【文档说明】安徽省阜阳市第三中学2024-2025学年高二上学期数学竞赛培训与实验班训练试题（一） Word版含解析.docx，共(19)页，1.445 MB，由小赞的店铺上传

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竞培、实验班数学大运动量训练（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i为虚数单位，复数z满足2(1i)|1i|z+=+，则复数z的虚部为（）A.i−B.1−C.iD.1【答案】B【解析】【分析】首先求

出|1i|+，再根据复数代数形式的除法运算化简z，最后根据复数的相关概念判断即可；【详解】解：因为22|1i|112+=+=，2(1i)|1i|z+=+，所以(1i)2z+=，所以()()()21i21i1i1i1iz−===−++−，所以复数z的虚部为1−；故选：B

2.已知,mn为两条不同的直线，,为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//,mn，则//mnB.若,mn，且mn⊥，则⊥C.若//，n，则//nD.若,m⊥，则m⊥【答案】C【解析】【分析】根据线线、线面和面面之间的基本关系

，结合选项依次判断即可.【详解】对于A：若//,mn，则m与n可能平行或异面，故A错误；对于B：若,mn，且mn⊥时，平面与可能平行，也可能相交，故B错误；对于C：若//，n，则n，所以//n

，故C正确；对于D：若,m⊥，设n=，而m可能平行n，也可能相交，则m可能平行，也可能和相交，故D错误．故选：C．3.给出下列命题：①若空间向量a，b满足0ab，则a与b的夹角为钝角；②空间任意两个单位向量必相等；③对于非零向量c，若acbc=，则ab=；④若,,ab

c为空间的一个基底，则,,abbcca+++构成空间的另一个基底．其中说法正确个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】利用空间向量基本概念及数量积的定义及运算，对各个命题逐一分析判断即可得出结果.【详解】对于①，当a与b的夹角为π，满足0ab，所以

①错误；对于②，因为向量既有大小又有方向，两向量相等要满足方向相同，长度相等，任意两个单位向量，只能确定长度相等，所以②错误；对于③，由acbc=，得到()0abc−=，所以ab=或ab−与c垂直，所以③错误；对于④，因为

,,abc为空间向量一个基底，所以,,abc不共面，故,,abbcca+++也不共面，所以,,abbcca+++构成空间的另一个基底，所以④正确.故选：B.4.已知四面体,OABCG−是ABCV的重心，若OGxOAyOBzOC=++，则xyz+−=（）A.4B.

13C.23D.12【答案】B【解析】【分析】取BC的中点D，根据空间向量线性运算法则及空间向量基本定理计算可得.【详解】取BC的中点D，的的所以()2233OGOAAGOAADOAODOA=+=+=+−()1212111133332333OAODOAOBOCOAOBOC=+=++=++，

又OGxOAyOBzOC=++，可得13xyz===，所以13xyz+−=.故选：B.5.已知1z，2zC，则下列说法正确的是（）A.若3zC，1323zzzz=，则12zz=B.若12zz=，则12=zzC.若1212zzzz+=−，则120zz=D.1212zzzz

+=−【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算及复数、复数的模的概念判断各选项．【详解】选项A，取1320,1,2zzz===，满足1323zzzz=，但12zz=不成立，A错；选项B，设2i(,R)zabab=+

，12ibzza==−，则2212zabz=+=，B正确．选项C，取121,izz==，满足12122zzzz+=−=，但12i0zz=，C错；选项D，取1212i,12izz=+=−，则122zz+=，12(12i

)(12i)4izz−=−−+=−，D错；故选：B．6.已知ABCV三边a，b，c及对角A，B，C，周长为5，且满足22(sinsin)sinsin7sinABABB+=+，若1b=，则ABCV的面积S=（）A.154B.78C.152D.158【

答案】A【解析】【分析】由正弦定理化边为角，得出2ab=，结合已知求出,ac，然后求出等腰三角形底边上的高，由面积公式计算面积．【详解】因为22(sinsin)sinsin7sinABABB+=+，由正弦定理得22()7ababb+=+，所以2ab=（3ab=−舍去），三角形周长为

5，1b=，则2a=，2c=，由等腰三角形性质知AC边上的高为221152()22h=−=，所以三角形面积为115151224S==．故选：A．7.已知函数()fx在定义域R上单调递减，且函数()

1yfx=−的图象关于点()1,0A对称．若实数t满足()()2230fttf−+−，则13tt−−的取值范围是（）A.1,2+B.1,2−C.20,3D.()1,11,2+【答案】B【解析】【分析】根据函数的对称性、单调性、奇偶

性得到𝑓(𝑡2−2𝑡)>−𝑓(−3)=𝑓(3)，从而得13t−，从而得到结果．【详解】解：(1)yfx=−的图象关于点(1,0)A对称，()yfx=的图象关于原点对称，()fx为奇函数．∵𝑓

(𝑡2−2𝑡)+𝑓(−3)>0，∴𝑓(𝑡2−2𝑡)>−𝑓(−3)=𝑓(3)，()fx在R上是减函数，223tt−，13t−，12133tytt−==+−−在区间(1,3)−上是减函数，则11.32tt−−故选：B.8.已知函数()sincos22xxfx=+

，有下列四个结论：①函数()fx的图象关于原点对称；②π为函数()fx的周期；③()fx的值域为1,2；④设函数()πsin(0,0π)gxx=+的奇偶性与函数()fx相同，且函数()gx在()

0,3上单调递减，则的最小值为2．则正确结论的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】利用偶函数的定义结合诱导公式判断①，利用周期的定义结合诱导公式判断②，先求出一个周期的值域即可判断③，先根据函数性质求得()πcosgxx=，然后利用单调性列不等式求解范围判断④．【

详解】()|sin()||cos()||sin||cos|()2222xxxxfxfx−=−+−=+=，()fx为偶函数，又其定义域为R，故其图象关于y轴对称，故①错；ππ(π)|sin||cos||cos||sin|()2222xxxxfxfx+++

=+=+=，π为函数()fx的周期，故②正确；当[0,π]x时，22π()sincos2(sincos)2sin()22222224xxxxxfx=+=+=+，[0,π]x，ππ3π[,]2444x+，此时π2sin()[1,2]24x+，π为函数()fx的周期，()fx

的值域为[1,2]，故③正确；函数()fx为偶函数，π()sin()(0)gxx=+为偶函数，sin1=，故ππ(Z)2kk=+，又0π，π2=，ππ()sin()2gxx=+，即π()cosgxx=，由0，03

x，得30ππx，函数()gx在(0,3)上单调递减，3ππ，解得3，故④错误．故选：B.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.在空间直角坐标系Oxyz−中，已知点()()()2,0,0,

1,1,2,2,3,1ABC−，则（）A.23AC=B.异面直线OB与AC所成角余弦值为1530C.5ABBC=−D.OB在BC上的投影向量的模为31111【答案】BC【解析】【分析】根据向量的模、向量的夹角、向量的数量积及投影向量判断选项即可.【详解】因为()()(

)2222230101023AC=−+−+−=，故A错误；因为()()1,1,2,0,3,1OBAC=−=，所以03215cos,30610OBACOBACOBAC+−===，所以异面直线OB与AC所成角的余弦值为1530，故B正确；因

为()()1,1,21,2,31265ABBC=−−=−+−=−，故C正确；由投影向量的定义知，OB在BC上的投影向量的模为()()1,1,2314141,2,314OBBCBC−==，故D错误.故选：BC10.在ABCV中，5sin25C=，1BC=，5AC=，则（）A.A

B=25B.ABC的面积为32C.ABCV外接圆直径是552D.ABCV内切圆半径是352-【答案】ACD【解析】【分析】A利用余弦定理计算来判断B利用三角形的面积公式计算即可；的C利用正弦定理计算即可；D利用()12ABCrCASABBC++=即可求

出ABCV内切圆半径.【详解】解：213cos12sin12255CC=−=−=，由于在ABCV中，则294sin1cos1255CC=−=−=，22232cos12525205ABBCACBCACC=+−=+−=故AB=25，A

正确；114sin52225ABCSBCACC===，B错误；设ABCV外接圆半径为R，255524sin25ABRC===，C正确；设ABCV内切圆半径为r，则()12ABCrCASABBC++=，即()1255221r=++，解得352-，D正确.

故选：ACD.11.如图，点P是棱长为2的正方体1111ABCDABCD−的表面上一个动点，F是线段11AB的中点，则（）A.存在点P使得1APAC⊥B.若点P满足APBF⊥，则动点P的轨迹长度为25C.若点P满足//PF平面11ACD时，动点P的轨迹是正六边形D.当点P在

侧面11BBCC上运动，且满足2FP=时，二面角ACDP−−的最大值为60°【答案】AC【解析】【分析】根据各选项的条件，分别确定动点P的轨迹，判断轨迹的形状，求轨迹周长，求二面角，进行判断.【详解】对A

：如图：当P点位于11ABD边上时，因为1AC⊥平面11ABD，所以1APAC⊥，故A正确；对B：如图：当APBF⊥时，P点轨迹为矩形AMND，其中,MN分别为1BB，1CC中点，所以动点P轨迹的周长为：254+，故B错误；对C：如图：当//PF

平面11ACD时，P点轨迹是正六边形FIJKLM，其中,,,,IJKLM均为棱的中点，故C正确；对D：如图：当点P在侧面11BBCC上运动，且满足2FP=时，P点轨迹是以1B为圆心，以1为半径的圆弧，则BCP即为二面角ACDP−−的平面角，所以当P与11BC的中点重合时，二面角ACDP−−取得最

大值，此时，因为tan2BCP=，所以60BCP.故D错误.故选：AC【点睛】方法点睛：立体几何中动点轨迹问题经常利用不动点的位置和动点位置关系，利用线面、面面平行或垂直的判定定理和性质定理，找出动点的轨迹进而计算出其轨迹长度.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共

15分．12.已知事件A与B相互独立，()0.6PA=，()0.42PAB=，则()PAB+=______．【答案】0.88【解析】【分析】根据独立事件乘法公式求出()PB，从而利用()()()()PABPAPBPAB+=+−求出答

案.【详解】因为事件A与B相互独立，所以()()()()()0.60.420.7PABPAPBPBPB====，所以()()()()0.60.70.420.88PABPAPBPAB+=+−=+−=．故答案为：0.8813.已知142xy−−，，且21x

y+=，则19214xy+++的最小值为_________.【答案】83##223【解析】【分析】利用19119()(214)2146214xyxyxy+=++++++++，结合基本不等式可求其最小值.【详解】因为142xy−−，，所以21040xy++，，又因为21xy+=，所以21

46xy+++=，所以191191921)()(214)(19)214621464214xxyxyxyyxy++=++++=++++++++++（1921)8(192)642134xyxy+++=+++（，当且仅当

921)4214yxyx++=++（，即11,42xy==时取等号.所以19214xy+++的最小值为83.故答案为：83.14.ABCV中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，记ABCV的面积为,tan2tanSAB=．（1）当tan1B=时，tanC=______；（2）2Sa的最大值

为______．【答案】①.3②.38【解析】【分析】（1）由诱导公式以及两角和的正切公式，化简求值．（2）由题意得到22233abc=+，即223()()3bcaa+=，求出三角形的面积，利用换元法结合二次函数的性质求最值即可；【详解】（1）当tan1B=时，tan2A=，则()(

)tantanπtanCABAB=−+=−+tantan1231tantan112ABAB++=−=−=−−；（2）由tan2tanAB=得到，sin2sincoscosABAB=，即2²²²²²²22abbcaacbbcac=+−+−，即22233abc=+，所以223

()()3bcaa+=，所以22222111sin1cos1()2222bcaSbcAbcAbcbc+−==−=−，故2222221()22Sbcbcaaabc+−=−2222211()()[()()1)].24

bcbcaaaa=−+−令2()bma=，2()cna=，则33mn+=，22211159(1)4()242816Smnmnma=−+−=−−+，所以21932168Sa=，等号成立条件为5.8m=故2Sa最大值为38，故答案为：①3，②3.8【点睛】关键点点睛：本题考查诱导

公式以及两角和的正切公式，同角三角函数基本关系，余弦定理及三角形面积公式，第二问解题的关键是通过换元法及基本不等式求解，运算比较复杂．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在ABCV中，已知1A

B=，32AC=，BC，AC边上的中线AM，BN相交于点P．（1）求AMBC；（2）若45BAC=，求MPN的余弦值，【答案】（1）172（2）131050【解析】【分析】（1）以,ABAC为基底表示向量,AMBC，再求其数量积即可；（2）利用两

向量夹角的余弦公式cosAMBNMPNAMBN=求得结果即可.【小问1详解】因为M为BC的中点，所以()12AMABAC=+uuuruuuruuur，又BCACAB=−，1AB=，32AC=，()()()221117222AMBCABACACABACAB

=+−=−=.【小问2详解】由()12AMABAC=+uuuruuuruuur两边平方得()()222221122cos44AMABACABACABACABACBAC=++=++，又1AB=，32A

C=，45BAC=，所以212251182132424AM=++=，即52AM=.因为N为AC的中点，所以12BNANABACAB=−=−，所以()221111122222AMBNABACACA

BACACABAB=+−=−−131391224=−−=,2191031222BNACAB=−=−+=，又MPN为,AMBN的夹角,所以1313104cos5051022AMBNM

PNAMBN===.16.如图，ABCV的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，ABCV外一点D（D与ABCV在同一平面内）满足BACDAC=，2ABCD==，2sincoscaACBACBb++=.（1）求B；（2）若ABCV的面积为

2，求线段AD的长.【答案】（1）3π4（2）4【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可化简得πsin14ABC−=，根据三角函数的性质即可求解，（2）根据面积公式可得22a=，进而根据余弦定理即

可求解.【小问1详解】因为2sincoscaACBACBb++=，由正弦定理可得2sinsinsincossinACBBACACBACBABC++=，即()sincossinsin2sinsin2sinsinπABCACBABCACBACBCABACBACBABC+

=+=+−+,()()2sinsin2sinsincoscossinACBACBABCACBABCACBABCACB=++=++，即sinsin2sincossinABCACBACB

ABCACB=+.又()0,πACB，sin0ACB，故sin2cosABCABC=+，即sincos2ABCABC−=，所以π2sin24ABC−=，即πsin14ABC−=，因为()0,πABC，3,444ABC−

−，所以ππ=42ABC−，得3π4ABC=.【小问2详解】因为ABCV的面积2S=，所以13π2sin24Sac==，即222a=，22a=，由余弦定理得222cos25ACcaacABC=+−=，所以420825cos52225CAB+−==，因为AC平分B

AD，所以220425cos5225ADCADAD+−==，所以4=AD.17.某校为了培养学生数学学科的核心素养，组织了数学建模知识竞赛，共有两道题目，答对每道题目得10分，答错或不答得0分．甲

答对每道题的概率为12，乙答对每道题的概率为(01)pp，且甲、乙答对与否互不影响，各题答题结果互不影响．已知第一题至少一人答对的概率为56．（1）求p的值；（2）求甲、乙得分之和为30分的概率．【答案】（1）23p=（2）13【解析】【分析】（1

）根据条件，列出关于p的方程，求解即可；（2）根据条件，分为甲答对1题，乙答对2题；甲对2题，乙对1题两种情况进行求解即可．【小问1详解】设A=“甲答对第一题”，B=“乙答对第一题”，则()()1,2PAPBp==，因A与B相互独立，所以A与B相互独立．由于事件

“第一题至少一人答对”对立事件是“第一题甲、乙都答错”，根据对立事件的性质，得第一题至少一人答对的概率为()()1111111222PABpp−=−−−=+，由题意可知，115226p+=，解得23p=．【小问2详解】设1A表示甲答对1道题目，2A表示甲答对2道题目；1B表示乙答对1道

题目，2B表示乙答对2道题目，则()()121111111111,22222224PAPA=−+−===；为的()()122222422411,33339339PBPB=−+−=

==，设C表示甲、乙得分之和为30分的事件，则1221CABAB=+，因为甲、乙答对与否互不影响，各题答题结果互不影响，所以1A与2B相互独立，2A与1B相互独立，且12AB与21AB互斥，则()()()()()()1221122114

14129493PCPABABPAPBPAPB=+=+=+=．18.已知()21xfxaxb+=+是定义域上的奇函数，且()12f=.（1）求()fx的解析式；（2）判断并用定义证明()fx在区间()0,+上的单调性；（3）

设函数()()2212(0)hxxtfxtx=+−，若对任意的121,,12xx，()()12154hxhx−，求实数t的最小值.【答案】（1）1()fxxx=+（2）函数()fx在(0,1)上单调递减

，在(1,)+上单调递增，证明见解析（3）32−【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质得到()12f−=−，从而得到关于a、b的方程组，解得即可；（2）按照定义法证明单调性的步骤取值、作差、化简、定号、下结

论即可；（3）令1zxx=+换元得222yztz=−−，将问题转化为求最值问题，然后由()()maxmin154hxhx−求解可得.【小问1详解】因为()21xfxaxb+=+是定义域上的奇函数，且()12f=，所以()()112ff−=−=−，所以2222abab=−−+

=+，解得10ab==，即1()fxxx=+．经检验，()fx是奇函数，满足题意，所以1()fxxx=+.【小问2详解】函数1()fxxx=+在(0,1)上单调递减，在(1,)+上单调递增，证明如下：任取12,(0,)xx+，且12xx，则()()()

()121212121212121211111xxfxfxxxxxxxxxxxxx−−=+−+=−−=−，当𝑥1,𝑥2∈(0,1)，且12xx，则120

xx−，1201xx，∴1210xx−，∴12()()0fxfx−，即()()12fxfx，所以函数()fx在(0,1)上单调递减．当()12,1,xx+，且12xx，则120xx−，121xx，∴1

210xx−，∴12())0(fxfx−，即()()12fxfx，所以函数()fx在(1,)+上单调递增．【小问3详解】由题意知2221111()222hxxtxxtxxxxx=+−+=+−+−，令1zxx=+

，则222yztz=−−，由（2）可知函数1zxx=+在1,12上单调递减，∴52,2z，因为函数222yztz=−−的对称轴方程为0zt=，∴函数222yztz=−−在52,2上单调递增，当2z=时，222yztz=−−取得最小值，min42yt=−+；当

52z=时，222yztz=−−取得最大值，max1754yt=−+．所以min()42hxt=−+，max17()54hxt=−+，又因为对任意的1x，21,12x都有()()12154hxhx−

恒成立，∴maxmin15()()4hxhx−，即17155(42)44tt−+−−+，解得32t−，又∵0t，所以t的取值范围是3,02−，则实数t的最小值为32−．19.如图，在四棱锥PABCD−中，底

面ABCD为平行四边形，PD⊥底面ABCD，PBAC⊥，,EF分别为线段,PADC的中点.（1）证明：PAPC=；（2）证明：//EF平面PBC；（3）若1PD=，60DAB=，记PA与平面PBC所成角为，求sin的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）

证明见解析（3）233−【解析】【分析】（1）连接BD，设ACBDO=，连接PO，通过证明ACPO⊥以及AOOC=得到PAC为等腰三角形，进而可得结论；（2）取PD的中点G,通过证明//EG平面PBC以及//FG平面PBC可得面面平行，即可求证；（3）利用体积

法求点A到平面PBC的距离h，设PA与平面PBC所成的角为，表示出sin，求其最值。【小问1详解】连接BD，设ACBDO=，连接PO.因为，PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，故PDAC⊥，而PBAC⊥，PBPDP=，,PBPD平面PDB，故AC⊥平

面PDB，而PO平面PDB，故ACPO⊥，由四边形ABCD为平行四边形可得AOOC=，故PAC为等腰三角形，即PAPC=；【小问2详解】取PD的中点G，连结,EGFG，由中位线性质可得//EGAD，且//ADBC，所以//EGBC，因为EG平面,PBCBC平面PBC，所以//EG

平面PBC，同理可证//FG平面PBC，因为,EGFGGEG=平面,PBCFG平面PBC，所以平面EFG//平面PBC；.又EF平面EFG,所以EF//平面PBC,【小问3详解】设ADx=，0x，由（1）可得AC⊥平面

PDB，而BD平面PDB，故ACBD⊥，故四边形ABCD为菱形，而60DAB=，故BDABx==.因为PD⊥平面ABCD，AD平面ABCD，故PDAD⊥，故21PAx=+，同理21PCPBx==+.而BCx=，故2242111312424PBC

Sxxxxx=+−=+△.设d为点A到平面PBC的距离，PA与平面PBC所成的角为，故2sin1ddPAx==+.又2211133333412PABCABCABDVPDSSxx−====△△，

而4211133324APBCPBCVdSdxx−==+△，故422113332412dxxx+=，故2334xdx=+，故2222333334sin2334231212737xxxxx+====−+++++，当且仅当443x=即1443x=时等号成立，所以maxsin

233=−【点睛】线面角可以通过体积法求出点到面的距离h后，利用sinhl=（l为斜线段的长度）来表示，可以避免建系产生的复杂计算.