【文档说明】2023届南宁市第二中学考前模拟大演练 理数答案和解析.pdf，共(11)页，782.234 KB，由小赞的店铺上传

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2023届南宁市第二中学考前模拟大演练理科数学试卷答案123456789101112DADCCCADCBAA9【详解】将该多面体放入正方体中,如图所示.由于多面体的棱长为1,所以正方体的棱长为2因为该多面体是由棱长为2的正方体连接各棱中点所得,所以该多面体外接球的球心为正方体体对

角线的中点，其外接球直径等于正方体的面对角线长，即222R所以1R244SR答案C10【答案】B【详解】如图，设21FMPF于M，则由题意得233FMa，1260FPF，∴13PMa，223PFa，由椭圆定义可得12122PFPFPMMFPFa

，∴1MFa，在12RtMFF△中，由勾股定理得222433aca，可得33cea.故选：B12原方程可以化成2lnxexyaey，取2,1,4xexfxxe，ln,1,xgxaxex.22',

1,4xexxfxxe，当1,0x时，'0fx，故fx在1,0上为减函数；当0,2x时，'0fx，故fx在0,2上为增函数；当2,4x时，'0fx，故fx在2,4上为增函数；00fxf

极小值，42fxfe极大值，23161,4fefe，21ln',1,xgxxex，故'0gx，gx在1,e上为增函数.因为关于x的方程2lnxexyaey在1,4有三个不同的实数根，故

142gfgef，故31614aeaee，解答3163aee，故选A.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13在等差数列{}na中，若12345120aaaaa，则692aa_______答案2414已知向

量a，b夹角为60°，且|a|＝1，|2a－b|＝23，则|b|＝解析：∵a，b的夹角为60°，|a|＝1，∴a·b＝|a|·|b|·cos60°＝12|b|，∴|2a－b|2＝4－4×12|b|＋|b|2＝12

.∴|b|＝4.答案：415在正方体1111ABCDABCD中，O为底面ABCD的中心，M为线段1CC上的动点（不与两个端点重合），P为线段BM的中点，则以下正确的是______________(1).直线DP与OM是异面直线(2).三棱锥1BDBM的体积是定值(3).存在点M，使1AC∥平面

BDM(4)存在点M，使1AC平面BDM答案（2）（3）16．已知点4,0A，点P在抛物线2:8yx上运动，F是抛物线的焦点，连接PF并延长与圆22:(2)1Cxy交于点B，则2PAPB的最小值是___________.【答案】4【分析】求出焦点2,0F，设,Pxy.表

示出22||16||3PAxPBx，令3xt，换元根据基本不等式即可求出答案.【详解】由题意可知，抛物线28yx的焦点为2,0F.设点,Pxy，则由抛物线的定义得2PFx，22222(4)816816PAxyxxxx

.要使2PAPB最小，则应有13PBPFx，此时有22||16||3PAxPBx.令3xt，则3xt，22||(3)16||PAtPBt2625256ttttt，因为2||0||PAPB

，显然有0t，则由基本不等式知2525210tttt，当且仅当25tt，即5t时等号成立.故2||||PAPB的最小值为1064.故答案为：4.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在等差数列na

中，44a，nS为na的前n项和，1055S，数列nb满足212221logloglog.2nnnbbb（Ⅰ）求数列na和nb的通项公式；（Ⅱ）求数列1nnnab的

前n项和nT.11131,104555,nadadan212221logloglog2nnnbbb(1)21222112logloglog2nnnnbbb当时，(2)（1）-(2)

得2log,2nnnbnb得当n=1时211log12bb，则满足上述式子所以2nnb------------6分（2）12nnnnncabn122222nnTn23122222122n

nTnn12132222nnnTn123129nnnT——————————12分18.如图，在多面体111ABCABC-中，111////AABBCC

，1AA平面111ABC，111ABC△为等边三角形，1112ABBB，13AA，11CC，点M是AC的中点．（1）若点G是111ABC△的重心，证明；点G在平面1BBM内；（2）求二面角11BBMC的正切值．证明：取A11C中点N，连接1BN，MN，如图所示，因为点G是

111ABC△的重心，故G一定在中线1BN上，因为点M是AC的中点，点N是11AC的中点，所以MN是梯形11AACC的中位线，所以111122MNAACCBB，且11MNAACC∥∥，又111AABBCC∥∥

，所以1MNBB∥，所以四边形1BBNM是平行四边形，因为点1GBN，1BN平面1BBNM，所以点G平面1BBNM，即点G在平面1BBM内．---------5分（2）以1A为原点，11AB所在直线

为x轴，垂直于11AB的直线为y轴，1AA所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则11132,0,0,2,0,2,1,3,0,,,222BBCM，13333,,2,,,02222MBMB

，113,,222MC，设平面1BMB与平面1BMC的法向量分别为111222,,,,,mxyznxyz，则1111133202233022xyzxy

，不妨取11x.则1,3,0m，2222233022132022xyxyz，不妨取21,1,3,1xn，所以25cos,5mnmnmn

，故二面角11BBMC的正切值为12．--------------12分19为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某企业指导一贫困村通过种植紫甘薯并通过网络直播来提高经济收入.紫甘薯对环境温度要求较高，根据科学种植经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势.下表给出了一

号实验田紫甘薯在温度升高时6组死亡的株数.温度x/℃212324272930死亡数y/株61120275777经计算，611266iixx，611336iiyy，61588iiixxy

y，62184iixx，6213930iiyy，621ˆ393iiiyy，8.071e3200，其中ix，iy分别为试验数据中的温度和死亡株数，1,2,3,4,5,6i.(1)若用一元线性回归模型

，求y关于x的经验回归方程ˆˆˆybxa；(2)若用非线性回归模型求得y关于x的非线性经验回归方程0.2306ˆ0.06exy，且相关指数为20.9432R.（ⅰ）试与（1）中的回归模型相比，用2

R说明哪种模型的拟合效果更好；（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35℃时该批紫甘薯的死亡株数（结果取整数）.附：对于一组数据1122(,),(,),......,(,)nnxyxyxy其回归直线ˆˆˆybxa的斜率和截距的最小二乘估计分别为

：61621()()ˆ()iiiiixxyybxx，ˆˆaybx；相关指数为：6221621ˆ()1()iiiiiyyRyy.【解析】(1)由题意可知611621588784iiiixxyybxx，

33726149aybx，∴y关于x的线性回归方程是7149yx；--------5分(2)①用指数回归模型拟合y与x的关系，相关指数20.9432R，线性回归模型拟合y与x的关系，相关指数

6221621110.93930393iiiiiyyRyy，则0.90.9432，∴用0.23060.06exy比7149yx拟合效果更好；----------9分②0.23060.06exy中，

令35x，则0.2306358.0710.06e0.06e0.063200192y，故预测温度为35C时该紫甘薯死亡株数约为192株.-------12分20.抛物线C：220ypxp上的点01,

My到抛物线C的焦点F的距离为2，A､B（不与O重合）是抛物线C上两个动点，且OAOB.(1)求抛物线C的标准方程；(2)x轴上是否存在点P使得2APBAPO？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明

理由.【详解】（1）由抛物线的定义得122pMF，解得2p，则抛物线C的标准方程为24yx.------4分（2）依题意知直线OA与直线OB的斜率存在，设直线OA方程为0ykxk，由OAOB得直线

OB方程为：1yxk，由24ykxyx，解得244,Akk，由214yxkyx，解得24,4Bkk由2APBAPO得OPAOPB，假定在x轴上存在

点P使得OPAOPB，设点0,0Px，则由（1）得直线PA斜率20024444PAkkkkxxk，直线PB斜率2044PBkkkx，由OPAOPB得0PAPBkk，则有22004444kkkxkx，即220044kxkx，整理得20140kx

，显然当04x时，对任意不为0的实数k，20140kx恒成立，即当04x时，0PAPBkk恒成立，OPAOPB恒成立，所以x轴上存在点4,0P使得2APBAPO.-------------1

2分21．设函数2,1(xfxegxkxkR）.（1）若直线ygx和函数yfx的图象相切，求k的值；（2）当0k时，若存在正实数m，使对任意0,xm都有2fxgxx恒成

立，求k的取值范围.【答案】（Ⅰ）2k；（Ⅱ）(4,).（1）设切点的坐标为2,tte，由2xfxe，得22xfxe，所以切线方程为222ttyeext，即y2e2tx12te2t，由已知y2e2xx12te2x

和ykx1为同一条直线，所以2e2tk,12te2t1，令hx1xex，则hxxex，当x,0时，hx0,hx单调递增，当x0,时，hx0,hx单调递减，所以hxh01，

当且仅当x0时等号成立，所以t0,k2.————————5分（2）①当2k时，有（1）结合函数的图象知：存在00x，使得对于任意00,xx，都有fxgx，则不等式2fxgxx等价2gxfxx，即221

0xkxe，设2221,22xxtkxetke，由0t得12ln22kx，由0t得12ln22kx，若1224,ln022kk，因为0120,,ln22kx，所以tx在120,ln22k上单调递

减，因为00t，所以任意120,ln,022kxtx，与题意不符，若1212124,ln0,0,ln,ln222222kkkk，所以tx在120,ln22k上单调递增，因为00t，所以对任意

120,ln,022kxtx符合题意，此时取120min0,ln22km，可得对任意0,xm，都有2fxgxx.②当02k时，有（1）结合函数的图象知2210(0)xexx，所以2212122

0xxfxgxekxexkxkx对任意0x都成立，所以2fxgxx等价于2210xekx，设221xxekx，则222xxek

，由0x得12ln,022kxx得，12ln22kx，所以x在120,ln22k上单调递减，注意到00，所以对任意120,ln,022kxx，不符合题设，总数所述，k的取值范围为4,.-------

------12分22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2221141txttyt，（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110．

（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．（1）因为221111tt，且且22222222141211yttxtt，所以C的直角坐标方程为221(1)4yxx.cos,s

inxyl的直角坐标方程为23110xy.------------5分（2）由（1）可设C的参数方程为cos,2sinxy（为参数，ππ）.C上的点到l的距离为π4cos11|2cos23sin11|377

.当2π3时，π4cos113取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.-----------------------10分23已知函数()|2||1|fxxmx.（1）若2m，求不等式()8fx的解集；（2）若关于x的不等式()|3|fxmx

„对于任意实数x恒成立，求实数m的取值范围.解：（1）当2m时，34,2,(),21,34,1,xxfxxxxx„当2x„时，348x，解得4x„；当21x

时，不等式无解；当1x时，348x，解得43x.综上，不等式的解集为4(,4],3.-----------5分（2）由题意知，|2|(|1||3|)xmxx„，所以|2||1||3|xm

xx.记|2|()|1||3|xgxxx，则1,(,3][1,),2()2,(3,1),2xgxxx，当31x时，221223

22xxgxxx，则12gx，又当2x时，min0gx，所以1()0,2gx，所以12m，所以实数m的取值范围为1,2.--------------------

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