【文档说明】新人教版高中数学教材例题课后习题 必修二 6-3-2平面向量的坐标表示 Word版含解析.docx，共(15)页，828.673 KB，由小赞的店铺上传

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6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示例3如图6.3-10，分别用基底,ij表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标.解：由图6.3-10可知，1223aAAAAij=+=+，所以()2,3a=r.同理，()232,3ijb=−+=−，()232,3cij=

−−=−−，()232,3dij=−=−.6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示例4已知()2,1a=r，()3,4b=−，求ab+，ab−的坐标.解：()()()2,13,41,5ab+=+−=−，()()()2,13,45,3ab−=−−=−.例5如图6.

3-13，已知ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是()2,1−，()1,3−，()3,4，求顶点D的坐标.解法1：如图6.3-13，设顶点D的坐标为(),xy.因为()()()12,311,2AB=−−−−=，()3,4DCxy=−−，又ABDC=，所以()()1,23,4xy=−−

.即13,24,xy=−=−解得22xy==，所以顶点D的坐标为()2,2.解法2：如图6.3-14，由向量加法的平行四边形法则可知BDBABC=+()()()()21,1331,43=−−−−+−−−()3,1=−，而ODOBBD=+()()1,3

3,1=−+−()2,2=.所以顶点D的坐标为()2,2.练习1.在下列各小题中，已知向量a，b的坐标，分别求,abab+−的坐标：（1）(2,4)a=−，(5,2)b=；（2）(4,3)a=，(3,8)b=−；（3）(2,3

)a=，(2,3)b=−−；（4）(3,0)a=，(0,4)b=．【答案】（1）(3,6)；(7,2)−．（2）(1,11)；(7,5)−．（3）(0,0)；(4,6)．（4）(3,4)；(3,4)−．【解析】【分析】根据向量的坐标运算法则计算可得.【详

解】解：（1）(2,4)(5,2)(25,42)(3,6)ab+=−+=−++=；(2,4)(5,2)(25,42)(7,2)ab−=−−=−−−=−．（2）(4,3)(3,8)(43,38)(1,11)ab+=+−=−+=；(4,3)(3,8)(43

,38)(7,5)ab−=−−=+−=−．（3）(2,3)(2,3)(22,33)(0,0)ab+=+−−=−−=；(2,3)(2,3)(22,33)(4,6)ab−=−−−=++=．（4）(3,0)(0,4)(30,04)

(3,4)ab+=+=++=；(3,0)(0,4)(30,04)(3,4)ab−=−=−−=−．【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．2.在下列各小题中，已知A，B两点的坐标，分别求AB，BA的坐标：（1）(3,5),(6,9)AB；（2）(3,4),(6,3)AB−；（3

）(0,3),(0,5)AB；（4）(3,0),(8,0)AB．【答案】（1）(3,4)AB=；(3,4)BA=−−．（2）(9,1)AB=−，(9,1)BA=−．（3）(0,2)AB=；(0,2)BA=−．（4）(5,0)AB=；(5,0)BA=−．【解析】【分析】根据向

量的坐标求法，向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标.【详解】解：（1）(3,5)A,(6,9)B(6,9)(3,5)(3,4)AB=−=；(3,5)(6,9)(3,4)BA=−=−−．（2）(3,4)A−，(6,3)B(6,3)(3,4)(9,1)AB=−−=−；(3,4)(

6,3)(9,1)BA=−−=−．（3）(0,3)A，(0,5)B(0,5)(0,3)(0,2)AB=−=；(0,3)(0,5)(0,2)BA=−=−．（4）(3,0)A，(8,0)B(8,0)(3,0)(5,0)AB

=−=；(3,0)(8,0)(5,0)BA=−=−．【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题.3.若点(0,1)A，(1,0)B，(1,2)C，(2,1)D，则AB与CD有什么位置关系？证明你的猜想．【答案】平行，证明见解析【解析】【分析】求出AB，CD

的坐标，即可判断AB，CD的关系，得到AB与CD的位置关系.【详解】解：//ABCD．证明如下：因为(1,1)AB=−，(1,1)CD=−，所以ABCD=．又因为AB与CD不共线，所以//ABCD．【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量共线

的判定，属于基础题.6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示例6已知()2,1a=r，()3,4b=−，求34ab+的坐标.解：()()32,314344,ab+=+−()()6,312,16=+−()6,19=−.例7已知()4,2a

=，()6,by=，且//abrr，求y.解：因为//abrr，所以4260y−=.解得3y=.例8已知()1,1A−−，()1,3B，()2,5C，判断A，B，C三点之间的位置关系.解：在平面直角坐

标系中作出A，B，C三点（图6.3-15）.观察图形，我们猜想A，B，C三点共线.下面来证明.因为()()()()11,312,4AB=−−−−=，()()()()21,513,6AC=−−−−=，又26430−=，所以//

ABACuuuruuur.又直线AB，直线AC有公共点A，所以A，B，C三点共线.例9设P是线段12PP上的一点，点1P，2P的坐标分别是()11,xy，()22,xy.（1）当P是线段12PP的中点时，求点P的坐标；（2）当P是线段12PP的一个三等分点时，求点P的坐标.解：（1）如图6.

3-16，由向量的线性运算可知()1212121,222xxyyOPOPOP++=+=.所以，点P的坐标是1212,22xxyy++.（2）如图6.3-17，当点P是线段12PP的一个三等分点时，有两种情况，即1212PPPP=或212PPPP=.如果1212PP

PP=（图6.3-17（1）），那么1111213OPOPPPOPPP=+=+()12112121333OPOPOPOPOP=+−=+121222,33xxyy++=，即点P的坐标是121222,3

3xxyy++.同理，如果212PPPP=（图6.3-17（2）），那么点P的坐标是121222,33xxyy++.练习4.已知(3,2)a=，(0,1)b=−，求24ab−+，43ab+的坐标．【答案】（-6，-8），（12,5）【解析】【分析】根据向

量的坐标运算法则计算即可．【详解】解：(3,2)a=，(0,1)b=−242(3,2)4(0,1)(6,4)(0,4)(6,8)ab−+=−+−=−−+−=−−；434(3,2)3(0,1)(12,8)(0,3)(12,5)ab+=+−=+−=．【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于基

础题．5.当x为何值时，(2,3)a=与(,6)bx=−共线？【答案】4x=−【解析】【分析】根据向量共线的充要条件得到关于x的方程，解得.【详解】解：(2,3)a=，(,6)bx=−，//abrr2(6)30x−−=，解得4x=−时，4x=−时，a与b共线．【点睛】本题考查共线向量基本定理

的应用；如果()()()1122,,,0axybxyb==共线，那么存在唯一的，使λab=成立或12210xyxy−=，属于基础题．6.若点(2,3)A−−，(2,2)B，(1,3)C−，(7,4.5)D−−，则AB与CD是否共线？【答案】共线【解析】【分析】首先求出AB

与CD的坐标，再根据平面向量共线定理判断即可.【详解】解：(2,3)A−−，(2,2)B，(1,3)C−，(7,4.5)D−−()()()2,22,34,5AB=−−−=，()()()7,4.51,36,7

.5CD=−−−−=−−．∵4(7.5)5(6)30300−−−=−+=，∴AB与CD共线．【点睛】本题考查平面向量共线定理的应用，属于基础题.7.求线段AB的中点坐标：（1）(2,1),(4,3)AB；（2）(

1,2),(3,6)AB−；（3）(5,4),(3,6)AB−−．【答案】（1）(3,2)（2）(1,4)（3）(4,5)−【解析】【分析】根据中点坐标公式，若()11,Axy、()22,Bxy，则AB的中点坐

标为1212,22xxyy++，计算可得【详解】解：（1）(2,1),(4,3)AB2432x+==，1322y+==，∴AB的中点坐标为(3,2)；（2）(1,2),(3,6)AB−1312x−+==，2642y+

==，∴AB的中点坐标为(1,4)；（3）(5,4),(3,6)AB−−5342x+==，4652y−−==−，∴AB的中点坐标为(4,5)−．【点睛】本题考查中点坐标公式的应用，属于基础题.8.已知点(0,0)

O，向量(2,3)OA=，(6,3)OB=−，点P是线段AB的三等分点，求点P的坐标．【答案】14,13−或10,13【解析】【分析】(4,6)AB=−．由于点P是线段AB的三等分点，可得

13APAB=，或者23APAB=．即可得出．【详解】解：(2,3)OA=，(6,3)OB=−(4,6)ABOBOA=−=−．点P是线段AB的三等分点，14,233APAB==−，或者28,433APAB==−．()141

02,3,2,1333OPOAAPOAAB=+=+=+−=，或()8142,3,4,13332OPOAAPOAAB=+=+=+−=−．14,13P−或10,13P

．∴P点的坐标为14,13−或10,13．【点睛】本题考查了向量的线性运算、线段的三等分点，属于基础题．6.3.5平面向量数量积的坐标表示例10若点()1,2A，()2,3B，()2,5C−，则ABC是什么形状？证明

你的猜想.解：如图6.3-19，在平面直角坐标系中画出点A，B，C，我们发现ABC是直角三角形.证明如下：因为()()21,321,1AB=−−=，()()21,523,3AC=−−−=−，所以()13130ABAC=

−+=..于是ABAC⊥.因此，ABC是直角三角形.例11设()5,7a=−，()6,4b=−−，求ab及a，b的夹角（精确到1°）.解：()()()5674ab=−+−−3028=−+2=−.因为()225774a=+−=

，()()226452b=−+−=，所以用计算器计算可得2cos0.037452abab−==−.利用计算器中的“1cos−”键，得92.例12用向量方法证明两角差的余弦公式()coscoscossinsin−=+.证明：如图6.3-20，在平面直角坐

标系xOy内作单位圆O，以x轴的非负半轴为始边作角，，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B.则()cos,sinOA=，()cos,sinOB=.由向量数量积的坐标表示，有coscossinsinOAOB

=+.设OA与OB的夹角为，则coscosOAOBOAOB==.所以coscoscossinsin=+.另一方面，由图6.3-20（1）可知，2k=++；由图6.3-20（2）可知，2k=+−.于是2k−

=，kZ.所以()coscos−=.于是()coscoscossinsin−=+.练习9.已知(3,4)a=−，(5,2)b=，求||a，||b，abvv．【答案】5a=，29b=，7ab=−【解析】【分析】根据向量坐标运算求解即可.【详解】解：2

2||(3)45a=−+=,22||5229b=+=,(3)5427ab=−+=−．【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算公式,属于基础题型.10.已知(2,3),(2,4),(1,2)abc==−=−−．求2,()(),(),()ab

abababcab+−++．【答案】8,()()7ababab=+−=−，2()0,()49abcab+=+=【解析】【分析】根据向量的运算法则以及向量坐标的运算求解即可.【详解】解：2(2)348ab=−+=,()222222()()2+3247ababab+−=−=−−−

=−,()()()()2,33,223320abc+=−=−+=,()()2()0,70,749ab+==【点睛】本题主要考查了向量的运算法则以及向量坐标的运算,属于基础题型.11.已知(3

,2),(5,7)ab==−，利用计算工具，求a与b的夹角（精确到1°）．【答案】88【解析】【分析】根据向量的坐标运算求解即可.【详解】解：∵1,||13,||74abab===,∴1cos0.0

3224||||1374abab==．又∵0180剟,∴88．【点睛】本题主要考查了向量的夹角运算,属于基础题型.变式练习题12.已知点A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量AB与CD平行吗？直线AB平行于直线CD吗？【答案】向量AB

与CD平行，直线AB与CD平行【解析】【分析】求出,CABD的坐标，利用共线向量的坐标表示即可判断，然后计算AC坐标，判断点A，B，C是否共线得解.【详解】因点A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，则AB=(2，4)，CD=(1，2)，显然有2×2-

1×4=0，于是得AB∥CD，因AC=(2，6)，而AB=(2，4)，即有2×4-2×6≠0，则AC与AB不平行，即点A，B，C不共线，因此，AB与CD不重合，所以直线AB与CD平行.13.已知(0,0)

O，(1,2)A，(4,5)B，()OPOAtABtR=+．（1）t为何值时，点P在x轴上？t为何值时，点P在y轴上？（2）四边形OABP能否构成一个平行四边形？若能，求t的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）23t=−；13t=−（2）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）求出

P点坐标，根据P的位置列方程或不等式得出答案；（2）令OPAB=列方程组，根据方程组是否有解得出结论．【小问1详解】解：因为(0,0)O，(1,2)A，(4,5)B，所以(1,2)OA=，()()()4,51,23,3AB=−=所以()()()1,23

,331,32OPOAtABttt=+=+=++,(31,32)Ptt++，若P在x轴上，则320t+=，即23t=−；若P在y轴上，则310t+=，即13t=−；【小问2详解】解：假设四边形OABP为平行四边形，则OBOAOP=+，(3,

3)OPOBOAAB=−==，313323tt+=+=，不等式组无解，四边形OABP是不可能为平行四边形．14.设k为实数，若向量(),12OAk=uur，()4,5OB=uuur，()10,OCk=uuur，当k为何值时

，A，B，C三点共线？【答案】k＝11或k＝－2.【解析】【分析】由题设得BA＝(k－4,7)、BC＝(6,k－5)，利用向量共线的坐标表示有(k－4)(k－5)－6×7＝0，求解即可.【详解】由题设，B

A＝OA－OB＝(k－4,7)，BC＝OC－OB＝(6,k－5)，令BA∥BC，得(k－4)(k－5)－6×7＝0，即k2－9k－22＝0，k＝11或－2.故当k＝11或－2时，A，B，C三点共线.15.已知向量()3,1a=，()2,bk=−．当k为何值时，a与b的夹角是钝角？【答案】k6

且23k−【解析】【分析】由条件可得0ab且,ab不共线，然后可建立不等式求解.【详解】因为a与b的夹角是钝角，所以0ab且,ab不共线，即60,32,kk−+−所以k6且23k−.16.设P是线段P1P2上的一点

，点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)．（1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．【答案】（1）1212,22xxyy++.（2）121222,33xxyy+

+或121222,33xxyy++.【解析】【分析】（1）根据()1212OPOPOP=+即可求出点P的坐标；（2）通过分类讨论，点P满足两种情况1212PPPP=或122PPPP=，然后利用向量加法的三角形法则即可求出答案.【小问1详解

】（1）如图，由向量的线性运算可知()1212121,222xxyyOPOPOP++=+=,所以点P的坐标是1212,22xxyy++.【小问2详解】当点P是线段P1P2的一个三等分点时，有两种情况，1212PPPP=

或122PPPP=，若1212PPPP=，如图(1)，那么()111121211211213333OPOPPPOPPPOPOPOPOPOP=+=+=+−=+121222(,)33xxyy++=，即点P的坐标是121222,33xxyy

++.同理，如果122PPPP=，如图(2)，那么点P的坐标是121222,33xxyy++.