【文档说明】湖北省武汉外国语学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，1.755 MB，由envi的店铺上传

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武汉外国语学校2024-2025学年度上学期期中考试高二数学试卷命题教师:刘小博审题教师:张德涛考试时间:2024年11月14日考试时长:120分钟试卷满分:150分一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知

i是虚数单位，则复数2i1i−=+（）A.13i22−−B.13i22−C.13i22−+D.13i22+【答案】B【解析】【分析】运用复数的除法运算法则，再将结果化成()i,Rabab+的形式即可得答案.【详解】()()()()2

i1i2i13i1i1i1i2−−−−==++−13i22=−,故选：B2.已知直线1:30lxy+−=与2:310lxy−−=相交于点M，则点M到直线3:210lxy−+=的距离为（）A.55B.255C.5D.25【答案

】A【解析】【分析】解方程组求得交点M坐标，由点到直线距离公式计算出距离．【详解】由30310xyxy+−=−−=得12xy==，即(1,2)M，所以点M到直线3:210lxy−+=的距离为221555d−+==，故选：A．3.在不超过9的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的

概率为（）A.14B.13C.12D.23.【答案】C【解析】【分析】用列举法写出所有可能，计数后计算概率．【详解】不超过9的质数有2,3,5,7共4个，任取两个求和有：23+，25+，27+，35+，37+，57+共

6个，其中和为偶数的有3个：35+，37+，57+，和为偶数的概率为3162P==，故选：C．4.已知椭圆2222:1(0)xyTabab+=的左､右焦点分别为12,,FFT上一点A满足22AFb=，且21AFAF⊥，则T的离心率为（）A

.13B.12C.23D.53【答案】D【解析】【分析】根据椭圆的定义求出1AF，再利用勾股定理得出,,abc的齐次式，进而可得出答案.【详解】由题意122AFab=−，在12AFF中，21AFAF⊥，则|𝐴𝐹2|2+|𝐴𝐹1|2=|𝐹1𝐹2|2，即()()22222444

4babcab+−==−，整理得23ba=，所以T的离心率22513cbeaa==−=.故选：D.5.已知三棱锥PABC−中，PA⊥平面π,,2,233ABCCABPABC===，则此三棱锥外接球的表面积

为（）A.16πB.20πC.24πD.32π【答案】B【解析】【分析】根据三角形外接圆半径求法求底面ABCV的外接圆半径，再由PA⊥平面ABC，根据线面垂直模型求外接球半径，进而求球体面积.【详解】由题设，

底面ABCV的外接圆半径22sinBCrCAB==，又PA⊥平面ABC，且2PA=，则三棱锥的外接球半径22()52PARr=+=，所以外接球表面积为24π20πR=.故选：B6.在平面直角坐标系xOy中，已知点()0,2A，(),3Ptt−

−，M为平面上一动点且满足226MAMO+=，当实数t变化时，PM的最小值为（）A.22B.2C.22D.32【答案】B【解析】【分析】利用已知等式可求得M点轨迹为圆，根据圆上点到定点最小值和二次函数最值的求法可

求得结果.【详解】设𝑀(𝑥,𝑦)，则()22222226MAMOxyxy+=+−++=，整理可得：()2212xy+−=，M点轨迹是以𝐶(0,1)为圆心，半径2r=的圆，()()222242816228CPttttt=+

−−=++=++，当2t=−时，min22CP=，minmin2PMCPr=−=.故选：B.7.在梯形ABCD中，满足//262ADBCADBCABDC===，，，，则ACBD=（）A.4B.6C.10D.12【答案】C【解析】【分析】由向量线性运算得()

ABCDBCDA+=−+，然后由()()ACBDABBCBCCD=++计算．【详解】∵0ABBCCDDA+++=uuuruuuruuuruuurr，∴()ABCDBCDA+=−+，()()ACBDABBCBCCD=++2ABBCABCDBCBCCD=+++2()6BCABCD

ABDC=+−+()236BCBCDA=−+−+234BCBCAD=−++26623410=−++=，故选：C．8.已知ABCV为锐角三角形，且满足222sinsin2sin3sinACAB+

=，则sinsinCA的取值范围是（）A.2,13B.15,33C.1,23D.25,33【答案】B【解析】【分析】由题设22cos0cos0cos0223ABCacab+=，

应用边角关系及sin0sinCctAa==，得到关于t的不等式组求解集，即可得答案.【详解】因为222sinsin2sin3sinACAB+=，由正弦定理可得22223acab+=，由题设222222

22222cos02cos02cos02223bcaAbcacbBacabcCabacab+−=+−=+−=+=，所以22222222222000223bcaacbabcacab+−+−+−+=，即22222232

03203250cacacacacaca+−−+−−，而sin0sinCctAa==，则222321032103250tttttt+−−+−−，显然23210tt−+恒成立，所以22321(31)(1)0325(35)(1)0tttttttt+−

=−+−−=−+，可得1533t.故选：B【点睛】关键点点睛：根据题设得22222222222000223bcaacbabcacab+−+−+−+=为关键.二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选

项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.已知一组数据1，2，4，3，1，2，1，则这组数据中位数为2B.已知五个数据5，5，10，10，20，则这组数据的80%分位数为10C.若

()()1PAPB+=，则事件A与B互为对立事件D.若事件,AB相互独立，()()11,54PAPB==，则()15PAB=【答案】AD【解析】【分析】利用中位数、百分数定义分别求A、B中的中位数和百分数，由对立事件的定义及独立事件性质判断

C及求概率判断D.【详解】A：数据从小到大为1,1,1,2,2,3,4，显然中位数为2，对；B：由580%4=，则1020152+=，错；C：由()()1PAPB+=且,AB互斥时，互为对立事件，错；D：由题设4()5PA=且,AB也是相互独立，故1()

()()5PABPAPB==，对.故选：AD10.在棱长为√2的正方体1111ABCDABCD−中，F为1CB的中点，P为平面1ACD上的一动点，则下列选项正确的是（）A.二面角1DACD−−的平面角的正切值为√2

B.三棱锥11BACD−体积为26C.以点D为球心作一个半径为233的球，则该球被平面1ACD所截的圆面的面积为2π3D.线段1BPPF+的最小值为573【答案】ACD【解析】【分析】设AC交BD于点O，证明1DOD是二面角1DACD−−的平面角，计算其正切判断A，由

体积公式计算体积判断B，设1DO交1BD于点G，证明1BD⊥平面1ACD，由球性质得G为截面圆圆心求出半径后再计算圆面积判断C，作出点1B关于平面1ACD的对称点M，建立空间直角坐标系，计算MF的长判断D．【详解】如图，设AC交BD于点O，1DD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，则1DDAC⊥

，同理1DDDB⊥，又ACBD⊥，1BDDDD=，1,BDDD平面11BDDB，所以AC⊥平面11BDDB，而1DO平面11BDDB，所以ACDO⊥，所以1DOD是二面角1DACD−−的平面角，由已知12DD=，112122DOBD

AB===，所以11tan2DDDODDO==，A正确；由正方体性质知1111111311224(2)4(22)2323BACDABCDABCDBABCVVV−−−=−=−=，B错；如图，设1DO交1BD于点G，由11//DOBD且1112DOBD=得112DGB

G=，即12BGDG=，11633DGDB==，由AC⊥平面11BDDB，1BD平面11BDDB，得1ACBD⊥，同理可得11ADBD⊥，而1ACADA=I，1,ACAD平面1ACD，所以1BD⊥平面1ACD，（易得G实际上等边是1ACD△的中心）以点D为球心

作一个半径为233的球，则该球被平面1ACD所截的圆面，G为圆心，设P是圆周上一点，则22222366()()333GPDPDG=−=−=，圆面积为262ππ()33=，C正确；延长GD至点M，使得DMDG=，则1GMGB=，即M是1B关于平

面1ACD的对称点，因此1BPPFMPPFMF+=+，当且仅当P是PM与平面1ACD的交点时，等号成立，以D为原点，1,,DADCDDo,,xyz轴建立空间直角坐标系，如上图，则1(2,2,2)B，22(,2,)22F，222(,

,)333G，∴222(,,)333M−−−，2222222257()(2)()233233PF=+++++=，D正确．故选：ACD．11.已知椭圆222:1(02)4xyCbb+=的左，右焦点分别为1F，2F，圆22:(2)1Mxy+−=，点P

在椭圆C上，点Q在圆M上，则下列说法正确的有（）A.若椭圆C和圆M没有交点，则椭圆C的离心率的取值范围是3,12B.若1b=，则||PQ的最大值为4C.若存在点P使得123PFPF=，则03bD.若存在点Q使得123QFQF=，则1

b=【答案】ACD【解析】【分析】A根据已知，数形结合得01b时椭圆C和圆M没有交点，进而求离心率范围；B令(,)Pxy，求得23|2|283()3yMP−+=+，结合椭圆有界性得max283||MP=，即可判断

；C由题设123,1PFPF==，令(,)Pxy，进而得到()()2222224941xbyxby+−+=−−+=，结合点在椭圆上得到公共解22(0,2]4xb=−求范围；D将问题化为圆心为2(24,0)b−，半径为23(4)b−的圆与圆22:(2)1Mxy+−=有交点.【详解】

由椭圆C中2a=，圆M中圆心(0,2)M，半径为1，如下图示，A：由于02b，由图知：当01b时椭圆C和圆M没有交点，此时离心率221()43,121bbea=−=−，对；B：当1b=时，令(,)Pxy，则22|(|2)xyMP=+−，而224(1

)xy=−，所以23|2|283()3yMP−+=+，又11y−，故max283||MP=，所以||PQ的最大值为2831+，错；C：由1224PFPFa+==，若213PFPF=，则123,1PFPF==，由2212(4,

0),(4,0)FbFb−−−，令(,)Pxy，且2221)(4xyb=−，则()()2222224941xbyxby+−+=−−+=，即222222(4)84200(4)84120bxbxbxbx−+−−=−−−+=，所以22(0,

2]4xb=−，则23b，且02b，故03b，对；D：令(,)Qxy，若123QFQF=，所以222222(4)3[(4)]xbyxby+−+=−−+，则222244(4)0xbxby−−+−+=，所以2222(24)3(4)xbyb−−+=−，Q轨迹是圆心为2(24,0)b

−，半径为23(4)b−的圆，而(0,2)M与2(24,0)b−的距离为225b−，要使点Q存在，则222|3(4)1|253(4)1bbb−−−−+，可得22(1)0b−，且02b，即1b=，对；故选：ACD【点睛

】关键点点睛：对于C，根据已知得到123,1PFPF==，设(,)Pxy，利用两点距离公式得到方程组，求出公共解22(0,2]4xb=−为关键；对于D，问题化为圆心为2(24,0)b−，半径为23(4)b−

的圆与圆22:(2)1Mxy+−=有交点为关键.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆22:143xyC+=，过右焦点的直线交C于AB，两点，则AB的最小值为_____.【答案】3【解析】【分析

】过焦点的弦长最短的是通径，通径为22ba．【详解】由已知2a=，3b=，通径长为2222(3)32ba==，则|𝐴𝐵|的最小值3．故答案为：3.13.设向量abc，，满足()1200ababcabc===+−=，，，，则c最大值等于_____.

【答案】5【解析】【分析】根据给定条件，利用平面向量数量积的坐标表示列式，再利用圆的性质求出最大值.【详解】依题意，ab⊥，在平面直角坐标系中，令(1,0),(0,2)ab==，设(,)cxy=，则(1,2)abcxy+−=−−，由()0cabc+−=，得(1)(2)0

xxyy−+−=，的整理得2215()(1)24xy−+−=，点(,)xy的轨迹是以点1(,1)2为圆心，52为半径的圆，22cxy=+是该圆上的点到原点的距离，又原点在该圆上，所以c的最大值等于5.故答案为：514.已知球O的表面积为16π，

正四面体ABCD的顶点,,BCD均在球O的表面上，球心O为BCD△的外心，棱𝐴𝐵与球面交于点P.若A平面1,B平面2,C平面3,D平面()41,//1,2,3iii+=且i与()11,2,3ii+=之间的距离为同一定值，棱,ACA

D分别与2交于点,QR，则cosPQR的值为_____.【答案】57【解析】【分析】结合球的表面积公式，根据正三角形外接圆的性质求得边长，利用三点共线及数量积的运算律求得12333APAB==，然后利用平行平面的性质求得23,33ARAQ==，再利用余弦定理求得73PQRQ==，

应用余弦定理即可求结果.【详解】设i和1i+(1,2,3)i=之间距离为d，球O的半径为r，由题意24π16πr=，解得2r=，所以2OBOP==，则323ABBCOB===，所以2222OAABOB=−=，由,,APB

共线，则存在实数使(1)OPOAOB=+−且01，所以222222(1)(1)OPOAOAOBOB=+−+−，即22484(1)=+−，整理得2320−=，可得23=，所以2133OPOAOB=+，即12APPB=，所以12333

APAB==，又()1//1,2,3iii+=且i与()11,2,3ii+=之间的距离为d，则11,3322ARdAQdADdACd====，故23,33ARAQ==，的所以423173233323PQRQ==+−=，且12333PRBD==，在PRQ△

中，cosPQR2221445332777233PQRQPRPQRQ−+−===.故答案为：57【点睛】关键点点睛：关键是找到点的位置，应用正四面体的性质结合球的半径，求出边长，利用平行平面的距离，得到PRQ△的边长.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答

应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知双曲线()2222100xyabab−=，的实轴长为4，离心率等于2.（1）求双曲线的方程；（2）已知定点()14A，，若双曲线的左焦点为1F，P为双曲线右支上任意一点，求1PFPA+的最小

值.【答案】（1）221412−=xy（2）9【解析】【分析】（1）利用待定系数法求双曲线方程；（2）首先利用双曲线的定义，结合数形结合，求距离和的最小值.【小问1详解】由条件可知，24a=，2ca=，得2

,4ac==，22212bca=−=，所以双曲线方程为：221412−=xy；【小问2详解】∵1F是双曲线221412−=xy的左焦点，∴2a=，23b=，4c=，1(4,0)F−，设双曲线的右焦点为2F，则2(4,0)F，由双曲线的定义可得124PFPF−=，则124PFPF=

+，所以124PFPAPFPA+=++24AF+224(41)(04)=+−+−459=+=，当且仅当2、、APF三点共线时，等号成立，因此，1PFPA+的最小值为916.已知点()1,2A，直线:30lxy−+=.（1）求过点A，且与直线l平行的直线l的方程；（2）光

线通过点A，经直线l反射，其反射光线通过点()2,0B−，求反射光线所在直线的方程.【答案】（1）10xy−+=（2）480xy−+=【解析】【分析】（1）根据平行设出直线方程，再根据点在线上求参即可；（2）设点A关于直线30xy−+=的对称点为(),Amn，

再根据斜率及中点在直线上求出()1,4A−，最后应用两点式写出直线方程.【小问1详解】因为直线l与直线l平行，直线l的方程为30xy−+=，故可设直线l的方程为0xyC−+=，因为点()1,2A在直线l上，所以120C−+=，所以1=C，所以直线l的方程为10xy−

+=【小问2详解】设点A关于直线30xy−+=的对称点为(),Amn．由题意得211123022nmmn−=−−++−+=，解得14mn=−=，所以点A的坐标为()1,4−，所以反射光线所在直线斜率为4041

2−=−+，直线方程为480xy−+=．17.已知,xy满足圆22:80Cxyy+−=的方程.（1）求2xy+的取值范围；（2）若直线():20lykxk=−与圆C交于不同的两点,AB，当ACB为锐角时，求实数k的取值范围.【答案】（1）2[454,454]+−++xy；（2）

514,22.【解析】【分析】（1）将问题化为直线2xyt+=与圆C有公共点，应用点线距离公式求范围；（2）设,AB坐标分别为(𝑥1,𝑦1)，(𝑥2,𝑦2)，联立直线与圆，应用判别式、韦达定理及12120CACBxxyy

=+求参数k范围.【小问1详解】由22:80Cxyy+−=，即22(4)16xy+−=，设直线2xyt+=，即该直线与圆C有公共点，圆心()0,4C到直线的距离小于等于半径4r=，即0445t+−，解得445445−+t，则2[454,454]+−++x

y．【小问2详解】设,AB的坐标分别为(𝑥1,𝑦1)，(𝑥2,𝑦2)，将直线:2lykx=−代入2280xyy+−=，整理，得()22112200kxkx+−+=，则122121kxxk+=+，122201=+xxk，且()()22Δ128010kk=

−+，即254k，当ACB为锐角时，()()1212121266CACBxxyyxxkxkx=+=+−−()()22121225616163601kkxxkxxk−=+−++=+，解得272k，又0k，综上，可得k的取值范围为514,22

．18.如图，在三棱锥PABC−中，42ACBCACBCPAPBPCMEF==⊥==，，，，，，分别是ABPAPB，，的中点.（1）求证:PM⊥平面ABC；（2）若四面体BCEF的体积为1，求PM；（3）若()01CDCP=，求直线𝐴𝐷与平面PBC所

成角的正弦值的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）3PM=（3）345565【解析】分析】（1）证明PMMC⊥，PMAB⊥可证线面垂直；（2）由已知四面体体积求得PABC−体积，再由体积公式可得PM；（3）建立如

图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角．【小问1详解】PAPBPC==.AB的中点为M，则PMAB⊥.CACB⊥.AMCM=，则PAMPCM≌，故90PMAPMC==，即PMMC⊥.因为PMAB⊥，ABMCM=，AB平面ABC，MC平面ABC，所以

PM⊥平面ABC.【小问2详解】因为41114−−−===CBEFCPABPABCVVV，所以4PABCV−=.而14242ABCS==，所以114433−===PABCABCVSPMPM，解得：3PM=.【小问3详解】过C作z轴垂直平面ABC，以

CACB，方向分别为,轴轴xy则(0,0,0),(4,0,0),(0,2,0),(2,1,3)CABP，()(2,1,3)01CDCP==(2,,3)D，(24,,3)=−AD(2,1,3),

(0,2,0)=−=BPCB设平面PBC法向量为(,,)mxyz=【由00CBmBPm==得20230yxyz=−+=，所以(3,0,2)=−m为平面PBC的一个法向量，设AD与平面PBC所成角为，()22212sin1324(3)ADm

ADm==−++2212121314161613141616，==−+−+()2min48014161677=−+=时，所以3455sin65所以直线AD与平面PBC所成角的正弦值的最大值为345565．19.已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+

𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)，短轴长为23，且经过点31,2.过左焦点F的直线l交C于,AB两点，过点F与l垂直的直线交C于,DE两点，其中,BD在x轴上方，MN分别为,ABDE的中点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）证明:直线MN过定点，并求定点坐标；（3）设G为直线

AE与直线𝐵𝐷的交点，求GMN面积的最小值.【答案】（1）22143xy+=；（2）证明见解析，定点4,07−；（3）()min4972=GMNS.【解析】【分析】（1）根据短轴长及椭圆上点求椭圆参数，即可得方程；（2）设直线:1ABlxmy=−，联立椭圆并应用韦达定理

求AB中点M坐标，利用垂直关系确定N坐标，进而写出直线MNl的方程，即得定点；（3）由18GMNSABDE=，结合（2）及弦长公式求,ABDE关于m表达式，最后应用基本不等式求面积的最值.【小问1详解】由题设，222231914bab=+=

，可得32ba==，故22143xy+=.【小问2详解】由点B，D在x轴上方，直线l斜率存在且不为0，设直线:1ABlxmy=−，联立椭圆223412xy+=，消去x得()2234690mymy+

−−=，由韦达定理得122122634934myymyym+=+−=+，且()12122114()22234xxmyym−+=+−=+，则AB中点2243,3434mMmm−

++，由DEABll⊥，则1m−代替m，得22243,4343mmNmm−−++，所以()()2211121MNmkmm=−，故()2222143:3434121MNmmlyxmmm=++++−

，化简得()()22112121myxm=+−，则MNl过定点4,07−．当1m=时，取43,77M−，43,77N−−，则MNl过定点4,07−；的当1m=−时，取43,77M−

−，43,77N−，则MNl过定点4,07−；综上，直线MN过定点4,07−．【小问3详解】由点M，N分别为AB，DE的中点，由111222=−−=−−GMNGBNBMNGBMGBEABNGABSSSSSSS△△△△△△△11

11122228ABENABSSABNEABDE=−==，由（2）知()()2222121212212111434mABmyymyyyym+=+−=++−=+，以1m−代替m，得()2212143mDEm+=+，所以()()()()22222222214411811

72849344334342GMNmmSmmmm++==+++++，当且仅当223443mm+=+，即1m=时，()min7249GMNS=．【点睛】关键点点睛：第三问，数形结合得到11()28GMN

GBNBMNGBMABENABSSSSSSABDE=−−=−=为关键.