【文档说明】浙江省北斗星盟2020届高三下学期高考适应性考试数学试题 【精准解析】.doc，共(25)页，2.116 MB，由小赞的店铺上传

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浙江省北斗星盟高三适应性考试数学学科试题考生须知：1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号．3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分

（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合1,2,3A=，3,4,5B=，则AB=（）A.3B.2,5C.2,3,4D.1,2,4,5【答案】A【解析】【

分析】直接根据交集概念求解得结果.【详解】1,2,33,4,5{3}AB==II故选：A【点睛】本题考查交集，考查基本分析求解能力，属基础题.2.双曲线22:148xyC−=的离心率为（）A.2B.3C.2D.3【答

案】B【解析】【分析】首先根据题意求出双曲线的,,abc，再求离心率即可.【详解】由题知：2a=，22b=，则4823c=+=，所以3==cea.故选：B【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，属于简单题.3.已知直线ykx=与圆22:(2)1Cxy−+=相切，则实数k的

值是（）A.2B.3C.D.33【答案】D【解析】【分析】根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于半径，列出方程求解，即可得出结果.【详解】因为圆22:(2)1Cxy−+=的圆心为()2,0C，半径为1r=；又直线ykx=与圆22:(2)

1Cxy−+=相切，所以圆心到直线的距离等于半径，因此22011kk−=+，解得：33k=.故选：D.【点睛】本题主要考查由直线与圆的位置关系求参数的问题，熟记直线与圆位置关系的判定方法即可，属于基础题型.4.某几何

体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积（单位：2cm）可以是（）A.1623+B.1626+C.1823+D.1826+【答案】C【解析】【分析】先还原几何体，再根据各表面形状，求得表面积.【详解】由三

视图还原几何体如图1，图2，所以其表面积为22133(22)32(22)182324++=+或21132(22)2(22)(22)2843224++=+故选：C【点睛】本题考查三视图、几何体表面积，考查空间想象能力以及基本求解能力，属基础题.5.已知aR，则“tan2

=”是“4sin25=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用二倍角和同角三角函数的基本关系整理得22tansin2tan1=+，再利用充分性和必要性进行判断即可得出结论.【详解】22

22sincos2tansin2sincostan1==++，当tan2=时，4sin25=，所以“tan2=”是“4sin25=”的充分条件；当4sin25=时，故22tan4tan15=+，得tan2=或1tan2=，所以“ta

n2=”是“4sin25=”的不必要条件；则“tan2=”是“4sin25=”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查充分和必要条件的概念以及二倍角和同角三角函数的基本关系.属于较易题.6.设102a，随机变量X的分布列是：X-112P12a−122a+2a则当()DX

最大时的a的值是（）A.14B.316C.15D.325【答案】D【解析】【分析】首先求出()EX与()2EX，再根据()()()22DXEXEX=−及二次函数的性质计算可得；【详解】解：依题意可得()1151122222

2aaaEXa=−−+++=()231141222aaaEX=−+=+所以()()()2222235253253109112242425100aaaDXEXEXaa

=−=+−=−++=−−+因为102a，所以当325a=时，()DX取得最大值，故选：D【点睛】本题考查离散型随机变量的期望与方差的计算，二次函数的性质，属于中档题.7.函数2()

ln(os1)cfxxxx=++的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先判断()4f符号,再判断()4f−与()4f关系，即可选择.【详解】222(),ln(()1)ln10()04

444ln(()1)l2cos42n(()1)4444ff==++=++++所以舍去BD2221()()044ln(()1)ln(()1)ln(22cos()4()1)44444422ff−−

====−−+−+−++++−所以舍去A故选：C【点睛】本题考查函数图象识别、对数运算，考查基本分析判断能力，属基础题.8.已知,(0,)xy+，若不等式22axxyy++恒成立，则a的取值范围是（）A.[1,)+B.[2,)+C

.[2,)+D.[22,)+【答案】C【解析】【分析】根据已知先判断0a，将所求的不等式两边平方，分离参数，结合基本不等式，即可求解.【详解】,(0,)xy+，不等式22axxyy++恒成立，所以0a，两边

平方得2222()2xxxyyay+++，22222xyaxy++恒成立，需2max22(2)2xyaxy++，而222222xyxyxxyy+=++，当且仅当2xy=时，等号成立，24,2aa.故选：C.【点睛】本题考查恒成立问题，平方等

价转化，参变分离利用基本不等式是解题的关键，属于基础题.9.已知数列na满足112a=，121nnaa+=+，则（）A.2021201920222020aaaaB.2021201920202022aaaaC.2019202120222020aaaa

D.2019202120202022aaaa【答案】C【解析】【分析】先根据递推关系式得0na，再归纳出当n为奇数时，1na，当n为偶数时，1na，最后研究奇数项以及偶数项的单调性，即可判断选项.【详解】11

2a=，1210nnnaaa+=+12341222(0,1)1,1,1,2111111aaaa====+++QL当n为奇数时，1na，当n为偶数时，1na，12+12(1)22221131

1nnnnnnnaaaaaaa+++====+++++Q2()()321nnnnnaaaaa++−−=+−因此当n为奇数时，22()(1)03nnnnnaaaaa++−+−−=；当n为偶数时，22()(1)03nnnnnaaaaa++−+−−=

因此132019202120222020421aaaaaaaaLLLL故选：C【点睛】本题考查数列单调性、根据数列递推关系式归纳规律，考查基本分析归纳判断能力，属基础题.10.如图，在平行四边形ABCD中，沿AC将ACD

△折成ACP△，记异面直线PA与BC所成的角为，直线PA与平面ABC所成的角为，二面角P-AC-B为，当2PAD时，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用图形，作PM⊥平面ABC,,⊥⊥POACMNAD，然后计算sin,sin

,sin,tan,tan，比较大小可得结果.【详解】作PM⊥平面ABC,,⊥⊥POACMNAD如图：由PM⊥平面ABC，则,⊥⊥PMADPMAC又MNAD⊥，⊥=PMMNM，所以AD⊥平面PMN所以⊥ADPN，又ACPO⊥,=PMPMM，所以AC⊥平面POM依据题

意：sin,sin,sin===PNPMPMPAPAPOtan,tan==PNPMANOM又,PNPMPAPO，所以sinsin,sinsin即,又2PAD，所以ANOM，所以tantan即综上所述

：故选：B【点睛】本题考查线面角，线线角，面面角之间的大小关系，本题难点在于表示sin,sin,sin,tan,tan，考查分析极强的分析能力，属难题.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空

题每题4分，共36分．11.复数13zi=+（i为虚数单位），则||z=__________．【答案】10【解析】【分析】根据条件求出z，进而可求出||z.【详解】因为复数13zi=+，所以13zi=−，故22||(3)110z=+−=.故答案为：10.【点睛】本题考查共轭复

数和模的运算.属于容易题.12.若实数x，y满足约束条件202300xyxyxy−−−+，则2zxy=+的最小值是__________；1yux=+的最大值是__________．【答案】(1).1−(2).13【解析】【分析】先作可行域

，再根据2zxy=+表示直线、1yux=+表示斜率，结合图象确定最值取法，计算即得结果.【详解】作可行域，如图阴影部分，(2,1)A则直线2zxy=+过点(1,1)B−时，z取最小值，为121−=−；1yux=+表示可行域内点与定点(1,0)P−连线的斜率，由图可得1yu

x=+的最大值是11213PAk==+故答案为：1−，13【点睛】本题考查线性规划求最值，考查数形结合思想方法以及基本分析求解能力，是基础题.13.已知66420246123456712xaxaxaxax

axaxaxx−−−−=++++++，则4a=__________﹔234567aaaaaa+++++=__________．【答案】(1).160−(2).0【解析】【分析】先根据二项展开式通项公式求

常数项，即得4a；再利用赋值法求1234567aaaaaaa++++++，根据二项展开式通项公式求1a，相减得结果.【详解】66621661(2)()(2)(1),0,1,2,3,4,5,6rrrrrrrrTCxCxrx−−−+=

−=−=令620r−=得3r=，所以333462(1)160aC=−=−,令626r−=−得6r=，所以606162(1)1aC=−=,66420246123456712xaxaxaxaxaxaxaxx−−−−=++++++

,令1x=得12345766(21)1aaaaaaa+++=−++=+,234567110aaaaaa++++=−+=故答案为：160−，0【点睛】本题考查二项展开式通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.1

4.已知函数22(0)()(0)xxfxxx=−，则不等式()214fx−的解是__________；不等式22()(4)fxfx−的解是__________．【答案】(1).1322xx−；(2).2xx或22x−.【

解析】【分析】根据函数的图象知，函数在实数集上递增，由()2422f==和xR时，()2()2fxfx=，根据函数的单调性可解.【详解】解：容易作出函数22(0)()(0)xxfxxx=−的图象如下，

显然函数()fx在xR上递增，又()2422f==，所以()()()242211fxffx−−，所以2,221212xx−−−，所以1322x−()()()220,2222xfxxxfx===；()()()220,222

2xfxxxfx=−=−=所以xR时，()2()2fxfx=，()()222()(4)24fxfxfxfx−−，所以2224,240xxxx−+−，()()2220xx+−，所以2x或22x−.故答案为：1322xx−

；2xx或22x−..【点睛】考查利用函数的单调性解函数型不等式，解答的关键一是要考查函数的单调性，二是能把函数值找到对应的自变量的值，中档题.15.4名女生与3名男生站成一排，最左端站女生，最右端站男生，且男生

互不相邻的站法共__________种．【答案】432【解析】【分析】首先全排男生，再选出两名女生捆绑在一起，接着将女生插入男生空出的前三个空即可.【详解】由题知符合题意得站法为：女女男女男女男，女男女女男女男，女男女男女女男，首先全排男生，共有33A种情况，再选出两名女生

捆绑在一起，共有24A中情况，将女生插入男生空出的前三个空，共有33A种情况.故所有的排法有323343432AAA=.故答案为：432【点睛】本题主要考查排列中的互不相邻问题，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题.16.如图，过原点O的直线AB交椭圆2222

:1(0)xyCabab+=于A，B两点，过点A分别作x轴、AB的垂线AP．AQ交椭圆C于点P．Q，连接BQ交AP于一点M，若45AMAP=，则椭圆C的离心率是__________．【答案】255【解析】【分析】先设出,AQ

两点的坐标分别为()()1122,,,AxyQxy，由此可得()()1111,,,BxyPxy−−−，而则45AMAP=得113(,)5Mxy−，再由ABAQ⊥，和B，M，Q三点共线可得222221211()5yyxx−=

−−，而,AQ两点在椭圆上，把其坐标代入椭圆方程中，两方程作差得22221212220xxyyab−−+=，由此可得2215ba=，从而可求出离心率.【详解】设()()1122,,,AxyQxy），则()()1111,,,BxyPxy−−

−，113(,)5Mxy−由ABAQ⊥，则1211211yyyxxx−=−−，再由B，M，Q三点共线，则1211215yyyxxx+=+，故2121212115yyxxxxyy+−=−+−，故即222221211()5yyxx−

=−−，又因为2211221xyab+=，2222221xyab+=，即22221212220xxyyab−−+=，所以2215ba=，故椭圆C的离心率是255．故答案为：255【点睛】此题考查椭圆的简单几

何性质，求椭圆的离心率，考查运算能力，利用了数形结合的思想，属于中档题.17.如图，在ABC中，90ACB=，12BC=，9AC=，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．设DAa=，DBb=，DCc=，则ac的最大值是_______；2|

|3||ab+的最小值是__________．【答案】(1).90(2).1210【解析】【分析】设P为AC中点,利用2222|||||2|||44cacaDPACac+−−−==uuuruuurrrrrrr，将求ac最大值转化为求||DPuuur最大，

根据圆的性质可得结果；在线段AC上取一点M，使得||4CM=，将2||3||ab+转化为3(||||)DMb+uuuurr，再根据三角形性质得2||3||ab+最小值为3||BMuuur，计算即得结果

.【详解】设P为AC中点,因为2222|||||2|||44cacaDPACac+−−−==uuuruuurrrrrrr222294(6)94(||6)929044PC+−+−==，当点D在线段AC的延长线上取“=”；所以ac的最大值是90在线段AC上取一点M，使得||4CM=，则||2|

|3DMa=又因为22||3||3(||||)3abab+=+rrrr3(||||)3||DMbBM=+2231241210=+=，当D，M，B三点共线时取“=”．所以2||3||ab+的最小值是1210故答案为：90，1210【点睛】本题考

查转化法求向量数量积、构造法求向量的模、点与圆位置关系，考查数形结合思想方法以及简单计算能力，属较难题.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.在ABC中，A，B，C所对

的边为a，b，c，已知2sinabA=，bc．（1）求角B；（2）已知函数()sin2cosfxxx=+，当()fA最大值时，求sinC．【答案】（1）30B=；（2）251510+.【解析】【分析】（1）由正弦定理将已知等式边化角，得到sinB，结合边角关系，即可求解；（

2）根据辅助角公式，将()fx化为正弦型函数，利用(A)f最大值，求出角A三角函数值，由（1）的结论和两角和正弦公式，即可求出结论.【详解】（1）2sinabA=，即sin2sinsinABA=，0,sin0AA，故1sin2B=，,02bcB，则30B=；（2）5

25()25()sincossino55csAAAfAA=+=+5255sin()(cos,sin)55A=+==因为5(0,)6A，所以当()fA最大值时，有2A=−，故5sin5A=，25cos5A=则sinsin()sincoscos

sinCABABAB=+=+532512515525210+=+=．【点睛】本题考查正弦定理、三角恒等变换以及三角函数的性质解三角形，注意非特殊角三角函数值运算，属于中档题.19.在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，//ADBC，90

ABC=，90APB=．（1）证明：APPC⊥﹔（2）设5AB=，24APBCAD===，求直线CB与平面PCD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）6109109.【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可证得BC⊥平面PAB，再由线面垂直的性质和判定可得证；（2）

建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求解方法可得答案.【详解】（1）因为平面PAB⊥底面ABCD，90ABC=，所以BC⊥平面PAB，即BCAP⊥，又因为APPB⊥，且PBBCB=，故AP⊥平面PBC，所以APPC⊥；（2）如下图，作PMAB⊥于M，则建立空间直角坐标

系Mxyz−，在则12(0,0,)5P，9(0,,0)5B，9(4,,0)5C，16(2,,0)5D−，则()4,0,0CB=−，()2,5,0CD=−−，9124,,55CP=−−设平面PDC的法向量为(,,)mxyz=，则00CDmCPm==

，即250209120xyxyz+=+−=，(30,12,41)m=−，所以6109cos,109CBm=，即直线CB与平面PCD所成角的正弦值为6109109．【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面垂直关系的判定和性

质，运用向量法求解线面角的问题，属于中档题.20.已知数列na的前n项和为nS，已知12a=，()()*163212,nnSnannnnN+=−++．（1）求数列na的通项公式；（2）证明：1211156naaa+++．【答案】（1

）22nan=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先根据和项与通项关系得12(2)1nnaannn+−=+，再根据等差数列定义以及通项公式得2nann=，即得结果；（2）先利用放缩得22111111()22(1)411n

annnn==−−−+，（3n），再利用裂项相消法证得结果.【详解】解：（1）因为1632(1)(2)nnSnannn+=−++，所以()()()–1631212)1(nSnannnnn=−−−+，故1(1)2(1)nnnanann+−+=+，即12

(2)1nnaannn+−=+，又因为28a=，所以21221aa−=，故nan为等差数列，即2nann=，亦即22nan=；（2）显然1211115286aa+=+当3n时，22111111()22(1)411nannnn=

=−−−+，故12111111111111284243511naaann+++++−+−++−−+LL1111111111115284231284236nn=++++−−+++=+L【

点睛】本题考查利用和项与通项关系求通项、等差数列定义与通项公式、放缩法证不等式、裂项相消法求和，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.21.如图，已知抛物线2:4Exy=上不同的两点()11,Axy，()22,Bxy，关于直线:5lykx=+对称，记l与y轴交于点C．（1）若

124xx+=−，求k的值；（2）求ABC面积的最大值．【答案】（1）1k=；（2）6439.【解析】【分析】（1）先由题意，设直线AB的方程为1yxbk=−+，与抛物线联立，根据韦达定理，以及题中条

件，即可得出结果；（2）根据（1）中联立后的结果，由弦长公式，以及点到直线距离公式，求出点C到AB的距离2121dk=+，2211||413ABkk=+−，根据三角形面积公式，得到2211413Skk=+−

，令213tk−=，则24(4)Stt=−，用导数的方法求最值，即可得出结果.【详解】（1）由题意，可设直线AB的方程为1yxbk=−+，联立方程组214yxbkxy=−+=，得2440xxbk+−=，故1

244xxk+=−=−，所以1k=；（2）由（1）知，124xxk+=−，124xxb=−1212214()22yyxxbbkk+=−++=+，则线段AB的中点坐标为222,bkk−+，所以2225bkkk+=−+，即223bk=−亦即直线AB的方程为2123yxkk=−

+−，124xxk+=−，122812xxk=−，，所以点C到AB的距离为2121dk=+，()2121222222111611||14116413ABxxxxbkkkkk=++−=++=+−，故ABC面积2211413Skk=+−令21

3tk−=，则24(4)Stt=−，令3()416(03)ftttt=−+，则()21216ftt=+−，易知()ft在20,3上递增，在2,33递减，故max2643()93ftf==，即当235k=时，A

BC面积有最大值6439．【点睛】本题主要考查直线与抛物线的应用，求抛物线中的三角形面积问题，涉及导数的方法求最值，属于常考题型.22.设函数2()2(1)1fxaxaxa=−++−，2()(24)lngxxxx=−．（1）若()fx在()0,2上仅有一个零点，求a的取值范

围；（2）若5a，试讨论方程()()fxgx=在(0,)+上的根的个数．【答案】（1）15a；（2）3个相异实根.【解析】【分析】（1）分类讨论，根据函数零点存在定理即可得到答案.（2）首先令()()()hxgxfx=−，利用导数求出函数的单调区间，再根据函数

的最值即可得到答案.【详解】（1）当0a=时，()21fxx=−−，不符题意，当0a时，()()020ff，即()()150aa−−，故15a．当1a=时，则2()4fxxx=−，不符题意，当5a=时，则2()5124fx

xx=−+，其零点为2x=或25x=，满足题意.综上，a的取值范围是15a；（2）令22()()()(24)ln2(1)1hxgxfxxxxaxaxa=−=−−++−+，则1()4(1)ln()2xahxx−=−+因为5a，所以12

2a−−，故1221aee−−，所以当12axe−−时，()0hx，当121axe−−时，()0hx，当01x时，()0hx，即知()hx在()0,1上递增，在12(1,)ae−−上递减，

在12(,)ae−−+上递增，且有()13h=，2211111222221242(1)12aaaaaaheeeaeaea−−−−−−−−−−−=−−−++−+

212520aae−−=−−−，故()hx在12(1,)ae−−上存在唯一的零点，令1()ln1mxxx=+−，则211()mxxx=−，易知()mx在()0,1上递减，在(1,)+上递增，故()()10mxm=，即1ln1xx−所

以当()0,1x时，221()(24)(1)2(1)1hxxxaxaxax−−−++−+2(2)(1)30ax=−−+，得3012xa−−，故存在13012xa−−，使得()10hx，所以()hx在()0,1上也存在唯一的零点，

取1222aaxee−−=，2222()()(24)2(1)12aaaaaahxheeeaeaea==−−++−+221aea=−+又因为1xex+在(0,)+上恒成立，故22()212(1)1302aahxeaa=−++−+=，同样可知()hx在12,ae−−+

上仍存在唯一的零点综上，当5a时，方程()()fxgx=在(0,)+上恒有3个相异实根．【点睛】本题第一问考查函数的零点，第二问考查利用导数研究函数的最值，同时考查函数与方程的转化思想，属于难题.