【文档说明】江苏省江阴市2022届上学期高三开学学情检测数学试卷 （答案解析x）.docx，共(16)页，1.243 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-475c0ae923222e847c340e3c7b290433.html

以下为本文档部分文字说明：

江阴市2021~2022学年第一学期高三年级开学学情检测数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A，B均为R的子集，A∩(CRB)＝A，则下面选项中一定成立的是()A．BAB．A∪B＝RC．

A∩B＝D．A＝CRB【答案】C【考点】集合的运算关系【解析】由题意，因为A∩(CRB)＝A，所以ACRB，则用Venn图表示如图所示，所以A∩B＝，其他选项不一定成立，故答案选C．2．若a，b是不共线的向量

，→AB＝λa＋b，→AC＝a＋μb，则A，B，C三点共线的充要条件是()A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1【答案】D【考点】平面向量的基本定理的应用【解析】由题意可知，→AB＝t→AC，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta

＋tμb，即可得λ＝t，1＝tμ，所以λμ＝1，故答案选D．3．函数f(x)＝2x－lnx－1的大致图像是()ABR【答案】B【考点】函数的图象识别与判断【解析】由题意可知，函数f(x)的定义域为(0，1)∪(1，＋)，设g(

x)＝x－lnx－1，则g(1)＝0，g′(x)＝1－1x，则函数g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋)上单调递增，所以g(x)＞g(1)＝0，所以函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋)上单调递减，且f(x)＞0，故答案选B

．4．已知变量x和y的统计数据如下表：x34567y2.5344.56根据上表可得回归直线方程为ŷ＝x－0.25，据此可以预测当x＝8时，ŷ＝()A．6.25B．6.45C．6.55D．6.4【答案】C【考点】线性回归方程的应用【解析】由题意，x-＝3＋4＋5＋6＋75＝5，y

-＝2.5＋3＋4＋4.5＋65＝5，则点(5，5)满足回归直线方程，代入解得＝0.85，所以当x＝8时，ŷ＝0.85×8－0.25＝6.55，故答案选C．5．若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是双曲线x23p－y2p＝1的一个焦点，则p＝()A

．2B．4C．8D．16【答案】D【考点】抛物线的几何性质【解析】由题意，p2＝3p＋p，解得p＝16，故答案选D．6．若cosα＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝()A．－12B．12C．2D．

－2【答案】A【考点】三角恒等变换【解析】由题意，因为cosα＝－45，α是第三象限的角，所以sinα＝－1－cos2α＝－35，则1＋tanα21－tanα2＝cosα2＋sinα2cosα2－sinα2＝1＋sinαcosα＝1－35－45＝－12，故答案选A．7．在封闭的直三棱柱ABC

－A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝5，则V的最大值是()A．4πB．32π3C．125π6D．9π2【答案】B【考点】立体几何中与球相关的最值问题【解析】如图，由题意可知，球的体积要尽可能大时，球需

与三棱柱内切．则先保证截面圆与△ABC内切，记圆O的半径为r，则由等面积法得S△ABC＝12ACr＋12ABr＋12BCr＝12×6×8，所以(AC＋AB＋BC)r＝6×8，又因为AB＝6，BC＝8

，所以AC＝10，所以r＝2．由于三棱柱高为5，此时可以保证球在三棱柱内部；若r增大，则无法保证球在三棱柱内，故球的最大半径为2，所以V＝43πr3＝43π·23＝32π3，故答案选D．8．已知函数f

(x)是定义在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意x＞0都有2f(x)＋xf′(x)＞0成立，则()A．4f(－2)＜9f(3)B．4f(－2)＜9f(3)C．2f(3)＞3f(－2)D．3f(－3)＜2f(－2)【答案】A【考点】函数的性质

与导数应用【解析】由题意，令g(x)＝x2f(x)，则g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，若对任意x＞0，都有2f(x)＋xf′(x)＞0成立，则当x＞0时，g′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]＞0成立，即

函数g(x)＝x2f(x)在(0，＋∞)上为增函数，由函数f(x)是定义在R上的偶函数，知f(－x)＝f(x)，则g(－x)＝(－x)2f(－x)＝x2f(x)＝g(x)＝g(x)，即g(x)＝x2f(x)为偶函数，则有g(－2)＝

g(2)，且g(2)＜g(3)，所以g(－2)＜g(3)，即4f(－2)＜9f(3)，故答案选A．二、选择题：本题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知在数学测验中

，某校学生的成绩服从正态分布N(110，81)，其中90分为及格线，则下列结论中正确的有()A．该校学生成绩的期望为110B．该校学生成绩的标准差为9C．该校学生成绩的标准差为81D．该校学生成绩及格率超过95%

(附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.9545)【答案】ABD【考点】正态分布的应用【解析】因为该校学生的成绩服从正态分布N(110，81)，则μ＝110，方差为σ2＝81，标准差为σ＝9，因为μ－2σ＝110－2×9＝92，所以P(ξ

≥90)＞P(ξ≥92)＝P(ξ≥μ－2σ)＝12＋12P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝12＋12×0.9545＝0.97725＞0.95，所以该校学生成绩的期望为110，该校学生成绩的标准差为9，该校学生成绩及格率超过95%，所以选项A、B、D正确，选项C错误；故答案

选ABD．10．已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0相交于A，B两点，则()A．直线AB的方程为y＝2x＋2B．两圆有两条公切线C．线段AB的长为65D．圆O上点E，圆M上点F，则|EF|的最大值为5＋3【答案】AD【考点】圆与圆的位置关系应用【解析

】由题意，圆O：x2＋y2＝4，其圆心为(0，0)，半径r＝2，圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，即(x＋2)2＋(y－1)2＝1，其圆心为(－2，1)，半径R＝1，对于选项A，圆O与圆M相交，有两条公切线，则选项A正确；对于选项B，由x2＋y2＝

4x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，联立可得：2x－y＋4＝0，即y＝2x＋4，则直线AB的方程为y＝2x＋4，则选项B错误；对于选项C，由选项B的结论得到，直线AB的方程为y＝2x＋4，则圆心O到直线AB的距离d＝|4|4＋1＝435，则|AB|＝2×4－165＝455，则选项C错误；对于选项

D，圆O上点E，圆M上点F，|EF|的最大值为|MO|＋r＋R＝5＋1＋2＝5＋3，则选项D正确；综上，答案选AD．11．已知函数f(x)＝sin(cosx)，则()A．f(x)的一个周期是2πB．f(x)的图象关于直线x

＝π2对称C．f(x)的最大值小于32D．f(x)＝x在区间(0，π2)内有唯一的根【答案】ACD【考点】函数的性质综合应用、最值与零点问题【解析】由题意，对于选项A，f(x＋2π)＝sin(cos(x＋2π))＝sincosx＝f(x)，则f(x)是周期函数，2π是f(x)的

一个周期，故选项A正确；对于选项B，因为f(π－x)＝sin(cos(π－x))＝sin(－cosx)＝－sin(cosx)≠f(x)，所以f(x)的图象不关于直线x＝π2对称，则选项B错误；对于选项C．因为cosx∈[－1，1]，所以sin(cosx)∈[

－sin1，sin1]，即f(x)∈[－sin1，sin1]，则函数f(x)的最大值为sin1，又1＜π3，且y＝sinx在(0，π2)上单调递增，所以sin1＜sinπ3，即sin1＜32，则函数f(x)的最大值小于32，故选项C正确

；对于选项D，函数y＝cosx在(0，π2)上单调递减，y＝sinx在(0，π2)上单调递增，则函数f(x)＝sin(cosx)在(0，π2)上单调递减，令g(x)＝f(x)－x，则g(x)在(0，π2)上单调递减，又g(0)＝f(0)－0＝sin(cos0)＝sin1＞0，g(π2)＝f(

π2)－π2＝sin(cosπ2)－π2＝－π2＜0，所以g(0)g(π2)＜0，则函数g(x)在(0，π2)内有唯一的零点，即f(x)＝x在区间(0，π2)内有唯一的零点，则选项D正确；综上，答案选ACD．12．若将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则()A．AC与BD所成的角为90

°B．AD与BC所成的角为45°C．BC与平面ACD所成角的正弦值为62D．平面ABC与平面BCD所成角的正切值是2【答案】AD【考点】立体几何的空间角求解【解析】由题意，取BD中点O，连接AO，CO，若将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则OA⊥BD，OC⊥BD，OA⊥OC，则以O为原点，

OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意易得→AC＝(1，0，－1)，→BD＝(0，2，0)，因为→AC·→BD＝1×0＋0×2＋(－1)×0＝0，所以AC⊥BD，则选项A正确；设OC＝

1，则A(0，0，1)，B(0，－1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，→AD＝(0，1，－1)，→BC＝(1，1，0)，所以cos<→AD，→BC>＝→AD·→BC|→AD|·|→BC|＝12×2＝12，所以AD与BC所成的角为60°，则选项

B错误；设平面ACD的一个法向量为t＝(x，y，z)，则t·→AC＝x－z＝0，t·→AD＝y－z＝0，取z＝1，则x＝y＝1，所以t＝(1，1，1)，且→BC＝(1，1，0)，设BC与平面ACD所成的角为θ，所以sinθ＝|cos<→B

C，t>|＝|→BC·t|→BC|·|t||＝23×2＝63，则选项C错误；由题意易知平面BCD的一个法向量n＝(0，0，1)，→BA＝(0，1，1)，→BC＝(1，1，0)，设平面ABC的一个法向量为m＝(x′，y′，z′)，则m·→BA＝y′＋z′＝0，m·→BC＝

x′＋y′＝0，取x′＝1，则y′＝－1，z′＝1，所以m＝(1，－1，1)，设平面ABC与平面BCD所成的角为α，则cosα＝|cos<m，n>|＝|m·n||m||n|＝33，所以sinα＝63，tanα＝2，所以平面ABC与平面B

CD所成角的正切值2，则选项D正确；综上，答案选AD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(x2＋2x)6的展开式中常数项是__________(用数字作答)．【答案】240【考点】二项式定理展开式的应用：求

常数项【解析】由题意，因为二项式(x2＋2x)6的展开式通项Tr＋1＝Cr6x2(6－r)·2rx－r＝Cr62rx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，所以常数项为C4624＝240．14．已知复数z的共轭复数是z，若z－3z-＝1＋2i，则|z|＝_________

．【答案】22【考点】复数的运算【解析】设z＝a＋bi，则z-＝a－bi，由题意可得：－2a＋4bi＝1＋2i，则a＝－12，b＝12，所以|z|＝a2＋b2＝22．15．拉面是很多人喜好的食物．师傅在制作拉面的时候，将面团先拉到一定长

度，然后对折，对折后面条根数变为原来的2倍，再拉到上次面条的长度．每次对折后，师傅都要去掉捏在一只手里的面团．如果拉面师傅将300克而团拉成细丝面条，每次对折后去掉捏在手里的面团都是18克．第一次拉的长度是1m，共拉

了7次，假定所有细丝面条粗线均匀、质量相等，则最后每根．．1m长的细丝面条的质量是_________．【答案】3克【考点】新情景问题下的函数模型的应用【解析】拉面师傅拉7次面条共有27－1＝26＝64根面条，在7次拉面过程中共对折6次，则去掉面的质量为6×

18＝108g；剩下64根面条的总质量为300－108＝192g，则每根1m长的细丝面条的质量为19264＝3g.16．若x1＜x2时，不等式2[sin(x1＋π4)－sin(x2＋π4)]＜m(x1－x2)恒成立，则实数m的取值范围是_________．【答案】(－，－2]【考点

】不等式的恒成立问题【解析】由题意，2sin(x1＋π4)－mx1＜2sin(x2＋π4)－mx2，设函数f(x)＝2sin(x＋π4)－mx，由条件x1＜x2可得f(x)为单调递增函数，f(x)＝2sin(x＋π4)－mx＝sinx＋cosx－mx可得f′(x)＝cosx－sinx－m，

由f′(x)≥0恒成立可得，m≤cosx－sinx＝2cos(x＋π4)恒成立，而2cos(x＋π4)的最小值为－2，所以m≤－2，则实数m的取值范围为(－，－2]．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤．17．(本小题满分10分)数列{an}的前n项之和为Sn，a1＝1，an＋1＝pan＋1(p为常数)．(1)当p＝1时，求数列{1Sn}的前n项之和；(2)当p＝2时，求Sn．【考点】数列的通项公式与求和【解析】(1)当p＝1时，an＋1－an＝1，则数列{an}是公差为1的等差数

列，又a1＝1，所以Sn＝n×1＋n(n－1)2×1＝n(n＋1)2，即1Sn＝2n(n＋1)，所以数列{1Sn}的前n项之和为21×2＋22×3＋…＋2n(n＋1)＝2(11－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1)＝2nn＋1．(2)

当p＝2时，an＋1＝2an＋1，即an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＝1，所以数列{an＋1}是首项和公比都为2的等比数列，所以an＋1＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－1，所以Sn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1

)＝21＋22＋…＋2n－n＝2()1－2n1－2－n＝2n＋1－2－n．18．(本小题满分12分)有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入座编号为1，2，3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生

所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法．(1)求n的值；(2)求随机变量X的概率分布列和数学期望．【考点】随机变量的概率分布与期望【解析】(1)因为当X＝2时，有C2n种方法，因为C2n＝6，即n(n－1)2＝6，也即

n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4．(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，由题意可知X的可能取值是0，2，3，4，所以P(X＝0)＝1A44＝124，P(X＝2)＝C24×1A44＝14，P(X＝3)＝C34

×2A44＝13，P(X＝4)＝1－124－14－13＝38，所以X的概率分布列为：X0234P124141338所以E(X)＝0×124＋2×14＋3×13＋4×38＝3．19．(本小题满分12分)如图，圆柱OO1的轴截面ABB1A1是正方形，O1，O分别是上、下底面的圆心，C

是弧AB的中点，D、E分别是AA1与BC中点．(1)求证：DE∥平面A1CB1；(2)求锐二面角B－A1C－B1的余弦值．【考点】圆锥曲线中的位置关系证明、二面角求解【解析】(1)证明：取CB1的中点为M，连接DE，ME，A1M，则EM∥BB1∥AA1，且EM＝12AA1＝A1D，∴四边形

A1DEM是平行四边形，DE∥A1M，又A1M平面A1CB1，DE平面A1CB1，∴DE∥平面A1CB1．(2)以O为原点，→OB，→OC，→OO1方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O－xyz，如图，设OB＝a，则B(a，0，0)，C(0，a，

0)，A(－a，0，0)，A1(－a，0，2a)，B1(a，0，2a)，设平面A1BC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，设平面A1B1C的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则m·→A1C＝0m·→BC＝0，即ax1＋ay1－2az1＝0－ax1＋a

y1＝0，n·→A1C＝0n·→A1B1＝0，即ax2＋ay2－2az2＝02ax2＝0，令x1＝1，z2＝1，得：m＝(1，1，1)，n＝(0，2，1)，则cos<m，n>＝m·n|m|·|n|＝1＋23×5＝155，故锐二面角B－A1C－B1的余弦值为155.20．(本小题

满分12分)△ABC中，AB＝2AC，点D在BC边上，AD平分∠BAC．(1)若sin∠ABC＝55，求cos∠BAC；(2)若AD＝AC，且△ABC的面积为7，求BC．【考点】解三角形与三角恒等变换综合应

用【解析】法一：(1)在△ABC中，由正弦定理可得ABsin∠ACB＝ACsin∠ABC，又AB＝2AC，sin∠ABC＝55，所以sin∠ACB＝255.所以cos∠ABC＝255，cos∠ACB＝±55，所以cos∠CAB＝c

os(π－∠ABC－∠ACB)＝－cos(∠ABC＋∠ACB)，即cos∠CAB＝sin∠ABCsin∠ACB－cos∠ABCcos∠ACB，所以cos∠CAB＝55×255±55×255＝0或45．(2)由已知，设AB＝2AC＝2t，所以AD＝AC＝t，另设∠CAD＝θ．

由S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，可得12·t·2t·sin2θ＝12t·t·sinθ＋12·2t·t·sinθ，所以2sinθ·cosθ＝12sinθ＋sinθ，因为sinθ≠0，所以cosθ＝34，所以cos2θ＝2cos2θ－1＝18，又0＜2θ＜π，sin2θ＝1－c

os22θ＝378，又S△ABC＝7＝12·t·2t·sin2θ＝378t2，所以t2＝83，所以BC2＝t2＋4t2－2·t·2t·cos2θ＝92t2＝92×83＝12，所以BC＝23，法二：(1)同法一；(2)由已知，设∠CAD＝∠BAD＝θ，AB＝2AC＝2t

，所以AD＝AC＝t，因为S△ABDS△ACD＝12·2·t·sinθ12·t·t·sinθ＝21＝BDCD，故可设BD＝2x，CD＝x，在△ABD和△ACD中，分别由余弦定理可得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·c

osθ，CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cosθ，即4x2＝4t2＋t2－2·2t·cosθ＝5t2－4t2·cosθ①，x2＝t2＋t2－2·t·t·cosθ＝2t2－2t2·cosθ②，联立①②可得4t2·cosθ＝3t2

，cosθ＝34，所以cos2θ＝2cos2θ－1＝18，又0＜2θ＜π，sin2θ＝1－cos22θ＝378，又S△ABC＝7＝12·t·2t·sin2θ＝378t2，所以t2＝83，所以BC2＝t2＋4t2－2

·t·2t·cos2θ＝92t2＝92×83＝12，所以BC＝23．21．(本小题满分12分)设椭圆C：x22＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)．(1)当l与x轴垂直时，

求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．【考点】圆锥曲线中椭圆与直线的位置关系：求直线方程、利用斜率证明角相等【解析】(1)由已知得F(1，0)，l的方程为x＝1.由已知可得，点A的坐标为

1，22或1，－22.又M(2，0)，所以AM的方程为y＝－22x＋2或y＝22x－2.(2)证明：当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA

＝∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＜2，x2＜2，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝y1x1－2＋y2x2－2.由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k得kMA

＋kMB＝2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k(x1－2)(x2－2).将y＝k(x－1)代入x22＋y2＝1得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.所以，x1＋x2＝4k22k2＋1，x1x2＝2k2－22k2＋1.则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝4k3－4k－12k3＋

8k3＋4k2k2＋1＝0.从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补．所以∠OMA＝∠OMB.综上，∠OMA＝∠OMB.22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝alnx＋x＋a存在两个零点x1，x2．(1)求a的取值范围；(2)证明：x1x2

＞1．【考点】函数与导数：函数的零点问题、极值点偏移问题【解析】(1)f′(x)＝ax＋1＝a＋xx(x＞0)，①当a≥0时，f′(x)＞0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)至多有一个零点，不合题意；②当a＜0时，

当x∈(0，－a)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(－a，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则f(x)min＝f(－a)＝aln(－a)＜0，解得a＜－1，注意此时f(1e)＝1e＞0，(

i)当－2≤a＜－1时，f(e3)＝e3＋4a＞0，此时1e＜－a＜e3，则f(x)在(0，－a)和(－a，＋∞)上分别存在一个零点；(ii)当a＜－2时，f(e－a)＝alne－a＋e2＋a＝e－a－a2＋a，设g(a)＝e－a－a2＋a，a＜－2，所以g′(a)＝－e－a－2a＋1，g″

(a)＝e－a－2＞0，所以g′(a)在(－∞，－2)单调递增，则g′(a)＜g′(－2)＝－e2＋5＜0，所以g(a)在(－∞，－2)单调递减，则g(a)＞g(－2)＝e2－6＞0，即f(e－a)＞0，此时1e＜－

a＜e－a，则f(x)在(0，－a)和(－a，＋∞)分别存在一个零点；综上，若f(x)有两个零点，则a的取值范围为(－∞，－1)；(2)不妨设0＜x1＜－a＜x2，由f(x1)＝f(x2)＝0得，alnx1＋x1＋a＝0aln

x2＋x2＋a＝0，两式相减得，－a＝x1－x2lnx1－lnx2，两式相加得，lnx1＋lnx2＝x1＋x2－a－2＝x1＋x2x1－x2(lnx1－lnx2)－2，要证x1x2＞1，只需证lnx1＋lnx2＞0，即证lnx1－lnx22－x1－x2x1＋x2＝12lnx1x2

－x1x2－1x1x2＋1＜0，令h(t)＝12lnt－t－1t＋1，t∈(0，1]，则h′(t)＝12t－2(t＋1)2＝(t－1)22t(t＋1)2≥0，所以h(t)在(0，1]单调递增，则h(1)≤h(1)＝

0，又因为x1x2∈(0，1)，故等号不成立，即得证．