【文档说明】2023届数学一轮复习函数与导数：8.切比雪夫函数最佳逼近【高考】.docx，共(3)页，409.660 KB，由小赞的店铺上传

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18.切比雪夫视角下的“”型不等式的七种解法典例：（2019年2月温州二模）已知，若对，，使得，则实数的最大值为_______.解法一：（参变分离法）由的任意性易知，由有：或，即或对有解，令，，对，，∴，对，，当时，在上递减，∴，∴当时，上述不等式无解，∴，∴，∴，∴，∴，∴.解法二：

（极差思维）由的任意性易知：，，，当时，在上递增，∴，∴恒成立，∴.当时，当且仅当，即（此处用极差思维，比讨论对称轴要简便些），即时，∴.解法三：（纵向距离），作出与的图象，当时，，当时，令，∴，∴，∴，∴切线方程为，∴，过，斜率为的直线方程为：，即，∴，令，∴当时，.（当且仅当时取得最大值）

以下解法，先考查原命题的否定：已知，若，对，恒有，则实数的取值范围为__________________.解法四：（极差思维），，令，即，∴，此时，∴，∴原题的取值范围为.解法五：（半分参后数形结合）由有：，∴对恒成立，2∴，∴，∴，∴原题的取值范围为.解法六：（半分参后夹逼）由有：，∴，作出

，，的图象，易知：，∴，∴，∴，∴原题的取值范围为.另解：（半分参后夹逼）由有：，作出和的图象，易知：，∴，∴，∴，∴原题的取值范围为：.解法七：（特值法）由恒成立有：，∴，又，∴，∴，∴，∴，∴原题的取值

范围为.说明：对二次函数外加绝对值不等式，取特值必须是两个端点和顶点，否则所求结果不是邻界值，所以这种做法带有机遇性和风险.总之，这类含有“任意”、“存在”的绝对值不等式恒成立或有解问题，参变分离，看成“纵向距离”，半分参后数形结合或夹逼思维，都是通性通法，另外，当

的取值是存在时，可先从此问题的否定先入手，即转化为对的恒成立问题求解，从而为夹逼思维处理带来方便,此类问题夹逼才是王道.举一反三1.二次函数，若对任意的实数，都存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围是（D）（从命题否定先考虑再夹逼思维或用极差思维都很方便）A.

B.C.D.32.已知函数，若存在实数，使得对任意，都有成立，则实数的取值范围是_________________.（夹逼思维更好，也可用极差思维）3.（2016年4月学考）设函数，若对任意的正实数和实数，总存在，使得，则实数的取值范围是（B）A.B.C.D.说明：用纵向距离，单调性加极

差思维都很简洁，利用契比雪夫函数逼近线转化为平口单峰函数做更妙.4.（浙江诸暨2018届高三上期末）已知，，，若对任意的，恒成立，则_____.（半分参后夹逼即可，若，此题不可求，特值法很懵逼.）5.（广东2022届高三综合能力测试）已知函数，当时，恒成立，则____

____.（半分参后夹逼才是王道，.）