【文档说明】2021苏教版数学必修第二册课时分层作业：9.2.3　向量的数量积 .docx，共(7)页，105.968 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-4a6226e7a7cc0f3bec66d160f68adc68.html

以下为本文档部分文字说明：

课时分层作业(五)向量的数量积(建议用时：40分钟)一、选择题1．e1，e2是两个平行的单位向量，则e1·e2＝()A．0B．1C．－1D．±1D[∵e1∥e2，∴e1，e2的夹角为0°或180°，∴e1·e2＝

|e1||e2|cosθ＝±1.]2．设|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝()A．25B．35C．－35D．±35D[(a＋λb)·(a－λb)＝a2－λ2b2＝9－25λ2＝0，∴λ＝±35.]3．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角

θ为120°，则a·a＋a·b＝()A．－12B．0C．12D．1C[∵|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，∴a·b＝|a||b|cos120°＝－12.又a·a＝|a|2＝1，∴a·a＋a·b＝1－12＝12.]4．在△ABC中，|AB→|＝13

，|BC→|＝5，|CA→|＝12，则AB→·BC→的值是()A．－25B．25C．－60D．60A[∵|AB→|＝13，|BC→|＝5，|CA→|＝12，∴|AB→|2＝|BC→|2＋|CA→|2，∴△ABC为直角三角形．又cos∠ABC＝513，∴AB→·BC→＝|AB→

||BC→|cos(π－∠ABC)＝13×5×－513＝－25.]5．设点A，B，C不共线，则“AB→与AC→的夹角为锐角”是“|AB→＋AC→|>|BC→|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[AB→与AC→的夹角为锐角，所以|

AB→|2＋|AC→|2＋2AB→·AC→>|AB→|2＋|AC→|2－2AB→·AC→，即|AB→＋AC→|2>|AC→－AB→|2，因为AC→－AB→＝BC→，所以|AB→＋AC→|>|BC→|；当|AB→＋AC→|>|BC→|成立时，|AB→＋AC→|2>

|AB→－AC→|2⇒AB→·AC→>0，又因为点A，B，C不共线，所以AB→与AC→的夹角为锐角．故“AB→与AC→的夹角为锐角”是“|AB→＋AC→|>|BC→|”的充分必要条件，故选C．]二、填空题6．(一题两空)已知向量a，b的夹角

为45°，且|a|＝4，12a＋b·(2a－3b)＝12，则|b|＝________；b在a方向上的投影向量等于________．2a4[12a＋b·(2a－3b)＝a2＋12a·b－3b2＝12，即3|b|2－2|b|－4＝0，解得|b|＝2(舍负)，b在a

方向上的投影是(|b|cos45°)a|a|＝2×22×a4＝a4.]7．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．4[由

a＋b＋c＝0得c＝－a－b.又(a－b)·c＝0，∴(a－b)·(－a－b)＝0，即a2＝b2.则c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.]8．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝23，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延

长线上，且AE＝BE，则BD→·AE→＝________.－1[在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2，则BD→·AE→＝(AD→－AB→)·(AB→＋BE→)＝AD→·AB→＋AD→·BE→－AB→2－AB

→·BE→＝5×23×cos30°＋5×2×cos180°－12－23×2×cos150°＝15－10－12＋6＝－1.]三、解答题9．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求|a＋b|；(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．

[解](1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，∴|a＋b|＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝42＋32＋2×(－6)＝13.(2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝4

2－6＝10，∴向量a在向量a＋b方向上的投影为a·(a＋b)|a＋b|＝1013＝101313.10．已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角？[解]∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，∴(e1＋ke2)·(k

e1＋e2)＝ke21＋ke22＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0.但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围为{k|k＞0且k≠1}．1．定义：|a×b|＝|a|·|b|·sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a

|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于()A．－8B．8C．－6D．6B[由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cosθ＝－35，sinθ＝45，∴|a×b|＝|a|·|b|·sinθ＝2×5

×45＝8.]2.(多选题)已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，OA→＋AB→＋AC→＝0，且|OA→|＝|AB→|，下列结论正确的是()A．CA→在CB→方向上的投影向量为－33CB→B．OA→·AB→＝OA→·AC→C．CA→在CB→方向上的投影向量为33CB→D．OB→

·AB→＝OC→·AC→BCD[由OA→＋AB→＋AC→＝0得OB→＝－AC→＝CA→，所以四边形OBAC为平行四边形．又O为△ABC外接圆的圆心，所以|OB→|＝|OA→|，又|OA→|＝|AB→|，所以△OAB为正三角形．因为△A

BC的外接圆半径为2，所以四边形OBAC是边长为2的菱形，所以∠ACB＝π6，|CB→|＝23，所以CA→在CB→上的投影向量为|CA→|cosπ6CB→|CB→|＝3×CB→3＝33CB→，故C正确．因为OA

→·AB→＝OA→·AC→＝－2，OB→·AB→＝OC→·AC→＝2，故BD正确．]3．非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a，b的夹角为________．2π3[由|a|＝|b|＝|a＋b|，所以|a|2＝|a＋b|2，所以|a|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2，得a·b＝－1

2|b|2，所以a·b＝|a|·|b|cosθ＝－12|b|2，所以cosθ＝－12，又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.]4．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC→·BE→＝1，则AB的长为________．1

2[设|AB→|＝x(x＞0)，则AB→·AD→＝12x，所以AC→·BE→＝(AD→＋AB→)·AD→－12AB→＝1－12x2＋14x＝1，解得x＝12，即AB的长为12.]5．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，

它们相互之间的夹角为120°.(1)求证：(a－b)⊥c；(2)若|ka＋b＋c|＞1(k∈R)，求k的取值范围．[解](1)证明：∵|a|＝|b|＝|c|＝1且a，b，c之间的夹角均为120°，∴(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos120°－|b||c|cos120°

＝0，∴(a－b)⊥c.(2)∵|ka＋b＋c|＞1，∴(ka＋b＋c)·(ka＋b＋c)＞1，即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c＞1.∵a·c＝a·b＝b·c＝cos120°＝－12，∴k2－2k＞0，解得k＜0或k＞2.即k

的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com