【文档说明】广东省华南师范大学附属中学2025届高三综合测试（一）数学答案.pdf，共(8)页，582.056 KB，由小赞的店铺上传

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第1页（共8页）2025届高三综合测试（一）数学参考答案一、选择题12345678BADDAACC91011ABCBCDBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.8．13.4051．

14.108．【详解】因为()e(22)()xfxxfx′=−+，所以2()ee()()22[]eexxxxfxfxfxx′−′=−=，从而2()2exfxxxc=−+，即2()e(2)xfxxxc=−+，其中c为常数，又(0)1fc==，故2()e(21)xfxxx=−+，则2()(1)exfx

x′=−，当(),1x∈−∞−时，()0fx′>，()fx为增函数；当()1,1x∈−时，()0fx′<，()fx为减函数；当()1,x∈+∞时，()0fx′>，()fx为增函数，所以当(1)(1)fkf<<−时，即40ek<<时，直线yk=与=()yfx的图像有三

个不同的交点，即方程()=fxk有三个不同的解．故选：C．10．【解答】解：因为函数()fx的定义域为R，且22()()()()fxyfxyfxfy+⋅−=−，f（1）2=，(1)yfx=+为偶函数，令0xy==，得(

0)0f=，再令0x=，则22()()(0)()fyfyffy−=−，显然()fy不恒为零，所以()()fyfy−=−，即()fx为奇函数，B正确；所以(1)(1)(1)fxfxfx+=−+=−−，所以(2)()fxfx+=−，所以

(4)(2)()fxfxfx+=−+=，即()fx的周期为4，则f（3）(1)ff=−=−（1）2=−，A错误；(02)(0)0ff+=−=，C正确；由A，B，C可知，f（1）2=，f（2）0=，f（3）2=−，f（4）(0)0f==，且()fx的周期为4，所以20241()506

[kfkf==×∑（1）f+（2）f+（3）f+（4）]0=，D正确．故选：BCD．11．【解答】解：因为2()fxlnx=，所以2()lnxfxx′=，所以经过(ix，())(1ifxi=，2)的切线方程为22()iiiilnxyxxlnxx=−

+，由切线过点(,)Pab知，22()(1,2)iiiilnxbaxlnxix=−+=，{#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#}第2页（共8页）令

22()2alnxgxlnxlnxbx=+−−，则()gx恰有两个零点1x，2x，且22(1)()()lnxxagxx−−′=，当ae=时，()0gx′，则()gx在(0,)+∞单调递增，不可能有两个零点；当ae≠时，则若ae>，当0xe<<或xa>时()0g

x′>，当exa<<时()0gx′<，则()gx在(0,)e和(,)a+∞上单调递增，在(,)ea上单调递减，若0ae<<，当0xa<<或xe>时()0gx′>，当axe<<时()0gx′<，则()gx在(0,)a和(,)e+∞上单调递增，在(,)ae

上单调递减，故g（e）0=或g（a）0=时，函数()gx才可能有两个零点，又g（a）20lnab=−≠，故g（e）0=，此时显然有两条切线，所以2()10agebe=−−=，即2(1)aeb=+，当12b=时，34aee=<，故A错误，B正确；由上述分析，1

{ex∈，2}x，当ae>时，1xea=<，()gx在(0,)e和(,)a+∞上单调递增，在(,)ea上单调递减，示意图如图．显然1xa<，且222222222()22(1)0alnxafxblnxblnxlnxxx−=−=−=−>，所以2()fx

b>，当0ae<<时，2xea=>，()gx在(0,)a和(,)e+∞上单调递增，在(,)ae上单调递减，示意图如图．显然212,()()1xafxfelne<===，由2(1)aeb=+，得21abe=−，所以22111aebee=−<−=，即2()fxb>，综上，12()xafxb<>，

故选项C和D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．【解答】解：由a表示数学课，b表示语文课，c表示英语课，按上午的第1、2、3、4、5节课排列，可得若A班排课为aabbc，则B班排课为bbc

aa，若A班排课为bbaac，则B班排课为aacbb，若A班排课为aacbb，则B班排课为bbaac，或B班排课为cbbaa，若A班排课为bbcaa，则B班排课为aabbc，或B班排课为caabb，若A班排课为cbbaa，则B班排课为aacb

b，若A班排课为caabb，则B班排课为bbcaa，则共有8种不同的排课方式．故答案为：8．13．【解答】解：根据题意，因为函数(2)1yfx=+−为定义在R上的奇函数，{#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}

#}第3页（共8页）所以函数()fx的图象关于(2,1)中心对称，则有()(4)2fxfx+−=，且f（2）1=，故(2024)[(2023)(2027)][(2022)(2026)][fifffff−=−++−++…+（1）f+（3）

]f+（2）2025214051=×+=．故答案为：4051．14．解：固定每个{1,2,,100}n∈，考察路灯nL.根据题意，nL被第k名行人改变开关状态，当且仅当k为n的正约数（注意n的正约数都不超过100，故每个正约数均可对应到某一名行人）.所以nL最终为开，当

且仅当n的正约数个数为奇数.以下证明这等价于n为平方数.事实上，n的每个正约数d均可对应到正约数ndd′=，其中，d对应到自身当且仅当ndd=，即dn=.这意味着，n的正约数个数为奇数当且仅当n是n的正约数，即n为平方数.因此，当所有行人

都经过后，恰好那些下标为平方数1，4，9，，100的路灯是开着的，所以共有10个路灯处于开着状态.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．【解答】解：（1）因为2sin2cBb=，由正弦定理可得2sinsin

2sinCBB=，···············1分在ABC∆中，sin0B>，···············2分可得2sin2C=，而(0,)Cπ∈，···············3分可得4Cπ=或34Cπ=；···············5分（少一个解扣一

分）（2）因为tantantanABC=+，由恒等式tantantantantantanABCABC++=⋅⋅，得2tantantantanAABC=，得tantan2BC=，···············7分所以只可能

是tan1C=，tan2B=，···············8分此时tan3A=，···············9分所以310sin10A=，25sin5B=，···············11分（每求对一个给1分）所以252sin4510425sin5331031010Bab

A×⋅===×=，···············12分所以114224sin222323ABCSabC∆==××⋅=．···············13分（注：分类讨论代入C，然后消元求解，自行给评分标准即可）{#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQw

GYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#}第4页（共8页）16．【解答】（1）证明：连接EC交BD于N，由E是AD的中点可得112DEBC==，则DEN∆与BCN∆相似，所以12ENNC=，···············1分又12PMMC=

，···············2分∴PMENMCNC=···············3分∴//MNPE，···············4分又MN⊂平面BDM，PE⊂/平面BDM···············5分∴//PE平面BDM

；···············6分（2）解：如图，建立空间直角坐标系，(0E，0，0)，(1A，0，0)，(1D−，0，0)，(1B，2，0)，(1C−，2，0)，(0P，0，2)，···············7分1122(1,2,2),(,,)3333PC

PMPC=−−==−−，则124(,,)333M−，···············8分设平面AMB的法向量为1111(,,)nxyz=，由424(0,2,0),(,,)333ABAM==−，则1100ABnAM

n⋅=⋅=，即1111204240333yxyz=−++=，···············9分取11x=，可得1(1,0,1)n=，···············10分由（1）可取平面BDM的法向量为2

(1,1,0)n=−，···············12分所以1|cosn<，12212||1|2||||nnnnn⋅>==，···············1

4分（公式给1分，代入求解给1分）即平面AMB与平面BDM的夹角余弦值为12，所以平面AMB与平面BDM的夹角为3π．···············15分17．【解答】解：（1）补全列联表如下：{#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNAB

AA=}#}第5页（共8页）性别速度合计快慢男生6535100女生4555100合计11090200则22200(65553545)8008.086.6351001001109099K×−×==≈>×××，·····

··········4分（第一个等号2分，第二个等号1分，判断大于1分）所以有99%的把握，认为学生性别与绳子打结速度快慢有关；···············5分（2）()i易知X的所有可能取值为1，2，3，此时1142222642338(1)15CCPXCCCA===，··

·············6分132226423322(2)5CPXCCCA===，···············7分2226423311(3)15PXCCCA===，···············8分则X的分布列为：X123P815615115··

·············9分所以86123()12315151515EX=×+×+×=；···············10分()ii证明：不妨令绳头编号为1，2，3，4，…，2n，可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1，2外还

有22n−种可能，假设绳头1与绳头3打结，那么相当于对剩下1n−根绳子进行打结，不妨设*()nnN∈根绳子打结后可成圆的种数为na，那么经过一次打结后，剩下1n−根绳子打结后可成圆的种数为1na−，···············11分{#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQw

GYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#}第6页（共8页）所以1(22)nnana−=−，2n≥，···············12分即122nnana−=−，1224nnana−

−=−，，…，212aa=，以上各式累乘得11(22)(24)22(1)!nnannna−=−−…=−，易知11a=，所以12(1)!nnan−=⋅−，···············13分另一方面，对2n

个绳头进行任意2个绳头打结，总共有22222222(21)(22)21(2)!!2!2!nnnnCCCnnnnNnnn−…−−…×===，···············14分则1212(1)!2!(1)!(2)!(2)!2!nnnnann

nPnNnn−−⋅−⋅−===⋅．···············15分18．【解答】解：（1）设C上任意一点0(Tx，0)y，00x<，光线从点N至点(2,0)的光程为1δ，光线穿过凸透镜后从T点折射到点(2,0)的光程为2δ，则2211345δ=×

+=，···············1分2220002(2)1(2)xxyδ=×++×−+，···············2分由题意得12δδ=，则220002(2)(2)5xxy++−+=，···············3分化简得22

00012(2)xxy−=−+，···············4分所以2220000014444xxxxy+−=+−+，所以22013yx−=．···············5分令00y=，得01x=−，所以C为双曲线的一部分，解析式为221(21)3yx

x−=−−．···············7分（缺少范围扣1分）（2）由题意知22:13yFx−=．设(0,)Hn，(Qm，0)(1)m≠±，(AAx，)Ay，(BBx，)By，{#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQ

wGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#}第7页（共8页）则(,)HQmn=−，(,)AAQAxmy=−，(,)BBQBxmy=−，···············8分因为12HQkQAkQB==

，所以11()AAmkxmnky=−−=，22()BBmkxmnky=−−=，···············9分由题意知10k≠，20k≠，得111AAmkmxknyk+==−，222BBmkmxknyk

+==−，即111(,)mkmnAkk+−，222(,)mkmnBkk+−．···············10分将点A的坐标代入2213yx−=，得22222112211213mkmkmnkk++−=，····

···········11分化简整理得2222211(1)2()03nmkmkm−++−=．···············12分同理可得2222222(1)2()03nmkmkm−++−=，···············13分所以1k与2k为方程22222(1)2()

03nmxmxm−++−=的两个解，···············14分所以212221mkkm+=−−．···············15分由题知1283kk+=−，所以222813mm−=−−，解得2m=±，···············16分所以点Q的

坐标可能为(2,0)或(2,0)−．···············17分19．【解答】解：（Ⅰ）当12a=时，()22xxexfxe=+，···············1分∴2()1()2xxexfxe+−′=，············

··2分(0)1f∴′=．···············3分（Ⅱ）证明：当1a=，1x时，()2xxexfxe=+，∴2()22()2xxexfxe+−′=，···············4分令()1xgxex=−+

，()1xgxe′=−，当0x>时，()0gx′>，()gx单调递增，{#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#}第8页（共8页）当0x<时，()0gx′<，()gx单调递减，()(0)0

gxg∴=，1xex∴+，···············5分22()21xexx∴++，()0fx∴′>，···············7分()fx∴在[1，)+∞上单调递增，···············8分∴133()(1)co

s222efxfxe=+>，得证．···············9分（Ⅲ）当2a，2()(1)2xxegxaeax=−++−，()()(1)xxgxeae′=−−−，···············10分当(0,)xlna∈时，()0gx′>，当(x∈−∞，0)(lna∪，

)+∞时，()0gx′<，()gx∴在(0,)lna上单调递增，在(,0)−∞，(,)lna+∞上单调递减，···············11分由题意，()()gmgn′=′得到1mneea+=+，···············12分21()()(1)()

2mngmgnaeamn++=++−+，···············13分由12mnmneeaee+=+>得到2(1)04mnae++<<，···············14分记2(1)(0,)4mnate++=∈，则21()()()(1)2gmgnFtatalnt+==++−，

···············15分()1aFtt′=−，当(0,)ta∈时，()0Ft′<，当2(1)(,)4ata+∈时，()0Ft′>，()Ft∴在(0,)a上单调递减，在2(1)(,)4aa+上单调递增．∴2(1)()ln2ahaaaa+=+

−···············16分∴当2a时，()10haalna′=−+>，∴()ha为增函数，∴13(2)222minhhln==−．···············17分{#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQ

kAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#}