑎(𝑎+𝑐)×[𝑏2𝑎(𝑐-𝑎)]=-1,即𝑏4𝑎2(𝑐2-𝑎2)=1,即𝑏4𝑎2𝑏2=1,所以a=b,故渐近线方程是y=±𝑏𝑎x=±x.13.A

设弦的两端点分别为P(x1,y1),Q(x2,y2),则2𝑥12−𝑦12=2,2𝑥22−𝑦22=2,两式相减得,2(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0.又x1+x2=4,y1+y2=6,∴8(x1-x2

)-6(y1-y2)=0,即kPQ=43.因此直线PQ的方程为y-3=43(x-2),即4x-3y+1=0.经验证,直线4x-3y+1=0与双曲线相交.因此适合题意的直线方程为4x-3y+1=0,故选A.14.ABD依题意,知渐近线与x轴的夹角为30°或6

0°,所以双曲线C的渐近线方程为y=±√33x或y=±√3x,根据选项检验可知ABD均可能.15.ACD易得双曲线C的渐近线方程为y=±x,故A正确;由a=b=1得c=√2,因此以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2,故B错误;易知F1(-√2,0),则F1到双曲线的一条

渐近线的距离d=|-√2-0|√2=1,故C正确;由𝑃𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0得,PF1⊥PF2,因此点P在圆x2+y2=2上,由{𝑥2+𝑦2=2,𝑥2-𝑦2=1,得y2=12,∴|y|=√22,因此,𝑆△𝑃𝐹1𝐹2=12|F

1F2|·|y|=12×2√2×√22=1,故D正确.故选ACD.16.(√2,0)𝑥22−𝑦22=1由题意可得c=2,即a2+b2=4,一条渐近线的斜率为k=𝑏𝑎=tanπ4=1,解得a=b=√2,则双曲线的右顶点

为(√2,0),C的方程为𝑥22−𝑦22=1.17.2√33如图所示,过F向另一条渐近线引垂线,垂足为D.由题意得,双曲线的渐近线方程为y=±𝑏𝑎x,则F(c,0)到渐近线的距离d=|𝑏𝑐|√𝑎2+𝑏2=b,即|FA|=|FD|=b,又|OF|=|FB|=c,则|OA|=

|OD|=a,|AB|=b+c.∵△OFB为等腰三角形,∴D为OB的中点,∴|OB|=2a.∵AB⊥OA,∴|OB|2=|OA|2+|AB|2,即4a2=a2+(b+c)2,整理得c2-bc-2b2=0,∴c=2b.则2a=√3c,∴e=𝑐�

�=2√33.18.解(1)∵点A(-√3,0)和B(√3,0),动点C到A,B两点的距离之差的绝对值为2.|AB|=2√3>2,∴点C的轨迹方程是以A(-√3,0)和B(√3,0)为焦点的双曲线,且a=1,c=√3,∴点C的轨迹方程是x2-𝑦22=1.(2)∵点C的轨迹方程是2x2-y2

=2,经过点(2,0)且斜率为1的直线方程为y=x-2.∴联立{2𝑥2-𝑦2=2,𝑦=𝑥-2,得x2+4x-6=0,设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-4,x1x2=-6,∴|DE|=√(1+1)[(-4)2-4×(-6)]=4√5

.故线段DE的长为4√5.19.ABC由右焦点为F1(2√6,0),点A的坐标为(0,1),|AF1|=√24+1=5,由△APF1的周长不小于14,可得|PA|+|PF1|的最小值不小于9,又F2为双曲线的左焦点,可得|PF1|=|PF2|+2a,|PA|+|PF1|=|PA|+|PF

2|+2a,当A,P,F2三点共线时,|PA|+|PF2|=|AF2|,由对称性知|AF2|=|AF1|=5.此时|PA|+|PF2|+2a取最小值5+2a,所以5+2a≥9,即a≥2.因为c=2√6,可得e=𝑐𝑎≤√6.故选ABC.20.32根据题

意,双曲线C:𝑥24−𝑦29=1的左焦点F(-√13,0),所以点A(√13,0)是双曲线的右焦点,P,Q为双曲线C右支上的两点.虚轴长为6,所以|PQ|=12.双曲线图象如图.|PF|-|AP|=2

a=4,①|QF|-|QA|=2a=4,②①+②得|PF|+|QF|-|PQ|=8,