【文档说明】《精准解析》河北省石家庄市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（解析版）.docx，共(20)页，1.020 MB，由小赞的店铺上传

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石家庄市2022~2023学年度第一学期期末教学质量检测高二数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.已知直线l的方程310xy+−=，则直线l的倾斜角为（）A.π6B.π3C.5π6D.2π3【答案】C

【解析】【分析】求出直线l的斜率，结合直线倾斜角的取值范围可求得直线l的倾斜角.【详解】设直线l的倾斜角为，则13tan33=−=−，又因为0π，因此，5π6=.故选：C.2.用火柴棒按下图的方法搭三角形，前4个图形分别如下，按图示的规律搭下去，第10个图形

需要用多少根火柴（）A.20B.21C.22D.23【答案】B【解析】【分析】根据图形可知：第一个图形需要3根火柴棒，后面每多一个图形，则多用2根火柴棒，根据此规律即可计算求解.【详解】结合图形，发现：搭第n个图形，需要32(1)21nn+−=

+，则搭第10个图形需要21根火柴棒，故选：B.3.已知圆的圆心为（-2,1），其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是A.224250xyxy++−−=B.224250xyxy+−+−=C.2242

0xyxy++−=D.22420xyxy+−+=【答案】C【解析】【详解】设直径的两个端点分别A（a，0）、B（0，b），圆心C为点（-2，1），由中点坐标公式得002,122ab++=−=解得a=-4，b=2．∴半径r=()()

2224105−++−=∴圆的方程是：（x+2）2+（y-1）2=5，即x2+y2+4x-2y=0．故选C．4.已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则()12ABBDBC++等于（）A.AGB.CGC.BCD.12BC【答案】A【解析】【分析】

利用向量平行四边形法则、三角形法则即可得出．【详解】解：如图：由平行四边形法则可得：1()2BGBDBC=+，1()2ABBDBCABBGAG++=+=．故选：A．5.已知圆22:40Cxyx+−=与直线l切于

点()1,3P，则直线l的方程为（）A.320xy−+=B.340xy−+=C.340xy+−=D.320xy+−=【答案】A【解析】【分析】由圆心和切点求得切线的斜率后可得切线方程．【详解】圆22:40Cxyx+−=可化为()2

224xy−+=，所以点P与圆心连线所在直线的斜率为03321−=−−，则所求直线的斜率为33，由点斜式方程，可得()3313yx−=−，整理得320xy−+=.故选：A.6.设12,FF是双曲线22

:13yCx−=的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且||2OP=，则12PFF△的面积为（）A.72B.3C.52D.2【答案】B【解析】【分析】由12FFP是以P为直角直角三角形得到2212||||16PFPF+=，再利用双曲线

的定义得到12||||2PFPF−=，联立即可得到12||||PFPF，代入12FFPS=△121||||2PFPF中计算即可.【详解】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)FF−，则1,2ac==，因为12122OPFF==，所以点P在以12FF为直径圆上，即12FFP

是以P为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||PFPFFF+=，即2212||||16PFPF+=，又12||||22PFPFa−==，所以2124||||PFPF=−=2212||||2PFPF+−12||||162PFPF=−12|||

|PFPF，解得12||||6PFPF=，所以12FFPS=△121||||32PFPF=故选：B【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，的是一道中档题.7.如图，在棱长

为a的正方体1111ABCDABCD−中，P为11AD的中点，Q为11AB上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平面PEF的距离（）A.等于55aB.和EF的长度有关C.等于23aD.和点Q的位置有关【答案】A【解析】【

分析】取11BC的中点G，连接,,PGCGDP，利用线面平行判断出选项B,D错误；建立空间直角坐标系，利用平面的法向量结合空间向量数量积公式求得点到面的距离，从而得出结论.【详解】取11BC的中点G，连接,,PGCGDP，则//PGCD，所以点Q到平面PEF的距离即点

Q到平面PGCD的距离，与EF的长度无关，B错．又11//AB平面PGCD，所以点1A到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离，即点Q到平面PEF的距离，与点Q的位置无关，D错．如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，则1(0,,0),(0,0,0),(,0,),,0,2aCaDA

aaPa，∴(0,,0)DCa=，1(,0,)DAaa=，,0,2aDPa=，设(,,)nxyz=是平面PGCD的法向量，则由0,0,nDPnDC==得0,20,axazay+==令1z=，则2,0xy=−=，所以

(2,0,1)n=−是平面PGCD的一个法向量．设点Q到平面PEF的距离为d，则1255||5DAnaaadn−+===，A对，C错．故选：A．【点睛】本题主要考查点到直线的距离，意在考查学生的数学抽象的学科素养，属中档题.8.已知1F，2F为椭圆()221112211:10xy

Cabab+=与双曲线()222222222:10,0xyCabab−=的公共焦点，M是它们的一个公共点，且12π3FMF=，1e，2e分别为曲线1C，2C的离心率，则12ee的最小值为（）A.32B.3C.1D.12【答案】A【解析

】【分析】由题可得112212MFaaMFaa=+=−，在12MFF△中，由余弦定理得2221212122cos3FFMFMFMFMF=+−，结合基本不等式得22212124323caaaa=+，即可解决

.【详解】由题知，1F，2F为椭圆()221112211:10xyCabab+=与双曲线()222222222:10,0xyCabab−=的公共焦点，M是它们的一个公共点，且123FMF=，1e，2e分别为曲线1C，2C的离心率，假设12MFMF，所以由椭圆，双曲线定义得1

2112222MFMFaMFMFa+=−=，解得112212MFaaMFaa=+=−，所以12MFF△中，122FFc=，由余弦定理得222121212π2cos3FFMFMFMFMF=+−，即()()()()22212121212π42cos3caaaaaaaa=

++−−+−，在化简得2221243=+caa，因为22212124323caaaa=+，所以21223342caa=，即1232ee，当且仅当123aa=时，取等号，故选：A二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分

，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知等差数列na的前n项和为67,nSSS，且78SS，则（）A.在数列na中，1a最大B.在数列na中，3a或4a最大C.310SS=D.当8n时，0na【答案】AD【解析】【分析】根据67SS，且78SS，可推出

70a，8780aaa，，故0d，可判断AD正确，B错误，结合等差数列的性质可判断103770SSa−=，判断C.【详解】na为等差数列，∵67SS，且78SS，∴7678787800SSaSSaaa−=−=，，

，即0d，∴{an}是递减等差数列，1a最大，当7n时，0na，当8n时，0na，故AD正确，B错误，10310987654770SSaaaaaaaa++++=++−=，则103SS，故C错误，故选：AD．10.已知直线l：()2110aaxy++−+=，其中Ra，下列说

法正确的是（）A.当1a=−时，直线l与直线0xy+=垂直B.若直线l与直线0xy−=平行，则0a=C.直线l过定点()0,1D.当0a=时，直线l在两坐标轴上的截距相等【答案】AC【解析】【分析】对于A，代入1a=−，利用斜率之积为1−得知直线l

与直线0xy+=垂直；对于B，由两平行线的一般式有111222ABCABC=求得a，从而可判断正误；对于C，求定点只需令参数的系数为0即可，故直线l过定点()0,1；对于D，代入0a=，分别求得直线l在两坐标轴上的截距即可判断正误.【详解】对于A，当1a=−时，直

线l的方程为10xy−+=，故l的斜率为1，直线0xy+=的斜率为1−，因为1(1)1−=−，所以两直线垂直，所以A正确；对于B，若直线l与直线0xy−=平行，则2110111aa−=++−，解得0a=或1a=−，所以B错误；对于C，当0x=时，则1y=，所以直线过定

点()0,1，所以C正确；对于D，当0a=时，直线l的方程为10xy−+=，易得在x轴、y轴上的截距分别是1,1−，所以D错误.故选：AC.11.已知直线:330lxy−−=过抛物线2:2Cypx=焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线

准线的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（）A.抛物线的方程为24yx=B.线段AB的中点到y轴的距离为83C.线段AB的长度为163D.90MFN=【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件，求出焦点F的坐标判断A；联

立直线l与抛物线C的方程，利用韦达定理，结合抛物线定义、向量垂直的坐标表示判断BCD作答.的【详解】显然抛物线2:2Cypx=的焦点F在x轴上，直线:330lxy−−=与x轴交于点(1,0)，即(1,0)F，则12p=，解得2p=，抛物线C的方程

为24yx=，准线方程为=1x−，A正确；由23304xyyx−−==消去y并整理得：231030xx−+=，设1122(,),(,)AxyBxy，则有1212110,3xxxx+==，线段AB中点横坐标为53，因此线段AB的中点到y轴的距离为53，

B错误；121016||||||11233ABAFBFxx=+=+++=+=，因此线段AB的长度为163，C正确；显然点12(1,),(1,)MyNy−−，12(2,),(2,)FMyFNy=−=−，则1211121210443(1)(1)733()731303FMFNyyxx

xxxx=+=+−−=+−+=+−=，即FMFN⊥，因此90MFN=，D正确.故选：ACD12.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线2

2:||||Cxyxy+=+就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论，其中结论正确的有（）A.曲线C围成的图形的面积是2π+B.曲线C围成的图形的周长是22πC.曲线C上的任意两点间的距离不超过2D.若(,)Pmn是曲线C上任意一点，则|3412|mn+−的最小值是17522−【答案】A

BD【解析】【分析】根据方程分析曲线C的性质以及图象，根据曲线C的性质和图象结合直线与圆的相关知识逐项分析判断.【详解】对于曲线22:||||Cxyxy+=+上任一点(),Pmn，则22||||mnmn+=

+，点(),Pmn关于y轴对称的点为()1,Pmn−，则()2222||||||||mnmnmnmn−+=+=+=−+，即点()1,Pmn−在曲线C上，故曲线C关于y轴对称；点(),Pmn关于x轴对称的点为()2,P

mn−，则()2222||||||||mnmnmnmn+−=+=+=+−，的即点()2,Pmn−在曲线C上，故曲线C关于x轴对称；点(),Pmn关于原点对称的点为()3,Pmn−−，则()()2222||||||||mnmnmnmn−

+−=+=+=−+−，即点()3,Pmn−−在曲线C上，故曲线C关于原点对称；综上所述：曲线C关于坐标轴和原点对称.对于方程22||||xyxyxy+=+=+，令0y=，则2||xx=，解得0x=或1x=，即曲线C与x轴的交

点坐标为()()()1,0,0,0,1,0AOC−，同理可得：曲线C与y轴的交点坐标为()()()0,1,0,0,0,1BOD−，当0,0xy时，则22||||xyxyxy+=+=+，整理得22111222xy

−+−=，且90AOB=，故曲线C在第一象限内为以111,22O为圆心，半径22r=的半圆，由对称性可得曲线C为四个半圆外加坐标原点，对A：曲线C围成的图形的面积2112411π2π222S=+=+，A正确；对B

：曲线C围成的图形的周长是1242π22π22L==，B正确；对C：联立方程22111222xyyx−+−==，解得00xy==或11xy==，即曲线C与直线yx=在第一象限内的交点坐标为()1,1M，由对称可知曲线C与直

线yx=在第三象限内的交点坐标为()1,1N−−，则()()221111222MN=+++=，C错误；对D：由图结合对称性可知：当(,)Pmn在第一象限时，点(,)Pmn到直线:34120lxy+−=的距离2

2|3412||3412|534mnmnd+−+−==+相对较小，∵111,22O到直线:34120lxy+−=的距离111|3412|1722510d+−==，则点(,)Pmn到直线:34120lxy+−=的距离1172102ddr−=−，∴|3412|

517522mnd+−=−故|3412|mn+−的最小值是17522−，D正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：（1）通过方程研究曲线的对称性时，往往通过点的对称证明曲线的对称性；（2）研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依

据是两圆心距离与两半径差与和的比较．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.抛物线24yx=的焦点到双曲线2213yx−=的渐近线的距离是_____．【答案】32【解析】【详解】双曲线2213yx−=的渐近线为30xy−=2=4yx的焦点(10)

，到渐近线距离为32.14.设,xyR，向量()()()3,2,1,1,,1,,4,2abxcy===，且,abac⊥∥，则bc+=___________．【答案】62【解析】【分析】根据空间向量的垂直及平行的坐标表示求出,xy，再由向量的坐标运算及模的坐标表示求解．【详解】因为ab⊥，所以3

210x++=，解得2x=−，则()1,2,1b=−．因为ac∥，所以42321y==，解得6y=，则()6,4,2c=．()7,2,3,62bcbc+=+=．故答案为:62.15.已知各项不为0的等差数列

na满足26780aaa−+=，数列nb是等比数列，且77ba=，则3810bbb=______．【答案】8【解析】【分析】首先根据题意得到772ab==，在利用等比数列的性质求解即可.【详解】因为26780aaa−+=，所以()()27770adaad−−++=，即27720

aa−+=，因为0na，所以72a=，则72b=.337381077748bbbbbqbqbq===.故答案为：816.已知AB为圆()22:11Cxy−+=的直径，点P为直线20xy−+=上的任意一点，则PAPB的最小值为____

__．【答案】72【解析】【分析】分析可得21PAPBPC=−，可知当PC与直线20xy−+=垂直时，PC取最小值，利用点到直线的距离公式可求得PAPB的最小值.【详解】圆心()1,0C，半径为1，且点C为线段AB的中点，()()

()()2221PAPBPCCAPCCBPCCAPCCAPCCAPC=++=+−=−=−，圆心C到直线20xy−+=的距离为33222d==，当PC与直线20xy−+=垂直时，PC取最小值，即21

PAPBPC=−取最小值，且()()22minmin7112PAPBPCd=−=−=.故答案为：72.四、解答题：本大题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.设等差数列na

的前n项和为nS，225+=−aS，515=−S.（1）求数列na的通项公式；（2）若()1nnnba=−，求数列nb的前20项和20T.【答案】（1）nan=−（2）10−【解析】【分析】（1）根

据等差数列通项公式及前n项和公式，可得1,ad的方程组，解方程组即可确定数列na的通项公式；（2）根据数列na的通项公式，代入数列nb，利用分组求和法即可求得数列nb的前20项和20T.【详解】（1）设等差数列na的公差为d，由221325+=+=−aSad，51510

15=+=−Sad，即123+=−ad，所以1132523adad+=−+=−，解得111ad=−=−，所以()11=−−−=−nann.（2）因为()1nnnba=−，所以2012341920...Tbbbbbb=++++++()()()1

2341920...aaaaaa=−++−+++−+...ddd=+++()1010110d==−=−.【点睛】本题考查了等差数列通项公式及前n项和公式的简单应用，分组求和法的应用，属于基础题.18.在平面直角坐标系中，曲线261yxx=−+与坐标轴的交点都在圆C上．（1）求圆

C的方程；（2）若圆C与圆()()22:434Dxy−+−=相交于A、B两点，求AB弦长．【答案】（1）22(3)(1)9xy−+−=（2）4【解析】【分析】（1）写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算

出半径，写出圆的方程；（2）根据圆与圆相交得相交直线所在方程，利用直线与圆求相交弦长即可.【小问1详解】曲线261yxx=−+与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(322+,0)，(322−,0)．可

知圆心在直线3x=上，故可设该圆的圆心C为(3,)t，则有22223(1)(22)tt+−=+，解得1t=，故圆C的半径为223(1)3rt=+−=，所以圆C的方程为22(3)(1)9xy−+−=；【小问2详解】C的方程为22(3)(1)9xy−+−=．即226210xyxy+−−+=圆D：22

(4)(3)4xy−+−=，即2286210xyxy+−−+=两圆方程相减，得相交弦AB所在直线方程为2100xy+−=圆C的圆心(3,1)到直线2100xy+−=距离为321055d+−==，所以2222954ABrd=−=−=.19.如图，四棱锥PABCD−的底面为菱形且60BAD

=，PA⊥底面ABCD，AB=2，23PA=，E为PC的中点．（1）求直线DE与平面PAC所成角的大小；（2）求二面角EADC−−平面角的正切值．【答案】（1）30（2）2【解析】【分析】（1）建系，利用空间向量求线面夹角；（2）利用空间向量求二面角.【小问1详解】连结对角

线AC、BD相交于点O，连结DE、OE，∵,OE分别为,ACPC的中点，则EOPA，132EOPA==，且PA⊥平面ABCD，则EO⊥平面ABCD，∵底面是菱形ABCD，60BAD=，AB=2，23PA=，则BD=2，23AC=，以O为原点，OA、

OB、OE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有(0,0,0)O，()3,0,0A，()3,0,0C−，(0,1,0)D−，()0,0,3E，可得()0,1,3DE=，()3,1,0AD=

−−．∵平面PAC的法向量为()0,1,0OD=−uuur，11cos,122ODDEODDEODDE−===，设直线DE与平面PAC所成的角0,90，则1sin2=，故直线DE与平面PAC所成的角为30.【小问2详

解】设二面角EADC−−的平面角为()0,90，平面ADC的法向量为()0,0,3OE=，设平面EAD的法向量为(,,)nxyz=，则3030ADnxyDEnyz=−−==+=，令1x=，则3,1yz=−=，得到()1,3,1n=−，∴35cos,53

5OEnnOEnOE===uuurruuurruuurr，即5cos5=，则225sin1cos5=−=，∴tan2=，故二面角EADC−−的平面角的正切值是2．20.已知O为坐标原点，点(2

,0)G−和点(2,0)H，动点P满足||||2PGPH−=.（1）求动点P轨迹曲线W的方程并说明W是何种曲线；（2）若抛物线2:2Zypx=（0p）的焦点F恰为曲线W的顶点，过点F的直线l与抛物线Z交于M，N两点，||8MN=，求直线l的方程.【答案】

（1）曲线W的方程为221(1)3yxx−=…，它是焦点为(2,0),(2,0)−的双曲线的右支.（2）10xy−−=或10xy+−=．【解析】【分析】（1）由动点P满足：||||2PGPH−=可得到轨迹曲线为双曲线的右支；（2）由（1）可得F

的坐标，然后再求出抛物线的方程，设出直线的方程为1xmy=+，后根据弦长公式得到关于m的方程，解出即可．【小问1详解】解：动点P满足||||2||PGPHGH−=，点P的轨迹曲线W为双曲线的一支，由双曲线的定义有1a=，2c=，的3b=，曲线W的方程为221(1)3yxx−=…；【小问2详

解】解：由（1）可知曲线W的顶点(1,0)F，12p=，2p=，所以抛物线Z的方程为24yx=．由题意，直线l的倾斜角不能为0，设直线l的方程为1xmy=+，设1(Mx，1)y，2(Nx，2)y，代入到24yx=消去x得：2440ymy−−=，216160m=

+，124yym+=，124yy=−，222212121212||()()1()4MNxxyymyyyy=−+−=++−22211616448mmm=++=+=，1m=或1m=−，直线l的方程为10xy−−=或10xy

+−=．21.已知数列na满足()1122nnnaana+=+N，11a=．（1）证明：数列1na为等差数列，并求数列na的通项公式；（2）若记nb为满足不等式()11122nnkan−

N的正整数k的个数，数列nnba的前n项和为nS，求关于n的不等式2023nS的最大正整数解．【答案】（1）证明见解析，21nan=+（2）7【解析】【分析】（1）在等式1122nnnaaa+=+两边取倒数，结合等差数列的定义可证得数列1na为等差数列

，确定该数列的公差，可求得数列na的通项公式；（2）解不等式()11122nnkan−N可得到满足条件的正整数k的个数，可得出nb的通项公式，利用错位相减法可求得nS，再利用数列的单调性可求得满足题意的最大正整数n的值.【小问1详

解】解：由1122nnnaaa+=+取倒数得11221112nnnnnaaaaa+++==+，即11112nnaa+−=，所以1na为公差为12的等差数列，则1111122nnnaa−+=+=，所以，21nan=+.【小问2详解】解：当11122nnka−

时，1112221212nnnnkk−++−−，所以，满足条件的整数k的个数为()()121212nnn+−−−=，即2nnb=，所以，()1012nnnbna−=+，故数列nS单调递增，所以，()012122

324212nnSn−=+++++，则()12122232212nnnSnn−=+++++，上式−下式得()()()()112121222221221212nnnnnSnn−−−−=++++−+=+−+−2nn=−，所以

，2nnSn=，因为7772896S==，88822048S==，则782023SS，因此，满足2023nS的最大正整数n的值为7.22.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为32，且经过点3(1,)2−．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过

点(3，0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，试问在x轴上是否存在定点Q，使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）2214xy+=；（2）存

在，43,03Q.【解析】【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，列出方程求出a，b，由此能求出椭圆C的方程；（Ⅱ）假设存在点(,0)Qt满足题设条件，分AB与x轴重合和PQ与x轴不重合两种情况分类讨论，利用韦达定理化简计

算能求出结果．【详解】解：（Ⅰ）由题意可得32ca=，221314ab+=，又222acb−=，解得24a=，21b=，所以，椭圆的方程为2214xy+=．（Ⅱ）存在x轴上在定点Q，使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称，设直线l的方程为30xmy+−=，与椭圆联立可得22(4)2310mymy+−

−=．设1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，假设在x轴上存在定点(,0)Qt．122234mxxm+=+，12214xxm−=+．PN与QN关于x轴对称，0AQQBkk+=，即121221120()()0yyyxty

xtxtxt+=−+−=−−，1221(3)(3)0ymytymyt−−+−−=，1212(3)()20tyymyy−+−=，432(43)03mtt−==．在x轴上存在定点43(3Q，0)．使得直线QA与直线

QB恰关于x轴对称．特别地，当直线l是x轴时，点43(3Q，0)．也使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称．综上，在x轴上存在定点43(3Q，0)．使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程

及直线与椭圆的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．