【文档说明】广西柳州高级中学、南宁市第三中学2023届高三联考 数学（理） 答案.docx，共(26)页，2.193 MB，由管理员店铺上传

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柳州高中/南宁三中高三（4月）联考理科数学一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合2,ZPxxx=，512Qxx=−∣，则PQ=（）A.0,1,2B.

1,2C.0,1D.0,2【答案】A【解析】【分析】根据集合的交运算即可求解.【详解】由2,ZPxxx=得2,1,0,1,2P=−−，所以0,1,2PQ=，故选：A2.若复数z满足()12i1iz+=+，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点

所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法化简复数z，再由共轭复数的定义求其共轭复数z，利用复数的几何意义判断复数z的对应点的坐标及所在象限位置.【

详解】由已知可得()()()()1i12i1i3i31i12i12i12i555z+−+−====−++−，所以复数z的共轭复数31i55z=+，所以，复数z在复平面内对应的点的坐标为31,55，该点在第一象限.故

选：A.3.设0,πx，向量()cos,sinaxx=，()3sin,sin=bxx，若ab⊥，则cos2x=（）A.12−B.1或12−C.12D.1或12【答案】B.【解析】【分析】根据向量垂直求出sin0x=或3cossin0xx+=，结合二倍角余弦公式分类

讨论即可.【详解】由ab⊥，得23sincossin0xxx+=,所以sin0x=或3cossin0xx+=,若sin0x=,则2cos212sin1xx=−=；若3cossin0xx+=，显然cos0x，则tan3x=−，所以222

21tan1cos2cossin1tan2xxxxx−=−==−+综上，cos2x的值为1或12−.故选：B.4.如图，网格小正方形的边长为1，网格纸上绘制了一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A.14B.7C.143D.73【答案】C【

解析】【分析】由三视图还原出原几何体为三棱台以及各边的关系，先证明1CC⊥平面ABC，得出棱台的高.然后求出上下底面的面积，根据棱台的体积公式，即可得出答案.【详解】如图，由三视图还原可得，原几何体为三棱台，且有1CCCA⊥，1CCCB⊥，A

CBC⊥，1111ACBC⊥.因为CA平面ABC，CB平面ABC，CACBC=，所以1CC⊥平面ABC.又12CC=，所以，三棱台的高即为12hCC==.又2AC=，4BC=，111AC=，112BC=，ACBC⊥，1111AC

BC⊥，所以11124422ABCSSACBC====，111211111112122ABCSSACBC====，所以，由棱台的体积公式()121213VSSSSh=++()1141422

33=++=.故选：C.5.甲单位有5名男性志愿者，7名女性志愿者；乙单位有4名男性志愿者，2名女性志愿者，从两个单位任抽一个单位，然后从所抽到的单位中任取1名志愿者，则取到男性志愿者的概率为（）A.1324B.12C.518D.1124【答案】A【解析】【分析】由条件，根据全概率公式求

解即可.【详解】设事件取到男性为B，事件所抽到的单位为甲单位为1A，事件所抽到的单位为甲单位为2A，则()()()()1212PBPABABPABPAB=+=+，所以()()()()()1122PBPAPBAPAPBA=+，故()151413212

2624PB=+=.故选：A.6.若0a，0b，则242baab++的最小值为（）A.2B.2C.22D.4【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式即可求出最值.【详解】0,0ab，22444222222b

abaaababa+++=+，当且仅当242ab==，即22,42ab==时等号成立，所以242baab++的最小值为22.故选：C.7.已知实数x，y满足2802030xyxyxy+−

−+−，若直线1ykx=−经过该可行域，则实数k的最小值为（）A.－5B.－15C.－52D.－25【答案】B【解析】【分析】作出可行域，根据k的几何意义，结合图象，可知PBk最小.解28030xyxy+−=+−=得出B点坐标，即可

求出最小值.【详解】作出可行域根据已知可知，直线1ykx=−过定点()0,1P−，k表示可行域内点(),xy与定点()0,1P−连线斜率，根据图象可知，其最小值为PBk.的联立28030xyxy+−=+−=可得，52xy==−，所以(

)5,2B−，所以211505PBk−+==−−，所以实数k的最小值为15−.故选：B.8.定义在R上的偶函数()fx在(,0−上单调递减，若()()0.8221log,log4.9,26afbfcf

===，则,,abc的大小关系是（）A.cbaB.abcC.bacD.c<a<b【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性，结合对数函数和指数函数的性质，比较出三者的大小关系..【详解】因为偶函数()fx在(,0−上单调递减，故(

)fx在)0,+上单调递增，()()()0.82221loglog6,log4.9,26affbfcf====，又0.8222log6log4.9log4221=，则cba.故选：A【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性、单调性和对数函数、指数函数

的性质比较大小，属于中档题.9.在ABC中，角,,ABC的边分别为,,abc，知60B=，4b=，则下列判断中错误的是（）A.若π4A=，则463a=B.若92a=该三角形有两解C.ABC周长的最小值为12D.ABC面积的最大值43【答案】C【解析】【分析】对于ABC，根据正、余

弦定理结合基本不等式即可解决；对于D，由正弦定理得1364sinsinsin243ABCSacBAC==，根据三角恒等变换解决即可.【详解】对于A，60,4Bb==，π4A=，由正弦定理得sinsinbaBA=，所以24sin2sin34632bAaB===，故A正确；对于B，由正弦定理得

sinsinbaBA=得，所以93sin9322sin1416aBAb====，因为abAB，则A有两个解，所以该三角形有两解，故B正确；对于C，由2222cosbacacB=+−，得2222223116()3()()()44acacacacacacac=+−=+−+−+=

+，所以8ac+，当且仅当4ac==时取等号，此时三角形周长最大为等边三角形，周长为12，故C错误；对于D，由选项C知，22162acacacacac=+−−=，当且仅当4ac==时取等号，故13sin4324ABCSacBac==所以ABC面积的最大值为43，故D正确.故选：C.

10.某中学高一年级组织了一次模拟测试，分一部和二部各750人参加.考试后统计的数学成绩服从正态分布，其中一部数学成绩的正态密度函数为()()21102001e102xx−−=，xR，二部数学成绩()115,56.25N，则下列结论错误的是（）附：随机变

量正态分布()2,N，则()0.6826P−+=，()220.9544P−+=，(33)0.9974P−+=.A.一部这次考试的数学成绩()110,10xNB.二部的分数在100分到122.5分之间的大约有614人C.一

部和二部分数在130分以上的人数大致相等D.二部的数学平均成绩高于一部的数学平均成绩【答案】A【解析】【分析】根据正态分布的性质逐项分析即可.【详解】对A，因数学成绩服从正态分布,其密度函数2(110)2001()e,102xxx−

−=R,所以2110,2200==,即10=.所以这次考试的平均成绩为110，标准差为10，故A错误;对B，因为二部数学成绩~(115,56.25),N=7.5，对称轴为115x=，有()11(100122.5)[(100130)(107.5122.5)

]0.95440.68260.818522PPP=+=+=，所以分数在100到122.5分之间的概率为0.8185，人数7500.8185614人,故B正确;对C，一部数学成绩()2~110,10xN,二部数学成绩

()2~115,7.5N，则130分以上的概率相等，所以分数在130分以上的人数大致相同，故C正确.对D，易知115110,故D正确,故选：A.11.在三棱锥P－ABC中，ABBC⊥，BCCP⊥，且1BC=，2CP=

，3AB=，14AP=，则此三棱锥外接球的体积为（）A.14πB.714π3C.814π3D.214π【答案】B【解析】【分析】由已知求得10AC=，根据勾股定理证明得到ACPC⊥，进而推得PC⊥平面ABC，则该三棱锥可以看作是长方体的一部分，求出长方体的体对角线长，即可得出外接球的半径，

进而根据体积公式，即可得出答案.【详解】如图1，因为ABBC⊥，1BC=，3AB=，为所以2210ACABBC=+=.又2CP=，14AP=，所以在APC△中，有22214CPACAP+==，所以，π2ACP=，即ACPC⊥.又BCCP⊥，AC平面ABC

，BC平面ABC，ACBCC=，所以PC⊥平面ABC.则该三棱锥可以看作是长方体的一部分，如图2其中，1BC=，2CP=，3AB=，则22214APABBCCP=++=，所以此三棱锥外接球的半径为1422APR==，所以，此三棱锥外接球的体积为33

144π714π324π33RV===.故选：B.12.椭圆22221(0)xyabab+=的右焦点为F，上顶点为A，若存在直线l与椭圆交于不同两点,BC，ABC重心为F，直线l的斜率取值范围是（）A.()0,2B.30,2

C.()0,1D.()2,0−【答案】B【解析】【分析】设()()1122,,,BxyCxy，根据重心性质可得12123,xxcyyb+=+=−，由点差法可得()()212212BCbxxkayy+=−+，结合,,abc关系和基本不

等式可求直线l的斜率取值范围【详解】设椭圆22221xyab+=的半焦距为c，由已知(),0Fc，()0,Ab，设()()1122,,,BxyCxy，因为ABC重心为F，所以121203,30xxcyyb++=++=，所以12123,xxcyy

b+=+=−，又22112222222211xyabxyab+=+=，所以()()()()12121212220xxxxyyyyab+−+−+=，所以()()21212212120bxxyyayyxx+−+=+−，所以直线l的斜率()()2

122222123332bxxbcbckayyabc+=−==++，当且仅当bc=时等号成立，又230bcka=，所以直线l的斜率取值范围是30,2，故选：B.【点睛】结论点睛，涉及椭圆的弦的中点问题常用到结论：若点()

()1122,,,AxyBxy为椭圆22221xyab+=上的点，()()1122,,,AxyBxy的中点坐标为()00,Pxy，点O为坐标原点，则22ABOPbkka=−.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若多项式2nxx−的展开式中第5项的二项

式系数最大，请写出一个满足题意的n的值___________.【答案】7（8或9也可以，答案不唯一）【解析】【分析】根据二项式展开式中间项的二项式系数最大求解即可【详解】因为2nxx−的展开式中第5项的二

项式系数最大，所以2nxx−的展开式共有8项或9项或10项，即18n+=或19n+=或110n+=，解得7n=或8n=或9n=，故答案为：7（8或9也可以，答案不唯一）14.一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2

=2y（0≤y≤20）．在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的范围为【答案】0＜r≤1【解析】【详解】设小球圆心（0，y0）抛物线上点（x，y）点到圆心距离平方r2=x2+（y﹣y0）2=2y+（y

﹣y0）2=y2+2（1﹣y0）y+y02若r2最小值在（0，0）时取到，则小球触及杯底,此二次函数对称轴在纵轴左边，所以1﹣y0≥0所以0＜y0≤1所以0＜r≤1故答案为0＜r≤1点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生利用抛物线的基本知识解决实际问题的能

力．15.已知函数()321219fxxxax=+−+，若函数()fx在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围为___．【答案】78,63【解析】【分析】根据导数与极值的关系求解即可.【详解】因为()321219fxxxax=

+−+，所以()21223fxxxa=+−，()21223fxxxa=+−为二次函数，且对称轴为03x=−，所以函数()21223fxxxa=+−()3,−+单调递增，则函数()21223fxxxa=+−在(1,2)单调递增，因为函数()fx在(1,2)上有极值，所以()0fx

=在(1,2)有解，根据零点的存在性定理可知()()1020ff，即720316203aa−−，在解得7863a，故答案为：78,63.16.若函数()()2221lne14axafxxxx

=+−+有两个零点，则实数a的取值范围是___________.【答案】20,e【解析】【分析】化简已知方程可得()()()22242lnlnee11axaxxx+=+，故

考虑设()()21lngttt=+，利用导数研究函数的单调性，由此可得原方程等价于222eaxx=，由已知可得方程24lnxax=有两个解，即函数()24lnxFxx=的图象与函数ya=的图象有两个交点，利用导数分析函数的性质，作函数图象可得a的取值范围.【详解】令()0fx=可得

，()2221lne104axaxxx+−+=，所以()()22212lne12axaxxx+=+，所以()()()2242ln121eaxaxxx+=+，所以()()()22242lnlnee11axaxxx+=+，设()()21lngttt=

+，0t，则()222eaxgxg=则()()22112ln12ln1gtttttttt=++=++，设()212ln1httt=++，则()()2332222thxttt−=

−=，当01t时，()0ht，函数()ht在()0,1上单调递减，当1t时，()0ht，函数()ht在()1,+上单调递增，所以()()120hth=，所以()0gt，函数()()21

lngttt=+在()0,+上单调递增，又()222eaxgxg=，所以222eaxx=，所以24lnxax=，由已知方程24lnxax=有两个解，所以函数()24lnxFxx=的图象与函数ya=的

图象有两个交点，()4348ln48lnxxxxFxxx−−==，当ex时，()0Fx，函数()24lnxFxx=单调递减，当0ex时，()0Fx，函数()24lnxFxx=单调递增，所以当ex=时，函数()24lnxFxx=取最大值，最大值为2e，又1x

=时，()10F=，当1x时，()0Fx，当01x时，()0Fx，当x→+时，()0Fx→，当0x且0x→时，()Fx→−，根据以上信息，可作出函数()24lnxFxx=的图象如下，观察图象可得当20ea时，函数()24lnxFxx=的图象与函数ya=的图象有两个交点，所以

若函数()()2221lne14axafxxxx=+−+有两个零点，则实数a的取值范围是20,e.故答案为：20,e.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于先考虑将原不等式化为()()()22242lnlnee11axaxxx+=+

，由此考虑构造函数，结合函数的单调性化简方程，进一步考虑利用数形结合求参数范围.三､解答题：本大题共7小题，满分70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23选考题，考生根

据要求作答.17.记nS为数列na的前n项和，22nnSan=+．（1）证明na是等差数列；（2）已知25a=，若12nnnca−=，求数列nc的前n项和．【答案】（1）证明见详解（2）()3424nn−+【解析】【分析】

（1）由已知推得22nnSnan=+，将n换成1n+，作差整理可得()1120nnnana+−+=−，将n换成n1−，作差整理可得112nnnaaa+−+=，即可得出证明；（2）由已知可推得()1312nncn−=−，设数列nc的前n项和为nT，得出nT以及2nT的表达

式，作差整理即可得出答案.【小问1详解】由22nnSan=+可得，22nnSnan=+①，所以()112122nnSnan++=+++②，②-①得，()11221nnnanana++−+=+，所以，()1120nnnana+−+=−③，当2n时，()()10122nnn

ana−−+−=−④，③-④得，()()()1112110nnnnanana+−−−−+−=，即112nnnaaa+−+=，所以，na是等差数列.【小问2详解】令1n=，由已知可得111222Saa==+，解得12a=.因为，25a=，由（1）知，

公差213daa=−=，所以，()()1123131naandnn=+−=+−=−，所以，()112231nnnncan−−==−.设数列nc的前n项和为nT，则12nnTccc=+++()0112252312nn−=+

++−，()1222252123nnTn=+++−，作差可得，()012122323232312nnnTn−−=+++−−()()12122331212nnn−−=+−−−()4

432nn=−+−，所以，()3424nnTn=−+.18.中国女排，曾经一度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神.看过中国女排的纪录片后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的

身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数进行统计，得到如下表格：月份x12345体重超重的人数y640540420300200（1）若该大学体重超重人数y与月份变量x份变量x（月份变量x依次为1,2,3,4,5）具有线性相关关系，请预测从第几月份开始该大学体重超重的人数降至100人

以下？（2）该大学鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲､乙两班同学利用课余时间进行排球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得3分者获胜，比赛结束.假设每局比赛甲班获胜的概率都是35.若甲

班以1:0的比分领先时，记X为到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列及期望.附1：回归方程ˆˆˆybxa=+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆniiiniixxyybxx==−−=−；ˆˆaybx=−.附2：参考数据5522222211

5180,1234555iiiiixyx====++++=.【答案】（1）预测从第6月份开始该大学体重超标人数降至100人以下（2）分布列见解析，期望为366125【解析】【分析】（1）根据最小二乘法可计算

得回归直线方程，由不等式即可求解,（2）根据相互独立事件的概率公式计算X的各种取值对应的概率，再计算数学期望；【小问1详解】设线性回归方程为：ˆˆybxa=+，由已知可得：1234535x++++==，6405404203002004205y++++==，515222155180

53420ˆ11255535iiiiixyxybxx==−−===−−−，ˆ4201123756aybx=−=+=，线性回归方程为：112756ˆyx=−+，令112756100x−+，可得6565.86112x，又Nx，故6x．故可以预测从第6月份开始该大学

体重超标人数降至100人以下．【小问2详解】X的可能取值为2，3，4，339(2)5525===PX，12532322244(3)C=55555512PX==+，2231133323218036(4)CC5555625125PX

==+==，X的分布列为：X234P925441253612594436366()23425125125125EX=++=．19.如图，以矩形ABCD的CD边为直径作半圆O，点E为半圆上一点，满足60EDC

=，1BC=.将半圆沿CD折起，使得半圆面和平面ABCD垂直.（1）求证：平面ADE⊥平面BCE.（2）若P是半圆弧CD上的一点（不包含CD、两个端点），且异面直线AE与BC所成角的余弦值为55.是否存在一点P，使得二面角APCB−−的余弦值为1313？若存在，求出线段PC的长度，若不存在，

请说明理由.【答案】（1）见解析（2）存在，此时2CP=.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得到DE平面CDE，则有DEBC⊥，结合直径所对的圆周角为直角，利用面面垂直的判定定理即可证明；（2）首先利用异面直线夹角求出4,2CDOP==，再以点D为坐标原点建立合适的空间直角

坐标系，利用空间向量法的二面角公式即可得到答案.【小问1详解】ABCD为矩形,BCCD⊥，平面CDE⊥平面ABCD，且平面CDE平面ABCDCD=，BC平面ABCD，BC⊥平面CDE，而DE平面CDE，DEBC⊥，点E在半圆O上，CD为直径，DEEC⊥，又BCECC=，,BCEC

平面BCE，DE⊥平面BCE，而DE平面ADE,平面ADE⊥平面BCE.【小问2详解】ABCD为矩形,//ADBC,EAD即为异面直线AE与BC所成角，即5cos5EAD=，由（1）易得DEAD⊥，设CDb=

，则12DEb=，在RtADE△中,2215cos5114ADEADAEb===+，得4b=,即4,2CDOP==，以点D为原点，,DADC所在直线为x轴,y轴建立空间直角坐标系如图,设POC=，则(1,0,0),(1,4,0),(0,4,0)ABC,(0,22cos,2sin

)P+，(0,22cos,2(sin),4,0),(1,0,0)1,PCCACB=−−=−=，设平面PAC的一个法向量为()111,,mxyz=r，则11(22cos)2sin0mPCyz=−−=，114

0mCAxy=−=，令11y=,则111cos4,sinxz−==.1cos4,1,.sinm−=设平面PBC的一个法向量为()222,,nxyz=r,则22(22cos)2sin

0nPCyz=−−=，20nCBx==，令21y=,则221cos,0sinzx−==，1cos0,1,sinn−=，2221cos113sincos,131cos1cos171sinsinmn−+==−−++，结

合22sincos1+=，解得1cos2=或cos1=(舍去)，0180，60=，OPC为等边三角形,2PC=.存在点P,使得二面角APCB−−的余弦值为1313此时2PC=.20.已知()()ln1fxxx=+−.（1）求()fx的单调区间；（2）当0x时

，()2e1xkxxfx−−恒成立，求k的最大值.【答案】（1）单调增区间为(1,0)−，单调减区间为(0,)+.（2）1【解析】【分析】（1）直接求导得()1xfxx−=+，利用导数求出其单调区间即可.（2）对原式变形为ln(1)ln(1)ln(1)e1e1xxkxxxx+++=−−

，构造函数()(0)e1xxgxx=−，利用导数得其在(0,)+单调递减，且()0gx，根据（1）的中的结论结合分离参数法即可得到k的最大值.【小问1详解】函数()fx定义域为(1,)−+，1()111xfxxx−=−=++，(1)x−，当10x−时，()

0fx，当0x时,()0fx,所以()fx的单调增区间为(1,0)−，单调减区间为(0,)+.【小问2详解】因为2(),0e1xkxxfxx−−,即ln(1)ln(1)ln(1)e1e1xxkxxxx+++=−−，令()(0)e1xxgxx=−

，()2(1)e1()(0)e1xxxgxx−−=−，令()(1)e1,()e0xxhxxhxx=−−=−，()hx在(0,)+单调递减,()(0)0hxh=，所以()0gx.()gx在(0,)+单调递减，且()

0gx,由（1）知当0x时,()()00,ln(1)0,fxfxx=+则()ln(1)ln(1)ln(1)()ln(1),e1e1xxxxxgxgxx++++=−−，且0e1xx−,所以ln(1)ln(1)e11e

1xxxx++−−，而ln(1)ln(1)e1e1xxxkx++−−恒成立，所以1k，即k的最大值为1.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键构造函数()(0)e1xxgxx=−，利用导数证明其在(0,)+单调

递减，且()0gx，再根据第一问中的结论得到ln(1)ln(1)ln(1)ln(1),e1e1xxxxxxxx++++=−−，最后分离参数有ln(1)ln(1)e1e1xxxkx++−−恒成立，根据右边的范围，则得到k的最大值.21.双曲线2222:1(0,

0)xyCabab−=的离心率为3，圆22:2Oxy+=与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被双曲线C截得的弦长为22.（1）求双曲线C的方程；（2）设圆O上任意一点P处的切线交双曲线C于两点M

N､，试判断PMPN是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.【答案】（1）2212yx−=（2）是，2【解析】【分析】（1）由离心率为3，得双曲线C的方程可设为22221(0)2xyaaa

−=，由圆O在点A处的切线被双曲线C截得的弦长为22，得点()2,2在双曲线上，代入方程可得答案.（2）将切线方程与双曲线方程联立，由韦达定理可证明OMON⊥，后利用射影定理可得PMPN为定值.【小问1详

解】设双曲线的半焦距为c，由双曲线的离心率为3知，3,2caba==，双曲线C的方程可设为22221(0)2xyaaa−=.易求得()2,0A，又圆O在点A处的切线被双曲线C截得的弦长为22点()2,2在双

曲线上，222212aa−=，解得221,2ab==，双曲线C的方程为2212yx−=.【小问2详解】当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时，切线方程为2x=，由（1）知：()()()()22222222,，,，,，,MNOMON−==−.则0OMON=，OMON⊥.当2x=−

时，同理可得OMON⊥.当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时，设切线的方程为()()1122，,，,ykxmMxyNxy=+，得221mk=+.即()2221mk=+.联立直线和双曲线的方程得2212ykxmyx=+−=，消去y得：()2222220kxkmxm−+++=，由

题()()22222220Δ44228320kkmkmk−=−−+=+由韦达定理，21212222222，kmmxxxxkk−++==−−.因()()1122,，,OMxyONxy==，则()()121212

12OMONxxyyxxkxmkxm=+=+++()()()()()2222222212122122212kmkmmkkxxmkxxmk++−+−=++++=−()222222221222022kkkmkk−++−+

===−−，得OMON⊥.综上所述，圆O上任意一点P处的切线交双曲线C于两点MN､，都有OMON⊥.则在RtOMN中，由射影定理，有22PMPNOP==，则PMPN为定值2.【点睛】关键点点睛：本题为直线与双曲线综合题，难度较大.（1）问较为基础，（2）问直接表示

PMPN较为困难，故先利用韦达定理说明OMON⊥，后利用几何知识说明PMPN为定值.22.在直角坐标系xOy中，曲线1C的普通方程为1C：2213yx+=，曲线2C的极坐标方程为：2cos4sin=+，以坐标原点O为

极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线1C参数方程和曲线2C的普通方程；（2）若曲线π(0)4=与曲线1C，2C分别交于M，N两点，求MN．【答案】（1）答案见详解（2）6322−【解析】【分析】（1）引入

参数，公式法即可得出曲线1C参数方程，根据cosx=，siny=，消去,，即可得到曲线2C的普通方程；（2）写出曲线1C的极坐标方程，分别将π4=代入曲线1C与2C的极坐标方程，得出12,的值，根据弦长公式，即

可得出答案.【小问1详解】因为曲线1C的普通方程为1:C2213yx+=，所以曲线1C的参数方程为cos3sinxy==，0,2π.由2cos4sin=+可得22cos4sin=+，因为cosx=，siny

=，所以2224xyxy+=+，整理可得曲线2C的普通方程为()()22125xy−+−=.【小问2详解】依题意设1π,4M，2π,4N.因为曲线1C的极坐标方程为()()223cossin3+=，代入1π,4M可得2211223322

+=，解得162=.曲线2C极坐标方程为：2cos4sin=+，代入2π,4N可得，2ππ2cos4sin3244=+=.所以，126322MN=−=−.23.已知函数()23fxxx=−+．（1）求不等式

()10fx的解集；（2）若()fx的最小值为m，正数a，b，c满足abcm++=，求证22243abc++．【答案】（1）(),23,−−+（2）答案见详解【解析】【分析】（1）分类讨论去绝对

值：分为0x，02x，2x，分别去掉绝对值后，解不等式，即可得出答案；（2）根据（1）得出分段函数，求出函数的最小值，得出2abc++=.根据柯西不等式，得出的()22234abc++，即可得出答案.【小问1详解】当0x时，()2342fxxxx=−−=

−+，解()10fx，即4210x−+，解得2x−；当02x时，()2322fxxxx=−+=+，解()10fx，即2210x+，解得4x，无解；当2x时，()2342fxxxx=−+=−，解()10fx，即4210x

−，解得3x.综上所述，不等式()10fx的解集为(),23,−−+.【小问2详解】由（1）可知，()24,022,0242,2xxfxxxxx−=+−.当0x时，()422fxx=−+；当02x时，()222fxx=+；当2x时，()426fxx

=−，所以函数()fx的最小值为2，所以2m=，所以2abc++=.由柯西不等式可得，()()()()222222231114abcabcabc++=++++++=，当且仅当23abc===时，等号成立.所以()22234abc++，所以22243abc++.获得更多

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