【文档说明】湖南省三湘名校教育联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题 Word版含解析.docx，共(11)页，661.891 KB，由管理员店铺上传

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机密★启用前三湘名校教育联盟·2024年上学期高二期中大联考数学本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自已的姓名､准考证号填写在本试卷和答题卡上.2.回答

选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，

共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题:0,e32xpxx+„，则p为（）A.0,e32xxx+„B.0,e32xxx+C.0,e32xxx+„D.0,e32xxx+2.已知()1izyy=−+R，且()1iz+为纯虚数，则

y=（）A.2B.-2C.1D.-13.已知随机变量X服从正态分布()23,N，若()()42PXmPXm=−剠，则m=（）A.-1B.-2C.2D.14.已知双曲线E的实轴长为6，焦点为()0,5，则E的渐近线方程为（

）A.340xy=B.540xy=C.450xy=D.560xy=5.甲乙两名大学生计划今年五一假期分别从岳阳楼，常德桃花源，天门山，长沙橘子洲头，茶峒古镇五个不同的景区随机选三个景区前往打卡旅游，则两人恰好有两个景区相同的选法共有（）A.36种B.48种C.60种

D.72种6.已知首项为3的数列na满足122nnaa+=−，则521a=（）A.-2B.13C.2D.37.为了解某高中甲､乙两个清北班一周内的请假同学人数情况，采用样本量比例分配分层随机抽样方法进行了调查.已知甲班调查了40名同学，其一周内请假人数的平均数和方差分别为5和1.65，乙班

调查了60名同学，其一周内请假人数的平均数和方差分别为4和3.5，据此估计该校两个清北班一周内请假人数的总体方差为（）A.2.6B.3C.3.4D.4.18.设Q是线段MN的中点，P是直线MN外一点.,AB为线段PQ上的两点，PAAQ=，且1537,,221

8PMPNAMANBMBN===，则PBPQ=（）A.16B.14C.25D.23二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知随机变量()()4,,2XBpEX=，则（）

A.12p=B.3117238PX=C.()2DX=D.()4311EX+=10.设数列na的前n项和为nS，且2nnSAB=+（,AB为常数），则下列命题为真命题的是（）A.若1,2AB==，则514aa=B.若2,0AB==，则212aa=C

.若na为等差数列，则220AB+=D.若na为等比数列，则0AB+=11.已知函数()π2sin(0,0π)4fxx=+−的最小正周期为π，则（）A.若曲线()yfx=的图象关于y轴对称，则3π4

=B.若()fx的图象关于点π,012−中心对称，则5π12=C.若()fx在区间π0,6上单调递增，则7π012„D.若()fx在区间0,π内有且仅有三个零点，则π4=三､填空题：

本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若()1sin20242024xxafxx+=+为奇函数，则a=__________.13.陶瓷艺术源远流长，人们的日常生活中随处可见，尤其房屋装饰中瓷砖拼接的艺术颇具美感.当一些纵

向长度为1，横向长度为2的矩形瓷砖在垂直或水平方向上没有间隙即恰好拼成矩形时，其铺设方法被称为瓷砖的“布置”.设纵向长度为3，横向长度为2n的长方形为nR.使用3n片砖的nR的“布置”方法总数为nr，则2r=__________.14.若存在两个不相等的正整数,mn，使得()999,m

nitttCCCtiN−−−=…对任意的i都成立，则常数t的所有可能取值构成的集合为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）在锐角ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,ab

c，且2sin3aCc=.（1）求A，（2）若2,7ba==，求ABC的周长.16.（15分）将4个形状､大小､颜色均相同的排球随机放入4个编号为1,2,3,4的排球筐内，每个排球筐最多可容纳5个排球，记编号为2

的排球筐内最终的排球个数为X.（1）求编号为2的排球筐内有球的概率；（2）求X的分布列.17.（15分）在平面直角坐标系xOy中，直线()10xtyt=+交椭圆22:143xyE+=于,PQ两点，点P关于x轴的对称点为1P.（1）用含t的式子表示P

Q的中点坐标；（2）证明：直线1PQ过定点.18.（17分）如图，直四棱柱1111ABCDABCD−的底面是菱形，120,2ABCAB==，且直线1BD与平面11BCCB所成角为30.（1）求直四棱柱1111ABCDABC

D−的高；（2）在棱1AA上是否能找到一点M，使得平面1CDM与平面11BCCB的夹角为30？若能，求出1AMAA的值；若不能，说明理由.19.（17分）如图为英国生物学家高尔顿设计的“高尔顿板”示意图，每一个黑点代表钓在板上的一颗钉子，下方有从

左至右依次编号为()*1,2nnN的格子（此时钉子层数为1n−）.当小球从板口下落时，它将碰到钉子并有12的概率向左或向右滚下，继续碰至下一层钓子，依次类推落入底部格子.记小球落入格子的编号为X.定义00C1=.（1）直接写出3n=时X的分布列；（2）证明：()11,22nEXn=+；（3

）改变格子个数（钉子层数相应改变），进行()*kkN次实验，第(*mmN且)mk„次实验中向格子最大编号为m的高尔顿板中投入2m个小球，记所有实验中所有小球落入的格子编号之和为Y.已知无交集的独立事件的期望具有累加性，设每次实验､每次投球相互独立，求()EY关于k的表达式.三湘名

校教育联盟·2024年上学期高二期中大联考·数学参考答案､提示及评分细则1.【答案】B【解析】易知全称量词命题的否定是特称量词命题，而命题:0,e32xpxx+„是全称量词命题，所以p为“0,e32xxx+”，故选B.2

.【答案】D【解析】由题意可得()()()()1i1i1i11izyyy+=+−+=−−+−为纯虚数，所以10,10yy−−=−，所以y=-1，故选D.3.【答案】B【解析】因为()()()23,,42XNPXmPXm=−剠，由正态分布的对称性可知()426mm+−=，所以m=-2，

故选B.4.【答案】A【解析】由题意可得E的焦点为()0,5，易知实半轴长为3，则虚半轴长为22534−=，双曲线E的方程为221916yx−=，所以E的渐近线方程为340xy=.故选A.5.【答案】C【解析】两人恰好有两个景区相同的选法共有2253CA60=种

.故选C.6.【答案】D【解析】由题意()123452212423,2,,,3,142322232223aaaaa===−======−−−−−，所以数列na的周期是4，从而52113aa==，故选D.7.【答案】B【解析】因为甲班调查了40人，其平均数和方差分别为5x=和21

1.65,s=乙班调查了60人，其平均数和方差分别为4y=和223.5,s=设调查的总样本的平均数为z和方差为2,s则()()22222124060232223544.4,10010055555zxyssxzsyz=+=+=

==+−++−()()22231.6554.43.544.43,55=+−++−=故选B.8.【答案】D【解析】选取,PMPN为基底进行研究.易知1122PQPMPN=+.设113101,2244PBmPQmmAMPMPAPMPQPMPN=

=−=−=−，同理得3144ANPNPM=−.同时22mmPBPMPN=+，则122mmBMPMPBPMPN=−=−−，同理得122mmBNPNPM=−−.因此由题意()222233575331

616816162AMANPMPNPMPNPMPN=−−+=−+=，得2217PMPN+=.同理可得，()222221571812422218mmmBMBNPMPNmPMPNmm=−++−+

=−+=，结合101,2mm，解得23m=.所以23PBPQ=.故选D.9.【答案】AD【解析】对于A，由题意可得X服从二项分布，故()1422EXpp===，故A正确；对于B：因为14,2XB，所以()()4

4234431111523CC23228PXPXPX==+==+=，故B错误；对于()11C:41122DX=−=，故C错误；对于D，()()434311EXEX+=+=，故D正确，故选AD.10.【答案】ACD【解析】当2n…时，()111

222nnnnnnaSSABABA−−−=−=+−+=；当1n=时，112aSAB==+.所以12,12,2nnABnaAn−+==…，若1,2AB==，则14,12,2nnnan−==…

，故51154,216aa−===，则514aa=，故A选项正确.若2,0AB==，则4,12,2nnnan==…，故2124,24aa===，则212aa，故B选项错误.若na为等差数列，则当2n…时

，111222nnnnnaaAAA−−+−=−=是与n无关的常数，故只能有0A=，即10nnaa+−=；同时()2122aaAABB−=−+=−也是与n无关的常数，且根据等差数列的定义可知，这两个常数是同一个数，故0,0BB−==.所以220

AB+=，C选项正确.若na为等比数列，则当2n…时，11222nnnnaAaA+−==，这是一个与n无关的常数；同时2122aAaAB=+也是与n无关的常数，且根据等比数列的定义可知，这两个常数是同一个数，故222AAB=+，

得0AB+=，故D选项正确，故选ACD.11.【答案】ABD【解析】由题意可得()fx的最小正周期为πT=，又0，则2π2T==，所以()π2sin24fxx=+−，对于A项，因为()fx为偶函数，所以πππ,42kk−=+Z，得3ππ,4kk=+Z，因为0π，

所以3π4=，故A正确；对于B项，因为()fx的图象关于点π,012−中心对称，所以ππ2π,124kk−+−=Z，得5ππ,12kk=+Z，因为0π，所以5π12

=，故B正确；对于C项，由π0,6x可得πππ24412x−+−+，因为0π，且()fx在区间π0,6上单调递增，所以ππ42ππ122−−+…„，解得5π012„，故C错误；对于D项，由0,πx可得

ππ7π2444x−+−+剟，因为0π，结合正弦函数图象得π047π2π4−+„…，解得π4=，故D项正确.故选ABD.12.【答案】2024【解析】由题意得函数()fx的定义域

为()()1,sin2024sin2024202420242024xxxxaafxxx−−−+−=−+=−+R，()1sin2024sin2024202420242024xxxxaafxxx−+−=−+=−+，由函数为奇函数，有(

)()fxfx−=−，即()12024202402024xxa−−−=，解得2024a=.故答案为2024.13.【答案】11【解析】如图所示：我们按水平瓷砖数量逐渐递减的方式枚举全部布置方法（6水平/4水平/2水平）.故211r=.14.【答案】0,2,4,6【解析】由存在两个不

相等的正整数,mn，使得99CCmntt−−=可得92tmn−=+，又tN，则0,1,2,3,4,5,6t.因为题给不等式对任意满足条件的自然数i都成立，则99CCmntt−−=是9Cit−的最大值.根据组合数最大值的性

质，且mn，可知9t−为奇数，且92t−.所以0,2,4,6t.15.【解析】（1）由正弦定理知：2sinsin3sinACC=.因为C为三角形一内角，则sin0C，所以3sin2A=.因为ABC为锐角三角形，故π3A=.（2）由余

弦定理得2222cosbcbcAa+−=，则2π44cos73cc+−=，即2230cc−−=，即()()310cc−+=，因为0c，则3c=，所以ABC的周长为57+.16.【解析】1）设事件“编号为2的排球管内有球”为事件A，则易得()()44317510142

56PAPX=−==−=（2）由题意，X的值可以为：0,1,2,3,4且()()()()1322344444444C3C3C3381272730;1;2;342564644128464PXPXPXPX============；()444

C144256PX===.所以X的分布列为：X01234P81256276427128364125617.【解析】（1）由题意可得12,0xxt，设()()1122,,,PxyQxy，则()111,Pxy−，联立221143xt

yxy=++=，得()2243690tyty++−=，则12122269Δ0,,4343tyyyytt−+=−=++，()121228243xxtyyt+=++=+，故PQ中点坐标为2243,4343ttt−++.（2）

直线()2111121:yyPQyyxxxx++=−−，当0y=时，()()21211211211212121292112431114643tyxxytytytyytxxtytyyyyyyt−−+−−+=+=++=+=+=−++++，所

以直线1PQ过定点()4,0.18.【解析】（1）设11111,ACBDOACBDO==.因为棱柱是直棱柱，且底面是菱形，故1,,OAOBOO两两垂直.如图，以1,,OAOBOO分别为,,xyz轴正方向建立空间直角坐标系Oxyz.因为菱形ABCD中，120ABC=，所以3,1OAO

B==.设10AAh=，则()()()()()13,0,0,0,1,0,3,0,0,0,1,0,3,0,ABCDAh−−，()()()()()()111110,1,,3,0,,0,1,,3,1,0,0,0,,0,2,BhChDhCBCChBDh−−===−.设平面11BCCB的一个法向量为()

1111,,nxyz=，则由1110,0nCBnCC==得111300xyhz+==，令11x=得()11,3,0n=.所以111121123cos,42BDnBDnBDnh==+.因为直线1BD与

平面11BCCB所成角为30，所以11cos,sin30BDn=，即2231242h=+，解得22h=.（2）假设能找到这样的点M.设()3,0,Mt，且022t剟.则()()123,0,,3,1,22CMtCD==−.设平面1CDM的一个法向量为()222

2,,nxyz=，则由2210,0nCMnCD==得22222230,3220,xtzxyz+=−+=令2xt=得()2,346,23ntt=−−.则12122121222cos,24242108nntnnnntt−==

−+.由平面1CDM与平面11BCCB的夹角为30，可得12cos,cos30nn=，即262324242108ttt−=−+，解得()320,222t=.所以能找到这样的点M.此时，322AMt==，故13232422AMAA==19.【解析】（1

）3n=时X的分布列为：X123P141214（2）由题得()0112100111111111111C2CC222222nnnnnnnEXn−−−−−−−=+++，倒序有()()102

101110111111111C1C1C222222nnnnnnnnEXnn−−−−−−−−=+−++，两式相加有()()10112

10111111121CC2C1CC1C2nnnnnnnnnnEXnnn−−−−−−−−−−=+++−+++由于01121111CC,CCnnnnnn−−−−−−==，依次类推，上式可化简为()()()1011111121CCC2nnnnnEXn−

−−−−=++++，由组合数性质，有0111111CCC2nnnnn−−−−−+++=，故有()()1112122nnEXn−−=+，化简得()1122Exn=+，得证.（3）设向格子最大编

号为i的高尔顿板中投入的一个球落人格子的编号为iX.由于无交集的独立事件的期望具有累加性，则有()()()()1212222mmEYEXEXEX=+++，其中，由（2）有()()()121111111,2,,222222kEXEXEXk=+=+=+.即()12111111

21222222222kEYk=++++++，则()231111111221222222222kEYk+=++++++，两式相减得()()12311111121222222222kkEYk+=−

+−+++++，化简得()2kEYk=.