【文档说明】2023届河南省五市高三第二次联考（二模）数学（理科）答案.pdf，共(7)页，530.377 KB，由管理员店铺上传

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高三数学（理科）参考答案第1页（共5页）2023年河南省五市高三第二次联考数学（理科）参考答案温馨提示：解答题解题方法不唯一。参考答案只给出了大致评分标准，阅卷老师请根据考生作答情况酌情细化给分。一、选择题：1.A2.D3．C4.B5.D6.C7.C8.B9.D10.C11.B1

2.A二、填空题：13.214.10115.632316.2三、解答题：17.证明：(1)由已知1211nnnaaa，得nnaa211整理为：111111nnaa，11na

为等差数列，公差1d，首项为1131a；............4分所以13121nnna，整理为：*12nnanNn，经检验，符合要求............6分（2）由（1）得：*12nnanNn．1222

nnTaaan，2244114(2)(2)(3)23nTnnnnn，............8分，114().33nSn即............12分18.解：（1）因为BC∥AD，∠ADC＝90°，AB＝

BC＝2DE，所以平面四边形ABCD为直角梯形．设AB＝BC＝2DE＝4a，因为∠ABC＝120°．所以在Rt△CDE中，323,4,tan,3DECDaECaECDDC所以∠ECD＝30°，又∠ADC＝∠BCD＝90°．所以∠BC

E＝60°，由EC＝BC＝AB＝4a，所以△BCE为等边三角形．又F是EC的中点，所以BF⊥EC，又BF⊥PC，EC，PC平面PEC，EC∩PC＝C，所以BF⊥平面PEC，而BF平面ABCE，故平面PEC⊥平面A

BCE.......................6分高三数学（理科）参考答案第2页（共5页）（2）在直角三角形PEC中，PE＝DE＝PF＝122ECa，取EF中点O，所以PO⊥EF．由（1）可知平面PEC⊥平面

ABCE，平面PEC∩平面ABCE＝EC．∴PO⊥平面ABCE，以O为原点，OC方向为y轴建立如图所示的空间直角坐标系．...........8分则P(0，0，3a)，A（23a，-3a，0），B（23a，a，0），C（0，3a，0），所以(2

3,3,3),(23,,3),(0,3,3)PAaaaPBaaaPCaa，设平面PAB的法向量(,,)mxyz，∴00mPAmPB

，即233302330axayazaxayaz，令x＝1得(1,0,2)m．设直线PC与平面PAB所成角为θ，则||sin||||mPCmPC222223

5512(3)(3)aaa．所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为55．......................12分19.解：（1）X可能取值为0，1，2，3，4，记甲答对某道题的概率为事件A，则32312121AP，则

32,4~BX，44210,1,2,3,433kkkPXKCk，则X的分布列为：X0123481181882781328116则38324XE..

....................6分（2）记事件iA为“甲答对了i道题”，事件iB为“乙答对了i道题”，其中甲答对某道题的概率为111(1)222pp，答错某道题的概率为111(1)(1)22pp，

则1212111()(1)(1)(1)222PACppp，22211()[(1)](1)24PApp，1614120BP，834143121CBP，所以甲答对题数比乙多的概率为：22

1001102021()()()()PABBBPABPABPABAA=83141161141161121222ppp=25793,64326416pp解得151p，P高三数学（理科）参考答案第3页（共5页）甲的亲友团助力的概率P的最小值

为51．......................12分20.解：（1）设0(4,)Ny，代入x2＝2py，得08yp，所以8||MNp，08||22ppNFyp．由题设得85824ppp，解得2p

（舍去）或2p，∴C的方程为24xy．......................4分（2）由题知直线l的斜率存在，设其方程为6ykx，由264ykxxy消去y整理得24240xkx，显然Δ＝16k2+96＞0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则12124

24xxkxx，抛物线在点211(,)4xPx处的切线方程为2111()42xxyxx，令1y，得21142xxx，可得点2114(,1)2xRx，......................7分由Q，F，R三点共线得kQF＝kFR，

所以222121111442xxxx，即221212(4)(4)160xxxx，整理得2212121212()4[()2]16160xxxxxxxx，所以22(24)4[(4)2(

24)]1616(24)0k，解得214k，即12k，故所求直线l的方程为162yx或162yx．......................12分21.解：（1）当12a时，21()cos2fxxx，则

()sinfxxx，设()()gxfx，则()cos10gxx在[,]22上恒成立，()gx在[,]22上单调递增，又(0)0g，..............2分高三数学（理

科）参考答案第4页（共5页）当[,0)2x时，()0fx，当(0,]2x时，()0fx，()fx在[,0)2x上单调递减，在(0,]2x上单调递增，2(0)1,()()228

fff，函数()fx的值域为2[1,]8......................4分（2）22()cos()()cos()fxxaxxaxfx，()fx在[,]22上为偶函数，函数()fx在[,]22上

恰有两个极小值点等价于函数()fx在(0,)2上恰有一个极小值点，设()()sin2hxfxxax，则()cos2hxxa，①当0a时，0xh，则()hx在(0,)2上单

调递减，0)0()(hxh，则0)(xf，()fx在(0,)2上单调递减，无极小值；②当21a时，0xh，则()hx在(0,)2上单调递增，00hxh，则0x

f，()fx在(0,)2上单调递增，无极小值；......................6分③当102a时，存在0(0,)2x，使得0()0hx，且当0(0,)xx时，()0hx，当0(,)2xx时，()

0hx，()hx在0(0,)xx上单调递减，在0(,)2xx上单调递增，(0)0h，0()0hx，又()12ha，()i当01a，即01a时，02h，0xf，此

时()fx在(0,)2上单调递减，无极小值；()ii当10a，即112a时，()02h，则存在0(,)2tx，使得()sin20(*)httat，且当(0,)xt时，()0hx，当(,)2xt时，()0hx，()fx在(0,)

t上单调递减，在(,)2t上单调递增，函数()fx在(0,)2上恰有一个极小值点2xt，此时0x是函数()fx的极大值点，当函数()fx在[,]22上恰有两个极小值点时a的取值范围为11(,)2；..............

........9分120xx，若221211()1()9fxxxx，则222224cos2419xaxx，由(*)知，22sin2xax，2222222418419axaxx

，整理可得22(31)(61)0xaa，又2110,(,)2xa，13a，高三数学（理科）参考答案第5页（共5页）存在13a，使得221211()1()9fxxxx成立．...........

...........12分22.（1）∵曲线C的参数方程为1cos1sinxy（为参数），消去参数可得：22(1)(1)1xy，∴曲线C的普通方程为22(1)(1)1xy，..................

....2分又∵直线l的极坐标方程为sin3cos10，且sin,cosyx，∴直线l的直角坐标方程为310,yx综上所述：曲线C的普通方程为222210xyxy；直线l的直角坐标方程为3

10xy..............................................5分（2）由（1）可知：直线l的直角坐标方程为310xy，即直线过点(0,1)P，斜率为3，倾斜角为π3，则可设直线l的参数方程

为12312xtyt（t为参数），将12312xtyt代入22(1)(1)1xy整理得：223140tt，设点,MN对应的参数分别为12,tt，判别式Δ0恒成立

，可得：12122310,40tttt，即120,0tt，∴1212231PMPNtttt....................10分23.（1）因为为正数，且3abc.据柯西不等式222

2222()(111)(111)9abcabc，所以2223abc，当且仅当1abc时，等号成立．...................5分（2）据柯西不等式21111119abcabcabcabc，

所以1113abc，当且仅当1abc时，等号成立．所以3m故m的最大值为3...................10分（注：23题亦可利用基本不等式证明.）,,abc获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com