【文档说明】“超级全能生”2020届高三第四次模拟考试数学（文）数文评分标准【高考】.pdf，共(6)页，264.655 KB，由小赞的店铺上传

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2019—2020学年度高三年级第四次模拟数学文科答案及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。选择题评分标准：选对得分，错选，多选，不选均不得分。12345678910111

2BADCACDAAABC二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。填空评分标准：按参考答案给分，结果必须化简，完全正确，写错、未化简、多写答案、少写答案均不给分。13.12或214.15415．①

③（选多或选不全不得分）16．－3±5三、解答题：共70分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。解答题评分标准（1）导函数：求单调区间过程要清楚，分类讨论各区间情

况需做到无遗漏。遗漏不给分。取值写成区间或者集合的形式，未写扣1分。（2）选做题：[极坐标方程]直角坐标方程转换需要过程，没有过程不得分。[解不等式]解集要写成集合或区间，未写扣1分。（3）具体步骤分参照答案解析，没有步骤只有答案均不给分。（4）试题有不同解法时，解法正确即可酌情给

分。17．解：(Ⅰ)当n≥2时，由Sn＝2Sn－1＋an－n2＋n得Sn－an＝2Sn－1－n2＋n，所以Sn－1＝2Sn－1－n2＋n，即Sn－1＝n2－n，(2分)所以Sn＝n2＋n，(3分)则an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n

－1)]＝2n，(4分)显然当n＝1时也成立，(5分)故数列{an}的通项公式an＝2n.(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知an2n＝n·12n－1，所以Tn＝1＋2×121＋3×122＋…＋n·12n－1，①(7分)把①式两边同时乘12得

12Tn＝12＋2×122＋3×123＋…＋n·12n，②(8分)由①－②得12Tn＝1＋12＋122＋123＋…＋12n－1－n·12n＝1－12n1－12－n·12n＝2－(n＋2)·12n，所以T

n＝4－2(n＋2)·12n.(10分)因为Tn＝4－2(n＋2)·12n在n∈N*上单调递增，且当n＝2时，Tn＝2，所以不等式Tn≥2的解集为{n|n≥2，n∈N*}．(12分)18．解：(Ⅰ)证明：由E是AB的中点，AB＝2，AD＝1，得DE＝CE＝2，(2分)所以

DE2＋CE2＝CD2，故CE⊥DE.(3分)因为ABCD－A1B1C1D1为长方体，所以D1D⊥平面ABCD.(4分)因为CE平面ABCD，所以D1D⊥CE.(5分)因为D1D∩DE＝D，DE，D1D平面D1DE，所以CE⊥平面D1DE.(6分)(Ⅱ)由题意

得BB1∥DD1，DD1平面D1DE，BB1平面D1DE，所以BB1∥平面D1DE，(8分)所以点B1到平面D1DE的距离等于点B到平面D1DE的距离，故V三棱锥B1－DED1＝V三棱锥B－DED1＝V三棱锥D1－BDE＝13S△BDE·DD1＝

13×12×1×1×3＝36，(11分)所以三棱锥B1－DED1的体积为36.(12分)19．解：(Ⅰ)设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则由抛物线的定义知1＋p2＝2，即p＝2，(2分)所以抛物线的方程为y2＝4x.(4分)(Ⅱ)解法一：由(Ⅰ

)知点P的坐标为(1，2)．当直线l的斜率不存在时，点A的坐标为(1，－2)，所以OA＋2OP＝(3，2)，故点C的坐标为(3，2)，显然不在抛物线上，故不成立；(6分)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程

为y－2＝k(x－1)，点A的坐标为(x1，y1)，联立y2＝4x，y－2＝k（x－1），得k2x2－(2k2－4k＋4)x＋k2－4k＋4＝0.(7分)要使直线与抛物线有两个不同的交点，显然k≠0，所以Δ＝(2k2－4k＋4)2－4

k2(k2－4k＋4)＝16(k－1)2>0，解得k≠1，(8分)则x1＋1＝2k2－4k＋4k2，即x1＝k2－4k＋4k2，故y1＝kx1－k＋2＝－2k＋4k，所以点A的坐标为k2－4k＋4k2，－2k＋4k，(10分)故OA＋2OP＝

(x1＋2，y1＋4)＝3k2－4k＋4k2，2k＋4k，故点C的坐标为3k2－4k＋4k2，2k＋4k.因为点C在抛物线上，所以（2k＋4）2k2＝4×3k2－4k＋4k2，因为k≠0且k≠1，所以k＝4，(11分)此时点C的坐标为94，3，直线l

的方程为y－2＝4(x－1)，即y＝4x－2.综上可知，存在过点P的直线l使得OC→＝OA→＋2OP→，直线l的方程为y＝4x－2.(12分)解法二：设点Ay204，y0，则由OC→＝OA→＋2OP→，得点C的坐标为y204＋2，y0＋4，(6分)把C点的坐标代入抛物

线方程解得y0＝－1，(8分)所以点A14，－1，C94，3，(10分)故直线l的方程为y－2＝4(x－1)，即y＝4x－2.综上可知，存在过点P的直线l使得OC→＝OA→＋2OP→，直线l的方程为y＝4x－2.(12分)20．解：(Ⅰ)解法一：由题图知数学平

均成绩在115分以下的学生占(0.01＋0.04＋0.05＋0.04)×5×100%＝70%，(1分)数学平均成绩在120分以下的学生占70%＋0.03×5×100%＝85%，(2分)因此第75百分位数一定位于[115，120

)内，故数学成绩的第75百分位数为115＋0.75－0.70.85－0.7×5≈116.67.(4分)解法二：设第75百分位数为x，则0.7＋(x－115)×0.03＝0.75，解得x≈116.67.(4分)(Ⅱ)把女生样本记为w1，w2，w3，…，w25，其数学平

均成绩记为w，方差记为s2w；把男生样本记为m1，m2，m3，…，m35，其数学平均成绩记为m，方差记为s2m；总体样本数学平均成绩为x，方差记为s2，则w＝109.6，s2w＝60.88，m＝112，s2m＝57.4，(6分)，(8分)(10分)所以

s＝2412≈7.75.(12分)21．解：(Ⅰ)由题意得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－lnxx2－1＝1－lnx－x2x2.(1分)令m(x)＝1－lnx－x2，x>0，则m′(x)＝－1x

－2x＝－2x2－1x(x>0)，所以m′(x)<0恒成立，函数m(x)在(0，＋∞)上单调递减．又因为m(1)＝0，(3分)所以当0<x<1时，m(x)>0，则f′(x)>0；当x>1时，m(x)<0，则f′(x)<0，所

以函数f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(5分)(Ⅱ)令h(x)＝f(x)－g(x)＝0得a＋1＝lnxx2，所以问题转化成直线y＝a＋1与函数φ(x)＝lnxx2的图象在(0，＋∞)上至少有一个交点，(6分)令φ′(x)＝1－2lnxx3＝0，解得x＝e，(7分)从

而函数φ(x)＝lnxx2在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，(8分)所以函数φ(x)＝lnxx2在(0，＋∞)上的最大值为12e，值域为－∞，12e，(10分)所以a＋1≤12e，即a≤1

2e－1，故实数a的取值范围为－∞，12e－1.(12分)22．解：(Ⅰ)将曲线C1的参数方程x＝2＋2cosα，y＝2sinα(其中α为参数)消参得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.将x＝ρcosθ，x2＋y2＝ρ2代入得曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ.

(3分)曲线C3：ρ＝8sinθ的直角坐标方程为x2＋(y－4)2＝16.(5分)(Ⅱ)由题意可知ρB＝8sinα，ρA＝4cosα，∵|AB|＝|ρB－ρA|，若ρA>ρB，则ρA－ρB≤4＜25，∴|ρB－ρA

|＝ρB－ρA，(7分)∴|AB|＝ρB－ρA＝8sinα－4cosα＝45sin(α－φ)，其中sinφ＝55，cosφ＝255.∵|AB|＝25，∴sin(α－φ)＝12.又∵α，φ均为锐角，∴cos(α－φ)＝32，(9分)∴sinα＝sin[(α－φ)＋φ]＝sin(α－φ)cosφ

＋cos(α－φ)sinφ＝25＋1510.(10分)23．解：(Ⅰ)因为|f(x)|＝||x＋m|－|x||≤|x＋m－x|＝|m|(当且仅当x(x＋m)≥0时等号成立)，(2分)所以要使|f(x)|≤12对任意x∈R恒成立，则|m|≤12，(4分)解得－12≤m≤12，所以m的取值范围为－

12，12.(5分)（写成集合形式同样给分）(Ⅱ)证明：|ab－1|2－|a－b|2＝a2b2－a2－b2＋1＝(a2－1)(b2－1)，(6分)由(Ⅰ)得0≤a2≤14，0≤b2≤14，(7分)故a2－1<0，b2－1<0，(8分)所以(a2－1)(b2－1)>

0，即|ab－1|2>|a－b|2，(9分)所以|ab－1|>|a－b|.(10分)