【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题4.4 指数函数-重难点题型检测 Word版含解析.docx，共(12)页，141.187 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-47e80d159ce5af525ca6def46949ae4e.html

以下为本文档部分文字说明：

专题4.4指数函数-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2021秋•红岗区校级期末）下列各函数中，是指数函数的是（）A．y＝（﹣3）xB．y＝﹣3xC．

y＝3x﹣1D．y＝（13）x【解题思路】根据指数函数的定义，结合选项判断即可．【解答过程】解：根据指数函数的定义：形如y＝ax（a＞0，且a≠1）的函数叫做指数函数，结合选项从而可判断选项D正确．故选：D．2．（3分）（2021秋•湖州期中）某地国民生产总值每年平均比上一年增

长7%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【解题思路】由题意可知y＝1.07x（x≥0），由指数函数的单调性即可选出正确结果．【解答过程】解：由题意可得y＝（1+7%）x＝1.07x（x≥

0），由指数函数的单调性和图像可知，y＝1.07x在[0，+∞）上单调递增，且过点（0，1），故选：A．3．（3分）（2021秋•裕安区校级月考）若函数f（x）＝（12a﹣1）•ax是指数函数，则f（12）的值为（）A．

﹣2B．2C．﹣2√2D．2√2【解题思路】由指数函数的定义可求出a的值，得到函数f（x）的解析式，从而求出f（12）的值．【解答过程】解：∵函数f（x）＝（12a﹣1）•ax是指数函数，∴12𝑎−1=1，∴a＝4，∴f（x）＝4x

，∴f（12）=412=2，故选：B．4．（3分）（2022秋•绥滨县校级期中）函数y＝ax﹣2（a＞0且a≠1，﹣1≤x≤1）的值域是[−53，1]，则实数a＝（）A．3B．13C．3或13D．23或32【解题思路】当a＞0且a≠1时，函数为指数型函数，它的单调性与底数a的大

小有关，需要分情况进行讨论解决．当a＞1时，函数y＝ax﹣2（a＞0且a≠1，﹣1≤x≤1）是增函数；当0＜a＜1时，函数y＝ax﹣2（a＞0且a≠1，﹣1≤x≤1）是减函数．由此结合条件建立关于a的方程组，解之即可求得答案．【解答过程】解：当a＞1时，函数y＝ax﹣2（a＞0且a≠1，﹣1≤x

≤1）是增函数，∵值域是[a﹣1﹣2，a﹣2]，∴{1𝑎−2=−53𝑎−2=1⇒a＝3；当0＜a＜1时，函数y＝ax﹣2（a＞0且a≠1，﹣1≤x≤1）是减函数，∵值域是[a﹣2，a﹣1﹣2]，∴{1𝑎−2=1𝑎−2=−53⇒𝑎=13．综上

所述，可得实数a＝3或13故选：C．5．（3分）（2021秋•姜堰区校级期中）已知𝑎=(32)−0.3，𝑏=1.10.7，𝑐=(23)13，将a，b，c按照从小到大的顺序排列为（）A．c，b，aB．b，a，cC．c，a，bD．b，c，a【解题思路】结合指数函数的单调性即可比较函数值的大小

．【解答过程】解：a＝（32）﹣0.3＝（23）0.3∈（0，1），c＝（23）⬚13∈（0，1）且（23）0.3＞（23）⬚13，b＝1.10.7＞1，所以b＞a＞c．故选：C．6．（3分）（2021秋•平罗县校级期中）如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图像，则下列结

论正确的是（）A．0＜a＜b＜1＜c＜dB．0＜b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜dD．0＜a＜b＜1＜d＜c【解题思路】作直线x＝1，根据直线x＝1与四个指数函数图像交点的纵坐标即可判断出a，b，c，d的大小关系．【解答过程】解：作直

线x＝1与四个指数函数图像交点的坐标分别为（1，a），（1，b），（1，c），（1，d），由图像可知纵坐标的大小关系为0＜b＜a＜1＜d＜c，故选：B．7．（3分）（2021春•昌吉州期末）若函数𝑓(𝑥)=𝑎2𝑥2−3𝑥+1在（1，3）上是增函数，则关于x的不等式ax﹣1＞1的解

集为（）A．{x|x＞1}B．{x|x＜1}C．{x|x＞0}D．{x|x＜0}【解题思路】根据二次函数的单调性以及复合函数的单调性求出x的范围即可．【解答过程】解：y＝2x2﹣3x+1的对称轴是x=34，开口向上，故函数在（1，3）递增，而f（x）在

（1，3）递增，根据复合函数同增异减的原则，a＞1，则ax﹣1＞1＝a0，故x﹣1＞0，解得：x＞1，故选：A．8．（3分）（2021秋•自贡期末）函数𝑓(𝑥)=(13)𝑥+1对于定义域内任意x1，x2（x1≠x2），下述四个结论中．①f（0）＝

2；②f（x1）f（x2）＝f（x1+x2）；③𝑓(𝑥1+𝑥22)＜𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)2；④𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2＜0．其中正确的个数是（）A．4B．3C．2D．1【解题思路】直接把x＝0代入f（x）解析式可判断①的正误，利用有理

数指数幂的运算性质可判断②的正误，由基本不等式可判断③的正误，由指数函数y=(13)𝑥的单调性可判断④的正误．【解答过程】解：对于①，f（0）=(13)0+1＝2，故①正确，对于②，∵f（x1）f（x2）＝[(13)𝑥1+1][(13)𝑥2+1]=(13)

𝑥1+𝑥2+(13)𝑥1+(13)𝑥2+1，f（x1+x2）=(13)𝑥1+𝑥2+1，∴f（x1）f（x2）≠f（x1+x2），故②错误，对于③，由于(13)𝑥1＞0，(13)𝑥2＞0，且x1≠x2，∴𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)2=(13)𝑥1+1+(13)𝑥2

+12＞2+2√(13)𝑥1⋅(13)𝑥22=1+(13)𝑥1+𝑥22而𝑓(𝑥1+𝑥22)=(13)𝑥1+𝑥22+1，∴𝑓(𝑥1+𝑥22)＜𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)2，故③

正确，对于④，由y=(13)𝑥为R上的减函数可得，𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2=(13)𝑥1+1−(13)𝑥2−1𝑥1−𝑥2=(13)𝑥1−(13)𝑥2𝑥1−𝑥2＜0，故④正确，故正确的个数是3个，

故选：B．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2021秋•南关区校级期中）下列不等式中正确的有（）A．30.7＞30.8B．（25）0.2＞（25）0.3C．20.2＜30.2D．0.2⬚

⬚43＜25⬚⬚13【解题思路】利用指数函数的单调性比较选项A，B，利用幂函数的单调性比较选项C，D．【解答过程】解：对于选项A：因为函数y＝3x在R上单调递增，且0.7＜0.8，所以30.7＜0.30.8，故选项A错误，对于选项B：因为函数y=(25)𝑥在R上单调递减，且0.2＜0.3，所以

(25)0.2＞(25)0.3，故选项B正确，对于选项C：因为函数y＝x0.2在（0，+∞）上单调递增，且2＜3，所以20.2＜30.2，故选项C正确，对于选项D：因为0．243=0．22×23=0.0423，2513=523，且幂函数𝑦=𝑥23在（0，+∞）上单调递增，所以0.042

3＜523，故选项D正确，故选：BCD．10．（4分）（2021秋•沈阳期末）函数f（x）＝ax﹣b（a＞0且a≠1），图像经过二，三，四象限，则下列结论正确的是（）A．0＜ab＜1B．0＜ba＜1C．ab＞1D．ba＞1【解题思路】根据指数函数图象特点分析

可解决此题．【解答过程】解：若函数f（x）＝ax﹣b（a＞0且a≠1）的图像经过二，三，四象限，则0＜a＜1且b＞1，可知0＜ab＜1，ba＞1，∴AD对，BC错．故选：AD．11．（4分）（2021秋•运城月考）对于函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），g（x）＝ax2﹣x，在同一直角坐标系下的

图象可能为（）A．B．C．D．【解题思路】根据指数函数的性质，分0＜a＜1和a＞1两种情况对各选项进行验证即可得到结论．【解答过程】解：当a＞1时，f（x）＝ax是指数函数，单调递增，且图象过点（0，1），而g（x）＝ax2﹣x＝a（x−12𝑎）2−14𝑎，对称轴x

=12𝑎＜1，故A正确，B错误，当0＜a＜1时，f（x）＝ax是指数函数，单调递减，且图象过点（0，1），而g（x）＝ax2﹣x＝a（x−12𝑎）2−14𝑎，对称轴x=12𝑎＞12，故D正确，C错误，故选：AD．12．（4分）（2021秋•石家庄期末）下列结论中，正

确的是（）A．函数y＝2x﹣1是指数函数B．函数y＝ax2+1（a＞1）的值域是[1，+∞）C．若am＞an（a＞0，a≠1），则m＞nD．函数f（x）＝ax﹣2﹣3（a＞0，a≠1）的图象必过定点（2，﹣

2）【解题思路】A中，根据指数函数的定义判断函数y＝2x﹣1不是指数函数；B中，根据二次函数的图象与性质，求出函数y＝ax2+1的值域；C中，根据0＜a＜1时指数函数y＝ax单调递减，判断am＞an时m＜n；D中，根据指数

函数的图象与性质求出f（x）的图象过定点（2，﹣2）．【解答过程】解：对于A，根据指数函数的定义是y＝ax，（其中a＞1且a≠1），x是自变量，判断函数y＝2x﹣1不是指数函数，选项A错误；对于B，函数y＝ax2+1，当a＞1时，该函数的图象是抛物线，且开口向上，所以y＝ax2+

1的值域是[1，+∞），选项B正确；对于C，0＜a＜1时，指数函数y＝ax单调递减，由am＞an得m＜n，所以选项C错误；对于D，函数f（x）＝ax﹣2﹣3中，令x﹣2＝0，x＝2，y＝f（2）＝1﹣3＝﹣2，f（x）的图象必过定点

（2，﹣2），选项D正确．故选：BD．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022春•兴庆区校级期末）函数𝑦=(12)𝑥，(−3≤𝑥≤1)的值域是[12，8]．【解题思路】由题意，利用指数函数的单

调性，求得函数的值域．【解答过程】解：∵函数y=(12)𝑥在R上单调递减，﹣3≤x≤1，故当x＝1时，函数y取得最小值为12；当x＝﹣3时，函数y取得最大值为8，故函数的值域是[12，8]，故答案为：[12，8]．14．（

4分）（2022春•合肥期末）实数a＝0.50.6，b＝0.60.5，c＝20.5的大小关系为c＞b＞a．【解题思路】由题意利用指数函数、幂函数的单调性，得出结论．【解答过程】解：∵a＝0.50.6，b＝

0.60.5，c＝20.5，函数y＝x0.5是（0，+∞）上的增函数，2＞0.6，∴c＞b．∵y＝2x是R上的增函数，a＝0.50.6＝2﹣0.6，﹣0.6＜0.5，∴a＜c，即c＞a．∵y＝0.5x是R上的减函数，0.6＞0.

5，∴0.50.6＜0.50.5＜0.60.5，∴a＜b．综上可得，故答案为：c＞b＞a．15．（4分）若指数函数f（x）的图象过点（﹣2，4），则不等式𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥)＜52的解集是（﹣1，1）．【解题思路】设指数函数f（x）＝ax，由题意运用代入法可得a，即有（12）x+2x

＜52，化简整理，结合指数函数的单调性，即可得到所求解集．【解答过程】解：指数函数f（x）＝ax的图象过点（﹣2，4），可得a﹣2＝4，解得a=12，不等式𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥)＜52，即为（12）x+2x＜52，即为2•（2x）2﹣5

•2x+2＜0，化为12＜2x＜2，解得﹣1＜x＜1，则原不等式的解集为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．16．（4分）（2021秋•普宁市期末）已知a＞0且a≠1，函数f（x）＝ax﹣2﹣2的图像恒经过定点（m，n），正数b、c满足b+c＝m+n，则1𝑏+4𝑐的最小值为9．【解题思

路】先求出指数函数过定点（2，﹣1），得到b+c＝1，再利用基本不等式求最值即可．【解答过程】解：令x﹣2＝0，则x＝2，y＝﹣1，∴函数f（x）＝ax﹣2﹣2的图像恒经过定点（2，﹣1），∵函数f（x）＝ax﹣2﹣2的

图像恒经过定点（m，n），∴m＝2，n＝﹣1，∴b+c＝m+n＝1，∴1𝑏+4𝑐=（1𝑏+4𝑐）（b+c）=𝑐𝑏+4𝑏𝑐+5≥2√4+5＝9，当且仅当𝑐𝑏=4𝑏𝑐，即b=13，c=23

时取等号，则1𝑏+4𝑐的最小值为9，故答案为：9．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2021秋•阳春市校级月考）已知函数f（x）＝ax﹣1（x≥0）的图象经过点(4，18)，其中a＞0，且a≠1．（1）求a的值；（2）求函数y＝f（x）（x≥3）

的值域．【解题思路】（1）代入点列方程即可求解；（2）根据指数函数的单调性即可求值域．【解答过程】解：（1）由𝑎4−1=18，得𝑎=12；（2）由（1）知，𝑓(𝑥)=(12)𝑥−1，∵x≥3，∴x﹣1≥2∴0＜(12)𝑥−1≤(12)

2，即值域为(0，14]．18．（6分）（2022春•增城区期末）已知函数f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1）．（1）若f（x）图象过点（0，2），求b的值；（2）若函数f（x）在区间[2，3]上的最大值比最

小值大𝑎22，求a的值．【解题思路】（1）将点的坐标代入求出b的值；（2）分0＜a＜1与a＞1两种情况，根据函数单调性表达出最大值和最小值，列出方程，求a的值．【解答过程】解：（1）函数f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1），f（x）图

象过点（0，2），∴f（0）＝a0+b＝1+b＝2，解得b＝1；（2）当0＜a＜1时，f（x）在区间[2，3]上单调递减，此时f（x）max＝f（2）＝a2+1，f（x）min＝f（3）＝a3+1，∴a2+1﹣（a3+1）=𝑎22，解得a=12或a＝0（舍

），当a＞1时，f（x）在区间[2，3]上单调递增，此时f（x）min＝f（2）＝a2+1，f（x）max＝f（3）＝a3+1，∴𝑎3+1−(𝑎2+1)=𝑎22，解得a=32或a＝0（舍），综上，a的值

为12或32．19．（8分）（2022•永泰县校级开学）已知函数y＝（a﹣1）x是指数函数．（1）该指数函数的图象经过点（2，4），求函数的表达式；（2）解关于x的不等式：(1𝑎)|3𝑥−4|＞(1𝑎)3．【解题思路】（1）把点（2，4）代入函数解

析式，结合指数函数的定义可求a，进而可求函数解析式；（2）结合指数函数的单调性即可求解．【解答过程】解：（1）由题意得（a﹣1）2＝4且a﹣1＞0，所以a﹣1＝2，所以y＝2x；（2）由于a﹣1＞0且a﹣1≠1，即a＞1且a≠2，原不等式可转化为|3x﹣4|＜3，解得13＜x＜

73，故不等式的解集为{x|13＜x＜73}．20．（8分）（2022春•凉州区期末）已知指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），过点（2，4）．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，求实数m的取值范围．【解题思路】（Ⅰ）将点的坐标代入解析式，求出a的值，即

可得到答案；（Ⅱ）确定函数f（x）的单调性，然后将不等式变形为f（2m﹣1）＜f（m+3），利用单调性去掉“f”，求解即可．【解答过程】解：（Ⅰ）指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），过点（2，4），则4＝a

2，解得a＝2，所以f（x）＝2x；（Ⅱ）由①可知，f（x）＝2x，则f（x）在R上为单调递增函数，不等式f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，等价于f（2m﹣1）＜f（m+3），所以2m﹣1＜m+3，解得m＜4，所以实数m的取值范围为（﹣∞，4）．21

．（8分）（2021秋•五华区校级期中）已知函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，19）．（1）求a的值；（2）比较f（2）与f（b2+2）的大小；（3）求函数f（x）=𝑎𝑥2−2𝑥（x≥0

）的值域．【解题思路】（1）代值计算即可，（2）根据指数函数的单调性即可求出，（3）根据指数函数的单调性和二次函数函数的性质即可求出．【解答过程】解：（1）f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，19），∴a2=19，∴a=13．（2）∵

f（x）＝（13）x在R上单调递减，又2≤b2+2，∴f（2）≥f（b2+2），（3）∵x≥0，x2﹣2x≥﹣1，∴(13)𝑥2−2𝑥≤（13）﹣1＝3．∴f（x）的值域为（0，3]．22．（8分）（2021秋•攀枝花期

末）某药物研究所开发了一种新药，根据大数据监测显示，病人按规定的剂量服药后，每毫升血液中含药量y（微克）与时间x（小时）之间的关系满足：前1小时内成正比例递增，1小时后按指数型函数y＝max﹣1（m，a为常数，且0＜a＜1）图象衰减．如图是病人按规定的剂量服用该药物后，每毫升血

液中药物含量随时间变化的曲线．（Ⅰ）当a=14时，求函数y＝f（x）的解析式，并求使得y≥1的x的取值范围；（Ⅱ）研究人员按照M=𝑦𝑥的值来评估该药的疗效，并测得M≥√2时此药有疗效．若病人某次服药后测得x＝3时每毫升血液中的含药量为

y＝8，求此次服药有疗效的时长．【解题思路】（Ⅰ）根据图像求出解析式；令y≥1直接解出x的取值范围；（Ⅱ）先求出𝑎=√22(0＜𝑎＜1)，得到𝑓(𝑥)={16𝑥，0≤𝑥≤116×(√22)𝑥−1，𝑥＞1，根据单调性计算出𝑀≥√2的解集即

可．【解答过程】解：（Ⅰ）当0≤x≤1时，y与x成正比例，设为y＝kx，则16＝k×1⇒k＝16；所以m＝k＝16，当𝑎=14时，故𝑦=𝑓(𝑥)={16𝑥，0≤𝑥≤116×(14)𝑥−1，𝑥＞1，当0≤x≤1时

，令y≥1解得：𝑥≥116，∴116≤𝑥≤1，当x＞1时，令y≥1得：16×(14)𝑥−1≥1⇒(14)𝑥−1≥(14)2⇒𝑥≤3，∴1＜x≤3，综上所述，使得y≥1的x的取值范围为：[116

，3]．（Ⅱ）当x＝3时，y＝16a2＝8，解得𝑎=√22(0＜𝑎＜1)．所以𝑦=𝑓(𝑥)={16𝑥，0≤𝑥≤116×(√22)𝑥−1，𝑥＞1，则𝑀=𝑦𝑥={16，0≤𝑥≤116×(√22)�

�−1×1𝑥，𝑥＞1，令16×(√22)𝑥−1×1𝑥=√2(𝑥＞1)，解得x＝4，由单调性可知𝑀≥√2的解集为x∈[0，4]，所以此次服药产生疗效的时长为4小时．