【文档说明】海南省海口市2023-2024学年高一下学期期末考试 数学 Word版含解析.docx，共(24)页，1.743 MB，由小赞的店铺上传

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机密★启用前海口市2023～2024学年第二学期高一年级期末考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合2Axx=Z，23Bxx=−，则AB=（）A03xxB.

24xx−C.0,1,2,3D.2,1,0,1,2,3,4−−2.复数z=21ii−+(其中i是虚数单位)，则z共轭复数z=（）A.1322i−B.1322i−−C.1322i+D.132

2i−+3.已知向量(),1am=，()6,2b=−，若a与b共线，则m=（）A.3B.13C.13−D.3−4.已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点()1,3−，则()πsinπsin2+−+=（）A.2105−B.105−C.105D

.21055.陀螺是中国民间较早娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，P为圆锥的顶点，A，B分别为圆柱上、下底面圆的圆心，若圆锥的底面周长为6π，高为3，圆柱的母线长为4，则该几何体的表面积为（）..的的A.()3392π+B.

()2492π+C.()33182π+D.()24182π+6.已知1cossin6=，tan3tan=，则()sin−=（）A.79−B.13−C.13D.797.若函数()()3cosfxx=+，

（0，π）图象的相邻两个对称中心之间的距离为π2，且()π3fxf恒成立，则=（）A.2π3B.2π3−C.π3D.π3−8.ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，222sinsinsinsinsinBCABC+−=，4a=，BC边上的中

线为6，则ABC的面积为（）A.3B.23C.3D.4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.“绿水青山就是金山银山”.海口

市始终坚持生态优先，绿色低碳发展，空气质量长期领“鲜”全国.数据显示，2023年海口市空气质量创历史最高水平，位居全国168个重点城市之首.生活中常用空气质量指数（AQI）描述空气质量，AQI越小，表示空气质量越好.下表为2024年3月18日～3月24日

一周内海口市和同为空气质量排行榜前十的“某市”的空气质量指数（AQI），这组数据中，以下表述正确的是（）A.海口市这一周AQI的平均数为22B.“某市”这一周AQI的中位数为40C.两市这一周AQI指数的方差或标准差可以反映出两市空气质量变化的稳定情况D.海口市这一周AQI指数的方差

大于“某市”这一周AQI指数的方差10.设函数()lgfxx=，()11xgxfx−=+，下列关于()fx和()gx的性质，正确的是（）A.对任意的1x，()20,x+，()()1122xfxfxfx−=B.对任意的1x，()20,x+

且12xx，()()121222fxfxxxf++C.函数()gx是定义域为()1,1−的奇函数D.函数()gx在定义域上是增函数11.如图，棱长为1正方体1111ABCDABCD−中，点E，F，G分别为棱BC

，CD，11CD的中点，点M为棱1CC上的动点，点N为侧面11BBCC内动点，AN与侧面11BBCC成角为45，则下列说法中正确的是（）A.动点N所在轨迹长为π2的B.平面AEM⊥平面1BBGFC.平面AEM截正方体所得的

截面图形始终是四边形D.点B和点C到平面AEM的距离相等三、填空题：本题共3小题，每小题5分，第14题第一问2分，第二问3分，共15分.12.复数1iza=+（aR）在复平面上对应的点在第四象限，3z=，

则=a______.13.平面向量a，b为单位向量，且()()21abab−+=−，则2ab+=rr______.14.已知三棱锥DABC−的顶点都在球O的表面上，AD⊥平面ABC，BD与底面ABC所成的角为π6，ACBC=，2AD=，ABC的面

积为3，ABC所在的平面与球O的交线长为______，球O的表面积为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.为贯彻落实中央和省委相关部署要求，海口市大力开展人才引进工作.现组织公开招聘，共有100名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在

50,100内，将笔试成绩按照)50,60，)60,70，…，90,100分组，得到如图所示频率分布直方图.（1）求全体应聘者笔试成绩的第75百分位数和平均数（每组数据以区间中点值代表）；（2）若计划面试60人，请估计参加面试的最低分

数线（四舍五入取整数）.16.已知函数()π2sin6fxx=−（03），直线π3x=是函数()fx的图象的一条对称轴.（1）求函数()fx的最小正周期和单调递增区间；（2）若5π0,12x，求函

数()fx的值域.17.已知函数()ππsincoscos63fxxxxa=+−+++，()fx的最小值为3−.（1）求a的值；（2）求()0fx=的解集；（3）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c

，若3a=，()1fA=，求ABC周长的取值范围.18.如图，有一块形如四棱锥的木料PABCD−，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E，F分别为AB和PD的中点.（1）要经过点E，F和B将木料锯开，在

木料表面应该怎样画线？（在答题卡的图中作出辅助线即可）指出EF与平面PBC的位置关系，并证明；（2）若3AD=，2PD=，DEPC⊥，求二面角EFCD−−的大小；（3）试求切割开的两部分木料的体积之比.19.函数yx=称为高斯函数，其

中“x”表示不超过实数x的最大整数，又称“x的整数部分”.高斯函数在数论、函数绘图和计算机等领域有广泛的应用，我们记xxx=−.（1）设方程120242024xx=−的两个不同实数解为1x与2x，

且12xx，求12xx的值；（2）请确认是否存在函数f：→RR，满足对xR，都有：①()()()ffxfx=；②()()()()2coscossinxfxxfxxfx+=同时成立.（3）求证：对xR，*nN，121nxxxxnxnnn−+++++

++=.机密★启用前海口市2023～2024学年第二学期高一年级期末考试（数学）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合2Axx=Z，23Bx

x=−，则AB=（）A.03xxB.24xx−C.0,1,2,3D.2,1,0,1,2,3,4−−【答案】C【解析】【分析】首先求出集合A，再根据交集的定义计算可得.【详解】由2x，则04x，所以2040,1,2

,3,4Axxxx===ZZ，又23Bxx=−，所以0,1,2,3AB=.故选：C2.复数z=21ii−+(其中i是虚数单位)，则z的共轭复数z=（）A.1322i−B.1322i−−C.1322i+D.1322i−+【答案】C【解析】【分析

】由题意结合复数的除法运算可得1322zi=−，再由共轭复数的概念即可得解.【详解】2(2)(1)13131(1)(1)222iiiiziiii−−−−====−++−，1322zi=+故选：C.【点睛】本题

考查了复数的运算及共轭复数的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.3.已知向量(),1am=，()6,2b=−，若a与b共线，则m=（）A.3B.13C.13−D.3−【答案】D【解析】【分析】利用向量共线的坐标

表示，列方程即可求解.【详解】因为向量(),1am=，()6,2b=−，a与b共线，所以()216m−=，解得3m=−，故选：D.4.已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点()1,3−，则()πsinπsin2+−+=（）A.2105−B.105−C.10

5D.2105【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的定义求出sin，cos，再由诱导公式计算可得.【详解】因为角的终边经过点()1,3−，所以()223310sin1013−−==+−，()22110cos1013==+−，所以()πsinπsin2+−+=

53110si0nco01010s1−−−==−−.故选：C5.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，P为圆锥的顶点，A，B分别为圆柱上、下底面圆的

圆心，若圆锥的底面周长为6π，高为3，圆柱的母线长为4，则该几何体的表面积为（）A.()3392π+B.()2492π+C.()33182π+D.()24182π+【答案】A【解析】【分析】设圆锥（圆柱）的底面圆的半径为r，圆锥的母线为l，根据圆锥的底面周长求出r，再由勾股定理求出l，最后

由表面积公式计算可得.【详解】设圆锥（圆柱）的底面圆的半径为r，圆锥的母线为l，依题意可得2π6πr=，解得3r=，所以223332l=+=，所以该几何体的表面积()22ππ2π4π3π3322π343392πSrrlr=++=++=+.故选：A6.已知1cossin6

=，tan3tan=，则()sin−=（）A.79−B.13−C.13D.79【答案】C【解析】【分析】利用切化弦的思想和两角和差公式即可求解【详解】因为tan3tan=，所以sin3sincoscos=，即sincos3cossi

n=，所以()sinsincoscossin3cossincossin2cossin−=−=−=，又1cossin6=，所以()11sin2cossin263−===.故选：C.7.若函数()()3cosfxx=+，

（0，π）图象的相邻两个对称中心之间的距离为π2，且()π3fxf恒成立，则=（）A.2π3B.2π3−C.π3D.π3−【答案】B【解析】【分析】根据周期求出，再根据π3f为最大值求出.【详解】因为图象

的相邻两个对称中心之间的距离为π2，所以π22T=，即πT=，又0，所以2ππ=，解得2=，所以()()3cos2fxx=+，又()π3fxf恒成立，所以π22π,Z3kk+=，解得2π2π,Z3kk=−+，又π，所以2π3=−.故选

：B8.ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，222sinsinsinsinsinBCABC+−=，4a=，BC边上的中线为6，则ABC的面积为（）A.3B.23C.3D.4【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出A，再用向量的方法表示中线，再由余弦定理

可得bc的值，进而求出该三角形的面积．【详解】因为222sinsinsinsinsinBCABC+−=，由正弦定理可得222bcabc+−=，由余弦定理可得2222cosbcabcA+−=，可得1cos2A=，而(0,π)A，可得π3A=，由余弦定理可得2222

22cosabcbcAbcbc=+−=+−，即2216bcbc=+−，①因为BC边上的中线为6，设中线为AD，则2ADABAC=+，两边平方可得22222422||||cosADABACABACABACABACA=++=++，即2246bcbc

=++，②②−①可得28bc=，即4bc=，所以113sin43222ABCSbcA===．故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.“绿水青山就是金山银山”.海口市始终坚持生态优先，绿色低碳发展，空气质量长期领“鲜”全国.数据显示，2023年海口市空气质量创历史最高水平，位居全国168个重点城市之首.生活中常用空气质量指数（AQI）描述空气

质量，AQI越小，表示空气质量越好.下表为2024年3月18日～3月24日一周内海口市和同为空气质量排行榜前十的“某市”的空气质量指数（AQI），这组数据中，以下表述正确的是（）A.海口市这一周AQI的平均数为22B.“某市”这一周AQI的中位数为40C.

两市这一周AQI指数的方差或标准差可以反映出两市空气质量变化的稳定情况D.海口市这一周AQI指数的方差大于“某市”这一周AQI指数的方差【答案】AB【解析】【分析】由散点图计算平均数和中位数判断A、B;根据方差的意义和

散点图分析数值波动程度可判定C、D.【详解】对于A，根据散点图分析可知，海口市这一周AQI的平均数为2226333123910227++++++=，A正确对于B，观察散点图“某市”这一周AQI有31,35,36,40,42,50,74，可知中

位数为40，B正确；对于C，两市这一周AQI指数的方差或标准差不能完全反映出两市空气质量变化的稳定情况，C错误；对于D.根据散点图观察海口市这一周AQI指数的波动小于“某市”这一周AQI指数的波动，所以海口市这一周AQI指数方差小于“某市”这一周AQI指数的方差，D错误；故选:A

B.10.设函数()lgfxx=，()11xgxfx−=+，下列关于()fx和()gx的性质，正确的是（）A.对任意的1x，()20,x+，()()1122xfxfxfx−=B.对任意的1x，()20,x+且12xx，()()121222fxfxxx

f++C.函数()gx是定义域为()1,1−的奇函数D.函数()gx在定义域上是增函数【答案】AC【解析】【分析】根据对数的运算性质分析A，由基本不等式分析B，由函数奇偶性的判断方法分析C，由复合函数单调性的

判断方法分析D．【详解】对于A：对任意的1x，()20,x+，()()11121222lglglgxxfxfxxxfxx−=−==，故A正确；对于B：对任意的1x，2(0,)x+且12xx，121212()()lglglg22fxfxxxxx++==，1212lg22xxxx

f++=，的由基本不等式，由于1x，2(0,)x+且12xx，1212lglg2xxxx+，即()()121222fxfxxxf++，故B错误；

对于C，11()lg11xxgxfxx−−==++，必有101xx−+，解可得11x−，即函数的定义域为(1,1)−，又由11()lglg()11xxgxgxxx+−−==−=−−+，即函数()gx是

定义域为()1,1−的奇函数，故C正确；对于D，12()lglg111xgxxx−==−++，设211tx=−+，易得t在区间()1,1−上为减函数，而lgyt=在其定义域上为增函数，故函数()gx在定义域上是减函数

，故D错误．故选：AC．11.如图，棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，点E，F，G分别为棱BC，CD，11CD的中点，点M为棱1CC上的动点，点N为侧面11BBCC内动点，AN与侧面11BBCC成角为45，则下列说法中正确的是（

）A.动点N所在轨迹长为π2B.平面AEM⊥平面1BBGFC.平面AEM截正方体所得的截面图形始终是四边形D.点B和点C到平面AEM的距离相等【答案】ABD【解析】【分析】对于A：得出点N在以B为圆心，1为半径的14圆弧上，即可求解；对于B：通过条件证出⊥AE平面1BBGF，即可得证；对于C

：通过条件得出平面AEM截正方体的图形还可以是五边形AEMWV，即可判断；对于D：根据E为BC中点，得到点B和C到平面AEM的距离相等，即可判断．【详解】对于A，因为AB⊥平面11BBCC，连接BN，则ANB即为AN与侧面11BBCC成角，所以45AN

B=，则1BNAB==，所以点N在以B为圆心，1为半径的14圆弧上，圆弧长为π2，故A正确；对于B，在正方形ABCD内，RtRtABEBCF≌，EABFBC=，又π2EABBEA+=，所以π2FBCBEA+=，所以AE

BF⊥，又1BB⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以1AEBB⊥，1BB，BF平面1BBGF，BBBFB=，所以⊥AE平面1BBGF，AE平面AEM，所以平面AEM⊥平面1BBGF，故B正确；对于C，取1CC的中点T，当

M与T重合时，连接1AD，则有1//ETAD，E，T，A，1D四点共面，即平面AEM截正方体的图形是四边形1ADTE，如下图：当M点在线段1CT上时，在平面11AADD内作直线//AUEM，交1DD的延长线于U，交11AD于V，连接UM，因为11//DDCC，所以D，U，C，1C四点共面，UM

平面11DDCC，11UMDCW=，即平面AEM截正方体的图形是五边形AEMWV，故C错误；对于D：因为E为BC中点，所以点B和C到平面AEM的距离相等，故D正确．故选：ABD．【点睛】关键点点睛：对于A关键是确定线

面角，从而确定动点的轨迹长度，对于C，关键是分类讨论要全面.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，第14题第一问2分，第二问3分，共15分.12.复数1iza=+（aR）在复平面上对应的点在第四象限，3z=，则=a______.【答案】22−【

解析】【分析】根据复数几何意义得到a<0，再根据复数的模计算可得.【详解】复数1iza=+（aR）在复平面上对应的点在第四象限，所以a<0，又2213za=+=，解得22a=（舍去）或22a=−.故答案为：22−13.平面向量a，b为

单位向量，且()()21abab−+=−，则2ab+=rr______.【答案】5【解析】【分析】根据平面向量数量积运算法则和性质即可求解.【详解】因为平面向量a，b为单位向量，所以1ab==的的因为()()21abab−+=−，所以2222221aabbaabb−−=−−=−

，所以0ab=；所以22222244445abaabbaabb+=++=++=rrrrrrrrrr；即25ab+=.故答案为：5.14.已知三棱锥DABC−的顶点都在球O的表面上，AD⊥平面ABC，BD与底面ABC所成的角为π6，ACBC=，2AD=，ABC的

面积为3，ABC所在的平面与球O的交线长为______，球O的表面积为______.【答案】①.4π②.20π【解析】【分析】根据已知条件结合正弦定理得出三角形ABC外接圆半径为r，再利用勾股定理求出球半径R，即可求解．【详解】AD⊥平面ABC，AB平面ABC

，所以ADAB⊥，又BD与底面ABC所成的角为π6，即π6DBA=，2AD=，241sin2ADBDDBA===，223tan33ADABDBA===，又因为3ABCS=，取AB的中点E，连接CE，因为ACBC=，所以CEAB⊥，

所以132ABCE=，即12332CE=，解得1CE=，所以2222(3)12ACBCBECE==+=+=，所以22244121cos22222ACBCABACBACBC+−+−===−，所以120ACB=，设三角形ABC外接圆半径为r，则2324sinsin120ABrACB

===，解得2r=，所以ABC所在平面与球O的交线长即为ABC外接圆周长，即2π4πr=，设球O到平面ABC的距离为d，则有222222(2)dd+=+−，解得1d=，从而球O半径为22145Rdr=+

=+=，所以球O的表面积为24π4π520πR==．故答案为：4π；20π．【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到

各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.为贯彻落实

中央和省委相关部署要求，海口市大力开展人才引进工作.现组织公开招聘，共有100名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在50,100内，将笔试成绩按照)50,60，)60,70，…，90,100分组，得到如

图所示频率分布直方图.（1）求全体应聘者笔试成绩的第75百分位数和平均数（每组数据以区间中点值代表）；（2）若计划面试60人，请估计参加面试的最低分数线（四舍五入取整数）.【答案】（1）第75百分位数为84，平均数为75.5（2）73【解析】【分析】（1）根据百分位数及平均

数计算规则计算可得；（2）设最低分数线定为t，首先判断)70,80t，从而得到方程，解得即可.【小问1详解】因为()0.010.020.035100.650.75++=，()0.010.020.0350.0

25100.90.75+++=，所以第75百分位数位于)80,90，设为x，则()()0.010.020.035100.025800.75x+++−=，解得84x=，所以第75百分位数为84，平均数0.1550

.2650.35750.25850.19575.5++++=；【小问2详解】设最低分数线定为t，由频率分布直方图可得，分数在80,100的人数为()0.250.110035+=人；分数在)70,80的人数为0.3510035=人；所以)70,

80t，则()0.035801003560t−+=，解得73x，所以可估计参加面试最低分数线73分.16.已知函数()π2sin6fxx=−（03），直线π3x=是函数()fx的图象的

一条对称轴.（1）求函数()fx的最小正周期和单调递增区间；（2）若5π0,12x，求函数()fx的值域.【答案】（1）最小正周期为π，单调递增区间为πππ,π,Z63kkk−+（

2）1,2−【解析】【分析】（1）根据对称性求出，即可求出函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）根据x的取值范围，求出π26x−的范围，再根据正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】因为直线π3x=是函数()fx的图象的一条对称轴，所以

ππππ,Z362kk−=+，解得23,Zkk=+，又03，所以2=，所以()π2sin26fxx=−，所以函数的最小正周期2ππ2T==，的令πππ2π22π,Z262kxkk−−+，解得ππππ,Z63kxkk−

+，所以函数的单调递增区间为πππ,π,Z63kkk−+.【小问2详解】因为5π0,12x，所以ππ2π2,663x−−，所以π1sin2,162x−−

，所以()1,2fx−，即()fx在5π0,12x上的值域为1,2−.17.已知函数()ππsincoscos63fxxxxa=+−+++，()fx的最小值为3−.（1）

求a的值；（2）求()0fx=的解集；（3）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3a=，()1fA=，求ABC周长的取值范围.【答案】（1）1a=−（2）{|2πxxk=或()2π2π}Z3xkk=+（3）(

333,9+【解析】【分析】（1）化简()fx，求出最小值，建立关于a的方程，解方程得解；（2）解三角函数方程可得ππ2π66xk+=+或π5π2π66xk+=+，最后写成集合形式得解；（3）求周长范围转化为求bc

+的范围，然后利用正弦定理边化角，利用三角函数知识即可求得取值范围.【小问1详解】()ππ3113sincoscossincoscossincos632222fxxxxaxxxxxa=+−+++=+−−++π3sinco

s2sin6xxaxa=++=++因为()fx的最小值为3−，所以当πsin16x+=−时，()min23fxa=−+=−，所以1a=−.【小问2详解】由（1）知，()π2sin16fxx=+−，

则π2sin106x+−=，即π1sin62x+=，所以ππ2π66xk+=+或π5π2π66xk+=+，解得2πxk=或2π2π3xk=+，Zk，()0fx=的解集为：{|2πxxk=或2π2π,Z}3xkk=+.【小问3详解】因为在锐角ABC中，3a

=，()1fA=，π0,2A，所以()π2sin116fAA=+−=，即πsin16A+=所以ππ62A+=，所以π3A=，设ABC的外接圆半径为R，则有3223πsinsin3aRA===所以2sin23sin2sin23sinbRBBc

RCC====，，所以()π23sinsin23sinsin3bcBCBB+=+=++13π23sinsincos33sin3cos6sin226BBBBBB=++=+=+又ππ00ππππ2π222πππ6236300322BBBBBC

+−所以π3sin,162B+，所以(33,6bc+，所以ABC周长的取值范围为(333,9+18.如图，有一块形如四棱锥的木

料PABCD−，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E，F分别为AB和PD的中点.（1）要经过点E，F和B将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（在答题卡的图中作出辅助线即可）指出EF与平面PBC的位置关系，并证明；（2）若3AD=

，2PD=，DEPC⊥，求二面角EFCD−−的大小；（3）试求切割开的两部分木料的体积之比.【答案】（1）作图见解析，//EF平面PBC，证明见解析（2）π3（3）35（或53）【解析】【分析】（1）取PC的中点M，连接F

M、MB、AF，再证明四边形BEFM为平行四边形，从而得到//EFBM，即可证明//EF平面PBC；（2）首先证明DE⊥平面PDC，过点D作DHFC⊥，连接EH，则DHE为二面角EFCD−−的平面角，再由锐角三角函数计算可得；（3）依题意可得2PABCDFABCDVV−−=，不妨设

8PABCDV−=，则4FABCDV−=，连接FB，求出CDABMFV−，即可得解.【小问1详解】取PC的中点M，连接FM、MB、AF，作图如下所示：因为F为PD的中点，所以//FMDC，又//ABDC

，所以//FMAB，所以F、M、B、A四点共面，所以过点E，F和B将木料锯开，截面为ABMF；//EF平面PBC，证明如下：因为M为PC的中点，E，F分别为AB和PD的中点，所以//FMDC且12FMDC=，又底面ABCD为菱

形，所以//EBDC且12EBDC=，所以//FMEB且FMEB=，所以四边形BEFM为平行四边形，所以//EFBM，又EF平面PBC，BM平面PBC，所以//EF平面PBC；【小问2详解】因为PD⊥平面ABCD，,DCDE平面

ABCD，所以PDDC⊥，PDDE⊥，又DEPC⊥，PDPCP=，,PDPC平面PDC，所以DE⊥平面PDC，又FC平面PDC，所以DEFC⊥，过点D作DHFC⊥，连接EH，又FCDE⊥，DHDED?，,DHDEÌ平面DEH，所以FC⊥平面DE

H，又EH平面DEH，所以FCEH⊥，所以DHE为二面角EFCD−−的平面角，在RtDFC△中32DCDFDHFC==，又//ABDC，DEAB⊥，3AD=，32AE=，所以()2233322DE=−=，所以t

an3DEDHEDH==，则π3DHE=，即二面角EFCD−−的大小为π3；【小问3详解】切割后两块木料分别为四棱锥PABMF−和多面体CDABMF−，又四棱锥PABCD−和四棱锥FABCD−同底，

且F为PD的中点，所以2PABCDFABCDVV−−=，不妨设8PABCDV−=，则4FABCDV−=，连接FB，由于M为PC的中点，所以PBMFCBMFVV−−=，所以22APBFCPBFMPBFVVV−−−===，所以5CDABMFFABCDCBMFVVV−−−=+=，则3PABMFV−=，所

以切割后两块木料体积之比为35（或53）.19.函数yx=称为高斯函数，其中“x”表示不超过实数x的最大整数，又称“x的整数部分”.高斯函数在数论、函数绘图和计算机等领域有广泛的应用，我们记xxx=−.（1）设方程120242024xx=−的两个

不同实数解为1x与2x，且12xx，求12xx的值；（2）请确认是否存在函数f：→RR，满足对xR，都有：①()()()ffxfx=；②()()()()2coscossinxfxxfxxfx+=同时成立.（3）

求证：对xR，*nN，121nxxxxnxnnn−+++++++=.【答案】（1）2023−（2）不存在（3）证明见解析【解析】【分析】（1）首

先判断11,20242024x−，再分1,02024x−、240,120x分别求出方程的解，即可得解；（2）依题意可得()()fxfx=，从而得到())0,1fx，再令πx=推出矛盾，即可得解

；（3）令()121ngxxxxxnxnnn−=+++++++−，推导出()1gxgxn+=，再说明当10,xn时()0gx=，即可得证.【小问1详解】因xxx=−，所以01x，所以

202311202420242024x−−，为由120242024xx=−，则()120241,12024xx=−−，所以11,20242024x−，当1,02024x−时，1x=−，1xxxx=

−=+，由120242024xx=−，即1120242024xx+=−，解得202320242025x−=，当240,120x时，0x=，xxxx=−=，由120242024xx=−，即120242024xx=−，解得

120242025x=，因为12xx，所以122023xx=−；【小问2详解】不成立，理由如下：在②()()()()2coscossinxfxxfxxfx+=中，用()fx代换x并结合①可得()()fxfx=，所以())0,1fx，再令②中πx=可得()(

)()πcosππff−=，又左边0，右边0，不成立，所以不存在满足条件的函数；【小问3详解】令()121ngxxxxxnxnnn−=+++++++−，则112111ng

xxxxxnxnnnn−+=++++++++−+12111nxxxxnxnnn−=++++++++−−()121nxxxxnxgxnnn−=+++++

++−=，所以1n为()gx的一个周期，当10,xn时)0,1nx，所以1210nxxxxnxnnn−=+=+==+==，所以()0gx=，由周期性可知，对Rx，N*n，()0gx=，因

此对xR，*nN，121nxxxxnxnnn−+++++++=.【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解高斯函数的定义，从而推导出01x，第三问关键是构造函数()121ngxxxxxnxnnn−=+++++

++−，推导出()1gxgxn+=.