【文档说明】湖南省雅礼十六校2022-2023学年高三上学期第一次联考数学试题.docx，共(4)页，37.835 KB，由envi的店铺上传

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雅礼十六校2023届高三上学期第一次联考数学审定：何方蔚李罗思徐宇珩校对：肖志泽肖永浩总分：150分时量：120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列不属于(𝑥−2)3的展开式的项的是（）A.𝑥3B.6𝑥2C.

12𝑥D.−82.已知集合𝐴={𝑥|𝑓(𝑥)≤𝑎},𝐵={𝑥|𝑓(𝑓(𝑥))≤𝑎},𝑎∈𝑅.其中𝑓(𝑥)=𝑥2−3𝑥+3，若满足𝐵⊆𝐴，则𝑎的取值范围为（）A.[3,+∞)B.(−∞,1]∪[3,+∞)C.[2116,+∞)D.[134,+∞)3.已知

复数𝑧1,𝑧2,𝑧3，𝑧1与𝑧3共轭，𝑧1+1𝑧2+1=𝑎(𝑎∈𝑅)，|𝑧1−𝑧2|=2|𝑧2−𝑧3|且|𝑧𝑖+1|+|𝑧𝑖−1|=4(𝑖=1,2,3)则2|𝑧2−𝑧3|+|𝑧2−1|+|𝑧3−1|的值为（

）A.5B.6C.7D.84.已知△𝐴𝐵𝐶三边𝑎,𝑏,𝑐所对角分别为𝐴,𝐵,𝐶，且3𝑎2+𝑏2=𝑐2，则𝑡𝑎𝑛𝐵−𝑡𝑎𝑛𝐴−2𝑡𝑎𝑛𝐴𝑡𝑎𝑛2𝐵的值为（）A.-1B.0C.1D.以上选项均不正确5.已知正

项数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=1，且1𝑎𝑛+1−1𝑎𝑛=1𝑎𝑛(1√𝑎𝑛+1+1√𝑎𝑛)，𝑆100为{𝑎𝑛}前100项和，下列说法正确的是（）A.76<𝑆100<65B.65<𝑆100<54C.54<𝑆100<43D.43<𝑆100<326.长沙

市雅礼中学（雅礼）、华中师范大学第一附属中学（华一）、河南省实验中学（省实验）三校参加华中名校杯羽毛球团体赛.这时候有四位体育老师对最终的比赛结果做出了预测：罗老师：雅礼是第二名或第三名，华一不是第三名；魏老师：华一是第一名或第二名，雅礼不是第一名；贾老师：华一是第三名；

关老师：省实验不是第一名；其中只有一位老师预测对了，则正确的是（）A.罗老师B.魏老师C.贾老师D.关老师7.若𝑎=1100𝑒5,𝑏=√𝑒,𝑐=𝑙𝑛5，（𝑒=2.71828...）试比较𝑎,𝑏,𝑐的大小关系（）A.𝑎>�

�>𝑐B.𝑏>𝑎>𝑐C.𝑎>𝑐>𝑏D.𝑏>𝑐>𝑎8.已知双曲线𝑥2−𝑦2𝑎2=1，若过点(2,2)能做该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率𝑒取值范围为（）A.(√213,+∞)B.(1,√213)C

.(1,√2)D.以上选项均不正确二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.长沙市有橘子洲，岳麓山，天心阁，开福寺四个景点，一位游客来长沙市游览.已知该游客游览橘子洲的概率为23，游览其他景点

的概率都是12.该游客是否游览这四个景点相互独立，用随机变量𝑋记录该游客游览的景点数，下列说法正确的是（）A.游客至多游览一个景点的概率为14C.𝑃(𝑋=4)=124B.𝑃(𝑋=2)=38D.𝐸(𝑋)=13610.如果一个无限集中的元

素可以按照某种规律排成一个序列（或者说，可以对这个集合的元素标号表示为𝑎1,𝑎2,𝑎3,𝑎4...𝑎𝑛），则称其为可列集.下列集合属于可列集的有（）A.𝑁B.ZC.QD.R11.已知某四面体的四条棱长度为𝑎，另外两条棱长度为𝑏，则下列说法正确的是（）A.若𝑎=

2且该四面体的侧面存在正三角形，则𝑏∈(√6−√2,√6+√2)B.若𝑎=3且该四面体的侧面存在正三角形，则四面体的体积𝑉1∈(0,3√34]C.若𝑎=4且该四面体的对棱均相等，则四面体的体积V2∈(0,128√327]D.对任意

𝑎>1，记侧面存在正三角形时四面体的体积为𝑉1，记对棱均相等时四面体的体积为𝑉2，恒有(𝑉1)𝑚𝑎𝑥>(𝑉2)𝑚𝑎𝑥12.已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+𝑎𝑥2+2𝑥+1(𝑎∈𝑅)，下列说法不正确的是（）A

.当𝑎>−3时，函数𝑓(𝑥)仅有一个零点B.对于∀𝑎∈𝑅，函数𝑓(𝑥)都存在极值点C.当𝑎=−1时，，函数𝑓(𝑥)不存在极值点D.∃𝑎∈𝑅，使函数𝑓(𝑥)都存在3个极值点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知𝑐𝑜𝑠(𝛼+𝛽)

=𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛽，则𝑐𝑜𝑠𝛼的最大值为_______.14.已知向量e1⃗⃗⃗与e2⃗⃗⃗的夹角为π4，且|e1⃗⃗⃗|=1，|e2⃗⃗⃗|=√3，若λe1⃗⃗⃗+3e2⃗⃗⃗与2e1⃗⃗⃗+λe2⃗⃗⃗的夹角为锐角，则λ的取

值范围是_______.15.已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的左、右焦点分别为𝐹1,𝐹2，过点𝐹1作直线分别交双曲线左支和一条渐近线于点𝐴,𝐵（𝐴,𝐵在同一象限内），且满足𝐹1𝐴=𝐴𝐵.联结𝐴𝐹2，满足�

�𝐹2⊥𝐵𝐹1.若该双曲线的离心率为𝑒，求𝑒2的值_______.16.若不等式𝑙𝑛𝑥≤1𝑎𝑥2−𝑏𝑥+1恒成立，则𝑎𝑏的最大值为_______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17.定义

𝑇𝑛(𝑐𝑜𝑠𝜃)=𝑐𝑜𝑠𝑛𝜃(𝑛∈𝑁∗)（1）证明：𝑇𝑛(𝑐𝑜𝑠𝜃)=2𝑇𝑛−1(𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑐𝑜𝑠𝜃−𝑇𝑛−2(𝑐𝑜𝑠𝜃)（2）解方程：8𝑥5+10𝑥3−𝑥2−12𝑥−2=0(𝑥∈𝐶)18.已知单调递减正

数列{𝑎𝑛}，𝑛≥2时满足𝑎𝑛2(𝑎𝑛−1+1)+𝑎𝑛−12(𝑎𝑛+1)−2𝑎𝑛𝑎𝑛−1(𝑎𝑛𝑎𝑛−1+𝑎𝑛+1)=0.𝑎1=12,𝑆𝑛为{𝑎𝑛}前n项和.（1）求{𝑎𝑛}的通项公式（2）证明：𝑆𝑛>1−1√𝑛

+119.如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，四边形ABCD为等腰梯形，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，，平面𝑃𝐴𝐷⊥平面𝑃𝐴𝐵，𝑃𝐴⊥𝑃𝐵．(1)求证：平面𝑃𝐴𝐷⊥平面𝑃𝐵𝐶；(2)若二面角𝑃−𝐴𝐵−𝐷的余弦值为√

33，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．20.现有一批疫苗拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗

体的动物进行第二轮注射，再次检验．如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为𝑝(0<𝑝<1).（1）求该组试验只需第一轮注射的概率（用含𝑝的多项式表示）；（2）记该组动物需要注射次数𝑋的

数学期望为𝐸(𝑋)，求证：10<𝐸(𝑋)<10(2−𝑝)21.已知平面直角坐标系中有两点F1(−2,0)，F2(2,0)，且曲线C1上的任意一点P都满足|PF1|∙|PF2|=5.（1）求曲线C1的轨迹方程并画出草图；（2）设曲线C2：y2k+x2

=1（k>1）与C1交于顺时针排列的S、T、M、N四点，求|ST|∙|TM|∙|MN|∙|NS|的值.（用含k的代数式表示）22.已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑏𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑐𝑥，且𝑎2+𝑏2=1.（1）若𝑎=1，且𝑓(𝑥)在R上单调递增，求

𝑐的取值范围（2）若𝑓(𝑥)图象上存在两条互相垂直的切线，求𝑎+𝑏+𝑐的最大值