【文档说明】江苏省南通、扬州、2021届高三下学期4月第三次调研考试（三模） 数学含答案.docx，共(10)页，305.645 KB，由小赞的店铺上传

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2020～2021学年高三年级模拟考试卷数学(满分：150分考试时间：120分钟)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合A＝{x|log2(x－1)≤1}，B＝{x21－x≥12}，则A∩B＝()

A.(－∞，2]B.[1，2]C.(1，2]D.(1，3]2.已知复数z＝21＋i＋3i，则|z|＝()A.5B.5C.17D.3＋23.设a＝314，b＝log43，c＝414，则()A.c>b>aB.a>c>bC.c>a>bD.a>b>c4.已知点A(1，1)，B(

7，5)，将向量AB→绕点A逆时针旋转π2得到AC→，则点C的坐标为()A.(5，－5)B.(3，－7)C.(－5，5)D.(－3，7)5.“角谷猜想”最早流传于美国，不久传到欧洲，后来日本数学家角谷把它带到亚洲．该猜想是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再

加1；如果它是偶数，则对它除以2.如此循环，经过有限步演算，最终都能得到1.若正整数n经过5步演算得到1，则n的取值不可能是()A.32B.16C.5D.46.已知双曲线E:x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、

右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线E的左支上，且∠F1AF2＝120°，AF2＝2AF1，则双曲线E的离心率为()A.3B.5C.7D.77.在数1和3之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成等差数列，将这n＋2个数的和记为bn，则数列

log3bn＋1bn的前78项和为()A.3B.log378C.5D.log388.已知函数f(x)＝21nx－x2ex＋1.若存在x0>0，使f(x0)≥ax0，则a的最大值为()A.0B.－1C.1－eD.1－e2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在

每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．9.在△ABC中，M是BC的中点．若AB→＝a,AC→＝b，则|AM→|＝()A.12|a－b|B.12|a＋b|C.122（a2＋b2）－（a－b）2D.12a2

＋b210.在(2x2－1x)6的展开式中，下列说法正确的是()A.各项系数和为1B.第2项的二项式系数为15C.含x3项的系数为－160D.不存在常数项11.2021年3月30日，小米正式开始启用具备

“超椭圆”数学之美的新logo.设计师的灵感来源于曲线C：|x|n＋|y|n＝1，则下列说法正确的是()A.曲线C关于原点成中心对称B.当n＝－2时，曲线C上的点到原点的距离的最小值为2C.当n>0时，曲线C所围成图形的面积的最小值为πD.当n>0时，曲线C所围成图形的面积小于412.已

知菱形ABCD的边长为2,∠ABC＝π3，将△DAC沿着对角线AC折起至△D′AC，连接BD′.设二面角D′ACB的大小为θ，则下列说法正确的是()A.若四面体D′ABC为正四面体，则θ＝π3B.四面体D′

ABC的体积最大值为1C.四面体D′ABC的表面积最大值为2(3＋2)D.当θ＝2π3时，四面体D′ABC的外接球的半径为213三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，

b＝6，cosB＝513，则sinA＝__________．14.为了解某小区居民的家庭年收入x(万元)与年支出y(万元)的关系，随机调查了该小区的10户家庭，根据调查数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y＝bx＋a．已知x＝20,y＝16，b＝0.76.若该小区某

家庭的年收入为30万元，则据此估计，该家庭的年支出为__________万元．15.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x2，则直线y＝15x与函数y＝f(x)的图

象的交点的个数为________．16.若矩形ABCD满足ADAB＝5－12，则称这样的矩形为黄金矩形，现有如图①所示的黄金矩形卡片ABCD，已知AD＝2x，AB＝2y，E是CD的中点，EF⊥CD，FG⊥EF，且

EF＝FG＝x，沿EF，FG剪开，用3张这样剪开的卡片，两两垂直地交叉拼接，得到如图②所示的几何模型．若连接这个几何模型的各个顶点，便得到一个正________面体；若y＝2，则该正多面体的表面积为________．(本题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本题

共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)设各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，S7＝35，且a1，a4－1，a7成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列

{bn}满足bn＋bn＋1＝an，求数列{bn}的前2n项和T2n.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝3sin(2x＋φ)(－π2<φ<0)同时满足下列3个条件中的2个.3个条件依次是：①f(x)的图象关于点(π12

，0)对称；②当x＝5π12时，f(x)取得最大值；③0是函数y＝f(x)＋32的一个零点．(1)试写出满足题意的2个条件的序号，并说明理由；(2)求函数g(x)＝f(x)＋6cos2x的值域．19．(本小题满分12分)面对新一轮科技和产业革命带来的创新机遇，某企业对现有机床进行更新换代

，购进一批新机床．设机床生产的零件的直径为X(单位：mm).(1)现有旧机床生产的零件10个，其中直径大于124mm的有3个．若从中随机抽取4个，记ξ表示取出的零件中直径大于124mm的零件的个数，求ξ的概率分

布及数学期望E(ξ)；(2)若新机床生产的零件直径X～N(120，4)，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于124mm的概率．参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|≤σ)≈0.6827，P(|X－μ|≤2

σ)≈0.9545，P(|X－μ|≤3σ)≈0.9974，0.9772510≈0.7944，0.954510≈0.6277.20.(本小题满分12分)如图，A是以BD为直径的半圆O上一点，平面BCD⊥平面ABD，BC⊥BD

.(1)求证：AD⊥平面ABC；(2)若BD＝2BC＝2，AD＝2AB，求二面角ACDB的余弦值．21.(本小题满分12分)已知圆M：x2＋(y－52)2＝4与抛物线E：x2＝my(m>0)相交于点A，B，C，D，且在四边形ABCD中，AB∥CD.(1)若OA→·OD→＝154，求实数

m的值；(2)设AC与BD相交于点G，△GAD与△GBC组成蝶形的面积为S，求点G的坐标及S的最大值．21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝asin2x－3x.(1)若x＝π3是f(x)的一个极值点，试讨论f(x)在区间(0，π2)上的单调性；(2)设－2≤

a≤2，证明：当x≠0时，xf(x)＜0.2020～2021学年高三年级模拟考试卷(南通、扬州、泰州、淮安、徐州、宿迁、连云港)数学参考答案及评分标准1.C2.B3.C4.D5.B6.C7.A8.B9.BC10.AC11.ABD12.BCD13.81314.23.61

5.716.二十1203－401517.解：(1)设数列{an}的公差为d(d＞0)，则S7＝7a4＝35，即a4＝5，(1分)所以a1＝a4－3d＝5－3d，a7＝a4＋3d＝5＋3d.因为a1，a4－1，a7成等比数列，所以(a4－1)2＝a1a7，即42＝(5－3d)(5＋3d)，解得d

＝－1(舍去)或d＝1，(3分)所以an＝n＋1.(5分)(2)因为bn＋bn＋1＝an，所以T2n＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2n－1＋b2n)＝a1＋a3＋…＋a2n－1(8分)＝n（2＋2n）

2＝n2＋n.(10分)18.解：(1)满足题意的2个条件的序号为①③.(1分)由条件①知，3sin(2×π12＋φ)＝0，所以2×π12＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－π6(k∈Z).因为－π2＜φ＜0，所以φ＝－π6.(3分)由条

件②知，3sin(2×5π12＋φ)＝3，所以2×5π12＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，即φ＝2kπ－π3(k∈Z).因为－π2＜φ＜0，所以φ＝－π3.(5分)由条件③知，sinφ＝－12，即φ＝2kπ－π6或φ＝2kπ＋7π6(k

∈Z).因为－π2＜φ＜0，所以φ＝－π6.综上，满足题意的2个条件的序号为①③.(7分)(2)由(1)知，f(x)＝3sin(2x－π6)，所以g(x)＝3sin(2x－π6)＋6cos2x＝3(s

in2xcosπ6－cos2xsinπ6)＋6×1＋cos2x2＝332sin2x＋32cos2x＋3＝3sin(2x＋π6)＋3.(10分)因为－1≤sin(2x＋π6)≤1，所以0≤g(x)≤6，所以函数g(x)的值域为[0，6].(12分)19

.解：(1)由题知，ξ的可能取值为0，1，2，3，ξ～H(4，3，10).P(ξ＝0)＝C03C47C410＝16，P(ξ＝1)＝C13C37C410＝12，P(ξ＝2)＝C23C27C410＝310，P(ξ＝3)＝

C33C17C410＝130，(4分)所以ξ的概率分布为ξ0123P1612310130所以ξ的数学期望E(ξ)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝1.2.(6分)另法：因为ξ～H(4，3，10)，数学期望E(ξ)＝nMN＝4×310＝1.2.(7分)(2)记“至少有一个

零件直径大于124mm”为事件A，因为X～N(120，4)，所以μ＝120，σ＝2，(8分)所以P(X>124)＝1－P（|X－μ|≤2σ）2≈1－0.95452＝0.02275，所以P(X≤124)≈1－0.02275＝0.97725，(10分)所以P(A)＝1－0.9

772510≈1－0.7944＝0.2056.答：至少有一件零件直径大于124mm的概率为0.2056.(12分)20.(1)证明：因为平面BCD⊥平面ABD，平面BCD∩平面ABD＝BD，BC⊥BD，BC⊂平面BCD，所以BC⊥平面ABD.又AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.(2分

)因为A是以BD为直径的半圆O上一点，所以AB⊥AD.(4分)又AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.(6分)(2)解：在平面ABD上，过点O作Oy⊥BD，在平面BCD上，过点O作Oz∥BC，由(1)知，BC⊥平面ABD，建立如图所示的空间直

角坐标系Oxyz.因为BD＝2BC＝2，AD＝2AB，则A(12，32，0)，B(1，0，0)，C(1，0，1)，D(－1，0，0)，所以CD→＝(－2，0，－1)，DA→＝(32，32，0).设平面ACD的法向量为m＝(x，y，z)，则m·CD→＝－2x－z＝0，m·DA→＝32x＋32y

＝0，取x＝1，则y＝－3，z＝－2，所以m＝(1，－3，－2).(9分)因为y轴⊥平面BCD，所以平面BCD的一个法向量n＝(0，1，0).(10分)设二面角ACDB的平面角为θ，θ为锐角，则cosθ＝|cos〈m，n〉|＝|m·n|

m||n||＝|1×（－3）|12＋（－3）2＋（－2）2＝64，所以二面角ACDB的余弦值为64.(12分)21.解：(1)依据圆与抛物线的对称性，四边形ABCD是以y轴为对称轴的等腰梯形，不妨设AB<CD，A，D在第一象限，A(x1，y1)，D(x2，y2)，则B(－x1，y1)，

C(－x2，y2).联立x2＋（y－52）2＝4，x2＝my（m>0），消去x，得y2＋(m－5)y＋94＝0(*).方程(*)有互异两正根，所以Δ＝（m－5）2－9>0，y1＋y2＝5－m>0，y1y2＝94>0，解得0<m<2.(1分

)由OA→·OD→＝154，得x1x2＋y1y2＝154，即my1y2＋y1y2＝154.(3分)由y1y2＝94，得m＝1.(5分)(2)依据对称性，点G在y轴上，可设G(0，a).由kAG＝kAC，得y1－ax1＝y1－y2x1＋x2，所以y1－am·y1＝y1－y2m·

（y1＋y2）＝y1－y2m，则a＝y1y2＝32，即G(0，32).(8分)方法一：S＝S梯ABCD－(S△GAB＋S△GCD)＝(x1＋x2)(y2－y1)－[x1(a－y1)＋x2(y2－a)]＝x1

y2－x2y1＋a(x2－x1)＝m·y1y2(y2－y1)＋am(y2－y1)＝m(y2－y1)(y1y2＋a)＝3m·y1＋y2－2y1y2＝3m（2－m）(10分)≤3·m＋（2－m）2＝3.当且仅当m＝2－m，即m＝1时，S最大值为3.(12分)方法二：S2＝S△ABD－S△ABG＝

x1(y2－32)＝my1(y2－32)＝m(y1y2·y2－32y1)＝32m(y2－y1)＝32m·y1＋y2－2y1y2(10分)＝32m（5－m－3）＝32－（m－1）2＋1≤32，所以S≤3.当且仅当m＝1时，S最大值为3.(12分)22.解：(1)f′(x)＝2asi

nxcosx－3＝asin2x－3，由f′(π3)＝32a－3＝0，知a＝2，(2分)所以f′(x)＝2sin2x－3.令f′(x)>0，x∈(0，π2)，得π6<x<π3；令f′(x)<0，x∈(0，π2)，得0<x<π6或π3<x<π2，所以f(x)在(π6，π3)上单

调递增，在(0，π6)和(π3，π2)上单调递减．(4分)(2)(i)当0≤a≤2时，f(x)≤2sin2x－3x，设h(x)＝2sin2x－3x.①当0<x<π2时，由(1)知h(x)极大＝h(π3)＝32－33π<0，又h(0)＝0，所以h(x)<0，从而f(x

)<0.②当x≥π2时，f(x)≤h(x)≤2－32π<0.由①②知，当x>0时，f(x)<0(a)；(6分)当x<0时，f(x)≥－3x>0(b).由(a)(b)得，x≠0时，xf(x)<0.(8分)(ii)当－2≤a<0时，方法一：当x<0时，f(x)≥－2sin2x－3x，设g(x)＝－2s

in2x－3x，g′(x)＝－2(sin2x＋32).①当－π2<x<0时，由g′(x)＝0，得x1＝－π6，x2＝－π3，同理有g(x)极小＝g(－π3)＝－32＋33π>0，又g(－π2)>g(－π3)>0，g(0)＝0，所以g(x)>0，从而f(x)>0.(10分)②当x≤－π2时，f(x)

≥－2＋32π>0.由①②得，当x<0时，f(x)>0(c)；当x>0时，显然f(x)<0(d).由(c)(d)得，x≠0时，xf(x)<0.由(i)(ii)结论获证．(12分)方法二：则0<－a≤2，则g(x)＝－asin2x－3x，满足x≠0时，xg(x)<0.又y＝xf(

x)与y＝xg(x)的图象关于y轴对称，所以x≠0时，xf(x)<0.由(i)(ii)结论获证．(12分)